Теория представлений группы Лоренца.

Хендрик Антун Лоренц (справа), в честь которого названа группа Лоренца, и Альберт Эйнштейн, чья специальная теория относительности является основным источником приложений. Фотография сделана Полом Эренфестом в 1921 году.

Группа Лоренца является группой Ли симметрии пространства - времени в специальной теории относительности . Эта группа может быть реализована как набор матриц , линейных преобразований или унитарных операторов в некотором гильбертовом пространстве ; он имеет множество представлений . ^{[nb 1]} Эта группа важна, потому что специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя физическими теориями, которые установлены наиболее полно, ^{[nb 2]}и соединение этих двух теорий - изучение бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Они имеют как историческое значение для основной физики, так и связаны с более умозрительными современными теориями.

Развитие [ править ]

Полная теория конечномерных представлений алгебры Ли группы Лоренца выводится с использованием общих рамок теории представлений полупростых алгебр Ли . Конечномерные представления связной компоненты полной группы Лоренца $O (3; 1)$ получаются с помощью лиева соответствия и матричной экспоненты . Полный конечномерен теория представления универсальной накрывающей группы (а также спин группа , двойное покрытие) из получен, и в явном виде в терминах действий на пространстве функций в представлениях ${\text{SO}}(3;1)^{+}$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SO}}(3;1)^{+}$ SL ( 2 , C ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )} и s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} . Представители знака времени и пространственной инверсии приведены в пространственной инверсии и обращения времени , завершая конечномерную теорию для полной группы Лоренца. Очерчены общие свойства ( m , n ) -представлений. Рассматривается действие на функциональные пространства , причем действие на сферические гармоники и P-функции Римана появляются в качестве примеров. Бесконечномерный случай неприводимых унитарных представлений реализуется для основной и дополнительной серий . Наконец, ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ Формула Планшереля для даются, и представления $SO (3, 1)$ будут классифицированы и реализованы для алгебр Ли. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Развитие теории представлений исторически следовало за развитием более общей теории представлений полупростых групп , во многом благодаря Эли Картану и Герману Вейлю , но группа Лоренца также получила особое внимание из-за ее важности в физике. Известные авторы являются физик EP Вигнера и математики Valentine баргмановского с их программой Баргманна-Вигнер , ^[1] один выводом которого, грубо говоря, классификацию всех унитарных представлений неоднородной группы сумм Лоренца к классификации всех возможных волновых уравнений релятивистских . ^[2]Классификация неприводимых бесконечномерных представлений группы Лоренца была установлена докторантом теоретической физики Поля Дирака , Хариш-Чандрой , позже ставшим математиком ^{[№ 3]} в 1947 году. Соответствующая классификация была независимо опубликована Баргманном. и Исраэль Гельфанд вместе с Марком Наймарком в том же году. $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$

Приложения [ править ]

Многие представления, как конечномерные, так и бесконечномерные, важны в теоретической физике. Представления появляются при описании полей в классической теории поля , в первую очередь электромагнитного поля , и частиц в релятивистской квантовой механике , а также как частиц, так и квантовых полей в квантовой теории поля и различных объектов в теории струн и за ее пределами. Теория представлений также дает теоретическое обоснование концепции спина . Теория входит в общую теорию относительностив том смысле, что в достаточно малых областях пространства-времени физика относится к специальной теории относительности. ^[3]

Конечномерные неприводимые неунитарные представления вместе с неприводимыми бесконечномерными унитарными представлениями неоднородной группы Лоренца, группы Пуанкаре, являются представлениями, имеющими прямое физическое значение. ^[4]^[5]

Бесконечномерные унитарные представления группы Лоренца появляются с ограничением неприводимых бесконечномерных унитарных представлений группы Пуанкаре , действующей на гильбертовых пространствах в релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля . Но они также представляют математический интерес и могут иметь прямое физическое значение в других ролях, помимо роли простого ограничения. ^[6] Были спекулятивные теории, ^[7]^[8] (у тензоров и спиноров есть бесконечные аналоги в экспансорах Дирака и экспинорахХариш-Чандры) в соответствии с теорией относительности и квантовой механикой, но они не нашли доказанного физического применения. Современные спекулятивные теории потенциально имеют аналогичные ингредиенты, как показано ниже.

Классическая теория поля [ править ]

В то время как электромагнитное поле вместе с гравитационным полем являются единственными классическими полями, обеспечивающими точное описание природы, другие типы классических полей также важны. В подходе к квантовой теории поля (QFT), называемом вторым квантованием , отправной точкой является одно или несколько классических полей, где, например, волновые функции, решающие уравнение Дирака , рассматриваются как классические поля до (второго) квантования. ^[9] Хотя второе квантование и связанный с ним лагранжев формализм не является фундаментальным аспектом КТП, ^[10]Дело в том, что до сих пор все квантовые теории поля можно подходить таким образом, включая стандартную модель . ^[11] В этих случаях существуют классические версии уравнений поля, следующие из уравнений Эйлера – Лагранжа, выведенных из лагранжиана с использованием принципа наименьшего действия . Эти уравнения поля должны быть релятивистски инвариантными, а их решения (которые будут квалифицироваться как релятивистские волновые функции в соответствии с определением ниже) должны преобразовываться при некотором представлении группы Лоренца.

Действие группы Лоренца на пространство конфигураций поля ( конфигурация поля - это пространственно-временная история конкретного решения, например, электромагнитное поле во всем пространстве за все время является одной конфигурацией поля) напоминает действие на гильбертовы пространства квантовых механики, за исключением того, что скобки коммутатора заменены теоретико-полевыми скобками Пуассона . ^[9]

Релятивистская квантовая механика [ править ]

Для целей настоящего изобретения следующее определение производится: ^[12] функция релятивистской волны представляет собой набор $N$ функций $i | & alpha$ ; на пространства - времени , которая преобразуется при произвольной правильной преобразования Лоренца $Л$ как

\psi '^{\alpha }(x)=D{[\Lambda ]^{\alpha }}_{\beta }\psi ^{\beta }\left(\Lambda ^{-1}x\right),

где $D [Λ]$ - $n-$ мерная матрица, представляющая $Λ,$ принадлежащая некоторой прямой сумме $(m, n)$ представлений, которые будут введены ниже.

Наиболее полезными одночастичными теориями релятивистской квантовой механики (полностью согласованных таких теорий нет) являются уравнение Клейна – Гордона ^[13] и уравнение Дирака ^[14] в их исходной постановке. Они релятивистски инвариантны, и их решения преобразуются под действием группы Лоренца как скаляры Лоренца ( $(m, n) = (0, 0)$ ) и биспиноры соответственно ( $(0, 1 / 2) \oplus (1 / 2, 0)$ ). Согласно этому определению, электромагнитное поле является релятивистской волновой функцией, преобразующейся при $(1, 0) \oplus (0, 1)$ . ^[15]

Бесконечномерные представления могут быть использованы при анализе рассеяния. ^[16]

Квантовая теория поля [ править ]

В квантовой теории поля требование релятивистской инвариантности входит, среди прочего, в том, что S-матрица обязательно должна быть инвариантной по Пуанкаре. ^[17] Отсюда следует, что существует одно или несколько бесконечномерных представлений группы Лоренца, действующих в пространстве Фока . ^{[nb 4]} Одним из способов гарантировать существование таких представлений является существование лагранжевого описания (со скромными наложенными требованиями, см. ссылку) системы с использованием канонического формализма, из которого может быть реализована реализация генераторов группы Лоренца. быть выведенным. ^[18]

Преобразования полевых операторов иллюстрируют дополнительную роль, которую играют конечномерные представления группы Лоренца и бесконечномерные унитарные представления группы Пуанкаре, свидетельствуя о глубоком единстве между математикой и физикой. ^[19] Для иллюстрации рассмотрим определение $n$ -компонентного полевого оператора : ^[20] Релятивистский полевой оператор - это набор из $n$ операторных функций в пространстве-времени, который преобразуется при соответствующих преобразованиях Пуанкаре $(Λ, a)$ согласно ^[21]^{[ 22]}

\Psi ^{\alpha }(x)\to \Psi '^{\alpha }(x)=U[\Lambda ,a]\Psi ^{\alpha }(x)U^{-1}\left[\Lambda ,a\right]=D{\left[\Lambda ^{-1}\right]^{\alpha }}_{\beta }\Psi ^{\beta }(\Lambda x+a)

Здесь $U [Λ, а]$ унитарный оператор , представляющий $(Л, а)$ на гильбертовом пространстве , на которых $Ψ$ определена и $D$ представляет собой $п$ - мерное представление группы Лоренца. Правило преобразования - вторая аксиома Вайтмана квантовой теории поля.

Из соображений дифференциальных ограничений, которым должен быть наложен оператор поля, чтобы описать единственную частицу с определенной массой $m$ и спином $s$ (или спиральностью), делается вывод, что ^[23]^{[nb 5]}

\Psi ^{\alpha }(x)=\sum _{\sigma }\int dp\left(a(\mathbf {p} ,\sigma )u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x}+a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip\cdot x}\right),

( X1 )

где $a †, a$ интерпретируются как операторы рождения и уничтожения соответственно. Оператор рождения $a †$ преобразуется согласно ^[23]^[24]

a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )\rightarrow a'^{\dagger }\left(\mathbf {p} ,\sigma \right)=U[\Lambda ]a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )U\left[\Lambda ^{-1}\right]=a^{\dagger }(\Lambda \mathbf {p} ,\rho )D^{(s)}{\left[R(\Lambda ,\mathbf {p} )^{-1}\right]^{\rho }}_{\sigma },

и аналогично для оператора уничтожения. Следует отметить, что оператор поля преобразуется в соответствии с конечномерным неунитарным представлением группы Лоренца, в то время как оператор рождения преобразуется в соответствии с бесконечномерным унитарным представлением группы Пуанкаре, характеризуемой массой и спином $(m, s)$ частицы. Связью между ними являются волновые функции , также называемые коэффициентами.

u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x},\quad v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip\cdot x}

которые несут как индексы $(x, α),$ оперируемые преобразованиями Лоренца, так и индексы $(p, σ),$ оперируемые преобразованиями Пуанкаре. Это можно назвать связностью Лоренца – Пуанкаре. ^[25] Чтобы продемонстрировать связь, подвергните обе части уравнения (X1) преобразованию Лоренца, в результате чего, например, $u$ ,

{D[\Lambda ]^{\alpha }}_{\alpha '}u^{\alpha '}(\mathbf {p} ,\lambda )={D^{(s)}[R(\Lambda ,\mathbf {p} )]^{\lambda '}}_{\lambda }u^{\alpha }\left(\Lambda \mathbf {p} ,\lambda '\right),

где $D$ - неунитарная группа Лоренца, представляющая $Λ,$ а $D (s)$ - унитарный представитель так называемого вращения Вигнера $R,$ ассоциированного с $Λ$ и $p,$ которое происходит из представления группы Пуанкаре, а $s$ - спин частица.

Все приведенные выше формулы, включая определение оператора поля в терминах операторов рождения и уничтожения, а также дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет оператор поля для частицы с заданной массой, спином и представлением $(m, n),$ при котором предполагается, что преобразование ^{[nb 6],} а также волновая функция может быть получено только из теоретико-групповых соображений, если даны основы квантовой механики и специальной теории относительности. ^{[№ 7]}

Спекулятивные теории [ править ]

В теориях, в которых пространство-время может иметь более $D = 4$ измерений, обобщенные группы Лоренца $O (D - 1; 1)$ соответствующей размерности занимают место $O (3; 1)$ . ^{[№ 8]}

Требование лоренц-инвариантности проявляется, пожалуй, наиболее драматично в теории струн . Классические релятивистские строки могут быть обработаны в лагранжевой структуре с помощью действия Намбу – Гото . ^[26] Это приводит к релятивистски инвариантной теории в любом пространственно-временном измерении. ^[27] Но, как оказалось, теорию открытых и замкнутых бозонных струн (простейшую теорию струн) невозможно квантовать таким образом, чтобы группа Лоренца была представлена в пространстве состояний ( гильбертовом пространстве ), если только размерность пространства-времени равно 26. ^[28] Соответствующий результат дляТеория суперструн снова выводится с требованием лоренц-инвариантности, но теперь с суперсимметрией . В этих теориях алгебра Пуанкаре заменяется алгеброй суперсимметрии, которая является Z 2 -градуированной алгеброй Ли, расширяющей алгебру Пуанкаре. Структура такой алгебры в значительной степени определяется требованиями лоренц-инвариантности. В частности, фермионные операторы (степень $1$ ) принадлежат a $(0, 1 / 2)$ или $(1 / 2, 0)$ пространство представления (обычной) алгебры Лоренца. ^[29] Единственная возможная размерность пространства-времени в таких теориях - 10. ^[30]

Конечномерные представления [ править ]

Теория представлений групп вообще и групп Ли в частности - очень богатый предмет. Группа Лоренца обладает некоторыми свойствами, которые делают ее «приятной», а другие - «не очень приятной» в контексте теории представлений; группа проста и, следовательно, полупроста , но несвязна , и ни один из ее компонентов не является односвязным . Кроме того, группа Лоренца не компактна . ^[31]

Для конечномерных представлений наличие полупростоты означает, что с группой Лоренца можно работать так же, как с другими полупростыми группами, используя хорошо разработанную теорию. Кроме того, все представления строятся из неприводимых , поскольку алгебра Ли обладает свойством полной приводимости . ^{[nb 9]}^[32] Но некомпактность группы Лоренца в сочетании с отсутствием простой связности не может рассматриваться во всех аспектах, как в простой структуре, которая применяется к односвязным компактным группам. Некомпактность означает, что для связной простой группы Ли не существует нетривиальных конечномерных унитарных представлений. ^[33]Отсутствие простой связности порождает спиновые представления группы. ^[34] , не связанные с связанность означает , что для представления полной группы Лоренца, обращение времени и пространственной инверсии должна быть рассмотрена отдельно. ^[35]^[36]

История [ править ]

Развитие конечномерной теории представлений группы Лоренца в основном следует развитию предмета в целом. Теория Ли возникла у Софуса Ли в 1873 году. ^[37]^[38] К 1888 году классификация простых алгебр Ли была по существу завершена Вильгельмом Киллингом . ^[39]^[40] В 1913 г. теорема о старшем весе для представлений простых алгебр Ли - путь, которым мы здесь пойдем - была завершена Эли Картаном . ^[41]^[42] Ричард Брауэр в 1935–1938 годах был в значительной степени ответственным за разработку матриц Вейля-Брауэра.описывающий, как спиновые представления алгебры Лоренца могут быть вложены в алгебры Клиффорда . ^[43]^[44] Группа Лоренца также исторически привлекала особое внимание в теории представлений, см. Историю бесконечномерных унитарных представлений ниже, из-за ее исключительной важности в физике. Математики Герман Вейль ^[41]^[45]^[37]^[46]^[47] и Хариш-Чандра ^[48]^[49] и физики Юджин Вигнер ^[50]^[51] и Валентин Баргманн ^[52]^[53]^[54]внес существенный вклад как в общую теорию представлений, так и в группу Лоренца в частности. ^[55] Физик Поль Дирак был, пожалуй, первым, кто явно связал все воедино в практическом приложении, имеющем большое непреходящее значение, с уравнением Дирака в 1928 году. ^[56]^[57]^{[nb 10]}

Алгебра Ли [ править ]

Вильгельм Киллинг , Независимый первооткрыватель алгебр Ли . Простые алгебры Ли были впервые классифицированы им в 1888 году.

Неприводимые комплексные линейные представления усложнению , алгебры Ли группы Лоренца можно найти. Удобная основа определяются три образующих $J$ $я$ из вращений и трех генераторов $К$ $я$ из повышений . Они явно указаны в соглашениях и базах алгебры Ли . ${\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }$ ${\mathfrak {so}}(3;1)$ ${\mathfrak {so}}(3;1)$

Алгебра Ли комплексифицируется , и базис заменяется на компоненты двух ее идеалов ^[58]

\mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2}},\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K} }{2}}.

Компоненты $A = (A 1, A 2, A 3)$ и $B = (B 1, B 2, B 3) по$ отдельности удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли и, кроме того, коммутируют друг с другом, ^[59] s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}

\left[A_{i},A_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}A_{k},\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}B_{k},\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0,

где $i, j, k$ - индексы, каждый из которых принимает значения $1, 2, 3$ , а $ε ijk$ - трехмерный символ Леви-Чивиты . Пусть и обозначают комплексную линейную оболочку из $A$ и $B$ соответственно. $\mathbf {A} _{\mathbb {C} }$ $\mathbf {B} _{\mathbb {C} }$

Есть изоморфизмы ^[60]^{[nb 11]}

{\begin{aligned}{\mathfrak {so}}(3;1)\hookrightarrow {\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }&\cong \mathbf {A} _{\mathbb {C} }\oplus \mathbf {B} _{\mathbb {C} }\cong {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbb {C} }\oplus {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbb {C} }\\[5pt]&\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\\[5pt]&\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus i{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} }\hookleftarrow {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),\end{aligned}}

( A1 )

где комплексификация ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {su}}(2)\cong \mathbf {A} \cong \mathbf {B} .$

Полезность этих изоморфизмов исходит из того факта, что все неприводимые представления s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} , а следовательно, и все неприводимые комплексные линейные представления , известны. Неприводимое комплексное линейное представление изоморфно одному из представлений старшего веса . Они явно заданы в комплексных линейных представлениях ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ s l ( 2 , C ) . {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}

Унитарианский трюк [ править ]

Герман Вейль , изобретатель унитарного трюка . Есть несколько концепций и формул в теории представлений имени Вейля, например, группы Вейля и формулу символов Вейля .

Фото любезно предоставлено ETH-Bibliothek Zürich, Bildarchiv ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

Алгебра Ли - это алгебра Ли. Она содержит компактную подгруппу $SU (2) \times SU (2)$ с алгеброй Ли . Последняя представляет собой компактную вещественную форму группы Таким образом из первого утверждения унитарного трюка, представления группы $SU (2) \times SU (2)$ находятся во взаимно однозначном соответствии с голоморфными представлениями ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$ ${\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2).$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$

Из-за компактности теорема Питера – Вейля применима к $SU (2) \times SU (2)$ , ^[61] и, следовательно, можно апеллировать к ортонормированности неприводимых характеров . Неприводимые унитарные представления $SU (2) \times SU (2)$ - это в точности тензорные произведения неприводимых унитарных представлений $SU (2)$ . ^[62]

Апеллируя к простой связности, применяется второе утверждение унитарного трюка. Объекты в следующем списке находятся во взаимно однозначном соответствии:

Голоморфные представления ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$
Гладкие представления $SU (2) \times SU (2)$
Реальные линейные представления ${\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)$
Комплексные линейные представления ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

Тензорные произведения представлений появляются на уровне алгебры Ли как ^{[nb 12]}

{\begin{aligned}\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)&=\pi _{1}(X)\otimes \mathrm {Id} _{V}+\mathrm {Id} _{U}\otimes \pi _{2}(X)&&X\in {\mathfrak {g}}\\\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X,Y)&=\pi _{1}(X)\otimes \mathrm {Id} _{V}+\mathrm {Id} _{U}\otimes \pi _{2}(Y)&&(X,Y)\in {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}\end{aligned}}

( A0 )

где $Id$ - тождественный оператор. Здесь подразумевается последняя интерпретация, вытекающая из (G6) . Наибольший удельный вес представления индексируются $ц$ для $ц$ $= 0, 1/2, 1, ...$ . (Наивысшие веса на самом деле равны $2$ $μ$ $= 0, 1, 2, ...$ , но обозначения здесь адаптированы к обозначениям ) Тензорные произведения двух таких комплексных линейных множителей затем образуют неприводимые комплексные линейные представления ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {so}}(3;1).$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).$

Наконец, -линейные представления реальных форм крайнего левого, и крайнего правого, ^{[nb 13]} в (A1) получаются из -линейных представлений, охарактеризованных в предыдущем абзаце. $\mathbb {R}$ ${\mathfrak {so}}(3;1)$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ $\mathbb {C}$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

( Μ , ν ) -представления sl (2, C) [ править ]

Комплексные линейные представления комплексификации группы, полученные с помощью изоморфизмов в (A1) , находятся во взаимно однозначном соответствии с вещественными линейными представлениями из ^[63]. Таким образом, множество всех вещественных линейных неприводимых представлений группы индексируется парой $($ $μ$ $,$ $ν$ $)$ . Комплексные линейные представления, точно соответствующие комплексификации вещественных линейных представлений, имеют вид $($ $μ$ $, 0)$ , а сопряженные линейные представления - это $(0,$ $ν$ $)$ . ^[63] ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} },$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {su}}(2)$ Все остальные только линейные. Свойства линейности следуют из канонической инъекции, крайней правой в (A1) , в ее комплексификацию. Представления в виде $($ $ν$ $,$ $ν$ $)$ или $($ $μ$ $,$ $ν$ $) \oplus ($ $ν$ $,$ $μ$ $)$ задаются вещественными матрицами (последние не являются неприводимыми). Явное, реальная линейная $($ $μ$ $,$ $ν$ $)$ -представления являются ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

\varphi _{\mu ,\nu }(X)=\left(\varphi _{\mu }\otimes {\overline {\varphi _{\nu }}}\right)(X)=\varphi _{\mu }(X)\otimes \operatorname {Id} _{\nu +1}+\operatorname {Id} _{\mu +1}\otimes {\overline {\varphi _{\nu }(X)}},\qquad X\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )

где - комплексные линейные неприводимые представления и их комплексно сопряженные представления. (В математической литературе обычно используются обозначения $0, 1, 2,\dots$ , но здесь выбираются полуцелые числа, чтобы соответствовать разметке для алгебры Ли.) Здесь тензорное произведение интерпретируется в прежнем смысле (A0) . Эти представления конкретно реализуются ниже. $\varphi _{\mu },\mu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\overline {\varphi _{\nu }}},\nu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots$ ${\mathfrak {so}}(3,1)$

( M , n ) -представления so (3; 1) [ править ]

Посредством отображаемых изоморфизмов в (A1) и знания комплексных линейных неприводимых представлений при решении для $J$ и $K$ , получаются все неприводимые представления и, по ограничению, те из . Представления , полученные таким образом , являются реальными линейными (а не сложным или сопряженным линейными) , так как алгебра не замкнута на сопряжение, но они по - прежнему неприводимые. ^[60] Поскольку он полупрост , ^[60] все его представления могут быть построены как прямые суммы неприводимых. ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} },$ ${\mathfrak {so}}(3;1)$ ${\mathfrak {so}}(3;1)$ ${\mathfrak {so}}(3;1)$

Таким образом, конечномерные неприводимые представления алгебры Лоренца классифицируются упорядоченной парой полуцелых чисел $m = μ$ и $n = ν$ , которые условно записываются как одно из

(m,n)\equiv \pi _{(m,n)}:{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\mathfrak {gl}}(V),

где $V$ - конечномерное векторное пространство. Они, с точностью до преобразования подобия , однозначно задаются ^{[nb 14]}

{\begin{aligned}\pi _{(m,n)}(J_{i})&=J_{i}^{(m)}\otimes 1_{(2n+1)}+1_{(2m+1)}\otimes J_{i}^{(n)}\\\pi _{(m,n)}(K_{i})&=i\left(J_{i}^{(m)}\otimes 1_{(2n+1)}-1_{(2m+1)}\otimes J_{i}^{(n)}\right),\end{aligned}}

( A2 )

где $1 n$ - $n$ -мерная единичная матрица и

\mathbf {J} ^{(n)}=\left(J_{1}^{(n)},J_{2}^{(n)},J_{3}^{(n)}\right)

являются $(2 n + 1)$ -мерными неприводимыми представлениями s o ( 3 ) ≅ s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)} также называемых спиновых матриц или матриц углового момента . Они явно указаны как ^[64]

{\begin{aligned}\left(J_{1}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {(j-a)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}+{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a-1}\right)\\\left(J_{2}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt {(j-a)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}-{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a-1}\right)\\\left(J_{3}^{(j)}\right)_{a'a}&=a\delta _{a',a}\end{aligned}}

где $δ$ обозначает символ Кронекера . В компонентах, где $- m \leq a, a ' \leq m$ , $- n \leq b, b ' \leq n$ , представления даны в ^[65]

{\begin{aligned}\left(\pi _{(m,n)}\left(J_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}+\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}\\\left(\pi _{(m,n)}\left(K_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=i\left(\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}-\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}\right)\end{aligned}}

Общие представления [ править ]

Неприводимые представления для малых $(m, n)$ . Размер в скобках.
	$т = 0$	$1 / 2$	$1$	$3 / 2$
$п = 0$	Скалярный (1)	Левосторонний спинор Вейля (2)	Самодвойная 2-форма (3)	(4)
$1 / 2$	Правосторонний спинор Вейля (2)	4-вектор (4)	(6)	(8)
$1$	Анти-самодвойная 2-форма (3)	(6)	Бесследный симметричный тензор (9)	(12)
$3 / 2$	(4)	(8)	(12)	(16)

$(0, 0)$ представление является одномерным тривиальное представление и осуществляется с помощью релятивистских скалярных полей теорий.
Генераторы фермионной суперсимметрии преобразуются по одному из $(0, 1 / 2)$ или $(1 / 2, 0)$ представления (спиноры Вейля). ^[29]
Четыре импульса из частиц (либо безмассовых или массивных ) преобразуется в соответствии с $(1 / 2, 1 / 2)$ представление, четырехвекторное.
Физическим примером (1,1) бесследового симметричного тензорного поля является бесследная ^{[nb 15]} часть тензора энергии-импульса $T μν$ . ^[66]^{[№ 16]}

Внедиагональные прямые суммы [ править ]

Поскольку для любого неприводимого представления, для которого $m \neq n$ необходимо оперировать полем комплексных чисел , прямая сумма представлений $(m, n)$ и $(n, m)$ имеет особое отношение к физике, поскольку позволяет использовать линейные операторы над действительными числами .

$(1 / 2, 0) \oplus (0, 1 / 2)$ - биспинорное представление. См. Также спинор Дирака и спиноры и биспиноры Вейля ниже.
$(1, 1 / 2) \oplus (1 / 2, 1)$ - представление поля Рариты – Швингера .
$(3 / 2, 0) \oplus (0, 3 / 2)$ будет симметрией предполагаемого гравитино . ^{[nb 17]} Его можно получить из $(1, 1 / 2) \oplus (1 / 2, 1)$ представление. ^[67]
$(1, 0) \oplus (0, 1)$ является представлением инвариантного по четности поля 2-форм (также известного как форма кривизны ). В электромагнитных полях тензор преобразуется при этом представлении.

Группа [ править ]

Подход в этом разделе основан на теоремах, которые, в свою очередь, основаны на фундаментальном соответствии Ли . ^[68] Соответствие Ли - это, по сути, словарь между связными группами Ли и алгебрами Ли. ^[69] Связующим звеном между ними является экспоненциальное отображение алгебры Ли в группу Ли, обозначаемое $\exp :{\mathfrak {g}}\to G.$

Если для некоторого векторного пространства $V$ является представлением, представление $Π$ связной компоненты группы $G$ определяется формулой $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$

{\begin{aligned}\Pi (g=e^{iX})&\equiv e^{i\pi (X)},&&X\in {\mathfrak {g}},\quad g=e^{iX}\in \mathrm {im} (\exp ),\\\Pi (g=g_{1}g_{2}\cdots g_{n})&\equiv \Pi (g_{1})\Pi (g_{2})\cdots \Pi (g_{n}),&&g\notin \mathrm {im} (\exp ),\quad g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\in \mathrm {im} (\exp ).\end{aligned}}

( G2 )

Это определение применяется независимо от того, является ли полученное представление проективным или нет.

Сюръективность экспоненциального отображения для SO (3, 1) [ править ]

С практической точки зрения важно, можно ли использовать первую формулу в (G2) для всех элементов группы . Это верно для всех , однако в общем случае, например, для не все $g$ $\in$ $G$ находятся в образе $exp$ . $X\in {\mathfrak {g}}$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Но это сюръективны. Один из способов показать это - использовать изоморфизм, последний является группой Мёбиуса . Это частное от (см. Связанную статью). Факторная карта обозначается как Карта находится на. ^[70] Apply (Lie), где $π$ является дифференциалом $p$ в единице. потом $\exp :{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\text{SO}}(3;1)^{+}$ ${\text{SO}}(3;1)^{+}\cong {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} ),$ ${\text{GL}}(n,\mathbb {C} )$ $p:{\text{GL}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} ).$ $\exp :{\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )$

\forall X\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} ):\quad p(\exp(iX))=\exp(i\pi (X)).

Поскольку левая часть сюръективна (как $exp, так$ и $p$ ), правая часть сюръективна и, следовательно , сюръективна. ^[71] Наконец, повторите рассуждение еще раз, но теперь с известным изоморфизмом между $SO (3; 1)$ $+$ и найдите, что $exp$ есть для связной компоненты группы Лоренца. $\exp :{\mathfrak {pgl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$

Фундаментальная группа [ править ]

Группа Лоренца двусвязна , т. $Е. Π 1 (SO (3; 1))$ - это группа с двумя классами эквивалентности петель в качестве ее элементов.

Доказательство

Для того, чтобы демонстрировать фундаментальную группу из $SO (3: 1) +$ , топология ее покрывающей группы SL ( 2 , C ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )} считается. По теореме о полярном разложении любую матрицу можно однозначно выразить как ^[72] $\lambda \in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

\lambda =ue^{h},

где $U$ является унитарным с определителем один, следовательно , в $SU (2)$ , и $ч$ является эрмитовой с следом нуль. Условия следа и детерминанта подразумевают: ^[73]

{\begin{aligned}h&={\begin{pmatrix}c&a-ib\\a+ib&-c\end{pmatrix}}&&(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}\\[4pt]u&={\begin{pmatrix}d+ie&f+ig\\-f+ig&d-ie\end{pmatrix}}&&(d,e,f,g)\in \mathbb {R} ^{4}{\text{ subject to }}d^{2}+e^{2}+f^{2}+g^{2}=1.\\\end{aligned}}

Явно непрерывное взаимно однозначное отображение является гомеоморфизмом с непрерывным обратным, задаваемым формулой (геометрическое место $u$ отождествляется с ) $\mathbb {S} ^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}$

{\begin{cases}\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\\(r,s)\mapsto u(s)e^{h(r)}\end{cases}}

явно демонстрируя, что односвязно. Но где находится центр . Идентификация $λ$ и $-$ $λ$ равносильно отождествлению $u$ с $-$ $u$ , что, в свою очередь, сводится к определению точек противоположных точек на Таким образом топологически ^[73] ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SO}}(3;1)\cong {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\},$ $\{\pm I\}$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ $\mathbb {S} ^{3}.$

{\text{SO}}(3;1)\cong \mathbb {R} ^{3}\times (\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}),

где последний фактор не является односвязным: геометрически видно (для целей визуализации может быть заменен на ), что путь от $u$ до $-$ $u$ in является петлей, поскольку $u$ и $-$ $u$ являются противоположными точками, и что это не стягиваемый до точки. Но путь от $u$ к $-$ $u$ , затем снова к $u$ , петля in и двойная петля (учитывая, что $p$ $($ $ue$ $h$ $) =$ $p$ $(-$ $ue$ $h$ $)$ , где $\mathbb {S} ^{3}$ $\mathbb {S} ^{2}$ $SU(2)\cong \mathbb {S} ^{3}$ $\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}$ $\mathbb {S} ^{3}$ $p:{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)$ является накрытие) в том , что это стягивается в точку (непрерывно двигаться от $-$ $˙U$ «наверху» в и уменьшить путь там до точки $˙U$ ). ^[73] Таким образом , $π$ $1$ $(SO (3; 1))$ представляет собой группу с двумя классами эквивалентности петель как его элементов, или проще говоря, $SO (3; 1)$ является двусвязна . $\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}$ $\mathbb {S} ^{3}$

Проективные представления [ править ]

Поскольку $π 1 (SO (3; 1) +)$ имеет два элемента, некоторые представления алгебры Ли будут давать проективные представления . ^[74]^{[nb 18]} Как только становится известно, является ли представление проективным, формула (G2) применяется ко всем элементам группы и всем представлениям, включая проективные, - при том понимании, что представитель элемента группы будет зависеть от того, какой элемент в алгебре Ли ( $X$ в (G2) ) используется для представления группового элемента в стандартном представлении.

Для группы Лоренца $(m, n)$ -представление является проективным, когда $m + n$ является полуцелым числом. См. Раздел спиноры .

Для проективного представления $Π$ группы $SO (3; 1) +$ выполняется ^[73]

\left[\Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2})\Pi ^{-1}(\Lambda _{1}\Lambda _{2})\right]^{2}=1\Rightarrow \Pi (\Lambda _{1}\Lambda _{2})=\pm \Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2}),\quad \Lambda _{1},\Lambda _{2}\in \mathrm {SO} (3;1),

( G5 )

так как любой цикл в $SO (3; 1) +,$ пройденный дважды, из-за двойной связности, стягиваем до точки, так что его гомотопический класс является классом постоянного отображения. Отсюда следует , что $Π$ является двузначной функцией. Невозможно последовательно выбрать знак для получения непрерывного представления всего $SO (3; 1) +$ , но это возможно локально вокруг любой точки. ^[33]

Накрывающая группа SL (2, C) [ править ]

Рассмотрим как вещественную алгебру Ли с базисом ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\sigma _{1},{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sigma _{2},{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sigma _{3},{\frac {i}{\sqrt {2}}}\sigma _{1},{\frac {i}{\sqrt {2}}}\sigma _{2},{\frac {i}{\sqrt {2}}}\sigma _{3}\right)\equiv (j_{1},j_{2},j_{3},k_{1},k_{2},k_{3}),

где сигмы - матрицы Паули . От отношений

[\sigma _{i},\sigma _{j}]=2i\epsilon _{ijk}\sigma _{k}

( J1 )

получается

[j_{i},j_{j}]=i\epsilon _{ijk}j_{k},\quad [j_{i},k_{j}]=i\epsilon _{ijk}k_{k},\quad [k_{i},k_{j}]=-i\epsilon _{ijk}j_{k},

( J2 )

которые в точности повторяют форму $3-$ мерной версии коммутационных соотношений для (см. соглашения и основы алгебры Ли ниже). Таким образом, отображение $J$ $i$ $\leftrightarrow$ $j$ $i$ , $K$ $i$ $\leftrightarrow$ $k$ $i$ , расширенное по линейности, является изоморфизмом. Так как односвязен, это универсальная накрывающая группа из $SO (3; 1)$ $+$ . ${\mathfrak {so}}(3;1)$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Подробнее о накрывающих группах в целом и о накрытии группы Лоренца в частности

{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )

Геометрический вид [ править ]

Е.П. Вигнер глубоко исследовал группу Лоренца и известен уравнениями Баргмана-Вигнера . Приведенная здесь реализация покрывающей группы взята из его статьи 1939 года.

Пусть $p g (t), 0 \leq t \leq 1,$ путь от $1 \in SO (3; 1) +$ до $g \in SO (3; 1) +$ , обозначим его гомотопический класс через $[p g]$ и пусть $π g$ будет множество всех таких гомотопических классов. Определить набор

G=\{(g,[p_{g}]):g\in \mathrm {SO} (3;1)^{+},[p_{g}]\in \pi _{g}\}

( C1 )

и наделим его операцией умножения

(g_{1},[p_{1}])(g_{2},[p_{2}])=(g_{1}g_{2},[p_{12}]),

( C2 )

где - путь, умноженный на и : $p_{12}$ $p_{1}$ $p_{2}$

p_{12}(t)=(p_{1}*p_{2})(t)={\begin{cases}p_{1}(2t)&0\leqslant t\leqslant {\tfrac {1}{2}}\\p_{2}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

Благодаря этому умножению $G$ становится группой, изоморфной ^[75] универсальной накрывающей группе $SO (3; 1)$ $+$ . Поскольку каждое $π$ $g$ состоит из двух элементов, по построенной выше конструкции существует покрывающее отображение $p$ $:$ $G$ $\to SO (3; 1)$ $+$ 2: 1 . Согласно теории накрывающих групп все алгебры Ли и группы $G$ изоморфны. Покрывающее отображение $p$ $:$ $G$ $\to SO (3; 1)$ $+$ просто задается формулой $p$ $($ $g$ $, [$ $p$ $g$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),$ ${\mathfrak {so}}(3;1),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {g}}$ $]) = g$ .

Алгебраический взгляд [ править ]

Для алгебраического представления универсальной накрывающей группы, пусть действует на множестве всех эрмитовых матриц 2 × 2 операцией ^[73] ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {h}}$

{\begin{cases}\mathbf {P} (A):{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}\\X\mapsto A^{\dagger }XA\end{cases}}\qquad A\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )

( C3 )

Действие по линейному. Элемент может быть записан в виде ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}$

X={\begin{pmatrix}\xi _{4}+\xi _{3}&\xi _{1}+i\xi _{2}\\\xi _{1}-i\xi _{2}&\xi _{4}-\xi _{3}\\\end{pmatrix}}\qquad \xi _{1},\ldots ,\xi _{4}\in \mathbb {R} .

( C4 )

Отображение $P$ является гомоморфизмом группы в Таким образом, является 4-мерным представлением . Его ядро должно, в частности, брать в себя единичную матрицу, $A$ $†$ $IA$ $=$ $A$ $†$ $A$ $=$ $I$ и, следовательно, $A$ $†$ $=$ $A$ $-1$ . Таким образом , $AX$ $=$ $XA$ , для $А$ в ядре Так, по лемме Шура , ^{[NB 19]} кратно идентичности, которая должна быть $\pm$ $I$ , так как $Det$ $= 1$ . ^[76] ${\text{GL}}({\mathfrak {h}})\subset {\text{End}}({\mathfrak {h}}).$ $\mathbf {P} :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}({\mathfrak {h}})$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ Пространство отображается в пространство Минковского $M$ $4$ через ${\mathfrak {h}}$

X=(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4})\leftrightarrow {\overrightarrow {(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4})}}=(x,y,z,t)={\overrightarrow {X}}.

( C5 )

Действие $P (A)$ на сохраняющие определители. Индуцированное представление $p$ группы on с помощью указанного выше изоморфизма, задаваемого формулой ${\mathfrak {h}}$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ $\mathbb {R} ^{4},$

\mathbf {p} (A){\overrightarrow {X}}={\overrightarrow {AXA^{\dagger }}}

( C6 )

сохраняет внутренний продукт Лоренца, поскольку

-\det X=\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}-\xi _{4}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}.

Это означает, что $p (A)$ принадлежит полной группе Лоренца $SO (3; 1)$ . По основной теореме о связности , поскольку связно, его образ под $p$ в $SO (3; 1)$ связен и, следовательно, содержится в $SO (3; 1)$ $+$ . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Можно показать , что отображение Ли из алгебры Ли изоморфизм: ^{[нб 20]} Карта $P$ также на. ^{[№ 21]} $\mathbf {p} :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)^{+},$ $\pi :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\mathfrak {so}}(3;1).$

Таким образом , так как он просто подключается, является универсальной накрывающей группой $SO (3; 1)$ $+$ , изоморфна группе $G$ из выше. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Несюръективность экспоненциального отображения для SL (2, C) [ править ]

На этой диаграмме показана сеть карт, обсуждаемых в тексте. Здесь

V

- конечномерное векторное пространство, несущее представления и - экспоненциальное отображение,

p

- накрывающее отображение из на

SO (3; 1)

+,

а

σ

- индуцированный им изоморфизм алгебры Ли. Отображения

Π,

π

и два

Φ

являются представлениями. картина лишь частично верно , когда

Π

проективно.

{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {so}}(3;1),

{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )

{\text{SO}}(3;1)^{+}.

\exp

{\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),

Экспоненциальное отображение не включено. ^[77] Матрица $\exp :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

q={\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\\\end{pmatrix}}

( S6 )

есть, но не существует такого, что $q$ $= exp ($ $Q$ $)$ . ^{[№ 22]} ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),$ $Q\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

В общем, если $г$ является элементом связной группы Ли $G$ с алгеброй Ли тогда, по (Ли) , ${\mathfrak {g}},$

g=\exp(X_{1})\cdots \exp(X_{n}),\qquad X_{1},\ldots X_{n}\in {\mathfrak {g}}.

( S7 )

Матрицу $q$ можно записать

{\begin{aligned}\exp(-X)\exp(i\pi H)&=\exp \left({\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\\\end{pmatrix}}\right)\exp \left(i\pi {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\right)\\[6pt]&={\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\\[6pt]&={\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\\\end{pmatrix}}=q.\end{aligned}}

( S8 )

Реализация представлений $SL (2, C)$ и $sl (2, C)$ и их алгебр Ли [ править ]

Сложные линейные представления и получить проще, чем представления. Их можно (и обычно) записать с нуля. Представления голоморфных групп (что означает, что соответствующее представление алгебры Ли комплексно линейно) связаны с представлениями комплексной линейной алгебры Ли возведением в степень. Вещественные линейные представления - это в точности $($ $μ$ $,$ $ν$ $)$ -представления. Их тоже можно возводить в степень. $($ $Μ$ $, 0)$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {so}}(3;1)^{+}$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ -представления комплексно линейны и (изоморфны) представлениям со старшим весом. Обычно они индексируются только одним целым числом (но здесь используются полуцелые числа).

В этом разделе для удобства используется математическое соглашение. Элементы алгебры Ли различаются в $i$ раз, $и$ в экспоненциальном отображении нет множителя $i$ по сравнению с физическим соглашением, используемым в других местах. Пусть в основе будет ^[78] ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}},\quad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}},\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\\end{pmatrix}}.

( S1 )

Такой выбор базиса и обозначений является стандартным в математической литературе.

Сложные линейные представления [ править ]

Неприводимое голоморфное $(п + 1)$ -мерных представление может быть реализовано на пространстве однородного многочлена от степени $п$ в 2 -х переменных ^[79]^[80] , элементы которых являются ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),n\geqslant 2,$ $\mathbf {P} _{n}^{2},$

P{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=c_{n}z_{1}^{n}+c_{n-1}z_{1}^{n-1}z_{2}+\cdots +c_{0}z_{2}^{n},\quad c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {Z} .

Действие дается формулой ^[81]^[82] ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

(\phi _{n}(g)P){\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=\left[\phi _{n}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}P\right]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=P\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}\right),\qquad P\in \mathbf {P} _{n}^{2}.

( S2 )

Соответствующее -действие, используя (G6) и определение выше, для базисных элементов ^[83] ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$

\phi _{n}(H)=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}+z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}},\quad \phi _{n}(X)=-z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\quad \phi _{n}(Y)=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}.

( S5 )

При выборе базиса эти представления становятся матричными алгебрами Ли. $P\in \mathbf {P} _{n}^{2}$

Реальные линейные представления [ править ]

В $(М, ν)$ -представления реализуется на пространстве полиномов в однородной степени $ц$ в и однородной степени $v$ , в ^[80] Представления даются ^[84] $\mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}$ $z_{1},{\overline {z_{1}}},z_{2},{\overline {z_{2}}},$ $z_{1},z_{2}$ ${\overline {z_{1}}},{\overline {z_{2}}}.$

(\phi _{\mu ,\nu }(g)P){\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=\left[\phi _{\mu ,\nu }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}P\right]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=P\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}\right),\quad P\in \mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}.

( S6 )

Снова используя (G6) , находим, что

{\begin{aligned}\phi _{\mu ,\nu }(E)P=&-{\frac {\partial P}{\partial z_{1}}}\left(E_{11}z_{1}+E_{12}z_{2}\right)-{\frac {\partial P}{\partial z_{2}}}\left(E_{21}z_{1}+E_{22}z_{2}\right)\\&-{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{1}}}}}\left({\overline {E_{11}}}{\overline {z_{1}}}+{\overline {E_{12}}}{\overline {z_{2}}}\right)-{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{2}}}}}\left({\overline {E_{21}}}{\overline {z_{1}}}+{\overline {E_{22}}}{\overline {z_{2}}}\right)\end{aligned}},\quad E\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} ).

( S7 )

В частности, для базовых элементов,

{\begin{aligned}\phi _{\mu ,\nu }(H)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}+z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}-{\overline {z_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1}}}}}+{\overline {z_{2}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{2}}}}}\\\phi _{\mu ,\nu }(X)&=-z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1}}}}}\\\phi _{\mu ,\nu }(Y)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}-{\overline {z_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{2}}}}}\end{aligned}}

( S8 )

Свойства представлений ( m , n ) [ править ]

В $(м, п)$ представления, определенные выше , с помощью (А1) (как ограничения на вещественную форму ) тензорных произведения неприводимых комплексных линейных представлений $π$ $т$ $=$ $μ$ и $π$ $п$ $=$ $v$ , из неприводимы, и они являются единственным неприводимыми представлениями . ^[61] ${\mathfrak {sl}}(3,1)$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$

Неприводимость следует из унитарного приема ^[85] и того, что представление $Π$ группы $SU (2) \times SU (2)$ неприводимо тогда и только тогда, когда $Π = Π μ \otimes Π ν$ , ^{[nb 23],} где $Π μ, Π ν$ неприводимы. представления $SU (2)$ .
Единственность следует из того, что $Π m$ - единственные неприводимые представления $SU (2)$ , что является одним из выводов теоремы о старшем весе. ^[86]

Размер [ править ]

В $(т, п)$ представления $(2 м + 1) , (2 п + 1)$ -мерном. ^[87] Это легче всего следует из подсчета измерений в любой конкретной реализации, такой как та, которая дана в представлениях и SL ( 2 , C ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )} s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} . Для общей алгебры Ли размерности формула Вейля , ^[88] ${\mathfrak {g}}$

\dim \pi _{\rho }={\frac {\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\rho +\delta \rangle }{\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\delta \rangle }},

применяется, где $R +$ - множество положительных корней, $ρ$ - старший вес, а $δ$ - половина суммы положительных корней. Скалярное произведение является то , что алгебры Ли , инвариантных относительно действия группы Вейля на в подалгебры Картана . Корни (на самом деле элементы из этого внутреннего продукта отождествляются с элементами For формула сводится к $dim$ $π$ $μ$ $= 2$ $μ$ $+ 1 = 2$ $m$ $+ 1$ , где необходимо учитывать нынешнее обозначение . Наивысший вес равен $2$ $μ$ . $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\mathfrak {g}},$ ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}},$ ${\mathfrak {h}}^{*}$ ${\mathfrak {h}}.$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ ^[89] Результат следует из тензорных произведений.

Верность [ править ]

Если представление $Π$ группы Ли $G$ неточно, то $N = ker Π$ - нетривиальная нормальная подгруппа. ^[90] Есть три соответствующих случая.

$N$ недискретно и абелева .
$N$ недискретно и неабелева.
$N$ дискретный. В этом случае $N \subset Z$ , где $Z$ является центром $G$ . ^{[№ 24]}

В случае $SO (3; 1) +$ первый случай исключен, поскольку $SO (3; 1) +$ полупростой. ^{[nb 25]} Второй случай (и первый случай) исключен, потому что $SO (3; 1) +$ прост. ^{[nb 26]} В третьем случае $SO (3; 1) +$ изоморфен факторпространству, но является его центром. Отсюда следует, что центр $SO (3; 1)$ $+$ тривиален, и это исключает третий случай. Вывод состоит в том, что каждое представление $Π: SO (3; 1)$ $+$ $\to GL ($ $V$ $)$ и каждое проективное представление $Π: SO (3; 1)$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}.$ $\{\pm I\}$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$ $+ \to PGL (W)$ для $V, W$ конечномерных векторных пространств точны.

Используя фундаментальное соответствие Ли, приведенные выше утверждения и рассуждения переносятся непосредственно на алгебры Ли с (абелевыми) нетривиальными недискретными нормальными подгруппами, замененными (одномерными) нетривиальными идеалами в алгебре Ли, ^[91] и центром $SO (3; 1) +$ заменяются центром в центре любой полупростой алгебры Ли тривиально ^[92] и полупрост и простой, и , следовательно , не имеют нетривиальных идеалов. ${\mathfrak {sl}}(3;1)^{+}$ ${\mathfrak {so}}(3;1)$

Связанный с этим факт состоит в том, что если соответствующее представление является точным, то это представление проективно. И наоборот, если представление непроективно, то соответствующее представление не является точным, но имеет $соотношение 2: 1$ . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Неунитарность [ править ]

Представление $(m, n)$ алгебры Ли не эрмитово . Соответственно, соответствующее (проективное) представление группы никогда не бывает унитарным . ^{[nb 27]} Это связано с некомпактностью группы Лоренца. На самом деле связная простая некомпактная группа Ли не может иметь никаких нетривиальных унитарных конечномерных представлений. ^[33] Этому есть топологическое доказательство. ^[93] Пусть $u : G \to GL (V)$ , где $V$ конечномерно, непрерывное унитарное представление некомпактной связной группы Ли простого $G$ . Тогда $U (G) \subset U (V) \subset GL (V)$ , где $V (V)$ является компактной подгруппой $GL (V)$ , состоящее из унитарных преобразований $V$ . Ядро из $U$ является нормальной подгруппой в $G$ . Поскольку $G$ проста, $ker u$ либо все из $G$ , и в этом случае $u$ тривиально, либо $кег у$ тривиальна, и в этом случае $у$ является верным . В последнем случае $u$ - диффеоморфизм на свой образ, ^[94] $u (G) ≅ G$ и $u (G)$ группа Ли. Это означало бы , что $у (G)$ является встроенной некомпактная подгруппа Ли компактной группы $U (V)$ . Это невозможно с топологией подпространств на $u (G) \subset U (V),$ поскольку все вложенныеПодгруппы Ли группы Ли замкнуты ^[95]. Если бы $u (G)$ была замкнутой, она была бы компактной ^{[nb 28],} а затем $G$ была бы компактной ^{[nb 29]} вопреки предположению. ^{[№ 30]}

В случае группы Лоренца это также видно непосредственно из определений. Представления $A$ и $B,$ использованные при построении, эрмитовы. Это означает, что $J$ - эрмитовский, а $K$ - антиэрмитовский . ^[96] Неунитарность не является проблемой в квантовой теории поля, поскольку рассматриваемые объекты не обязаны иметь лоренц-инвариантную положительно определенную норму. ^[97]

Ограничение SO (3) [ править ]

Однако представление $(m, n)$ унитарно, когда оно ограничено подгруппой вращения $SO (3)$ , но эти представления не являются неприводимыми как представления группы SO (3). Разложение Клебша-Гордана может быть применен , показывающий , что $(т, п)$ представление есть $SO (3)$ инвариантные подпространства старшего веса (спин) $м + п, т + п - 1, ..., | м - п |$ , ^[98]где каждый возможный наивысший вес (спин) встречается ровно один раз. Весовое подпространство старшего веса (спина) $j$ является $(2 j + 1)$ -мерным. Так, например, (1/2, 1/2) представление имеет подпространства спина 1 и спина 0 размерности 3 и 1 соответственно.

Поскольку оператор углового момента задается формулой $J = A + B$ , наивысший спин в квантовой механике под-представления вращения будет $(m + n) ℏ,$ а «обычные» правила сложения угловых моментов и формализм 3 -j символы , 6-J символы и т.д. применяются. ^[99]

Спиноры [ править ]

Именно $SO (3)$ -инвариантные подпространства неприводимых представлений определяют, имеет ли представление спин. Из предыдущего абзаца видно, что представление $(m, n)$ имеет спин, если $m + n$ является полуцелым. Самыми простыми являются $(1 / 2, 0)$ и $(0, 1 / 2)$ , спиноры Вейля размерности $2$ . Тогда, например, $(0, 3 / 2)$ и $(1, 1 / 2)$ представляют собой спиновые представления размерности $2 3 / 2 + 1 = 4$ и $(2 + 1) (2 1 / 2 + 1) = 6$ соответственно. Согласно предыдущему абзацу, существуют подпространства со спином как $3 / 2$ а также $1 / 2$ в последних двух случаях, поэтому эти представления не могут, вероятно, представлять одну физическую частицу, которая должна хорошо себя вести при $SO (3)$ . Однако в целом нельзя исключить, что представления с несколькими подпредставлениями $SO (3)$ с различным спином могут представлять физические частицы с четко определенным спином. Возможно, существует подходящее релятивистское волновое уравнение, которое проецирует нефизические компоненты , оставляя только один спин. ^[100]

Построение чистого спина $п / 2$ представление для любого $n$ (при $SO (3)$ ) из неприводимых представлений включает в себя взятие тензорных произведений представления Дирака на неспиновое представление, выделение подходящего подпространства и, наконец, наложение дифференциальных ограничений. ^[101]

Двойные представления [ править ]

Корневая система

1

\times

1

из

{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).

Следующие теоремы применяются для проверки того, изоморфно ли дуальное представление неприводимого представления исходному представлению:

Множество весов в двойственном представлении неприводимого представления полупростой алгебры Ли, с учетом кратности, отрицательному множество весов для исходного представления. ^[102]
Два неприводимых представления изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый старший вес . ^{[№ 31]}
Для каждой полупростой алгебры Ли существует единственный элемент $w 0$ группы Вейля такой, что если $μ$ - доминантный целочисленный вес, то $w 0 \cdot (- μ)$ снова является доминантным целым весом. ^[103]
Если - неприводимое представление со старшим весом $μ$ $0$ , то имеет старший вес $w$ $0$ $\cdot (-$ $μ$ $)$ . ^[103] $\pi _{\mu _{0}}$ $\pi _{\mu _{0}}^{*}$

Здесь элементы группы Вейля рассматриваются как ортогональные преобразования, действующие путем умножения матриц на вещественное векторное пространство корней . Если $- I$ является элементом группы Вейля полупростой алгебры Ли, то $ш 0 = - я$ . В случае группы Вейля $W$ $= {$ $I$ $, -$ $I$ $}$ . ^[104] Отсюда следует, что каждое $π$ $µ$ $,$ $µ$ $= 0, 1,\dots$ изоморфно своему двойственному . Корневая система для показана на рисунке справа. ^{[№ 32]} ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ $\pi _{\mu }^{*}.$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ Группа Вейля порождается , где это отражение в плоскости ортогональной к $γ$ , как $γ$ пробегает все корни. ^{[NB 33]} показывает , что Inspection $ш$ $& alpha$ $; \cdot$ $ш$ $β$ $= -$ $я$ так $-$ $я$ $\in$ $Вт$ . Используя тот факт, что если $π$ $,$ $σ$ - представления алгебры Ли и $π$ $≅$ $σ$ , то $Π ≅ Σ$ , ^[105] вывод для $SO (3; 1)$ $+ следующий$ : $\{w_{\gamma }\}$ $w_{\gamma }$

\pi _{m,n}^{*}\cong \pi _{m,n},\quad \Pi _{m,n}^{*}\cong \Pi _{m,n},\quad 2m,2n\in \mathbf {N} .

Комплексно-сопряженные представления [ править ]

Если $π$ является представлением алгебры Ли, то это представление, где черта обозначает поэлементное комплексное сопряжение в репрезентативных матрицах. Это следует из того, что комплексное сопряжение коммутирует со сложением и умножением. ^[106] В общем, любое неприводимое представление $π$ группы можно однозначно записать как $π = π$ $+$ $+ π$ $-$ , где ^[107] ${\overline {\pi }}$ ${\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )$

\pi ^{\pm }(X)={\frac {1}{2}}\left(\pi (X)\pm i\pi \left(i^{-1}X\right)\right),

с голоморфными (комплексно линейными) и антиголоморфными (сопряженными линейными). Ибо, поскольку голоморфен, антиголоморфен. Непосредственное рассмотрение явных выражений для и в уравнении (S8) ниже показывает, что они голоморфны и антиголоморфны соответственно. Более внимательное рассмотрение выражения (S8) также позволяет для идентификации и для , как $\pi ^{+}$ $\pi ^{-}$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ $\pi _{\mu }$ ${\overline {\pi _{\mu }}}$ $\pi _{\mu ,0}$ $\pi _{0,\nu }$ $\pi ^{+}$ $\pi ^{-}$ $\pi _{\mu ,\nu }$

\pi _{\mu ,\nu }^{+}=\pi _{\mu }^{\oplus _{\nu +1}},\qquad \pi _{\mu ,\nu }^{-}={\overline {\pi _{\nu }^{\oplus _{\mu +1}}}}.

Используя приведенные выше тождества (интерпретируемые как поточечное сложение функций), для $SO (3; 1) +$ получаем

{\begin{aligned}{\overline {\pi _{m,n}}}&={\overline {\pi _{m,n}^{+}+\pi _{m,n}^{-}}}={\overline {\pi _{m}^{\oplus _{2n+1}}}}+{\overline {{\overline {\pi _{n}}}^{\oplus _{2m+1}}}}\\&=\pi _{n}^{\oplus _{2m+1}}+{\overline {\pi _{m}}}^{\oplus _{2n+1}}=\pi _{n,m}^{+}+\pi _{n,m}^{-}=\pi _{n,m}\\&&&2m,2n\in \mathbb {N} \\{\overline {\Pi _{m,n}}}&=\Pi _{n,m}\end{aligned}}

где утверждение для представлений групп следует из $exp (X)$ = $exp (X)$ . Отсюда следует, что неприводимые представления $(m, n)$ имеют вещественные матричные представители тогда и только тогда, когда $m = n$ . Приводимые представления вида $(m, n) \oplus (n, m)$ тоже имеют вещественные матрицы.

Присоединенное представление, алгебра Клиффорда и спинорное представление Дирака [ править ]

Ричард Брауэр и его жена Ильзе 1970. Брауэр обобщил спиновые представления алгебр Ли, находящихся внутри алгебр Клиффорда, на спин выше, чем12.

Фото любезно предоставлено MFO.

В общей теории представлений, если $(π, V)$ - представление алгебры Ли, то существует ассоциированное представление алгебры Ли на $End$ $($ $V$ $)$ , также обозначаемое $π$ , задаваемое формулой ${\mathfrak {g}},$ ${\mathfrak {g}},$

\pi (X)(A)=[\pi (X),A],\qquad A\in \operatorname {End} (V),\ X\in {\mathfrak {g}}.

( I1 )

Аналогично, представление $(Π, V)$ группы $G$ порождает представление $Π$ на $End (V)$ группы $G$ , все еще обозначаемое $Π$ , заданное формулой ^[108]

\Pi (g)(A)=\Pi (g)A\Pi (g)^{-1},\qquad A\in \operatorname {End} (V),\ g\in G.

( I2 )

Если $π$ и $Π$ являются стандартными представлениями о и , если действие ограничено , то два выше представления являются присоединенное представление алгебры Ли и присоединенное представление группы соответственно. Соответствующие представления (некоторые или ) всегда существуют для любой матричной группы Ли и имеют первостепенное значение для исследования теории представлений в целом и для любой данной группы Ли в частности. $\mathbb {R} ^{4}$ ${\mathfrak {so}}(3,1)\subset {\text{End}}(\mathbb {R} ^{4}),$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$

Применяя это к группе Лоренца, если $(Π, V)$ является проективным представлением, то прямое вычисление с использованием (G5) показывает, что индуцированное представление на $End (V)$ является правильным представлением, то есть представлением без фазовых факторов.

В квантовой механике это означает , что если $(π, Н)$ или $(Π, H)$ является представление , действующее на некотором гильбертовом пространстве $Н$ , то соответствующее индуцированное представление действует на множестве линейных операторов на $Н$ . Например, индуцированное представление проективного спина $(1 / 2, 0) \oplus (0, 1 / 2)$ представление на $End (H)$ - это непроективный 4-вектор (1/2, 1/2) представление. ^[109]

Для простоты рассмотрим только «дискретную часть» $End (H)$ , то есть заданную основу для $H$ , набор постоянных матриц различной размерности, включая, возможно, бесконечные измерения. Вышеупомянутое индуцированное 4-векторное представление на этом упрощенном $End (H)$ имеет инвариантное 4-мерное подпространство, которое натянуто на четыре гамма-матрицы . ^[110] (Метрическое соглашение отличается в связанной статье.) Соответствующим образом полная алгебра Клиффорда пространства-времени , комплексификация которой порождается гамма-матрицами, распадается как прямая сумма пространств представлений ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} ),$ ${\text{M}}(4,\mathbb {C} ),$ скалярное неприводимое представление (репарация), $(0, 0)$ , псевдоскаляр , а также $(0, 0)$ , но с собственным значением инверсии четности $-1$ , см. следующий раздел ниже, уже упомянутый вектор ирр, $(1 / 2, 1 / 2)$ , псевдовектор иреп, $(1 / 2, 1 / 2)$ с собственным значением обращения четности +1 (не −1) и тензорным преобразованием, $(1, 0) \oplus (0, 1)$ . ^[111] Сумма размеров составляет $1 + 1 + 4 + 4 + 6 = 16$ . Другими словами,

{\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )=(0,0)\oplus \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)\oplus [(1,0)\oplus (0,1)]\oplus \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)_{p}\oplus (0,0)_{p},

( I3 )

где, как это принято , представление путают с его пространством представления.

$(1 / 2, 0) \oplus (0, 1 / 2)$ представление спина [ править ]

Шестимерное пространство представления тензорного $(1, 0) \oplus (0, 1)$ -представления внутри играет две роли. ^[112] ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$

\sigma ^{\mu \nu }=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right],

( I4 )

где - гамма-матрицы, сигмы, только $6$ из которых ненулевые из-за антисимметрии скобки, охватывают пространство тензорного представления. Более того, они обладают коммутационными соотношениями алгебры Лоренца Ли, ^[113] $\gamma ^{0},\ldots ,\gamma ^{3}\in {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$

\left[\sigma ^{\mu \nu },\sigma ^{\rho \tau }\right]=i\left(\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \tau }\right),

( I5 )

и , следовательно , представляет собой представление (в дополнении к затягивающей представление пространства) сидит внутри $($ ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} ),$ $1 / 2, 0) \oplus (0, 1 / 2)$ спиновое представление. Подробнее см. Биспинор и алгебра Дирака .

Вывод состоит в том, что каждый элемент комплексифицированного в $End ($ $H$ $)$ (т.е. каждая комплексная матрица 4 × 4 ) имеет хорошо определенные свойства преобразования Лоренца. Кроме того, у него есть спин-представление алгебры Лоренца, которое после возведения в степень становится спиновым представлением группы, действуя, делая ее пространством биспиноров. ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$ $\mathbb {C} ^{4},$

Приводимые представления [ править ]

Существует множество других представлений, которые можно вывести из неприводимых, например, полученные путем взятия прямых сумм, тензорных произведений и частных неприводимых представлений. Другие методы получения представлений включают ограничение представления большей группы, содержащей группу Лоренца, например, и группу Пуанкаре. Эти представления, вообще говоря, не являются неприводимыми. ${\text{GL}}(n,\mathbb {R} )$

Группа Лоренца и ее алгебра Ли обладают свойством полной приводимости . Это означает, что каждое представление сводится к прямой сумме неприводимых представлений. Поэтому приводимые представления не обсуждаются.

Инверсия пространства и обращение времени [ править ]

(Возможно, проективное) $(m, n)$ представление неприводимо как представление $SO (3; 1) +$ , тождественный компонент группы Лоренца, в терминологии физики собственно ортохронной группы Лоренца. Если $m = n,$ его можно расширить до представления всей $O (3; 1)$ , полной группы Лоренца, включая обращение пространственной четности и обращение времени . Аналогичным образом могут быть расширены представления $(m, n) \oplus (n, m)$ . ^[114]

Инверсия пространственной четности [ править ]

Для обращения пространственной четности рассматривается присоединенное действие $Ad P$ группы $P \in SO (3; 1)$ на , где $P$ - стандартный представитель обращения пространственной четности, $P$ $= diag (1, -1, -1, -1)$ , дано ${\mathfrak {so}}(3;1)$

\mathrm {Ad} _{P}(J_{i})=PJ_{i}P^{-1}=J_{i},\qquad \mathrm {Ad} _{P}(K_{i})=PK_{i}P^{-1}=-K_{i}.

( F1 )

Именно эти свойства $K$ и $J$ в соответствии с $P$ , побуждающие термины вектор для $K$ и псевдовектора или аксиального вектора для $J$ . Аналогичным образом, если $π$ - любое представление группы, а $Π$ - представление ассоциированной группы, то $Π (SO (3; 1)$ $+$ $)$ действует на представление группы $π$ присоединенным действием, $π$ $($ $X$ $) \mapsto Π ($ $g$ $)$ $π$ $($ $X$ $) Π ($ $g$ $)$ $-1$ ${\mathfrak {so}}(3;1)$ для $g \in SO (3; 1)$ $+$ . Если $P$ должно быть включено в $Π$ , то согласованность с (F1) требует, чтобы $X\in {\mathfrak {so}}(3;1),$

\Pi (P)\pi (B_{i})\Pi (P)^{-1}=\pi (A_{i})

( F2 )

где $A$ и $B$ определены, как в первом разделе. Это может иметь место, только если $A i$ и $B i$ имеют одинаковые размеры, т.е. только если $m = n$ . Когда $m \neq n,$ то $(m, n) \oplus (n, m)$ может быть расширено до неприводимого представления $SO (3; 1) +$ , ортохронной группы Лоренца. Представитель обращения четности $Π (P)$ не приходит автоматически с общей конструкцией $(m, n)$ представления. Его нужно указывать отдельно. Матрица $β = i γ 0$ (или кратная ей по модулю −1) может использоваться в $(1 / 2, 0) \oplus (0, 1 / 2)$ ^[115] представление.

Если четность включена со знаком минус ( матрица $1 \times 1$ $[-1]$ ) в представление $(0,0)$ , это называется псевдоскалярным представлением.

Обратное время [ править ]

Обращение времени $T = diag (-1, 1, 1, 1)$ действует аналогично согласно ^[116] ${\mathfrak {so}}(3;1)$

\mathrm {Ad} _{T}(J_{i})=TJ_{i}T^{-1}=-J_{i},\qquad \mathrm {Ad} _{T}(K_{i})=TK_{i}T^{-1}=K_{i}.

( F3 )

Путем явного включения представителя для $T$ , а также для $P$ , получается представление полной группы Лоренца $O (3; 1)$ . Однако в применении к физике, в частности квантовой механике, возникает тонкая проблема. При рассмотрении полной группы Пуанкаре еще четыре образующих, $P μ$ , в дополнение к $J i$ и $K i,$ порождают группу. Они интерпретируются как генераторы переводов. Время компонента $Р 0$ представляет собой гамильтониан $Н$ . Оператор $T$ удовлетворяет соотношению ^[117]

\mathrm {Ad} _{T}(iH)=TiHT^{-1}=-iH

( F4 )

аналогично приведенным выше соотношениям с заменой на полную алгебру Пуанкаре . Если просто отбросить $i$ , результат $THT$ $-1$ $= -$ $H$ будет означать, что для каждого состояния $Ψ$ с положительной энергией $E$ в гильбертовом пространстве квантовых состояний с инвариантностью относительно обращения времени будет состояние $Π ($ $T$ $-1$ $) Ψ$ с отрицательной энергией $-$ $E$ . Таких государств не существует. Таким образом, оператор $Π ($ $T$ $)$ выбран антилинейным и антиунитарным , так что он антикоммутирует ${\mathfrak {so}}(3;1)$ с $i$ , в результате чего $THT -1 = H$ , и его действие в гильбертовом пространстве также становится антилинейным и антиунитарным. ^[118] Это может быть выражено как композиция комплексного сопряжения с умножением на унитарную матрицу. ^[119] Это математически корректно, см . Теорему Вигнера , но с очень строгими требованиями к терминологии $Π$ не является представлением .

При построении теорий, таких как КЭД, которые инвариантны относительно четности пространства и обращения времени, можно использовать спиноры Дирака, в то время как теории, которые этого не делают, такие как электрослабая сила , должны быть сформулированы в терминах спиноров Вейля. Представление Дирака, (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) обычно учитывают как пространственную четность, так и инверсию времени. Без обращения пространственной четности это не является неприводимым представлением.

Третья дискретная симметрия, входящая в теорему CPT вместе с $P$ и $T$ , симметрия зарядового сопряжения $C$ , не имеет прямого отношения к лоренц-инвариантности. ^[120]

Действия с функциональными пространствами [ править ]

Если $V$ - векторное пространство функций конечного числа переменных $n$ , то действие на скалярную функцию задается формулой $f\in V$

(\Pi (g)f)(x)=f\left(\Pi _{x}(g)^{-1}x\right),\qquad x\in \mathbb {R} ^{n},f\in V

( H1 )

производит другую функцию $П ф \in V$ . Здесь $Π x$ - это $n$ -мерное представление, а $Π$ - возможно, бесконечномерное представление. Частный случай этой конструкции - когда $V$ - пространство функций, определенных на самой линейной группе $G$ , рассматриваемое как $n$ -мерное многообразие, вложенное в (с размерностью матриц $m$ ). ^[121] Это установка , в которой теорема Петера-Вейля и теорема Бореля-Вейля $\mathbb {R} ^{m^{2}}$ сформулированы. Первый демонстрирует существование разложения Фурье функций на компактной группе на характеры конечномерных представлений. ^[61] Последняя теорема, предоставляя более явные представления, использует унитарный прием для получения представлений комплексных некомпактных групп, например ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$

Следующее иллюстрирует действие группы Лоренца и подгруппы вращения на некоторых функциональных пространствах.

Евклидовы вращения [ править ]

Подгруппа $SO (3)$ трехмерных евклидовых вращений имеет бесконечномерное представление в гильбертовом пространстве

L^{2}\left(\mathbb {S} ^{2}\right)=\operatorname {span} \left\{Y_{m}^{l},l\in \mathbb {N} ^{+},-l\leqslant m\leqslant l\right\},

где - сферические гармоники . Произвольную интегрируемую с квадратом функцию $f$ на единичной сфере можно выразить как ^[122] $Y_{m}^{l}$

f(\theta ,\varphi )=\sum _{l=1}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}f_{lm}Y_{m}^{l}(\theta ,\varphi ),

( H2 )

где $f lm$ - обобщенные коэффициенты Фурье .

Действие группы Лоренца ограничивается действием $SO (3)$ и выражается как

{\begin{aligned}(\Pi (R)f)(\theta (x),\varphi (x))&=\sum _{l=1}^{\infty }\sum _{m,=-l}^{l}\sum _{m'=-l}^{l}D_{mm'}^{(l)}(R)f_{lm'}Y_{m}^{l}\left(\theta \left(R^{-1}x\right),\varphi \left(R^{-1}x\right)\right),\\[5pt]&R\in \mathrm {SO} (3),x\in \mathbb {S} ^{2},\end{aligned}}

( H4 )

где $D l$ получены из представителей нечетной размерности генераторов вращения.

Группа Мебиуса [ править ]

Компонента единицы группы Лоренца изоморфна группе Мёбиуса $М$ . Эта группа может рассматриваться как конформные отображения либо на комплексной плоскости или, через стереографическую проекцию , на сфере Римана . Таким образом, можно думать, что сама группа Лоренца действует конформно на комплексной плоскости или на сфере Римана.

На плоскости преобразование Мёбиуса, характеризуемое комплексными числами $a, b, c, d,$ действует на плоскости согласно ^[123]

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},\qquad ad-bc\neq 0

.

( M1 )

и могут быть представлены комплексными матрицами

\Pi _{f}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\qquad \lambda \in \mathbb {C} -\{0\},\operatorname {det} \Pi _{f}=1,

( M2 )

так как умножение на ненулевой комплексный скаляр не меняет $f$ . Эти элементы являются элементами и единственны с точностью до знака (поскольку $\pm Π$ $f$ дают одно и то же $f$ ), поэтому ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}\cong {\text{SO}}(3;1)^{+}.$

P-функции Римана [ править ]

В P-функция Римана , решение дифференциального уравнения Римана, является примером набора функций , которые преобразовывают между собой под действием группы Лоренца. P-функции Римана выражаются как ^[124]

{\begin{aligned}w(z)&=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\\\alpha &\beta &\gamma &\;z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\end{matrix}}\right\}\\&=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}}\\\alpha '-\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\end{matrix}}\right\}\end{aligned}},

( Т1 )

где $a, b, c, α, β, γ, α ', β ', γ '$ - комплексные константы. P-функция в правой части может быть выражена с помощью стандартных гипергеометрических функций . Соединение ^[125]

P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\\0&a&0&\;z\\1-c&b&c-a-b&\end{matrix}}\right\}={}_{2}F_{1}(a,\,b;\,c;\,z).

( Т2 )

Набор констант $0, \infty, 1$ в верхнем ряду на левой стороне являются регулярными особыми точками из гипергеометрического уравнения Гаусса . ^[126] Его показатели , то есть решения исходного уравнения , для разложения вокруг особой точки $0$ равны $0$ и $1 - c$ , соответствующие двум линейно независимым решениям, ^{[nb 34],} а для разложения вокруг особой точки $1$ они равны $0$ и $в - а - б$ . ^[127]Точно так же показатели для $\infty$ равны $a$ и $b$ для двух решений. ^[128]

Таким образом

w(z)=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }{}_{2}F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\,\alpha +\beta '+\gamma ;\,1+\alpha -\alpha ';\,{\frac {(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}}\right),

( Т3 )

где условие (иногда называемое тождеством Римана) ^[129]

\alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1

на показателях решений дифференциального уравнения Римана использовалась для определения $γ'$ .

Первый набор констант в левой части (T1) , $a, b, c$ обозначает регулярные особые точки дифференциального уравнения Римана. Второй набор, $α, β, γ$ , являются соответствующими показателями в точках $a, b, c$ для одного из двух линейно независимых решений, и, соответственно, $α ', β', γ '$ являются показателями в точках $a, b, c$ для второе решение.

Определите действие группы Лоренца на множестве всех P-функций Римана, сначала установив

u(\Lambda )(z)={\frac {Az+B}{Cz+D}},

( Т4 )

где $A, B, C, D$ - записи в

\lambda ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),

( T5 )

для $Λ = p (λ) \in SO (3; 1) +$ преобразование Лоренца.

Определять

[\Pi (\Lambda )P](z)=P[u(\Lambda )(z)],

( T6 )

где $P$ - P-функция Римана. Результирующая функция снова является P-функцией Римана. Эффект от преобразования аргумента Мёбиуса заключается в смещении полюсов в новое положение, что приводит к изменению критических точек, но нет изменений в показателях дифференциального уравнения, которому удовлетворяет новая функция. Новая функция выражается как

[\Pi (\Lambda )P](u)=P\left\{{\begin{matrix}\eta &\zeta &\theta &\\\alpha &\beta &\gamma &\;u\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\end{matrix}}\right\},

( T6 )

где

\eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}\quad {\text{ and }}\quad \zeta ={\frac {Ab+B}{Cb+D}}\quad {\text{ and }}\quad \theta ={\frac {Ac+B}{Cc+D}}.

( T7 )

Бесконечномерные унитарные представления [ править ]

История [ править ]

Группа Лоренца $SO (3; 1) +$ и ее двойное покрытие также имеют бесконечномерные унитарные представления, независимо изученные Баргманном (1947) , Гельфандом и Наймарком (1947) и Хариш-Чандрой (1947) по инициативе Поля Дирака . ^[130]^[131] Этот путь развития начался с Дирака (1936), где он разработал матрицы $U$ и $B,$ необходимые для описания более высокого спина (сравните матрицы Дирака ), разработанные Фирцем (1939) , см. Также Фирц и Паули (1939). ) и предложенных предшественников ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ Уравнения Баргмана-Вигнера . ^[132] В Дираке (1945) он предложил конкретное бесконечномерное пространство представления, элементы которого были названы экспансорами как обобщение тензоров. ^{[nb 35]} Эти идеи были включены Хариш-Чандрой и расширены с помощью экспиноров как бесконечномерное обобщение спиноров в его статье 1947 года.

Формула Планшереля для этих групп была впервые получена Гельфандом и Наймарком путем сложных расчетов. Впоследствии эта трактовка была значительно упрощена Хариш-Чандрой (1951) и Гельфандом и Граевым (1953) на основе аналога для формулы интегрирования Германа Вейля для компактных групп Ли . ^[133] Элементарные описания этого подхода можно найти у Rühl (1970) и Knapp (2001) . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Теория сферических функций для группы Лоренца, необходимая для гармонического анализа на гиперболоидной модели трехмерного гиперболического пространства, находящегося в пространстве Минковского, значительно проще, чем общая теория. Она включает в себя только представление от сферической основной серии и может быть обработана непосредственно, потому что в радиальных координатах лапласиан на гиперболоиде эквивалентно лапласиан на эту теории обсуждается в Такахаш (1963) , Хелгасон (1968) , Хелгасон (2000) и посмертный текст Jorgenson & Lang (2008) $\mathbb {R} .$ .

Основная серия для SL (2, C) [ править ]

Основная серия или унитарная основная серия , являются унитарными представлениями , индуцированные из одномерных представлений нижнего треугольной подгруппы $B$ из Поскольку одномерных представлений $B$ соответствуют представлениям диагональных матриц, с ненулевыми комплексными элементами $z$ и $z$ $-1$ , таким образом, они имеют вид $G={\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$

\chi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}z&0\\c&z^{-1}\end{pmatrix}}=r^{i\nu }e^{ik\theta },

для $k$ целое число, $ν$ вещественное и с $z = re iθ$ . Представления неприводимы ; единственные повторы, т. е. изоморфизмы представлений, происходят, когда $k$ заменяется на $- k$ . По определению представления реализуются на $L 2$ сечениях линейных расслоений, на которых изоморфно сфере Римана . При $k$ $= 0$ эти представления составляют так называемую сферическую главную серию . $G/B=\mathbb {S} ^{2},$

Ограничение главного ряда на максимальную компактную подгруппу $K = SU (2)$ группы $G$ также может быть реализовано как индуцированное представление группы $K$ с использованием отождествления $G / B = K / T$ , где $T = B \cap K$ - максимальный тор в $K,$ состоящих из диагональных матриц с $| z | = 1$ . Это представление, индуцированное из одномерного представления $z k T$ , и оно не зависит от $ν$ . ОтВзаимности Фробениуса , на $K$ они разлагаются как прямая сумма неприводимых представлений $K$ с размерностями $| k | + 2 m + 1,$ где $m$ неотрицательное целое число.

Используя отождествление между сферой Римана минус точка и главным рядом, можно непосредственно определить по формуле ^[134] $\mathbb {C} ,$ $L^{2}(\mathbb {C} )$

\pi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-i\nu }\left({cz+d \over |cz+d|}\right)^{-k}f\left({az+b \over cz+d}\right).

Несводимость можно проверить разными способами:

Представление уже несократимо на $B$ . Это можно увидеть напрямую, но это также частный случай общих результатов о неприводимости индуцированных представлений, полученных Франсуа Брюа и Джорджем Макки , основанных на разложении Брюа $G = B \cup BsB,$ где $s$ - элемент группы Вейля ^[135]

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

.

Действие алгебры Ли группы $G$ можно вычислить на алгебраической прямой сумме неприводимых подпространств $K,$ можно вычислить явно, и можно непосредственно проверить, что подпространство наименьшей размерности порождает эту прямую сумму как -модуль. ^[8]^[136] ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$

Дополнительная серия для SL (2, C) [ править ]

Для $0 < t <2$ дополнительный ряд определяется для скалярного произведения ^[137] L 2 ( C ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}

(f,g)_{t}=\iint {\frac {f(z){\overline {g(w)}}}{|z-w|^{2-t}}}\,dz\,dw,

с действием ^[138]^[139]

\pi _{t}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-t}f\left({az+b \over cz+d}\right).

Представления дополнительной серии неприводимы и попарно неизоморфны. Как представление $K$ , каждое из них изоморфно прямой сумме гильбертова пространства всех неприводимых нечетных представлений $K = SU (2)$ . Неприводимость можно доказать, анализируя действие на алгебраическую сумму этих подпространств ^[8]^[136] или непосредственно без использования алгебры Ли. ^[140]^[141] ${\mathfrak {g}}$

Теорема Планшереля для SL (2, C) [ править ]

Единственными неприводимыми унитарными представлениями являются основная серия, дополнительная серия и тривиальное представление. Поскольку $-$ $I$ действует как $(-1)$ $k$ на главном ряду и тривиально на остатке, они будут давать все неприводимые унитарные представления группы Лоренца, если $k$ считается четным. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Для того, чтобы разложить левое регулярное представление $G$ на необходимы только основные серии. Это сразу дает разложение на подпредставления, левое регулярное представление группы Лоренца и регулярное представление на 3-мерном гиперболическом пространстве. (Первое включает только представления основной серии с четным k, а второе - только представлениями с $k$ $= 0.$ ) $L^{2}(G)$ $L^{2}(G/\{\pm I\}),$ $L^{2}(G/K),$

Левое и правое регулярное представление $λ$ и $ρ$ определяются на по $L^{2}(G)$

{\begin{aligned}(\lambda (g)f)(x)&=f\left(g^{-1}x\right)\\(\rho (g)f)(x)&=f(xg)\end{aligned}}

Теперь, если $f$ является элементом $C c (G)$ , оператор, определенный формулой $\pi _{\nu ,k}(f)$

\pi _{\nu ,k}(f)=\int _{G}f(g)\pi (g)\,dg

есть Гильберта – Шмидта . Определим гильбертово пространство $H следующим$ образом:

H=\bigoplus _{k\geqslant 0}{\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)\otimes L^{2}\left(\mathbb {R} ,c_{k}{\sqrt {\nu ^{2}+k^{2}}}d\nu \right),

где

c_{k}={\begin{cases}{\frac {1}{4\pi ^{3/2}}}&k=0\\{\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}&k\neq 0\end{cases}}

и обозначает гильбертово пространство операторов Гильберта – Шмидта на ^{[nb 36].} Тогда отображение $U,$ определенное на $C$ $c$ $($ $G$ $)$ формулой ${\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)$ $L^{2}(\mathbb {C} ).$

U(f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(f)

продолжается до унитарного из на $H$ . $L^{2}(G)$

Отображение $U$ удовлетворяет свойству переплетения

U(\lambda (x)\rho (y)f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(x)^{-1}\pi _{\nu ,k}(f)\pi _{\nu ,k}(y).

Если $f 1, f 2$ лежат в $C c (G),$ то по унитарности

(f_{1},f_{2})=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f_{1})\pi _{\nu ,k}(f_{2})^{*}\right)\left(\nu ^{2}+k^{2}\right)\,d\nu .

Таким образом , если обозначает свертки из и и затем ^[142] $f=f_{1}*f_{2}^{*}$ $f_{1}$ $f_{2}^{*},$ $f_{2}^{*}(g)={\overline {f_{2}(g^{-1})}},$

f(1)=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f)\right)\left(\nu ^{2}+k^{2}\right)\,d\nu .

Последние две отображаемые формулы обычно называют формулой планшерелевой и инверсии Фурье формулы соответственно.

Формула Планшереля распространяется на все По теореме Жака Диксмье и Поля Маллявена каждая гладкая функция с компактным носителем на является конечной суммой сверток подобных функций, формула обращения верна для таких $f$ . Его можно распространить на гораздо более широкие классы функций, удовлетворяющих умеренным условиям дифференцируемости. ^[61] $f_{i}\in L^{2}(G).$ $G$

Классификация представлений SO (3, 1) [ править ]

Стратегия, используемая при классификации неприводимых бесконечномерных представлений, состоит, по аналогии с конечномерным случаем, в предположении, что они существуют, и в исследовании их свойств. Итак, сначала предположим, что имеется неприводимое сильно непрерывное бесконечномерное представление $Π H$ в гильбертовом пространстве $H$ группы $SO (3; 1) +$ . ^[143] Поскольку $SO (3)$ является подгруппой, $Π H также$ является ее представлением. Каждое неприводимое подпредставление $SO (3)$ конечномерно, а $SO (3)$ представление сводится к прямой сумме неприводимых конечномерных унитарных представлений $SO (3),$ если $Π H$ унитарно. ^[144]

Шаги следующие: ^[145]

Выберите подходящий базис из общих собственных векторов $J 2$ и $J 3$ .
Вычислить матричные элементы $J 1, J 2, J 3$ и $K 1, K 2, K 3$ .
Обеспечьте соблюдение коммутационных соотношений алгебры Ли.
Требовать унитарности вместе с ортонормированностью базиса. ^{[№ 37]}

Шаг 1 [ редактировать ]

Один подходящий выбор основы и маркировки дается

\left|j_{0}\,j_{1};j\,m\right\rangle .

Если бы это было конечномерен представление, то $J 0$ будет соответствовать наименьшим возникающую собственных значений $J (J + 1)$ из $J 2$ в представлении, равный $| м - п |$ , а $j 1$ будет соответствовать самому высокому собственному значению, равному $m + n$ . В бесконечномерном случае $j 0 \geq 0$ сохраняет этот смысл, а $j 1$ - нет. ^[66] Для простоты предполагается, что заданное $j$ встречается не более одного раза в данном представлении (это случай конечномерных представлений), и можно показать ^[146], что допущение можно избежать (с помощью немного более сложных вычислений) с теми же результатами.

Шаг 2 [ редактировать ]

Следующим шагом является вычисление матричных элементов операторов $J 1, J 2, J 3$ и $K 1, K 2, K 3,$ составляющих базис алгебры Ли Матричные элементы и ( понимается комплексифицированная алгебра Ли) известны из теории представлений группы вращений и даются в ^[147]^[148] ${\mathfrak {so}}(3;1).$ $J_{\pm }=J_{1}\pm iJ_{2}$ $J_{3}$

{\begin{aligned}\left\langle j\,m\right|J_{+}\left|j\,m-1\right\rangle &=\left\langle j\,m-1\right|J_{-}\left|j\,m\right\rangle ={\sqrt {(j+m)(j-m+1)}},\\\left\langle j,m\right|J_{3}\left|j\,m\right\rangle &=m,\end{aligned}}

где метки $j 0$ и $j 1$ были опущены, поскольку они одинаковы для всех базисных векторов в представлении.

Благодаря коммутационным соотношениям

[J_{i},K_{j}]=i\epsilon _{ijk}K_{k},

тройка $(K i, K i, K i) \equiv K$ является векторным оператором ^[149], и теорема Вигнера – Эккарта ^[150] применяется для вычисления матричных элементов между состояниями, представленными выбранным базисом. ^[151] Матричные элементы

{\begin{aligned}K_{0}^{(1)}&=K_{3},\\K_{\pm 1}^{(1)}&=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}(K_{1}\pm iK_{2}),\end{aligned}}

где верхний индекс $(1)$ означает, что определяемые величины являются компонентами сферического тензорного оператора ранга $k = 1$ (который также объясняет множитель $\sqrt 2$ ), а индексы $0, \pm 1$ обозначаются как $q$ в формулах ниже, даны ^[152]

{\begin{aligned}\left\langle j'm'\left|K_{0}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k=1\,q=0|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle ,\\\left\langle j'm'\left|K_{\pm 1}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k=1\,q=\pm 1|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle .\end{aligned}}

Здесь первые множители в правой части - это коэффициенты Клебша – Гордана для связи $j'$ с $k$ для получения $j$ . Второй фактор - это уменьшенные матричные элементы . Они не зависят от $т, т '$ или $д$ , но зависят от $J, J'$ и, конечно же , $K$ . Полный список уравнений, не обращающихся в нуль, см. В Harish-Chandra (1947 , стр. 375).

Шаг 3 [ редактировать ]

Следующий шаг - потребовать выполнения соотношений алгебры Ли, т. Е. Чтобы

[K_{\pm },K_{3}]=\pm J_{\pm },\quad [K_{+},K_{-}]=-2J_{3}.

Это приводит к системе уравнений ^[153], для которых решения ^[154]

{\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &=i{\frac {j_{1}j_{0}}{\sqrt {j(j+1)}}},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-B_{j}\xi _{j}{\sqrt {j(2j-1)}},\\\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &=B_{j}\xi _{j}^{-1}{\sqrt {j(2j+1)}},\end{aligned}}

где

B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}-j_{1}^{2})}{j^{2}(4j^{2}-1)}}},\quad j_{0}=0,{\tfrac {1}{2}},1,\ldots \quad {\text{and}}\quad j_{1},\xi _{j}\in \mathbb {C} .

Шаг 4 [ редактировать ]

Наложение требования унитарности соответствующего представления группы ограничивает возможные значения для произвольных комплексных чисел $j 0$ и $ξ j$ . Унитарность представления группы переводится к требованию, чтобы представители алгебры Ли были эрмитовыми, что означает

K_{\pm }^{\dagger }=K_{\mp },\quad K_{3}^{\dagger }=K_{3}.

Это переводится как ^[155]

{\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &={\overline {\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-{\overline {\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\end{aligned}}

ведущий к ^[156]

{\begin{aligned}j_{0}\left(j_{1}+{\overline {j_{1}}}\right)&=0,\\\left|B_{j}\right|\left(\left|\xi _{j}\right|^{2}-e^{-2i\beta _{j}}\right)&=0,\end{aligned}}

где $β j$ - угол $B j$ на полярной форме. Для $| B j | 0$ следует и выбирается по соглашению. Возможны два случая: $\left|\xi _{j}\right|^{2}=1$ $\xi _{j}=1$

${\underline {j_{1}+{\overline {j_{1}}}=0.}}$ В этом случае $j 1 = - iν$ , $ν$ real, ^[157]
$\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle ={\frac {\nu j_{0}}{j(j+1)}}\quad {\text{and}}\quad B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}+\nu ^{2})}{4j^{2}-1}}}$

Это основная серия . Его элементы обозначаются

(j_{0},\nu ),2j_{0}\in \mathbb {N} ,\nu \in \mathbb {R} .

${\underline {j_{0}=0.}}$ Отсюда следует: ^[158]
$\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle =0\quad {\text{and}}\quad B_{j}={\sqrt {\frac {j^{2}-\nu ^{2}}{4j^{2}-1}}}$

Поскольку

B 0 = B j 0

,

B 2 Дж

вещественно и положительно при

j = 1, 2, ...

, что приводит к

-1 \leq ν \leq 1

. Это дополнительная серия . Его элементы обозначаются

(0, ν), -1 \leq ν \leq 1

.

Это показывает , что представления выше , являются все бесконечномерными неприводимыми унитарными представлениями.

Явные формулы [ править ]

Соглашения и основы алгебры Ли [ править ]

Выбранная метрика задается выражением $η = diag (-1, 1, 1, 1)$ , и используется физическое соглашение для алгебр Ли и экспоненциального отображения. Эти выборы произвольны, но, как только они будут сделаны, они будут зафиксированы. Один из возможных вариантов базиса для алгебры Ли в 4-векторном представлении задается формулой:

{\begin{aligned}J_{1}=J^{23}=-J^{32}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}},&K_{1}=J^{01}=-J^{10}&=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\\[8pt]J_{2}=J^{31}=-J^{13}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}},&K_{2}=J^{02}=-J^{20}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\\[8pt]J_{3}=J^{12}=-J^{21}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},&K_{3}=J^{03}=-J^{30}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.\\[8pt]\end{aligned}}

Коммутационные соотношения алгебры Ли следующие: ^[159] ${\mathfrak {so}}(3;1)$

\left[J^{\mu \nu },J^{\rho \sigma }\right]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }J^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \sigma }J^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }J^{\sigma \nu }-\eta ^{\nu \rho }J^{\mu \sigma }\right).

В трехмерной записи это ^[160]

\left[J_{i},J_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}J_{k},\quad \left[J_{i},K_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}K_{k},\quad \left[K_{i},K_{j}\right]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}.

Выбор основы выше удовлетворяет соотношениям, но возможны и другие варианты. Следует соблюдать многократное использование символа $J$ выше и в дальнейшем.

Спиноры и биспиноры Вейля [ править ]

Решения уравнения Дирака преобразуются при

(1 / 2, 0) \oplus (0, 1 / 2)

-представительство. Дирак открыл гамма-матрицы в поисках релятивистски инвариантного уравнения, тогда уже известного математикам. ^[110]

Взяв, в свою очередь, $m = 1 / 2, n = 0$ и $m = 0, n = 1 / 2$ и установив

J_{i}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\frac {1}{2}}\sigma _{i}

в общем выражении (G1) , и используя тривиальные соотношения $11 = 1$ и $J (0) = 0$ , следует

{\begin{aligned}\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)}(J_{i})&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{i}\otimes 1_{(1)}+1_{(2)}\otimes J_{i}^{(0)}\right)={\frac {1}{2}}\sigma _{i}\\\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)}(K_{i})&={\frac {i}{2}}\left(1_{(2)}\otimes J_{i}^{(0)}-\sigma _{i}\otimes 1_{(1)}\right)=-{\frac {i}{2}}\sigma _{i}\\[6pt]\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}(J_{i})&={\frac {1}{2}}\left(J_{i}^{(0)}\otimes 1_{(2)}+1_{(1)}\otimes \sigma _{i}\right)={\frac {1}{2}}\sigma _{i}\\\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}(K_{i})&={\frac {i}{2}}\left(1_{(1)}\otimes \sigma _{i}-J_{i}^{(0)}\otimes 1_{(2)}\right)={\frac {i}{2}}\sigma _{i}\end{aligned}}

( W1 )

Это левое и правое спинорные представления Вейля . Они действуют путем умножения матриц на 2-мерных комплексных векторных пространствах (с выбором базиса) $V L$ и $V R$ , элементы $Ψ L$ и $Ψ R$ которых называются левыми и правыми спинорами Вейля соответственно. Дано

\left(\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)},V_{\text{L}}\right)\quad {\text{and}}\quad \left(\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)},V_{\text{R}}\right)

формируется их прямая сумма как представлений, ^[161]

{\begin{aligned}\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}\left(J_{i}\right)&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\end{pmatrix}}\\[8pt]\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}\left(K_{i}\right)&={\frac {i}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&-\sigma _{i}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

( D1 )

Это с точностью до преобразования подобия $(1 / 2, 0) \oplus (0, 1 / 2)$ Спиновое представление Дирака для It действует на 4-компонентные элементы $($ $L$ $, Ψ$ $R$ $)$ из $($ $V$ $L$ $\oplus$ $V$ $R$ $)$ , называемые биспинорами , посредством матричного умножения. Представление может быть получено более общим и независимым от базиса способом с использованием алгебр Клиффорда . Все эти выражения для биспиноров и спиноров Вейля продолжаются линейностью алгебр Ли, а представления для всех выражений для представлений групп получаются возведением в степень. ${\mathfrak {so}}(3;1).$ ${\mathfrak {so}}(3;1).$

Открытые проблемы [ править ]

Классификация и характеризация теории представлений группы Лоренца были завершены в 1947 году. Но в связи с программой Баргмана – Вигнера остаются нерешенными чисто математические проблемы, связанные с бесконечномерными унитарными представлениями.

Неприводимые бесконечномерные унитарные представления могут иметь косвенное отношение к физической реальности в спекулятивных современных теориях, поскольку (обобщенная) группа Лоренца появляется как небольшая группа группы Пуанкаре пространственноподобных векторов в более высоком пространственно-временном измерении. Соответствующие бесконечномерные унитарные представления (обобщенной) группы Пуанкаре являются так называемыми тахионными представлениями . Тахионы появляются в спектре бозонных струн и связаны с неустойчивостью вакуума. ^[162]^[163] Даже если тахионы не могут быть реализованы в природе, эти представления должны быть поняты математически.чтобы понять теорию струн. Это так, поскольку тахионные состояния появляются и в теориях суперструн при попытках создания реалистичных моделей. ^[164]

Один открытой проблемой является завершением программы Баргманна-Вигнер для изометрии группы $SO (D - 2, 1)$ в де Ситтер пространство - время $Ds D -2$ . В идеале физические компоненты волновых функций должны быть реализованы на гиперболоиде $dS D -2$ радиуса $μ > 0,$ встроенном в, и соответствующие $O ($ $D$ $-2, 1)$ ковариантные волновые уравнения бесконечномерного унитарного представления должны быть известны. ^[163] $\mathbb {R} ^{D-2,1}$

См. Также [ править ]

Уравнения Баргмана – Вигнера
Центр масс (релятивистский)
Алгебра Дирака
Гамма-матрицы
Группа Лоренца
Преобразование Мебиуса
Группа Пуанкаре
Теория представлений группы Пуанкаре
Симметрия в квантовой механике
Классификация Вигнера

Замечания [ править ]

^ Способ представления симметрии пространства-времени может принимать разные формы в зависимости от рассматриваемой теории. Хотя это не является настоящей темой, некоторые детали будут предоставлены в сносках, помеченных «nb», и в разделе « Приложения» .
Перейти ↑ Weinberg 2002 , p. 1 «Если бы выяснилось, что система не может быть описана квантовой теорией поля, это было бы сенсацией; если бы оказалось, что она не подчиняется правилам квантовой механики и теории относительности, это был бы катаклизм».
↑ В 1945 году Хариш-Чандра приехал к Дираку в Кембридж. Он убедился, что не подходит для теоретической физики. Хариш-Чандра нашел ошибку в доказательстве Дирака в его работе над группой Лоренца. Дирак сказал: «Меня не интересуют доказательства, а интересует только то, что делает природа».
Позже Хариш-Чандра писал: «Это замечание подтвердило мою растущую уверенность в том, что у меня нет таинственного шестого чувства, которое необходимо для успеха в физике, и вскоре я решил перейти к математике».
Однако Дирак предложил тему своей диссертации - классификацию неприводимых бесконечномерных представлений группы Лоренца.
См. Dalitz & Peierls 1986
^ См. Формулу (1) в S-матрице # Из состояний свободных частиц, чтобы узнать, как преобразуются свободные многочастичные состояния.
^ Вайнберг 2002 , уравнения 5.1.4–5. Вайнберг выводит необходимость операторов рождения и уничтожения из другого соображения, принципа кластерной декомпозиции , Вайнберга (2002 , глава 4.)
^ Также может потребоваться рецепт того, как частица должна вести себя при симметрии CPT.
^ Такнапример, существуют версии (бесплатно уравнения поля, т.е. без точки взаимодействия) уравнения Клейна-Гордона , тем уравнение Дирака , то уравнения Максвелла , то уравнение Proca , то уравнение Рариты-Schwinger , а полевые уравнения Эйнштейна , которые могут систематически можно вывести, исходя из данного представления группы Лоренца. В общем, это все вместе являются версиями квантовой теории поля уравнений Баргмана – Вигнера .
См. Weinberg (2002 , глава 5), Tung (1985 , раздел 10.5.2) и ссылки, приведенные в этих работах.
Следует отметить, что теории высоких спинов ( $s > 1$ ) сталкиваются с трудностями. См. Вайнберг (2002 , раздел 5.8) об общих $(m, n)$ полях, где это обсуждается более подробно, и ссылки в нем. Несомненно , что высокоспиновые частицы существуют , например ядра, известные просто не элементарны .
^ Относительно части их теории представлений см. Bekaert & Boulanger (2006) , который посвящен теории представлений группы Пуанкаре. Эти представления получаются методом индуцированных представлений или, говоря физическим языком, методом маленькой группы , впервые примененным Вигнером в 1939 году для этого типа групп и поставленным на прочную математическую основу Джорджем Макки в пятидесятых годах.
^ Холл (2015 , раздел 4.4.)
Говорят, что группа обладает свойством полной сводимости, если каждое представление разлагается как прямая сумма неприводимых представлений.
^ Дирак предложил тему Вигнера (1939) еще в 1928 году (как признается в статье Вигнера). Он также опубликовал одну из первых статей о явных бесконечномерных унитарных представлениях у Дирака (1945) ( Langlands 1985 ) и предложил тему для диссертации Хариш-Чандры, классифицирующей неприводимые бесконечномерные представления ( Dalitz & Peierls 1986 ).
^ Knapp 2001 Довольно загадочно выглядящий третий изоморфизм доказан в параграфе 4 главы 2.
^ Тензорные произведения представлений, $π г \otimes π ч$ избанки, когда оба фактора происходит из однойтех же алгебр Лилибо рассматривать как представлениеили. ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}={\mathfrak {g}},$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}$
^ При комплексировании комплексной алгебры Ли ее следует рассматривать как реальную алгебру Ли реальной размерности, вдвое превышающей ее комплексную размерность. Точно так же реальная форма может быть сложной, как здесь.
^ Объедините Вайнберг (2002 , уравнения 5.6.7–8, 5.6.14–15) с Холлом (2015 , предложение 4.18) о представлениях алгебры Ли представлений группового тензорного произведения.
^ Свойство «бесследность» может быть выражено как $S αβ g αβ = 0$ , или $S α α = 0$ , или $S αβ g αβ = 0, в$ зависимости от представления поля: ковариантное, смешанное и контравариантное соответственно.
^ Это не обязательно является симметричным непосредственно из лагранжиана с помощью теоремы Нётер , но его можно симметризовать как тензор энергии-напряжения Белинфанте – Розенфельда .
^ Это при условии, что четность является симметрией. Иначе было бы два вкуса, $(3 / 2, 0)$ и $(0, 3 / 2)$ по аналогии с нейтрино .
^ Терминология математики и физики различается. В связанной статье термин проективное представление имеет немного другое значение, чем в физике, где проективное представление рассматривается как локальное сечение (локальная инверсия) карты покрытия от покрываемой группы к покрываемой группе, составленное с собственными представление покрывающей группы. Поскольку это может быть сделано (локально) непрерывно двумя способами в данном случае, как объяснено ниже, терминология двузначного или двузначного представления является естественной.
^ В частности, $A$ коммутирует с матрицами Паули , следовательно, со всей $SU (2),$ что делает лемму Шура применимой.
^ Имея в виду, что ядро тривиально, напомним, что ядро гомоморфизма алгебр Ли является идеалом и, следовательно, подпространством. Поскольку $p$ равно $2: 1$ и обаи $SO (3; 1)$ $+$ являются $6-$ мерными , ядро должно быть $0-$ мерным , следовательно, ${0}.$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$
^ Экспоненциальное отображение взаимно однозначно в окрестности единицы,поэтому композиция,где $σ$ - изоморфизм алгебры Ли, находится на открытой окрестности $U$ $\subset SO (3; 1)$ $+,$ содержащей единицу. Такая окрестность порождает компонент связности. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),$ $\exp \circ \sigma \circ \log :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)^{+},$
^ Россманн 2002 Из примера 4 в разделе 2.1: Это можно увидеть следующим образом. Матрица $q$ имеет собственные значения ${-1, -1}$ , но не диагонализуема . Если $q = exp (Q)$ , то $Q$ имеет собственные значения $λ, - λ$ с $λ = iπ + 2 πik$ для некоторого $k,$ потому что элементы избесследовы. Но тогда $Q$ диагонализуемо, следовательно, $q$ диагонализуемо; противоречие. ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$
^ Россманн 2002 , Предложение 10, параграф 6.3. Проще всего это доказать с помощью теории характеров .
^ Любая дискретная нормальная подгруппа пути соединенной группы $G$ содержится в центре $Z$ из $G$ .
Холл 2015 , Упражнение 11, глава 1.
^ Полупростая группа Ли не имеет недискретных нормальных абелевых подгрупп . Это можно принять за определение полупростоты.
^ Простая группа не имеет недискретных нормальных подгрупп.
^ Напротив, есть прием, также называемый унитарным приемом Вейля, но не имеющий отношения к унитарному приему, показанному выше, показывающему, что все конечномерные представления являются или могут быть сделаны унитарными. Если $(Π, V)$ - конечномерное представление компактной группы Ли $G$ и если $(\cdot, \cdot)$ - любое скалярное произведение на $V$ , определите новое скалярное произведение $(\cdot, \cdot) Π с$ помощью $(x, y) Π = \int G (Π (g) x, Π (g) y dμ (г)$ , где $μ$ является мерой Хаара на $G$ . Тогда $Π$ унитарно относительно $(\cdot, \cdot) Π$ . См. Холл (2015 , теорема 4.28).
Другое следствие состоит в том, что каждая компактная группа Ли обладает свойством полной сводимости , что означает, что все ее конечномерные представления распадаются как прямая сумма неприводимых представлений. Холл (2015 , определение 4.24., Теорема 4.28.)
Также верно, что не существует бесконечномерных неприводимых унитарных представлений компактных групп Ли, сформулированных, но не доказанных в Greiner & Müller (1994 , раздел 15.2.).
^ Ли 2003 Лемма A.17 (c). Замкнутые подмножества компактов компактны.
^ Ли 2003 Лемма A.17 (а). Если $f : X \to Y$ непрерывно, $X$ компактно, то $f (X)$ компактно.
^ Неунитарность - жизненно важный ингредиент в доказательстве теоремы Коулмана – Мандулы , которая подразумевает, что, в отличие от нерелятивистских теорий, не может существовать обычной симметрии, связывающей частицы с разным спином. См. Вайнберг (2000).
^ Это один из выводов теоремы Картана , теоремы о старшем весе.
Холл (2015 , теоремы 9.4–5.)
^ Холл 2015 , Раздел 8.2 Корневая система - это объединение двух копий $A 1$ , где каждая копия находится в своих измерениях в векторном пространстве вложения.
^ Россманн 2002 Это определение эквивалентно определению в терминах связной группы Ли, алгебра Ли которой является алгеброй Ли рассматриваемой системы корней.
^ См. Simmons (1972 , раздел 30), где указаны точные условия, при которых два метода Фробениуса дают два линейно независимых решения. Если показатели не отличаются на целое число, это всегда так.
^ "Это настолько близко, насколько можно приблизиться к истоку теории бесконечномерных представлений полупростых и редуктивных групп ..." , Ленглендс (1985 , стр. 204), ссылаясь на вводный отрывок в статье Дирака 1945 года.
^ Обратите внимание, что для гильбертова пространства $H$ , $HS (H)$ можно канонически отождествить с тензорным произведением гильбертова пространства $H$ и его сопряженного пространства.
^ Если требуется конечномерность, результатом являются представления $(m, n)$ , см. Tung (1985 , проблема 10.8). Если ни то, ни другое не требуется, то получается более широкая классификация всех неприводимых представлений, включая конечномерные и унитарные. Этот подход используется Хариш-Чандрой (1947) .

Заметки [ править ]

^ Баргманн и Вигнер 1948
^ Bekaert & Буланже 2006
Перейти ↑ Misner, Thorne & Wheeler 1973
↑ Weinberg 2002 , раздел 2.5, глава 5.
↑ Tung 1985 , разделы 10.3, 10.5.
^ Тунг 1985 , Раздел 10.4.
^ Дирак 1945
^ a b c Хариш-Чандра 1947
^ a b Greiner & Reinhardt 1996 , Глава 2.
↑ Weinberg 2002 , Предисловие и введение к главе 7.
↑ Weinberg 2002 , Введение в главу 7.
^ Тунг 1985 , Определение 10.11.
Перейти ↑ Greiner & Müller (1994 , Глава 1)
↑ Грейнер и Мюллер (1994 , Глава 2)
Перейти ↑ Tung 1985 , p. 203.
^ Дельборго Салам & Strathdee 1967
^ Вайнберг (2002 , раздел 3.3)
^ Вайнберг (2002 , раздел 7.4.)
↑ Tung 1985 , Введение в главу 10.
^ Тунг 1985 , Определение 10.12.
^ Tung 1985 , уравнение 10.5-2.
^ Вайнберг 2002 , уравнения 5.1.6–7.
^ a b Тунг 1985 , уравнение 10.5–18.
^ Вайнберг 2002 , уравнения 5.1.11–12.
^ Тунг 1985 , Раздел 10.5.3.
^ Zwiebach 2004 , раздел 6.4.
^ Zwiebach 2004 , Глава 7.
^ Zwiebach 2004 , раздел 12.5.
^ а б Вайнберг 2000 , раздел 25.2.
^ Zwiebach 2004 , последний абзац, раздел 12.6.
^ Эти факты можно найти в большинстве вводных текстов по математике и физике. См., Например, Россманн (2002) , Холл (2015) и Тунг (1985) .
^ Холл (2015 , теорема 4.34 и последующее обсуждение.)
^ a b c Вигнер 1939
↑ Hall 2015 , Приложение D2.
Перейти ↑ Greiner & Reinhardt 1996
↑ Weinberg 2002 , раздел 2.6 и глава 5.
^ а б Коулман 1989 , стр. 30.
↑ Lie 1888 , 1890, 1893. Первоисточник.
Перейти ↑ Coleman 1989 , p. 34.
^ Убийство 1888 г. Первичный источник.
^ a b Россманн 2002 , Исторические лакомые кусочки, разбросанные по тексту.
^ Картан 1913 г. Первоисточник.
^ Грин 1998 , p = 76.
^ Brauer & Weyl 1935 Первичный источник.
Перейти ↑ Tung 1985 , Introduction.
^ Weyl 1931 Первоисточник.
^ Weyl 1939 Первичный источник.
Перейти ↑ Langlands 1985 , pp. 203–205
^ Хариш-Чандра 1947 Первичный источник.
Перейти ↑ Tung 1985 , Introduction
^ Вигнер 1939 Первоисточник.
^ Клаудер 1999
^ Bargmann 1947 Первоисточник.
^ Баргманн был также математиком . Он работалассистентом Альберта Эйнштейна в Институте перспективных исследований в Принстоне ( Клаудер (1999) ).
^ Bargmann & Вигнера 1948 Первичный источник.
^ Далитц и Пайерлс 1986
^ Дирак 1928 г. Первоисточник.
^ Вайнберг 2002 , уравнения 5.6.7–8.
^ Вайнберг 2002 , уравнения 5.6.9–11.
^ a b c Холл 2003 , Глава 6.
^ а б в г Кнапп 2001
^ Это приложение Россманна 2002 , раздел 6.3, предложение 10.
^ а б Кнапп 2001 , стр. 32.
^ Вайнберг 2002 , уравнения 5.6.16-17.
^ Вайнберг 2002 , раздел 5.6. Уравнения следуют из уравнений 5.6.7–8 и 5.6.14–15.
^ а б Тунг 1985
↑ Weinberg 2002 См. Сноску на стр. 232.
^ Ложь 1888
^ Россманн 2002 , раздел 2.5.
^ Холл 2015 , теорема 2.10.
Перейти ↑ Bourbaki 1998 , p. 424.
^ Вайнберг 2002 , раздел 2.7 с.88.
^ a b c d e Вайнберг 2002 , раздел 2.7.
↑ Hall 2015 , Приложение C.3.
^ Вигнер 1939 , стр. 27.
^ Гельфанд, Минлос и Шапиро 1963 Эта конструкция покрывающей группы рассматривается в параграфе 4, разделе 1, главе 1 в Части II.
^ Россманн 2002 , раздел 2.1.
^ Холл 2015 , Впервые отображенные уравнения в разделе 4.6.
^ Холл 2015 , Пример 4.10.
^ а б Кнапп 2001 , Глава 2.
^ Knapp 2001 Уравнение 2.1.
^ Холл 2015 , уравнение 4.2.
^ Холл 2015 , Уравнение до 4.5.
^ Knapp 2001 Уравнение 2.4.
Перейти ↑ Knapp 2001 , раздел 2.3.
^ Холл 2015 , теоремы 9.4–5.
Перейти ↑ Weinberg 2002 , Глава 5.
^ Холл 2015 , теорема 10.18.
Перейти ↑ Hall 2003 , p. 235.
^ См. Любой текст по основной теории групп.
^ Россманн 2002 Предложения 3 и 6 параграф 2.5.
^ Холл 2003 См. Упражнение 1, Глава 6.
^ Bekaert & Буланже 2006 с.4.
^ Hall 2003 Предложение 1.20.
^ Ли 2003 , теорема 8.30.
↑ Weinberg 2002 , раздел 5.6, стр. 231.
^ Вайнберг 2002 , раздел 5.6.
Перейти ↑ Weinberg 2002 , p. 231.
^ Вайнберг 2002 , разделы 2.5, 5.7.
Перейти ↑ Tung 1985 , Раздел 10.5.
^ Weinberg 2002 Это изложено (очень кратко) на странице 232, не более чем сноской.
^ Hall 2003 , предложение 7,39.
^ a b Холл 2003 , теорема 7.40.
^ Холл 2003 , Раздел 6.6.
^ Холл 2003 , Второй пункт в предложении 4.5.
Перейти ↑ Hall 2003 , p. 219.
^ Россманн 2002 , Упражнение 3 в параграфе 6.5.
↑ Hall 2003 См. Приложение D.3.
^ Вайнберг 2002 , уравнение 5.4.8.
^ а б Вайнберг 2002 , раздел 5.4.
Перейти ↑ Weinberg 2002 , pp. 215–216.
^ Вайнберг 2002 , уравнение 5.4.6.
^ Вайнберг 2002 Раздел 5.4.
Перейти ↑ Weinberg 2002 , Section 5.7, pp. 232–233.
↑ Weinberg 2002 , раздел 5.7, стр. 233.
^ Вайнберг 2002 Уравнение 2.6.5.
^ Вайнберг 2002 Уравнение после 2.6.6.
^ Вайнберг 2002 , раздел 2.6.
^ Для подробного обсуждения спина 0,1/2и 1 случай, см. Greiner & Reinhardt 1996 .
Перейти ↑ Weinberg 2002 , Глава 3.
^ Россманн 2002 См. Раздел 6.1 для получения дополнительных примеров, как конечномерных, так и бесконечномерных.
^ Гельфанд, Минлос и Шапиро 1963
^ Churchill & Brown 2014 , глава 8 стр. 307-310.
^ Гонсалес, Пенсильвания; Васкес, Ю. (2014). "Квазинормальные моды Дирака черных дыр нового типа в новой массивной гравитации". Евро. Phys. Дж . К. 74: 2969 (7): 3. arXiv : 1404.5371 . Bibcode : 2014EPJC ... 74.2969G . DOI : 10.1140 / epjc / s10052-014-2969-1 . ISSN 1434-6044 . S2CID 118725565 .
^ Abramowitz & Stegun 1965 , уравнение 15.6.5.
↑ Simmons 1972 , разделы 30, 31.
^ Симмонс 1972 , разделы 30.
Перейти ↑ Simmons 1972 , Section 31.
↑ Simmons 1972 , уравнение 11 в приложении E, глава 5.
Перейти ↑ Langlands 1985 , p. 205.
^ Варадараджан 1989 , разделы 3.1. 4.1.
Перейти ↑ Langlands 1985 , p. 203.
^ Варадараджан 1989 , раздел 4.1.
^ Гельфанд, Граев и Пятецкий-Шапиро 1969
Перейти ↑ Knapp 2001 , Глава II.
^ a b Тейлор 1986
^ Knapp 2001 Глава 2. Уравнение 2.12.
^ Баргманн 1947
^ Гельфанд и Граев 1953
↑ Гельфанд и Наймарк, 1947 г.
Перейти ↑ Takahashi, 1963 , p. 343.
Перейти ↑ Knapp 2001 , Equation 2.24.
^ Folland 2015 , раздел 3.1.
^ Folland 2015 , теорема 5.2.
^ Тунг 1985 , Раздел 10.3.3.
^ Хариш-Чандры 1947 , Сноска р. 374.
^ Тунг 1985 , уравнения 7.3–13, 7.3–14.
^ Хариш-Чандра 1947 , уравнение 8.
^ Hall 2015 , предложение С.7.
↑ Hall 2015 , Приложение C.2.
^ Tung 1985 , Шаг II, раздел 10.2.
^ Тунг 1985 , уравнения 10.3–5. Обозначения Тунга для коэффициентов Клебша – Гордана отличаются от используемых здесь.
Перейти ↑ Tung 1985 , Equation VII-3.
^ Тунг 1985 , уравнения 10.3–5, 7, 8.
Перейти ↑ Tung 1985 , Equation VII-9.
Перейти ↑ Tung 1985 , Equations VII-10, 11.
Перейти ↑ Tung 1985 , Equations VII-12.
Перейти ↑ Tung 1985 , Equations VII-13.
^ Вайнберг 2002 , уравнение 2.4.12.
^ Вайнберг 2002 , уравнения 2.4.18–2.4.20.
^ Вайнберг 2002 , уравнения 5.4.19, 5.4.20.
^ Zwiebach 2004 , раздел 12.8.
^ a b Bekaert & Boulanger 2006 , стр. 48.
^ Zwiebach 2004 , Раздел 18,8.

Бесплатные онлайн-ссылки [ править ]

Bekaert, X .; Буланже, Н. (2006). «Унитарные представления группы Пуанкаре в любом измерении пространства-времени». arXiv : hep-th / 0611263 . Расширенная версия лекций, прочитанных на второй летней школе математической физики в Модаве (Бельгия, август 2006 г.).
Кертрайт, TL ; Fairlie, DB ; Zachos, CK (2014), «Компактная формула для вращений как полиномов спиновой матрицы», SIGMA , 10 : 084, arXiv : 1402.3541 , Bibcode : 2014SIGMA..10..084C , doi : 10.3842 / SIGMA.2014.084 , S2CID 18776942 Групповые элементы SU (2) выражаются в замкнутой форме как конечные многочлены от генераторов алгебры Ли для всех определенных спиновых представлений группы вращений.

Ссылки [ править ]

Абрамовиц, М .; Стегун, И.А. (1965). Справочник по математическим функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами . Дуврские книги по математике. Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0486612720.
Баргманн, В. (1947), "Неприводимые унитарные представления группы Лоренца", Ann. математики. , 48 (3): 568-640, DOI : 10,2307 / 1969129 , JSTOR 1969129(теория представлений SO (2,1) и SL (2, R ); вторая часть, посвященная SO (3; 1) и SL (2, C ), описанная во введении, не была опубликована).
Bargmann, V .; Вигнер, Е.П. (1948), "Теоретико-групповое обсуждение релятивистских волновых уравнений", Proc. Natl. Акад. Sci. США , 34 (5): 211-23, Bibcode : 1948PNAS ... 34..211B , DOI : 10.1073 / pnas.34.5.211 , PMC 1079095 , PMID 16578292
Бурбаки, Н. (1998). Группы Ли и алгебры Ли: главы 1-3 . Springer. ISBN 978-3-540-64242-8.
Брауэр, Р .; Weyl, H. (1935), "Спиноры в n измерениях", Amer. J. Math. , 57 (2): 425-449, DOI : 10,2307 / 2371218 , JSTOR 2371218
Bäuerle, GGA; де Керф, EA (1990). А. ван Грезен; Э. М. де Ягер (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. 1 . Северная Голландия. ISBN 978-0-444-88776-4.
Bäuerle, GGA; де Керф, EA; тен Кроуд, APE (1997). А. ван Грезен; Э. М. де Ягер (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. 7 . Северная Голландия. ISBN 978-0-444-82836-1- через ScienceDirect .
Картан, Эли (1913), "Les groupes projectifs qui ne laissant invariante aucun multiplicité plane", Bull. Soc. Математика. Пт. (на французском языке), 41 : 53-96, DOI : 10,24033 / bsmf.916
Черчилль, Р. В .; Браун, JW (2014) [1948]. Комплексные переменные и приложения (9-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу – Хилл. ISBN 978-0073-383-170.
Коулман, AJ (1989). «Величайший математический труд всех времен». Математический интеллигент . 11 (3): 29–38. DOI : 10.1007 / BF03025189 . ISSN 0343-6993 . S2CID 35487310 .
Далиц, Р.Х .; Пайерлс, Рудольф (1986). «Поль Адриан Морис Дирак. 8 августа 1902–20 октября 1984» . Биогр. Mem. Fellows R. Soc . 32 : 138–185. DOI : 10.1098 / RSBM.1986.0006 . S2CID 74547263 .
Дельбурго, Р .; Салам, А .; Стратди, Дж. (1967). «Гармонический анализ в терминах однородной группы Лоренца». Физика Письма Б . 25 (3): 230–32. Полномочный код : 1967PhLB ... 25..230D . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (67) 90050-0 .
Дирак, PAM (1928), "Квантовая теория электрона", Proc. Рой. Soc. , 117 (778): 610-624, Bibcode : 1928RSPSA.117..610D , DOI : 10.1098 / rspa.1928.0023 (бесплатный доступ)
Дирак, PAM (1936), "Релятивистские волновые уравнения", Proc. Рой. Soc. , 155 (886): 447-459, Bibcode : 1936RSPSA.155..447D , DOI : 10.1098 / rspa.1936.0111
Дирак, PAM (1945), "Унитарные представления группы Лоренца", Proc. Рой. Soc. , 183 (994): 284-295, Bibcode : 1945RSPSA.183..284D , DOI : 10.1098 / rspa.1945.0003 , S2CID 202575171
Диксмье, Дж . ; Маллиавен, П. (1978), "Факторизации функций и векторов, не определяемых различиями", Bull. Sc. Математика. (на французском языке), 102 : 305–330
Фирц, М. (1939), "Über die relativistische theorie Kräftefreier teilchen mit Believebigem spin", Helv. Phys. Acta (на немецком языке), 12 (1): 3–37, Bibcode : 1939AcHPh..12 .... 3F , doi : 10.5169 / seals-110930 (доступна загрузка в формате pdf)CS1 maint: postscript (link)
Фирц, М .; Паули, W. (1939), "О релятивистских волновых уравнениях для частиц произвольного спина в электромагнитном поле", Proc. Рой. Soc. , 173 (953): 211-232, Bibcode : 1939RSPSA.173..211F , DOI : 10.1098 / rspa.1939.0140
Фолланд, Г. (2015). Курс абстрактного гармонического анализа (2-е изд.). CRC Press . ISBN 978-1498727136.
Фултон, В .; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту 1153249 .
Гельфанд И.М.; Граев М.И. (1953), "Об одном общем методе разложения регулярного представления группы Ли на неприводимые представления", Докл. АН СССР , 92 : 221–224.
Гельфанд И.М.; Граев, М.И.; Виленкин, Н.Я. (1966), "Гармонический анализ группы комплексных унимодулярных матриц в двух измерениях", Обобщенные функции. Vol. 5. Интегральная геометрия и теория представлений , перевод Юджина Салетана, Academic Press, стр. 202–267, ISBN. 978-1-4832-2975-1
Гельфанд И.М.; Граев, М.И.; Пятецкий-Шапиро, II (1969), Теория представлений и автоморфные функции , Academic Press, ISBN 978-0-12-279506-0
Гельфанд И.М .; Минлос, РА ; Шапиро, З.Я. (1963), Представления групп вращения и Лоренца и их приложения , Нью-Йорк: Pergamon Press
Гельфанд И.М .; Наймарк, MA (1947), "Унитарные представления группы Лоренца" (PDF) , Известия Акад. АН СССР. Сер. Мат. (на русском языке ), 11 (5): 411-504 , извлекаются 2014-12-15 (Pdf из Math.net.ru)CS1 maint: postscript (link)
Грин, Дж. А. (1998). "Ричард Дагоберт Брауэр" (PDF) . Биографические воспоминания . Биографические воспоминания. 75 . Национальная академия прессы. С. 70–95. ISBN 978-0309062954.
Greiner, W .; Мюллер, Б. (1994). Квантовая механика: симметрии (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3540580805.
Greiner, W .; Райнхардт, Дж. (1996), Квантование поля , Springer, ISBN 978-3-540-59179-5
Хариш-Чандра (1947), "Бесконечные неприводимые представления группы Лоренца", Proc. Рой. Soc. , 189 (одна тысяча восемнадцать): 372-401, Bibcode : 1947RSPSA.189..372H , DOI : 10.1098 / rspa.1947.0047 , S2CID 124917518
Хариш-Чандра (1951), "Формула Планшереля для сложных полупростых групп Ли", Proc. Natl. Акад. Sci. США , 37 (12): 813-818, Bibcode : 1951PNAS ... 37..813H , DOI : 10.1073 / pnas.37.12.813 , PMC 1063477 , PMID 16589034
Холл, Брайан К. (2003), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (1-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-319-13467-3 , ISBN 978-3319134666, ISSN 0072-5285
Хелгасон, С. (1968), Группы Ли и симметрические пространства , Battelle Rencontres, Benjamin, стр. 1–71. (общее введение для физиков)
Хелгасон, С. (2000), Группы и геометрический анализ. Интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции (исправленное переиздание оригинала 1984 г.) , Mathematical Surveys and Monographs, 83 , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2673-7
Jorgenson, J .; Ланг, С. (2008), Тепловое ядро и тета-инверсия на SL (2, C ) , Монографии Springer по математике, Springer, ISBN 978-0-387-38031-5
Убийство, Вильгельм (1888), "Die Zusammensetzung дера stetigen / endlichen Transformationsgruppen" , Mathematische Анналы (на немецком языке ), 31 (2 (июнь)): 252-290, DOI : 10.1007 / bf01211904 , S2CID 120501356
Кириллов, А. (2008). Введение в группы Ли и алгебры Ли . Кембриджские исследования в области высшей математики. 113 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521889698.
Клаудер, младший (1999). "Валентин Баргманн" (PDF) . Биографические воспоминания . Биографические воспоминания. 76 . Национальная академия прессы. С. 37–50. ISBN 978-0-309-06434-7.
Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп. Обзор на примерах. , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, ISBN. 978-0-691-09089-4(элементарное лечение SL (2, C ))
Ленглендс, Р.П. (1985). «Хариш-Чандра» . Биогр. Mem. Fellows R. Soc . 31 : 198–225. DOI : 10.1098 / RSBM.1985.0008 . S2CID 61332822 .
Ли, JM (2003), Введение в гладкие многообразия , Springer Graduate Texts in Mathematics, 218 , ISBN 978-0-387-95448-6
Ли, Софус (1888), Theorie der Transformationsgruppen I (1888), II (1890), III (1893) (на немецком языке)
Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип. S .; Уилер, Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
Наймарк, М. А. (1964), Линейные представления группы Лоренца (перевод с русского оригинала Анн Суинфен и О. Дж. Марстранд) , Macmillan
Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - Введение в линейные группы , Тексты для выпускников Оксфорда по математике, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
Рюль, В. (1970), Группа Лоренца и гармонический анализ , Бенджамин (подробный отчет для физиков)
Симмонс, Г. Ф. (1972). Дифференциальные уравнения с приложениями и историческими записками (изд. TMH). Нью-Дели: Тата МакГра – Хилл Паблишинг Компани Лтд . ISBN 978-0-07-099572-7.
Штейн, Элиас М. (1970), "Аналитическое продолжение представлений групп", достижения в области математики , 4 (2): 172-207, да : 10,1016 / 0001-8708 (70) 90022-8 (Лекции по математике Джеймса К. Уиттемора, прочитанные в Йельском университете, 1967 г.)
Такахаши, Р. (1963), "Sur les représentations unitaires des groupes de Lorentz généralisés", Bull. Soc. Математика. Франция (на французском языке), 91 : 289-433, DOI : 10,24033 / bsmf.1598
Тейлор, ME (1986), Некоммутативный гармонический анализ , Математические обзоры и монографии, 22 , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1523-6, Гл.9, SL (2, C ) и более общие группы Лоренца
Тунг, Ву-Ки (1985). Теория групп в физике (1-е изд.). Нью-Джерси · Лондон · Сингапур · Гонконг: World Scientific . ISBN 978-9971966577.
Варадараджан, VS (1989). Введение в гармонический анализ на полупростых группах Ли . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521663625.
Вайнберг, С. (2002) [1995], Основы , Квантовая теория полей, 1 , Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-55001-7
Вайнберг, С. (2000). Суперсимметрия . Квантовая теория полей. 3 (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521670555.
Вейль, Х. (1939), Классические группы. Их инварианты и представления , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, MR 0000255
Вейл, Х. (1931), Теория групп и квантовая механика , Довер, ISBN 978-0-486-60269-1
Вигнер, Е.П. (1939), «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца», Annals of Mathematics , 40 (1): 149–204, Bibcode : 1939AnMat..40..149W , doi : 10.2307 / 1968551 , JSTOR 1968551 , Руководство по ремонту 1503456.
Цвибах, Б. (2004). Первый курс теории струн . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-83143-1.

[1] Способ представления симметрии пространства-времени может принимать разные формы в зависимости от рассматриваемой теории. Хотя это не является настоящей темой, некоторые детали будут предоставлены в сносках, помеченных «nb», и в разделе « Приложения» .

[2] Перейти ↑ Weinberg 2002 , p. 1 «Если бы выяснилось, что система не может быть описана квантовой теорией поля, это было бы сенсацией; если бы оказалось, что она не подчиняется правилам квантовой механики и теории относительности, это был бы катаклизм».

[5] В 1945 году Хариш-Чандра приехал к Дираку в Кембридж. Он убедился, что не подходит для теоретической физики. Хариш-Чандра нашел ошибку в доказательстве Дирака в его работе над группой Лоренца. Дирак сказал: «Меня не интересуют доказательства, а интересует только то, что делает природа».
Позже Хариш-Чандра писал: «Это замечание подтвердило мою растущую уверенность в том, что у меня нет таинственного шестого чувства, которое необходимо для успеха в физике, и вскоре я решил перейти к математике».
Однако Дирак предложил тему своей диссертации - классификацию неприводимых бесконечномерных представлений группы Лоренца.
См. Dalitz & Peierls 1986

[21] См. Формулу (1) в S-матрице # Из состояний свободных частиц, чтобы узнать, как преобразуются свободные многочастичные состояния.

[28] Вайнберг 2002 , уравнения 5.1.4–5. Вайнберг выводит необходимость операторов рождения и уничтожения из другого соображения, принципа кластерной декомпозиции , Вайнберга (2002 , глава 4.)

[31] Также может потребоваться рецепт того, как частица должна вести себя при симметрии CPT.

[32] Такнапример, существуют версии (бесплатно уравнения поля, т.е. без точки взаимодействия) уравнения Клейна-Гордона , тем уравнение Дирака , то уравнения Максвелла , то уравнение Proca , то уравнение Рариты-Schwinger , а полевые уравнения Эйнштейна , которые могут систематически можно вывести, исходя из данного представления группы Лоренца. В общем, это все вместе являются версиями квантовой теории поля уравнений Баргмана – Вигнера .
См. Weinberg (2002 , глава 5), Tung (1985 , раздел 10.5.2) и ссылки, приведенные в этих работах.
Следует отметить, что теории высоких спинов ( $s > 1$ ) сталкиваются с трудностями. См. Вайнберг (2002 , раздел 5.8) об общих $(m, n)$ полях, где это обсуждается более подробно, и ссылки в нем. Несомненно , что высокоспиновые частицы существуют , например ядра, известные просто не элементарны .

[33] Относительно части их теории представлений см. Bekaert & Boulanger (2006) , который посвящен теории представлений группы Пуанкаре. Эти представления получаются методом индуцированных представлений или, говоря физическим языком, методом маленькой группы , впервые примененным Вигнером в 1939 году для этого типа групп и поставленным на прочную математическую основу Джорджем Макки в пятидесятых годах.

[40] Холл (2015 , раздел 4.4.)
Говорят, что группа обладает свойством полной сводимости, если каждое представление разлагается как прямая сумма неприводимых представлений.

[67] Дирак предложил тему Вигнера (1939) еще в 1928 году (как признается в статье Вигнера). Он также опубликовал одну из первых статей о явных бесконечномерных унитарных представлениях у Дирака (1945) ( Langlands 1985 ) и предложил тему для диссертации Хариш-Чандры, классифицирующей неприводимые бесконечномерные представления ( Dalitz & Peierls 1986 ).

[71] Knapp 2001 Довольно загадочно выглядящий третий изоморфизм доказан в параграфе 4 главы 2.

[74] Тензорные произведения представлений, $π г \otimes π ч$ избанки, когда оба фактора происходит из однойтех же алгебр Лилибо рассматривать как представлениеили. ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}={\mathfrak {g}},$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}$

[75] При комплексировании комплексной алгебры Ли ее следует рассматривать как реальную алгебру Ли реальной размерности, вдвое превышающей ее комплексную размерность. Точно так же реальная форма может быть сложной, как здесь.

[77] Объедините Вайнберг (2002 , уравнения 5.6.7–8, 5.6.14–15) с Холлом (2015 , предложение 4.18) о представлениях алгебры Ли представлений группового тензорного произведения.

[80] Свойство «бесследность» может быть выражено как $S αβ g αβ = 0$ , или $S α α = 0$ , или $S αβ g αβ = 0, в$ зависимости от представления поля: ковариантное, смешанное и контравариантное соответственно.

[82] Это не обязательно является симметричным непосредственно из лагранжиана с помощью теоремы Нётер , но его можно симметризовать как тензор энергии-напряжения Белинфанте – Розенфельда .

[83] Это при условии, что четность является симметрией. Иначе было бы два вкуса, $(3 / 2, 0)$ и $(0, 3 / 2)$ по аналогии с нейтрино .

[92] Терминология математики и физики различается. В связанной статье термин проективное представление имеет немного другое значение, чем в физике, где проективное представление рассматривается как локальное сечение (локальная инверсия) карты покрытия от покрываемой группы к покрываемой группе, составленное с собственными представление покрывающей группы. Поскольку это может быть сделано (локально) непрерывно двумя способами в данном случае, как объяснено ниже, терминология двузначного или двузначного представления является естественной.

[94] В частности, $A$ коммутирует с матрицами Паули , следовательно, со всей $SU (2),$ что делает лемму Шура применимой.

[96] Имея в виду, что ядро тривиально, напомним, что ядро гомоморфизма алгебр Ли является идеалом и, следовательно, подпространством. Поскольку $p$ равно $2: 1$ и обаи $SO (3; 1)$ $+$ являются $6-$ мерными , ядро должно быть $0-$ мерным , следовательно, ${0}.$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

[97] Экспоненциальное отображение взаимно однозначно в окрестности единицы,поэтому композиция,где $σ$ - изоморфизм алгебры Ли, находится на открытой окрестности $U$ $\subset SO (3; 1)$ $+,$ содержащей единицу. Такая окрестность порождает компонент связности. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),$ $\exp \circ \sigma \circ \log :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)^{+},$

[99] Россманн 2002 Из примера 4 в разделе 2.1: Это можно увидеть следующим образом. Матрица $q$ имеет собственные значения ${-1, -1}$ , но не диагонализуема . Если $q = exp (Q)$ , то $Q$ имеет собственные значения $λ, - λ$ с $λ = iπ + 2 πik$ для некоторого $k,$ потому что элементы избесследовы. Но тогда $Q$ диагонализуемо, следовательно, $q$ диагонализуемо; противоречие. ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

[108] Россманн 2002 , Предложение 10, параграф 6.3. Проще всего это доказать с помощью теории характеров .

[114] Любая дискретная нормальная подгруппа пути соединенной группы $G$ содержится в центре $Z$ из $G$ .
Холл 2015 , Упражнение 11, глава 1.

[115] Полупростая группа Ли не имеет недискретных нормальных абелевых подгрупп . Это можно принять за определение полупростоты.

[116] Простая группа не имеет недискретных нормальных подгрупп.

[119] Напротив, есть прием, также называемый унитарным приемом Вейля, но не имеющий отношения к унитарному приему, показанному выше, показывающему, что все конечномерные представления являются или могут быть сделаны унитарными. Если $(Π, V)$ - конечномерное представление компактной группы Ли $G$ и если $(\cdot, \cdot)$ - любое скалярное произведение на $V$ , определите новое скалярное произведение $(\cdot, \cdot) Π с$ помощью $(x, y) Π = \int G (Π (g) x, Π (g) y dμ (г)$ , где $μ$ является мерой Хаара на $G$ . Тогда $Π$ унитарно относительно $(\cdot, \cdot) Π$ . См. Холл (2015 , теорема 4.28).
Другое следствие состоит в том, что каждая компактная группа Ли обладает свойством полной сводимости , что означает, что все ее конечномерные представления распадаются как прямая сумма неприводимых представлений. Холл (2015 , определение 4.24., Теорема 4.28.)
Также верно, что не существует бесконечномерных неприводимых унитарных представлений компактных групп Ли, сформулированных, но не доказанных в Greiner & Müller (1994 , раздел 15.2.).

[123] Ли 2003 Лемма A.17 (c). Замкнутые подмножества компактов компактны.

[124] Ли 2003 Лемма A.17 (а). Если $f : X \to Y$ непрерывно, $X$ компактно, то $f (X)$ компактно.

[125] Неунитарность - жизненно важный ингредиент в доказательстве теоремы Коулмана – Мандулы , которая подразумевает, что, в отличие от нерелятивистских теорий, не может существовать обычной симметрии, связывающей частицы с разным спином. См. Вайнберг (2000).

[133] Это один из выводов теоремы Картана , теоремы о старшем весе.
Холл (2015 , теоремы 9.4–5.)

[136] Холл 2015 , Раздел 8.2 Корневая система - это объединение двух копий $A 1$ , где каждая копия находится в своих измерениях в векторном пространстве вложения.

[137] Россманн 2002 Это определение эквивалентно определению в терминах связной группы Ли, алгебра Ли которой является алгеброй Ли рассматриваемой системы корней.

[160] См. Simmons (1972 , раздел 30), где указаны точные условия, при которых два метода Фробениуса дают два линейно независимых решения. Если показатели не отличаются на целое число, это всегда так.

[167] "Это настолько близко, насколько можно приблизиться к истоку теории бесконечномерных представлений полупростых и редуктивных групп ..." , Ленглендс (1985 , стр. 204), ссылаясь на вводный отрывок в статье Дирака 1945 года.

[177] Обратите внимание, что для гильбертова пространства $H$ , $HS (H)$ можно канонически отождествить с тензорным произведением гильбертова пространства $H$ и его сопряженного пространства.

[182] Если требуется конечномерность, результатом являются представления $(m, n)$ , см. Tung (1985 , проблема 10.8). Если ни то, ни другое не требуется, то получается более широкая классификация всех неприводимых представлений, включая конечномерные и унитарные. Этот подход используется Хариш-Чандрой (1947) .

[3] Баргманн и Вигнер 1948

[4] Bekaert & Буланже 2006

[6] Перейти ↑ Misner, Thorne & Wheeler 1973

[7] Weinberg 2002 , раздел 2.5, глава 5.

[8] Tung 1985 , разделы 10.3, 10.5.

[9] Тунг 1985 , Раздел 10.4.

[10] Дирак 1945

[Harish-Chandra_1947-11] Хариш-Чандра 1947

[Greiner_1996_loc=Chapter_2-12] Greiner & Reinhardt 1996 , Глава 2.

[13] Weinberg 2002 , Предисловие и введение к главе 7.

[14] Weinberg 2002 , Введение в главу 7.

[15] Тунг 1985 , Определение 10.11.

[16] Перейти ↑ Greiner & Müller (1994 , Глава 1)

[17] Грейнер и Мюллер (1994 , Глава 2)

[18] Перейти ↑ Tung 1985 , p. 203.

[19] Дельборго Салам & Strathdee 1967

[20] Вайнберг (2002 , раздел 3.3)

[22] Вайнберг (2002 , раздел 7.4.)

[23] Tung 1985 , Введение в главу 10.

[24] Тунг 1985 , Определение 10.12.

[25] Tung 1985 , уравнение 10.5-2.

[26] Вайнберг 2002 , уравнения 5.1.6–7.

[Tung_1985_loc=Equation_10.5-18-27] Тунг 1985 , уравнение 10.5–18.

[29] Вайнберг 2002 , уравнения 5.1.11–12.

[30] Тунг 1985 , Раздел 10.5.3.

[34] Zwiebach 2004 , раздел 6.4.

[35] Zwiebach 2004 , Глава 7.

[36] Zwiebach 2004 , раздел 12.5.

[Weinberg_2000_loc=Section_25.2-37] а б Вайнберг 2000 , раздел 25.2.

[38] Zwiebach 2004 , последний абзац, раздел 12.6.

[39] Эти факты можно найти в большинстве вводных текстов по математике и физике. См., Например, Россманн (2002) , Холл (2015) и Тунг (1985) .

[41] Холл (2015 , теорема 4.34 и последующее обсуждение.)

[Wigner_1939-42] Вигнер 1939

[43] Hall 2015 , Приложение D2.

[44] Перейти ↑ Greiner & Reinhardt 1996

[45] Weinberg 2002 , раздел 2.6 и глава 5.

[Coleman_1989_30-46] а б Коулман 1989 , стр. 30.

[47] Lie 1888 , 1890, 1893. Первоисточник.

[48] Перейти ↑ Coleman 1989 , p. 34.

[49] Убийство 1888 г. Первичный источник.

[Rossmann_2002_loc=Historical_tidbits_scattered_across_the_text-50] Россманн 2002 , Исторические лакомые кусочки, разбросанные по тексту.

[51] Картан 1913 г. Первоисточник.

[52] Грин 1998 , p = 76.

[53] Brauer & Weyl 1935 Первичный источник.

[54] Перейти ↑ Tung 1985 , Introduction.

[55] Weyl 1931 Первоисточник.

[56] Weyl 1939 Первичный источник.

[57] Перейти ↑ Langlands 1985 , pp. 203–205

[58] Хариш-Чандра 1947 Первичный источник.

[59] Перейти ↑ Tung 1985 , Introduction

[60] Вигнер 1939 Первоисточник.

[61] Клаудер 1999

[62] Bargmann 1947 Первоисточник.

[63] Баргманн был также математиком . Он работалассистентом Альберта Эйнштейна в Институте перспективных исследований в Принстоне ( Клаудер (1999) ).

[64] Bargmann & Вигнера 1948 Первичный источник.

[65] Далитц и Пайерлс 1986

[66] Дирак 1928 г. Первоисточник.

[68] Вайнберг 2002 , уравнения 5.6.7–8.

[69] Вайнберг 2002 , уравнения 5.6.9–11.

[Hall_2003-70] Холл 2003 , Глава 6.

[ReferenceC-72] а б в г Кнапп 2001

[73] Это приложение Россманна 2002 , раздел 6.3, предложение 10.

[Knapp_2001_32-76] а б Кнапп 2001 , стр. 32.

[78] Вайнберг 2002 , уравнения 5.6.16-17.

[Weinberg_2002_Chapter_2-79] Вайнберг 2002 , раздел 5.6. Уравнения следуют из уравнений 5.6.7–8 и 5.6.14–15.

[Tung_1985-81] а б Тунг 1985

[84] Weinberg 2002 См. Сноску на стр. 232.

[85] Ложь 1888

[86] Россманн 2002 , раздел 2.5.

[87] Холл 2015 , теорема 2.10.

[88] Перейти ↑ Bourbaki 1998 , p. 424.

[89] Вайнберг 2002 , раздел 2.7 с.88.

[Weinberg_2002_loc=Section_2.7-90] Вайнберг 2002 , раздел 2.7.

[91] Hall 2015 , Приложение C.3.

[93] Вигнер 1939 , стр. 27.

[Gelfand_1-95] Гельфанд, Минлос и Шапиро 1963 Эта конструкция покрывающей группы рассматривается в параграфе 4, разделе 1, главе 1 в Части II.

[98] Россманн 2002 , раздел 2.1.

[100] Холл 2015 , Впервые отображенные уравнения в разделе 4.6.

[101] Холл 2015 , Пример 4.10.

[harvnb|Knapp|2001-102] а б Кнапп 2001 , Глава 2.

[103] Knapp 2001 Уравнение 2.1.

[104] Холл 2015 , уравнение 4.2.

[105] Холл 2015 , Уравнение до 4.5.

[106] Knapp 2001 Уравнение 2.4.

[Knapp_2001-107] Перейти ↑ Knapp 2001 , раздел 2.3.

[109] Холл 2015 , теоремы 9.4–5.

[110] Перейти ↑ Weinberg 2002 , Глава 5.

[111] Холл 2015 , теорема 10.18.

[112] Перейти ↑ Hall 2003 , p. 235.

[113] См. Любой текст по основной теории групп.

[117] Россманн 2002 Предложения 3 и 6 параграф 2.5.

[118] Холл 2003 См. Упражнение 1, Глава 6.

[120] Bekaert & Буланже 2006 с.4.

[121] Hall 2003 Предложение 1.20.

[122] Ли 2003 , теорема 8.30.

[126] Weinberg 2002 , раздел 5.6, стр. 231.

[127] Вайнберг 2002 , раздел 5.6.

[128] Перейти ↑ Weinberg 2002 , p. 231.

[129] Вайнберг 2002 , разделы 2.5, 5.7.

[130] Перейти ↑ Tung 1985 , Раздел 10.5.

[131] Weinberg 2002 Это изложено (очень кратко) на странице 232, не более чем сноской.

[132] Hall 2003 , предложение 7,39.

[Hall_2003_loc=Theorem_7.40-134] Холл 2003 , теорема 7.40.

[135] Холл 2003 , Раздел 6.6.

[138] Холл 2003 , Второй пункт в предложении 4.5.

[139] Перейти ↑ Hall 2003 , p. 219.

[140] Россманн 2002 , Упражнение 3 в параграфе 6.5.

[141] Hall 2003 См. Приложение D.3.

[142] Вайнберг 2002 , уравнение 5.4.8.

[Weinberg_2002_loc=Section_5.4-143] а б Вайнберг 2002 , раздел 5.4.

[144] Перейти ↑ Weinberg 2002 , pp. 215–216.

[145] Вайнберг 2002 , уравнение 5.4.6.

[ReferenceA-146] Вайнберг 2002 Раздел 5.4.

[147] Перейти ↑ Weinberg 2002 , Section 5.7, pp. 232–233.

[148] Weinberg 2002 , раздел 5.7, стр. 233.

[149] Вайнберг 2002 Уравнение 2.6.5.

[150] Вайнберг 2002 Уравнение после 2.6.6.

[151] Вайнберг 2002 , раздел 2.6.

[152] Для подробного обсуждения спина 0,1/2и 1 случай, см. Greiner & Reinhardt 1996 .

[153] Перейти ↑ Weinberg 2002 , Глава 3.

[154] Россманн 2002 См. Раздел 6.1 для получения дополнительных примеров, как конечномерных, так и бесконечномерных.

[Gelfand_M_S-155] Гельфанд, Минлос и Шапиро 1963

[156] Churchill & Brown 2014 , глава 8 стр. 307-310.

[157] Гонсалес, Пенсильвания; Васкес, Ю. (2014). "Квазинормальные моды Дирака черных дыр нового типа в новой массивной гравитации". Евро. Phys. Дж . К. 74: 2969 (7): 3. arXiv : 1404.5371 . Bibcode : 2014EPJC ... 74.2969G . DOI : 10.1140 / epjc / s10052-014-2969-1 . ISSN 1434-6044 . S2CID 118725565 .

[158] Abramowitz & Stegun 1965 , уравнение 15.6.5.

[159] Simmons 1972 , разделы 30, 31.

[161] Симмонс 1972 , разделы 30.

[162] Перейти ↑ Simmons 1972 , Section 31.

[163] Simmons 1972 , уравнение 11 в приложении E, глава 5.

[164] Перейти ↑ Langlands 1985 , p. 205.

[165] Варадараджан 1989 , разделы 3.1. 4.1.

[166] Перейти ↑ Langlands 1985 , p. 203.

[168] Варадараджан 1989 , раздел 4.1.

[169] Гельфанд, Граев и Пятецкий-Шапиро 1969

[170] Перейти ↑ Knapp 2001 , Глава II.

[Taylor_1986-171] Тейлор 1986

[172] Knapp 2001 Глава 2. Уравнение 2.12.

[173] Баргманн 1947

[174] Гельфанд и Граев 1953

[175] Гельфанд и Наймарк, 1947 г.

[176] Перейти ↑ Takahashi, 1963 , p. 343.

[178] Перейти ↑ Knapp 2001 , Equation 2.24.

[179] Folland 2015 , раздел 3.1.

[180] Folland 2015 , теорема 5.2.

[181] Тунг 1985 , Раздел 10.3.3.

[183] Хариш-Чандры 1947 , Сноска р. 374.

[184] Тунг 1985 , уравнения 7.3–13, 7.3–14.

[185] Хариш-Чандра 1947 , уравнение 8.

[186] Hall 2015 , предложение С.7.

[187] Hall 2015 , Приложение C.2.

[188] Tung 1985 , Шаг II, раздел 10.2.

[189] Тунг 1985 , уравнения 10.3–5. Обозначения Тунга для коэффициентов Клебша – Гордана отличаются от используемых здесь.

[190] Перейти ↑ Tung 1985 , Equation VII-3.

[191] Тунг 1985 , уравнения 10.3–5, 7, 8.

[192] Перейти ↑ Tung 1985 , Equation VII-9.

[193] Перейти ↑ Tung 1985 , Equations VII-10, 11.

[194] Перейти ↑ Tung 1985 , Equations VII-12.

[195] Перейти ↑ Tung 1985 , Equations VII-13.

[196] Вайнберг 2002 , уравнение 2.4.12.

[197] Вайнберг 2002 , уравнения 2.4.18–2.4.20.

[198] Вайнберг 2002 , уравнения 5.4.19, 5.4.20.

[199] Zwiebach 2004 , раздел 12.8.

[Bekaert_2006_48-200] Bekaert & Boulanger 2006 , стр. 48.

[201] Zwiebach 2004 , Раздел 18,8.

[nb 1]

Теория представлений группы Лоренца.

Развитие [ править ]

Приложения [ править ]

Классическая теория поля [ править ]

Релятивистская квантовая механика [ править ]

Квантовая теория поля [ править ]

Спекулятивные теории [ править ]

Конечномерные представления [ править ]

История [ править ]

Алгебра Ли [ править ]

Унитарианский трюк [ править ]

( Μ , ν ) -представления sl (2, C) [ править ]

( M , n ) -представления so (3; 1) [ править ]

Общие представления [ править ]

Внедиагональные прямые суммы [ править ]

Группа [ править ]

Сюръективность экспоненциального отображения для SO (3, 1) [ править ]

Фундаментальная группа [ править ]

Проективные представления [ править ]

Накрывающая группа SL (2, C) [ править ]

Геометрический вид [ править ]

Алгебраический взгляд [ править ]

Несюръективность экспоненциального отображения для SL (2, C) [ править ]

Реализация представлений SL (2, C) и sl (2, C) и их алгебр Ли [ править ]

Сложные линейные представления [ править ]

Реальные линейные представления [ править ]

Свойства представлений ( m , n ) [ править ]

Размер [ править ]

Верность [ править ]

Неунитарность [ править ]

Ограничение SO (3) [ править ]

Спиноры [ править ]

Двойные представления [ править ]

Комплексно-сопряженные представления [ править ]

Присоединенное представление, алгебра Клиффорда и спинорное представление Дирака [ править ]

(1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) представление спина [ править ]

Приводимые представления [ править ]

Инверсия пространства и обращение времени [ править ]

Инверсия пространственной четности [ править ]

Обратное время [ править ]

Действия с функциональными пространствами [ править ]

Евклидовы вращения [ править ]

Группа Мебиуса [ править ]

P-функции Римана [ править ]

Бесконечномерные унитарные представления [ править ]

История [ править ]

Основная серия для SL (2, C) [ править ]

Дополнительная серия для SL (2, C) [ править ]

Теорема Планшереля для SL (2, C) [ править ]

Классификация представлений SO (3, 1) [ править ]

Шаг 1 [ редактировать ]

Шаг 2 [ редактировать ]

Шаг 3 [ редактировать ]

Шаг 4 [ редактировать ]

Явные формулы [ править ]

Соглашения и основы алгебры Ли [ править ]

Спиноры и биспиноры Вейля [ править ]

Открытые проблемы [ править ]

См. Также [ править ]

Замечания [ править ]

Заметки [ править ]

Бесплатные онлайн-ссылки [ править ]

Ссылки [ править ]

Реализация представлений $SL (2, C)$ и $sl (2, C)$ и их алгебр Ли [ править ]

$(1 / 2, 0) \oplus (0, 1 / 2)$ представление спина [ править ]