В математике , А Коши непрерывная или Коши-регулярная , функция представляет собой особый вид непрерывной функции между метрическими пространствами (или более общими пространствами). Функции, непрерывные по Коши, обладают тем полезным свойством, что их всегда можно (однозначно) продолжить до пополнения Коши их области определения.
Определение
Пусть X и Y быть метрические пространства , и пусть е будет функция из X в Y . Тогда f является непрерывной по Коши тогда и только тогда, когда для любой последовательности Коши ( x 1 , x 2 ,…) в X последовательность ( f ( x 1 ), f ( x 2 ),…) является последовательностью Коши в Y .
Характеристики
Всякая равномерно непрерывная функция также непрерывна по Коши. С другой стороны , если область Х является вполне ограничено , то каждый Коши-непрерывная функция равномерно непрерывна. В более общем плане , даже если X не вполне ограничено, функция на X фундаментальна-непрерывен тогда и только тогда , когда она равномерно непрерывна на каждом полностью ограниченного подмножества X .
Всякая непрерывная по Коши функция непрерывна . С другой стороны , если область Х является полным , то каждая непрерывная функция Коши непрерывна. В более общем плане , даже если Х не является полным, до тех пор , как Y является полным, то любая Коши-непрерывная функция из X в Y может быть продолжено до непрерывного (и , следовательно , Коши-непрерывной) функции , определенной на завершение Коши в X ; это расширение обязательно уникально.
Комбинируя эти факты, если X является компактным , то непрерывные отображения, Коши-непрерывные отображения и равномерно непрерывных отображений на X все же.
Примеры и не примеры
Поскольку вещественная прямая R полна, непрерывные по Коши функции на R такие же, как и непрерывные. На подпространстве Q из рациональных чисел , однако, дело обстоит по- другому. Например, определите двузначную функцию так, чтобы f ( x ) было 0, когда x 2 меньше 2, но 1, когда x 2 больше 2. (Обратите внимание, что x 2 никогда не равен 2 для любого рационального числа x . ) Эта функция непрерывна на Q , но не Коши непрерывно, так как оно не может быть непрерывно продолжается на R . С другой стороны, любая равномерно непрерывная функция на Q должна быть непрерывной по Коши. Для неоднородного примера на Q , пусть f ( x ) равно 2 x ; это не является равномерно непрерывным (на всем Q ), но оно непрерывно по Коши. (Этот пример одинаково хорошо работает на R. )
Последовательность Коши ( y 1 , y 2 ,…) в Y может быть отождествлена с непрерывной по Коши функцией из {1, 1/2, 1/3,…} в Y , определяемой формулой f (1 / n ) = y п . Если Y полный, то его можно расширить до {1, 1/2, 1/3,…, 0}; f (0) будет пределом последовательности Коши.
Обобщения
Непрерывность Коши имеет смысл в ситуациях, более общих, чем метрические пространства, но тогда нужно перейти от последовательностей к сетям (или, что эквивалентно, фильтрам ). Приведенное выше определение применяется до тех пор, пока последовательность Коши ( x 1 , x 2 ,…) заменяется произвольной сетью Коши . Эквивалентно, функция F является Коши-непрерывным , если и только если для любого фильтра Коши F на X , то F ( F ) представляет собой базис фильтра Коши на Y . Это определение согласуется с приведенным выше для метрических пространств, но оно также работает для равномерных пространств и, в общем, для пространств Коши .
Любое направленное множество A можно превратить в пространство Коши. Тогда для любого пространства Y , сети Коши в Y индексируется А являются такими же , как и Коши-непрерывных функций от А до Y . Если Y полно, то продолжение функции до A ∪ {∞} даст значение предела сети. (Это обобщает приведенный выше пример последовательностей, где 0 следует интерпретировать как 1 / ∞.)
Рекомендации
- Ева Лоуэн-Коулбандерс (1989). Функциональные классы непрерывных отображений Коши . Деккер, Нью-Йорк.