Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В топологии и смежных отраслей математики , общая-ограниченность является обобщением компактности для обстоятельств , в которых множество не обязательно закрыты . Полностью ограниченное множество может быть покрыто с помощью конечного множества подмножеств любого фиксированного «размера» (где значение «размера» зависит от структуры окружающего пространства .)

Термин « прекомпакт» (или « прекомпакт» ) иногда используется в том же значении, но «прекомпакт» также означает относительно компактный . Эти определения совпадают для подмножеств полного метрического пространства , но не в общем.

В метрических пространствах [ править ]

Метрическое пространство является вполне ограничено тогда и только тогда , когда для любого действительного числа , существует конечный набор открытых шаров в М радиуса , объединение содержит  M . Эквивалентно, метрическое пространство M полностью ограничено тогда и только тогда, когда для каждого существует конечное покрытие такое, что радиус каждого элемента покрытия не превосходит . Это эквивалентно существованию конечной ε-сети . [1] Метрическое пространство называется предкомпактным по Коши.если каждая последовательность допускает подпоследовательность Коши; в метрических пространствах множество предкомпактно по Коши тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено. [2]

Каждое вполне ограниченное пространство ограничено (как ограничено объединение конечного числа ограниченных множеств). Обратное верно для подмножеств евклидова пространства (с топологией подпространства ), но не в целом. Например, бесконечное множество с дискретной метрикой ограничено, но не полностью. [3]

Равномерные (топологические) пространства [ править ]

Метрика появляется в определении полной ограниченности только для того, чтобы гарантировать, что каждый элемент конечного покрытия имеет сопоставимый размер и может быть ослаблен до однородной структуры . Подмножество S из равномерного пространства X вполне ограничено тогда и только тогда, когда для любого окружения Е , существует конечное покрытие S подмножествами X каждый из которых декартова квадратов является подмножеством Е . (Другими словами, E заменяет «размер» ε , и подмножество имеет размер E, если его декартов квадрат является подмножеством E. ) [2]

Определение можно распространить еще дальше на любую категорию пространств с понятием компактности и пополнения Коши : пространство вполне ограничено тогда и только тогда, когда его (Коши) пополнение компактно.

Примеры и элементарные свойства [ править ]

  • Каждый компакт полностью ограничен, если это понятие определено.
  • Всякое вполне ограниченное множество ограничено.
  • Подмножество вещественной прямой или, в более общем смысле, конечномерного евклидова пространства полностью ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено . [4] [3]
  • Единичный шар в гильбертовом пространстве , или в более общем случае в банаховом пространстве , вполне ограничено (в топологии нормы) тогда и только тогда , когда пространство имеет конечную размерность .
  • Равностепенно непрерывные ограниченные функции на компакте предкомпактны в равномерной топологии ; это теорема Арцела – Асколи .
  • Метрическое пространство является отделимо тогда и только тогда , когда оно гомеоморфно к совершенно ограниченному метрическому пространству. [3]
  • Замыкание вполне ограниченного подмножества снова вполне ограничено. [5]

Сравнение с компактами [ править ]

В метрических пространствах множество компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено; [4] без аксиомы выбора сохраняется только прямое направление. Предкомпактные наборы имеют ряд общих свойств с компактными наборами.

  • Как и компактные множества, конечное объединение вполне ограниченных множеств вполне ограничено.
  • В отличие от компактов, каждое подмножество вполне ограниченного множества снова вполне ограничено.
  • Непрерывный образ компакта компактен. Равномерно непрерывным образом предкомпактного множества предкомпактно.

В топологических группах [ править ]

Хотя понятие тотальной ограниченности тесно связано с метрическими пространствами, большая алгебраическая структура топологических групп позволяет отказаться от некоторых свойств разделения . Например, в метрических пространствах множество компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено. Согласно приведенному ниже определению, то же самое верно для любого топологического векторного пространства (не обязательно Хаусдорфово или полного!). [5] [6] [7]

Общая логическая форма определения является: подмножество S из пространства X вполне ограничено тогда и только тогда, когда для любого размера Е , существует конечное покрытие S таким образом, что каждый элемент S имеет размер в большинстве E . Тогда X вполне ограничено тогда и только тогда, когда оно полностью ограничено, если рассматривать его как подмножество самого себя.

Мы принимаем соглашение , что для любых окрестностей U ⊆ X тождеств, подмножество S ⊆ X называется (слева) U -малыми тогда и только тогда , когда S -1 S ⊆ U . [5] Подмножество S из топологической группы X является (слева) вполне ограничено , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

  1. Для любой окрестности U единицы:
    1. там x 1 , ..., x n ∈ X такие, что или
    2. существует конечное подмножество F ⊆ X такое, что S ⊆ F · U или
    3. существует конечное число подмножеств B 1 , ..., B n в X таких, что S ⊆ B 1 ∪ ⋅⋅⋅ ∪ B n и каждый B j является U -малым. [5]
  2. Для любого фильтра SUBBASE ℬ для фильтра 𝒩 всех окрестностей 0 в X , для каждого B ∈ ℬ , существует покрытие S конечного числа B -Малых подмножеств X . [5]
  3. S является Коши ограничен : для каждой окрестности U единицы и каждого счетного подмножества I из S , существуют различные х , у ∈ I такое , что ху -1 ∈ U . [5] (Если S конечно, то это условие выполняется вакуумно ).
  4. Любое из следующих множеств (слева) вполне ограничено:
    1. замыкание S [5] или
    2. образ S при каноническом факторе X → X / { e } или
    3. S { e } , [8]
    где e - тождество.

Обычно используемый термин прекомпакт появляется в контексте топологических векторных пространств Хаусдорфа. [9] [10] В этом случае следующие условия также эквивалентны:

  2. В завершение из X , S компактно. [9] [11]
  3. Каждый ультрафильтр на S является коши .

Определение полностью ограниченной справа аналогично: просто поменяйте местами продукты.

Обратите внимание, что из условия 4 следует, что любое подмножество { e } вполне ограничено (фактически, компактно; см. § Сравнение с компактными множествами выше). Если X не хаусдорфово, то, например, { e } - это компактный полный набор, который не является замкнутым. [5]

Топологические векторные пространства [ править ]

Любое топологическое векторное пространство является абелевой топологической группой при сложении, поэтому применяются вышеуказанные условия (хотя обратите внимание, что они записаны мультипликативно ). Исторически определение 1 (b) было первой переформулировкой полной ограниченности для топологических векторных пространств ; он восходит к статье Джона фон Неймана 1935 года. [12]

Это определение обладает тем привлекательным свойством, что в локально выпуклом пространстве со слабой топологией предкомпактные множества являются в точности ограниченными множествами .

Для сепарабельных банаховых пространств существует хорошая характеризация предкомпактных множеств (в топологии нормы) в терминах слабо сходящихся последовательностей функционалов: если X - сепарабельное банахово пространство, то S ⊆ X предкомпактно тогда и только тогда, когда каждое слабо сходящееся последовательность функционалов сходится равномерно на S . [13]

Взаимодействие с выпуклостью [ править ]

  • Уравновешенная оболочка вполне ограниченного подмножество топологического векторного пространства снова вполне ограничена. [5] [14]
  • Сумма Минковского двух компактных (вполне ограниченных) множеств компактна (соответственно вполне ограничена).
  • В локально выпуклом (хаусдорфовом) пространстве выпуклая оболочка и дисковая оболочка вполне ограниченного множества K вполне ограничены тогда и только тогда, когда K полно. [15]

См. Также [ править ]

  • Компактное пространство
  • Локально компактное пространство
  • Мера некомпактности
  • Ортокомпактное пространство
  • Паракомпактное пространство
  • Относительно компактное подпространство

Ссылки [ править ]

  1. Перейти ↑ Sutherland 1975 , p. 139.
  2. ^ a b Уиллард, Стивен (1970). Лумис, Линн Х. (ред.). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. п. 262. См. Определение 39.7 и лемму 39.8.
  3. ^ a b c Уиллард 2004 , стр. 182.
  4. ^ а б Колмогоров АН; Фомин, С.В. (1957) [1954]. Элементы теории функций и функционального анализа . 1 . Перевод Борана, Лео Ф. Рочестер, Нью-Йорк: Graylock Press. С. 51–3.
  5. ^ a b c d e f g h i Narici & Beckenstein 2011 , стр. 47-66.
  6. ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 55-56.
  7. ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 55-66.
  8. ↑ Schaefer & Wolff 1999 , стр. 12-35.
  9. ^ a b Schaefer & Wolff 1999 , стр. 25.
  10. ^ Trèves 2006 , стр. 53.
  11. ^ Jarchow 1981 , стр. 56-73.
  12. ^ фон Нейман, Джон (1935). «О полных топологических пространствах» . Труды Американского математического общества . 37 (1): 1–20. DOI : 10.2307 / 1989693 . ISSN 0002-9947 . 
  13. Перейти ↑ Phillips, RS (1940). «О линейных преобразованиях». Анналы математики : 525.
  14. ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 156-175.
  15. ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 67-113.

Библиография [ править ]

  • Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
  • Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
  • Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
  • Сазерленд, Вашингтон (1975). Введение в метрические и топологические пространства . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853161-3. Zbl  0304.54002 .
  • Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
  • Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.