Представление группы Ли

Группы Ли
Классические группы General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n)
Простые группы Ли Classical An Bn Cn Dn Exceptional G2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Circle Lorentz Poincaré Conformal group Diffeomorphism Loop Euclidean
Алгебры Ли Lie group–Lie algebra correspondence Exponential map Adjoint representation Killing form Index Lie point symmetry Simple Lie algebra
Полупростая алгебра Ли Dynkin diagrams Cartan subalgebra Root system Weyl group Real form Complexification Split Lie algebra Compact Lie algebra
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Представления классических групп Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физике Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
Ученые Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В математике и теоретической физике , представление группы Ли является линейным действием группы Ли на векторном пространстве . Эквивалентно представление - это гладкий гомоморфизм группы в группу обратимых операторов в векторном пространстве. Представления играют важную роль в изучении непрерывной симметрии . О таких представлениях известно очень много, и основным инструментом их изучения является использование соответствующих «бесконечно малых» представлений алгебр Ли .

Конечномерные представления

Представления

Комплексное представление группы - это действие группы на конечномерном векторном пространстве над полем${\ displaystyle \ mathbb {C}}$. Представление группы Ли G , действующее на n -мерном векторном пространстве V над${\ displaystyle \ mathbb {C}}$тогда является гладким групповым гомоморфизмом

${\ Displaystyle \ Pi: G \ rightarrow \ OperatorName {GL} (V)}$,

куда ${\ displaystyle \ operatorname {GL} (V)}$является общей линейной группой всех обратимых линейных преобразований${\ displaystyle V}$под их состав. Поскольку все n -мерные пространства изоморфны, группа${\ displaystyle \ operatorname {GL} (V)}$ можно отождествить с группой обратимых комплексных ${\ Displaystyle п \ раз п}$матрицы, обычно называемые${\ displaystyle \ operatorname {GL} (n; \ mathbb {C}).}$ Плавность карты ${\ displaystyle \ Pi}$можно рассматривать как техническую сторону, поскольку любой непрерывный гомоморфизм автоматически будет гладким. ^[1]

В качестве альтернативы мы можем описать представление группы Ли ${\ displaystyle G}$как линейное действие в${\ displaystyle G}$ в векторном пространстве ${\ displaystyle V}$. Условно мы бы тогда написали${\ displaystyle g \ cdot v}$ на месте ${\ Displaystyle \ Pi (g) v}$ кстати, групповой элемент ${\ displaystyle g \ in G}$ действует на вектор ${\ displaystyle v \ in V}$.

Типичным примером, в котором представления возникают в физике, может быть изучение линейного уравнения в частных производных, имеющего группу симметрии ${\ displaystyle G}$. Хотя отдельные решения уравнения могут не быть инвариантными под действием${\ displaystyle G}$, пространство ${\ displaystyle V}$ всех решений инвариантна под действием ${\ displaystyle G}$. Таким образом,${\ displaystyle V}$ представляет собой представление ${\ displaystyle G}$. См. Пример SO (3), обсуждаемый ниже.

Основные определения

Если гомоморфизм ${\ displaystyle \ Pi}$инъективно (т. е. мономорфизм ), представление называется точным .

Если выбран базис для комплексного векторного пространства V , представление может быть выражено как гомоморфизм в общую линейную группу ${\ Displaystyle \ OperatorName {GL} (п; \ mathbb {C})}$. Это известно как матричное представление . Два представления G на векторных пространства V , W является эквивалентны , если они имеют те же матричные представления в отношении некоторых вариантов оснований для V и W .

Учитывая представление ${\ Displaystyle \ Pi: G \ rightarrow \ OperatorName {GL} (V)}$, мы говорим, что подпространство W в V является инвариантным подпространством, если${\ Displaystyle \ Pi (g) ш \ в W}$ для всех ${\ displaystyle g \ in G}$ и ${\ displaystyle w \ in W}$. Представление называется неприводимым, если единственными инвариантными подпространствами V являются нулевое пространство и само V. Для некоторых типов групп Ли, а именно компактных ^[2] и полупростых ^[3] групп, каждое конечномерное представление разлагается как прямая сумма неприводимых представлений, свойство, известное как полная сводимость. Для таких групп типичной целью теории представлений является классификация всех конечномерных неприводимых представлений данной группы с точностью до изоморфизма. (См. Раздел «Классификация» ниже.)

Унитарное представление на конечномерном внутреннее пространство продукта определяется таким же образом, за исключением того, что${\ displaystyle \ Pi}$требуется для отображения в группу унитарных операторов . Если G - компактная группа Ли , любое конечномерное представление эквивалентно унитарному. ^[2]

Представления алгебры Ли

Каждое представление группы Ли G порождает представление ее алгебры Ли; это соответствие подробно обсуждается в следующих разделах. См. Представление алгебр Ли по теории алгебр Ли.

Пример: группа вращения SO (3)

В квантовой механике, не зависящие от времени уравнения Шредингера ,${\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi = E \ psi}$играет важную роль. В трехмерном случае, если${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ имеет вращательную симметрию, то пространство ${\ displaystyle V_ {E}}$ решений для ${\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi = E \ psi}$будет инвариантным относительно действия SO (3). Таким образом,${\ displaystyle V_ {E}}$ будет - для каждого фиксированного значения ${\ displaystyle E}$- составить представление SO (3), которое обычно является конечномерным. Пытаясь решить${\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi = E \ psi}$, это помогает узнать, как выглядят все возможные конечномерные представления SO (3). Теория представлений SO (3) играет ключевую роль, например, в математическом анализе атома водорода .

Каждый стандартный учебник по квантовой механике содержит анализ, который по существу классифицирует конечномерные неприводимые представления SO (3) с помощью его алгебры Ли. (Коммутационные соотношения между операторами углового момента - это просто соотношения для алгебры Ли${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$из SO (3).) Одна тонкость этого анализа заключается в том, что представления группы и алгебры Ли не находятся во взаимно однозначном соответствии, что имеет решающее значение для понимания различия между целочисленным спином и полуцелым спином. .

Обыкновенные представления

Группа вращений SO (3) является компактной группой Ли, и поэтому любое конечномерное представление SO (3) распадается как прямая сумма неприводимых представлений. Группа SO (3) имеет по одному неприводимому представлению в каждой нечетной размерности. ^[4] Для каждого неотрицательного целого числа${\ displaystyle k}$неприводимое представление размерности ${\ displaystyle 2k + 1}$ может быть реализовано как пространство ${\ displaystyle V_ {k}}$однородных гармонических многочленов на${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ степени ${\ displaystyle k}$. ^[5] Здесь SO (3) действует на${\ displaystyle V_ {k}}$ обычным образом, когда вращения действуют на функции на ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$:

${\ displaystyle (\ Pi (R) f) (x) = f (R ^ {- 1} x) \ quad R \ in \ operatorname {SO} (3).}$

Ограничение на единичную сферу ${\ Displaystyle S ^ {2}}$ элементов ${\ displaystyle V_ {k}}$являются сферические гармоники степени${\ displaystyle k}$.

Если, скажем, ${\ displaystyle k = 1}$, то все однородные степени один многочлены гармоничны, и мы получаем трехмерное пространство ${\ displaystyle V_ {1}}$ натянутая на линейные многочлены ${\ displaystyle x}$, ${\ displaystyle y}$, и ${\ displaystyle z}$. Если${\ displaystyle k = 2}$, космос ${\ displaystyle V_ {2}}$ натянута на многочлены ${\ displaystyle xy}$, ${\ displaystyle xz}$, ${\ displaystyle yz}$, ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$, и ${\ displaystyle x ^ {2} -z ^ {2}}$.

Как отмечалось выше, конечномерные представления SO (3) естественным образом возникают при изучении не зависящего от времени уравнения Шредингера для радиального потенциала, такого как атом водорода , как отражения вращательной симметрии задачи. (См. Роль сферических гармоник в математическом анализе водорода .)

Проективные представления

Если мы посмотрим на алгебру Ли ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$ алгебры SO (3) эта алгебра Ли изоморфна алгебре Ли ${\ Displaystyle {\ mathfrak {су}} (2)}$из SU (2). По теории представлений s u ( 2 ) {\ Displaystyle {\ mathfrak {су}} (2)} , тогда существует одно неприводимое представление ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$во всех измерениях. Однако четномерные представления не соответствуют представлениям группы SO (3). ^[6] Эти так называемые «дробные спиновые» представления, однако, соответствуют проективным представлениям SO (3). Эти представления возникают в квантовой механике частиц с дробным спином, таких как электрон.

Операции над представлениями

В этом разделе мы описываем три основные операции с представлениями. ^[7] См. Также соответствующие конструкции для представлений алгебры Ли.

Прямые суммы

Если у нас есть два представления группы ${\ displaystyle G}$, ${\ displaystyle \ Pi _ {1}: G \ rightarrow GL (V_ {1})}$ и ${\ displaystyle \ Pi _ {2}: G \ rightarrow GL (V_ {2})}$, то прямая сумма имела бы${\ Displaystyle V_ {1} \ oplus V_ {2}}$ в качестве основного векторного пространства, с действием группы, заданной

${\ Displaystyle \ Pi (g) (v_ {1}, v_ {2}) = (\ Pi _ {1} (g) v_ {1}, \ Pi _ {2} (g) v_ {2}), }$

для всех ${\ displaystyle v_ {1} \ in V_ {1},}$ ${\ displaystyle v_ {2} \ in V_ {2}}$, и ${\ displaystyle g \ in G}$.

Некоторые типы групп Ли, в частности компактные группы Ли, обладают тем свойством, что любое конечномерное представление изоморфно прямой сумме неприводимых представлений. ^[2] В таких случаях классификация представлений сводится к классификации неприводимых представлений. См . Теорему Вейля о полной сводимости .

Тензорные произведения представлений

Если у нас есть два представления группы ${\ displaystyle G}$, ${\ displaystyle \ Pi _ {1}: G \ rightarrow GL (V_ {1})}$ и ${\ displaystyle \ Pi _ {2}: G \ rightarrow GL (V_ {2})}$, то тензорное произведение представлений имело бы векторное пространство тензорного произведения${\ displaystyle V_ {1} \ otimes V_ {2}}$ как лежащее в основе векторное пространство, с действием ${\ displaystyle G}$ однозначно определяется предположением, что

${\ Displaystyle \ Pi (g) (v_ {1} \ otimes v_ {2}) = (\ Pi _ {1} (g) v_ {1}) \ otimes (\ Pi _ {2} (g) v_ { 2})}$

для всех ${\ displaystyle v_ {1} \ in V_ {1}}$ и ${\ displaystyle v_ {2} \ in V_ {2}}$. То есть,${\ Displaystyle \ Pi (g) = \ Pi _ {1} (g) \ otimes \ Pi _ {2} (g)}$.

Представление алгебры Ли ${\ displaystyle \ pi}$ связанный с тензорным представлением произведения ${\ displaystyle \ Pi}$дается формулой: ^[8]

${\ displaystyle \ pi (X) = \ pi _ {1} (X) \ otimes I + I \ otimes \ pi _ {2} (X).}$

Тензорное произведение двух неприводимых представлений обычно неприводимо; основная проблема теории представлений состоит в том, чтобы разложить тензорные произведения неприводимых представлений как прямую сумму неприводимых подпространств. В физической литературе эта проблема называется «сложением углового момента» или « теорией Клебша – Гордана ».

Двойные представления

Позволять ${\ displaystyle G}$ группа Ли и ${\ Displaystyle \ Pi: G \ rightarrow GL (V)}$ - представление группы G. Пусть ${\ Displaystyle V ^ {*}}$ - двойственное пространство, т. е. пространство линейных функционалов на ${\ displaystyle V}$. Тогда мы можем определить представление${\ displaystyle \ Pi ^ {*}: G \ rightarrow GL (V ^ {*})}$ по формуле

${\ displaystyle \ Pi ^ {*} (g) = (\ Pi (g ^ {- 1})) ^ {\ operatorname {tr}},}$

где для любого оператора ${\ displaystyle A: V \ rightarrow V}$, оператор транспонирования ${\ displaystyle A ^ {\ operatorname {tr}}: V ^ {*} \ rightarrow V ^ {*}}$ определяется как «композиция с ${\ displaystyle A}$"оператор:

${\ displaystyle (A ^ {\ operatorname {tr}} \ phi) (v) = \ phi (Av).}$

(Если мы работаем в базе, то ${\ displaystyle A ^ {\ operatorname {tr}}}$ это просто обычная матрица, транспонированная ${\ displaystyle A}$.) Обратное в определении ${\ displaystyle \ Pi ^ {*}}$ необходимо для того, чтобы ${\ displaystyle \ Pi ^ {*}}$ на самом деле представляет собой представление ${\ displaystyle G}$, в свете идентичности ${\ displaystyle (AB) ^ {\ operatorname {tr}} = B ^ {\ operatorname {tr}} A ^ {\ operatorname {tr}}}$.

Двойственное к неприводимому представлению всегда неприводимо ^[9], но может быть или не быть изоморфным исходному представлению. В случае группы SU (3), например, неприводимые представления помечаются парой${\ Displaystyle (м_ {1}, м_ {2})}$неотрицательных целых чисел. Двойственное представление, связанное с${\ Displaystyle (м_ {1}, м_ {2})}$ представление, связанное с ${\ Displaystyle (м_ {2}, м_ {1})}$. ^[10]

Группа Ли против представлений алгебры Ли

Обзор

Во многих случаях удобно изучать представления группы Ли, изучая представления ассоциированной алгебры Ли. В общем, однако, не всякое представление алгебры Ли происходит из представления группы. Этот факт, например, лежит в основе различия между целочисленным спином и полуцелым спином в квантовой механике. С другой стороны, если G - односвязная группа, то теорема ^[11] говорит, что мы действительно получаем взаимно однозначное соответствие между представлениями группы и алгебры Ли.

Пусть G - группа Ли с алгеброй Ли${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$, и предположим, что представление ${\ displaystyle \ pi}$ из ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$под рукой. Переписка Ли может быть использована для получения групповых представлений связной компоненты G . Грубо говоря, это достигается путем взятия матричной экспоненты от матриц представления алгебры Ли. Тонкость возникает, если G не является односвязным . Это может привести к проективным представлениям или, в физике терминологии, многозначных представления G . Это на самом деле представление универсальной накрывающей группы из G .

Эти результаты будут объяснены более подробно ниже.

Соответствие Ли дает результаты только для связного компонента групп, и, таким образом, другие компоненты полной группы рассматриваются отдельно, давая представителей для матриц, представляющих эти компоненты, по одному для каждого компонента. Эти формы (представители) Нулевая гомотопическая группа из G . Например, в случае четырехкомпонентной группы Лоренца представители инверсии пространства и обращения времени должны вводиться вручную . Дальнейшие иллюстрации будут взяты из теории представлений группы Лоренца ниже.

Экспоненциальное отображение

Софус Ли , создатель теории Ли . Теория многообразий не была открыта во времена Ли, поэтому он работал локально с подмножествами${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$Структура сегодня будет называться местной группой .

Если ${\ displaystyle G}$ группа Ли с алгеброй Ли ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$, то у нас есть экспоненциальное отображение из ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ к ${\ displaystyle G}$, записанный как

${\ displaystyle X \ mapsto e ^ {X}, \ quad X \ in {\ mathfrak {g}}.}$

Если ${\ displaystyle G}$ матричная группа Ли, выражение ${\ displaystyle e ^ {X}}$может быть вычислен с помощью обычного степенного ряда для экспоненты. В любой группе Ли существуют окрестности${\ displaystyle U}$ идентичности в ${\ displaystyle G}$ и ${\ displaystyle V}$ происхождения в ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ с тем свойством, что каждый ${\ displaystyle g}$ в ${\ displaystyle U}$ можно записать однозначно как ${\ displaystyle g = e ^ {X}}$ с ${\ displaystyle X \ in V}$. То есть экспоненциальная карта имеет локальный инверс. В большинстве групп это только местные; то есть экспоненциальное отображение обычно не является ни взаимно однозначным, ни прямым.

Представления алгебры Ли из представлений групп

Всегда можно перейти от представления группы Ли G к представлению ее алгебры Ли${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}.}$Если Π: G → GL ( V ) является групповым представлением для некоторого векторного пространства V , то его прямой (дифференциал) в единице или отображение Ли ,${\ displaystyle \ pi: {\ mathfrak {g}} \ to {\ text {End}} V}$является представлением алгебры Ли. Он явно вычисляется с использованием ^[12]

${\ displaystyle \ pi (X) = \ left. {\ frac {d} {dt}} \ Pi (e ^ {tX}) \ right | _ {t = 0}, \ quad X \ in {\ mathfrak { г}}.}$

( G6 )

Основное свойство, относящееся к ${\ displaystyle \ Pi}$ и ${\ displaystyle \ pi}$включает экспоненциальное отображение: ^[12]

${\ displaystyle \ Pi (e ^ {X}) = e ^ {\ pi (X)}.}$

Вопрос, который мы хотим исследовать, заключается в том, каждое ли представление ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ возникает таким образом из представлений группы ${\ displaystyle G}$. Как мы увидим, это тот случай, когда${\ displaystyle G}$ просто связано.

Представления групп из представлений алгебры Ли

Основной результат этого раздела следующий: ^[13]

Теорема : если${\ displaystyle G}$ односвязно, то каждое представление ${\ displaystyle \ pi}$ алгебры Ли ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ из ${\ displaystyle G}$ происходит из представления ${\ displaystyle \ Pi}$ из ${\ displaystyle G}$ сам.

Отсюда легко выводится следующее:

Следствие : если${\ displaystyle G}$ связано, но не односвязно, каждое представление ${\ displaystyle \ pi}$ из ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ происходит из представления ${\ displaystyle \ Pi}$ из ${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$, универсальная обложка ${\ displaystyle G}$. Если${\ displaystyle \ pi}$ неприводимо, то ${\ displaystyle \ Pi}$опускается до проективного представления о${\ displaystyle G}$.

Проективное представление - это такое представление, в котором каждый ${\ Displaystyle \ Pi (г), \, г \ в G,}$определяется только с точностью до умножения на константу. В квантовой физике естественно допускать проективные представления в дополнение к обычным, потому что состояния действительно определены только с точностью до константы. (То есть, если${\ displaystyle \ psi}$ вектор в квантовом гильбертовом пространстве, то ${\ displaystyle c \ psi}$ представляет одно и то же физическое состояние для любой постоянной ${\ displaystyle c}$.) Всякое конечномерное проективное представление связной группы Ли${\ displaystyle G}$ происходит от обычного изображения универсального покрытия ${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$ из ${\ displaystyle G}$. ^[14] И наоборот, как мы обсудим ниже, каждое неприводимое обычное представление${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$ спускается к проективному представлению ${\ displaystyle G}$. В физической литературе проективные представления часто описываются как многозначные представления (т. Е. Каждое${\ Displaystyle \ Pi (г)}$имеет не одну ценность, а целую семью ценностей). Это явление важно для изучения дробного спина в квантовой механике.

Здесь V - конечномерное векторное пространство, GL ( V ) - множество всех обратимых линейных преобразований на V и${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$это его алгебра Ли. Отображения тг и Π являются Ли алгебра и представления групп соответственно, а ехр является экспоненциальное отображение. Диаграмма коммутирует только с точностью до знака , если Π проективно.

Приведем схему доказательства основных результатов, приведенных выше. Предполагать${\ displaystyle \ pi: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} (V)}$ представляет собой представление ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$на векторном пространстве V . Если будет ассоциированное представление группы Ли${\ displaystyle \ Pi}$, он должен удовлетворять экспоненциальному соотношению из предыдущего пункта. Теперь, в свете локальной обратимости экспоненты, мы можем определить отображение${\ displaystyle \ Pi}$ из района ${\ displaystyle U}$ идентичности в ${\ displaystyle G}$ этим соотношением:

${\ Displaystyle \ Pi (е ^ {X}) = e ^ {\ pi (X)}, \ quad g = e ^ {X} \ in U.}$

Ключевой вопрос тогда таков: является ли это локально определенное отображение «локальным гомоморфизмом»? (Этот вопрос будет применяться даже в частном случае, когда экспоненциальное отображение глобально взаимно однозначно и на; в этом случае${\ displaystyle \ Pi}$ будет глобально определенной картой, но не очевидно, почему ${\ displaystyle \ Pi}$ был бы гомоморфизмом.) Ответ на этот вопрос - да: ${\ displaystyle \ Pi}$является локальным гомоморфизмом, и это можно установить с помощью формулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа . ^[15]

Если ${\ displaystyle G}$ связан, то каждый элемент ${\ displaystyle G}$является по крайней мере произведением экспонент элементов${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$. Таким образом, мы можем предварительно определить${\ displaystyle \ Pi}$ глобально следующим образом.

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ Pi (g = e ^ {X}) & \ Equiv e ^ {\ pi (X)}, && X \ in {\ mathfrak {g}}, \ quad g = e ^ {X} \ in \ operatorname {im} (\ exp), \\\ Pi (g = g_ {1} g_ {2} \ cdots g_ {n}) & \ Equiv \ Pi (g_ {1}) \ Pi (g_ {2}) \ cdots \ Pi (g_ {n}), && g \ notin \ operatorname {im} (\ exp), \ quad g_ {1}, g_ {2}, \ ldots, g_ {n} \ в \ operatorname {im} (\ exp). \ end {align}}}$

( G2 )

Обратите внимание, однако, что представление данного элемента группы в виде произведения экспонент очень далеко от уникального, поэтому очень далеко не ясно, что ${\ displaystyle \ Pi}$ на самом деле хорошо определено.

Чтобы ответить на вопрос о том, ${\ displaystyle \ Pi}$ хорошо определен, мы соединяем каждый элемент группы ${\ displaystyle g \ in G}$к личности, используя непрерывный путь. Тогда можно определить${\ displaystyle \ Pi}$ вдоль пути и показать, что значение ${\ Displaystyle \ Pi (г)}$не изменяется при непрерывной деформации пути с фиксированными концами. Если${\ displaystyle G}$ односвязен, любой путь, начинающийся с идентификатора и заканчивающийся ${\ displaystyle g}$ можно непрерывно деформировать в любой другой такой путь, показывая, что ${\ Displaystyle \ Pi (г)}$полностью не зависит от выбора пути. Учитывая, что первоначальное определение${\ displaystyle \ Pi}$вблизи единицы был локальный гомоморфизм, нетрудно показать, что глобально определенное отображение также является гомоморфизмом, удовлетворяющим (G2) . ^[16]

Если ${\ displaystyle G}$ не просто связано, мы можем применить описанную выше процедуру к универсальной крышке ${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$ из ${\ displaystyle G}$. Позволять${\ displaystyle p: {\ tilde {G}} \ rightarrow G}$быть покрывающей картой. Если случится так, что ядро${\ Displaystyle \ Pi: {\ тильда {G}} \ rightarrow \ OperatorName {GL} (V)}$ содержит ядро ${\ displaystyle p}$, потом ${\ displaystyle \ Pi}$ спускается к представлению исходной группы ${\ displaystyle G}$. Даже если это не так, обратите внимание, что ядро${\ displaystyle p}$ дискретная нормальная подгруппа группы ${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$, который, следовательно, находится в центре ${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$. Таким образом, если${\ displaystyle \ pi}$неприводимо, из леммы Шура следует, что ядро${\ displaystyle p}$будет действовать скалярными кратными идентичности. Таким образом,${\ displaystyle \ Pi}$спускается к проективному представлению${\ displaystyle G}$, то есть тот, который определен только по модулю скалярных кратных идентичности.

Наглядное представление о том, как универсальная накрывающая группа содержит все такие гомотопические классы, и ее техническое определение (как множество и как группа) дается в геометрическом виде .

Например, когда это специализируется на двусвязной SO (3, 1) ⁺ , универсальная накрывающая группа${\ displaystyle {\ text {SL}} (2, \ mathbb {C})}$, И будет ли его соответствующее представление верное решает Π является проективным .

Классификация в компактном корпусе

Если G является связной компактной группой Ли, ее конечномерные представления можно разложить прямые суммы из неприводимых представлений . ^[17] Неприводимые классифицируются по « теореме старшего веса ». Мы даем здесь краткое описание этой теории; подробнее см. статьи по теории представлений связной компактной группы Ли и параллельной теории, классифицирующей представления полупростых алгебр Ли .

Пусть T является максимальным тором в G . По лемме Шура неприводимые представления T одномерны. Эти представления могут быть легко классифицированы и помечены определенными «аналитически интегральными элементами» или «весами». Если${\ displaystyle \ Sigma}$неприводимое представление группы G , ограничение${\ displaystyle \ Sigma}$в T обычно не будет неприводимым, но он будет разлагаться как прямая сумма неприводимых представлений T , помеченных соответствующими весами. (Один и тот же вес может встречаться более одного раза.) Для фиксированного${\ displaystyle \ Sigma}$, можно идентифицировать один из весов как «наивысший», и представления затем классифицируются по этому наивысшему весу.

Важным аспектом теории репрезентации является связанная с ней теория персонажей . Здесь для представления${\ displaystyle \ Sigma}$группы G характером является функция

${\ displaystyle \ chi _ {G}: G \ rightarrow \ mathbb {C}}$

дано

${\ displaystyle \ chi _ {G} (g) = \ operatorname {trace} (\ Sigma (g)).}$

Два представления с одним и тем же характером оказываются изоморфными. Кроме того, формула характера Вейля дает замечательную формулу для определения характера представления с точки зрения его старшего веса. Эта формула не только дает много полезной информации о представлении, но и играет решающую роль в доказательстве теоремы о старшем весе.

Унитарные представления на гильбертовых пространствах

Пусть V - комплексное гильбертово пространство, которое может быть бесконечномерным, и пусть${\ Displaystyle U (V)}$обозначим группу унитарных операторов на V . Унитарное представление о группе Ли G на V представляет собой гомоморфизм групп ${\ Displaystyle \ Pi: G \ rightarrow U (V)}$ со свойством, что для каждого фиксированного ${\ displaystyle v \ in V}$, карта

${\ Displaystyle g \ mapsto \ Pi (g) v}$

является непрерывное отображение G в V .

Конечномерные унитарные представления

Если гильбертово пространство V конечномерно, существует ассоциированное представление${\ displaystyle \ pi}$ алгебры Ли ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ из ${\ displaystyle G}$. Если${\ displaystyle G}$ связно, то представление ${\ displaystyle \ Pi}$ из ${\ displaystyle G}$ унитарен тогда и только тогда, когда ${\ displaystyle \ pi (X)}$ кососамосопряжен для каждого ${\ displaystyle X \ in {\ mathfrak {g}}}$. ^[18]

Если ${\ displaystyle G}$является компактным , то каждое представление${\ displaystyle \ Pi}$ из ${\ displaystyle G}$в конечномерном векторном пространстве V «унитаризуемо», что означает, что можно выбрать скалярное произведение на V так, чтобы каждый${\ Displaystyle \ Pi (г), \, г \ в G}$унитарен. ^[19]

Бесконечномерные унитарные представления

Если позволить гильбертову пространству V быть бесконечномерным, изучение унитарных представлений включает ряд интересных особенностей, которые отсутствуют в конечномерном случае. Например, построение подходящего представления алгебры Ли${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$становится технически сложной задачей. Одна ситуация, в которой представление алгебры Ли хорошо изучено, - это ситуация полупростых (или редуктивных) групп Ли, где ассоциированное представление алгебры Ли образует (g, K) -модуль .

Примеры унитарных представлений возникают в квантовой механике и квантовой теории поля, а также в анализе Фурье, как показано в следующем примере. Позволять${\ Displaystyle G = \ mathbb {R}}$, И пусть комплексное гильбертово пространство V будет${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$. Определим представление${\ Displaystyle \ psi: \ mathbb {R} \ rightarrow U (L ^ {2} (\ mathbb {R}))}$ по

${\ displaystyle [\ psi (a) (f)] (x) = f (xa).}$

Вот несколько важных примеров, в которых были проанализированы унитарные представления группы Ли.

• Теорема Стоуна – фон Неймана может быть понята как дающая классификацию неприводимых унитарных представлений группы Гейзенберга .
• Классификация Вигнера для представлений группы Пуанкаре играет важную концептуальную роль в квантовой теории поля, показывая, как массу и спин частиц можно понять в теоретико-групповых терминах.
• Теория представлений SL (2, R) была разработана В. Баргманном и служит прототипом для изучения унитарных представлений некомпактных полупростых групп Ли.

Проективные представления

В квантовой физике часто интересуют проективные унитарные представления группы Ли.${\ displaystyle G}$. Причина такого интереса в том, что состояния квантовой системы представлены векторами в гильбертовом пространстве.${\ displaystyle \ mathbf {H}}$- но с пониманием того, что два состояния, различающиеся константой, на самом деле являются одним и тем же физическим состоянием. Симметрии гильбертова пространства затем описываются унитарными операторами, но унитарный оператор, кратный единице, не меняет физического состояния системы. Таким образом, нас интересуют не обычные унитарные представления, т. Е. Гомоморфизмы${\ displaystyle G}$ в унитарную группу ${\ Displaystyle U (\ mathbf {H})}$- но скорее в проективных унитарных представлениях, т. Е. Гомоморфизмах ${\ displaystyle G}$ в проективную унитарную группу

${\ displaystyle PU (\ mathbf {H}): = U (\ mathbf {H}) / \ {e ^ {i \ theta} I \}.}$

Иными словами, для проективного представления построим семейство унитарных операторов ${\ Displaystyle \ rho (g), \, \, g \ in G}$, где подразумевается, что изменение ${\ displaystyle \ rho (g)}$с константой абсолютного значения 1 считается «тем же» оператором. Операторы${\ displaystyle \ rho (g)}$тогда требуются, чтобы с точностью до константы выполнялось свойство гомоморфизма :

${\ Displaystyle \ rho (g) \ rho (h) = e ^ {i \ theta _ {g, h}} \ rho (gh).}$

Мы уже обсуждали неприводимые проективные унитарные представления группы вращений SO (3) выше; рассмотрение проективных представлений допускает дробное вращение в дополнение к целочисленному спину.

Теорема Баргмана утверждает, что для некоторых типов групп Ли${\ displaystyle G}$, неприводимые проективные унитарные представления ${\ displaystyle G}$ находятся во взаимно однозначном соответствии с обычными унитарными представлениями универсального покрытия ${\ displaystyle G}$. Важными примерами, где применима теорема Баргмана, являются SO (3) (как только что упомянуто) и группа Пуанкаре . Последний случай важен для классификации Вигнера проективных представлений группы Пуанкаре с приложениями к квантовой теории поля.

Одним из примеров , где теорема Баргманна в это не применяется является группой${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$. Набор переводов по позиции и импульсу на${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ образуют проективное унитарное представление ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$ но они не происходят из обычного представления универсального покрытия ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$- что просто ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$сам. В этом случае, чтобы получить обычное представление, нужно перейти к группе Гейзенберга , которая является одномерным центральным расширением${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$. (См. Обсуждение здесь .)

Коммутативный случай

Если ${\ displaystyle G}$коммутативная группа Ли , то любое неприводимое унитарное представление${\ displaystyle G}$на сложных векторных пространствах является одномерным. (Это утверждение следует из леммы Шура и выполняется, даже если заранее не предполагается, что представления конечномерны.) Таким образом, неприводимые унитарные представления${\ displaystyle G}$ являются просто непрерывными гомоморфизмами ${\ displaystyle G}$в группу единичного круга U (1). Например, если${\ Displaystyle G = \ mathbb {R}}$неприводимые унитарные представления имеют вид

${\ Displaystyle \ Pi (х) = [е ^ {iax}]}$,

за какое-то реальное число ${\ displaystyle a}$.

См. Также двойственность Понтрягина для этого случая.

См. Также

• Теория представлений связных компактных групп
• Представление алгебры Ли
• Проективное представление
• Теория представлений SU (2)
• Теория представлений группы Лоренца.
• Теория представлений алгебр Хопфа
• Присоединенное представление группы Ли
• Список тем группы Ли
• Симметрия в квантовой механике
• D-матрица Вигнера

Примечания

Ссылки

• Фултон, В .; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту  1153249 .
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158.
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли после введения , Прогресс в математике, 140 (2-е изд.), Бостон: Биркхойзер..
• Россманн, Вульф (2001), Группы Ли: Введение в линейные группы , Тексты для выпускников Оксфорда по математике, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859683-7. Переиздание 2003 года исправляет несколько типографских ошибок.
• Вайнберг, С. (2002) [1995], Основы , Квантовая теория полей, 1 , Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-55001-7