В линейной алгебре , ортогональное преобразование является линейным преобразованием Т : V → V на реальный внутреннее пространстве продукта V , который сохраняет скалярное произведение. То есть для каждой пары u , v элементов V имеем [1]
Поскольку длины векторов и углы между ними определяются через внутреннее произведение, ортогональные преобразования сохраняют длины векторов и углы между ними. В частности, ортогональные преобразования отображают ортонормированные базисы в ортонормированные базисы.
Ортогональные преобразования инъективны : если то , следовательно , поэтому ядро из тривиально.
Ортогональные преобразования в двух- или трехмерном мерном евклидово пространства являются жесткими поворотами , отражение или комбинации вращения и отражения (также известным как несобственные вращения ). Отражения - это преобразования, которые меняют направление спереди назад, ортогонально плоскости зеркала, как это делают (в реальном мире) зеркала. Эти матрицы , соответствующие собственные вращения (без отражения) имеют определитель +1. Преобразования с отражением представлены матрицами с определителем -1. Это позволяет обобщить концепцию вращения и отражения на более высокие измерения.
В конечномерных пространствах матричное представление (относительно ортонормированного базиса ) ортогонального преобразования является ортогональной матрицей . Ее строки являются взаимно ортогональными векторами с единичной нормой, так что строки образуют ортогональный базис V . Столбцы матричной форме другой ортонормированный базис V .
Если ортогональное преобразование обратимо (что всегда имеет место, когда V конечномерно), то его обратное преобразование является другим ортогональным преобразованием. Его матричное представление является транспонированным матричным представлением исходного преобразования.
Примеры [ править ]
Рассмотрим пространство внутреннего продукта со стандартным евклидовым внутренним продуктом и стандартной основой. Тогда матричное преобразование
ортогонален. Чтобы увидеть это, рассмотрим
Потом,
Предыдущий пример можно расширить для построения всех ортогональных преобразований. Например, следующие матрицы определяют ортогональные преобразования на :
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Роуленд, Тодд. «Ортогональное преобразование» . MathWorld . Проверено 4 мая 2012 года .