Унитарное преобразование

В математике унитарное преобразование - это преобразование, которое сохраняет внутренний продукт : внутренний продукт двух векторов до преобразования равен их внутреннему продукту после преобразования.

Формальное определение [ править ]

Точнее, унитарное преобразование - это изоморфизм двух гильбертовых пространств . Другими словами, унитарное преобразование - это биективная функция

${\ displaystyle U: H_ {1} \ to H_ {2} \,}$

где и - гильбертовы пространства, такие что ${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H_{2}}=\langle x,y\rangle _{H_{1}}}$

для всех и в .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle H_{1}}$

Свойства [ править ]

Унитарное преобразование - это изометрия , как можно увидеть, задав в этой формуле.${\displaystyle x=y}$

Унитарный оператор [ править ]

В случае, когда и являются одним и тем же пространством, унитарное преобразование является автоморфизмом этого гильбертова пространства, и тогда оно также называется унитарным оператором .${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$

Антиунитарная трансформация [ править ]

Тесно родственное понятие - понятие антиунитарной трансформации , которая является биективной функцией.

${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}\,}$

между двумя комплексными гильбертовыми пространствами такими, что

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}=\langle y,x\rangle }$

для всех и в , где горизонтальная черта представляет комплексное сопряжение . ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle H_{1}}$

См. Также [ править ]

• Антиунитарный
• Ортогональное преобразование
• Обратное время
• Унитарная группа
• Унитарный оператор
• Унитарная матрица
• Теорема Вигнера
• Унитарные преобразования в квантовой механике