Теорема Вигнера
Теорема Вигнера , доказанная Юджином Вигнером в 1931 году [2] , является краеугольным камнем математической формулировки квантовой механики . Теорема определяет, как физические симметрии , такие как повороты, переводы и CPT , представлены в гильбертовом пространстве состояний .
Физические состояния в квантовой теории представляются единичными векторами в гильбертовом пространстве с точностью до фазового множителя, т. е. комплексной линией или лучом , через который проходит вектор. Кроме того, по правилу Борна абсолютное значение скалярного произведения единичных векторов или, что то же самое, квадрат косинуса угла между линиями, через которые проходят векторы, соответствует вероятности перехода. Пространство лучей , в математике известное как проективное гильбертово пространство , представляет собой пространство всех единичных векторов в гильбертовом пространстве с точностью до отношения эквивалентности, отличающегося фазовым множителем. По теореме Вигнера любое преобразование лучевого пространства, сохраняющее абсолютное значение скалярных произведений, может быть представлено унитарным или антиунитарным преобразованием.преобразование гильбертова пространства, единственное с точностью до фазового множителя. Как следствие, представление группы симметрии в лучевом пространстве можно поднять до проективного представления , а иногда даже до обычного представления в гильбертовом пространстве.
Это постулат квантовой механики , что векторы в гильбертовом пространстве , которые являются скалярными ненулевыми кратными друг другу, представляют одно и то же чистое состояние . Луч , принадлежащий вектору , представляет собой комплексную прямую, проходящую через начало координат [3] [4]
Два ненулевых вектора определяют один и тот же луч тогда и только тогда, когда они отличаются некоторым ненулевым комплексным числом: , . В качестве альтернативы мы можем рассматривать луч как набор векторов с нормой 1, которые охватывают одну и ту же линию, единичный луч , путем пересечения линии с единичной сферой [5]
