В математике , алгебра Ли группы Ли переписка позволяет переписываться с группой Ли в алгебру Ли или наоборот, а также изучить условия для таких отношений. Изоморфные группы Ли имеют изоморфные алгебры Ли, но обратное не всегда верно. Один очевидный встречный пример: а также которые неизоморфны как группы Ли, но их алгебры Ли изоморфны. Однако, если ограничить наше внимание односвязными группами Ли, соответствие группы Ли и алгебры Ли будет взаимно однозначным . [1]
В этой статье группа Ли относится к реальной группе Ли. Для комплексных и p -адических случаев см. Комплексную группу Ли и p -адическую группу Ли . В этой статье предполагается, что многообразия (в частности, группы Ли) счетны вторыми ; в частности, они имеют не более чем счетное число компонент связности.
Основы
Алгебра Ли группы Ли
Существуют различные способы можно понять построение алгебры Ли группы Ли G . Один подход использует левоинвариантные векторные поля. Векторное поле X на G называется инвариантной относительно левых сдвигов , если для любого г , ч в G ,
где а также это дифференциальное измежду касательными пространствами . (Другими словами, это-связан сам с собой для любого g в G. )
Позволять множество всех лево-инвариантных относительно сдвига векторных полей на G . Это настоящее векторное пространство. Более того, он замкнут относительно скобки Ли ; т.е.является левым переводом-инвариантным , если X , Y является. Таким образом,подалгебра Ли алгебры Ли всех векторных полей на G и называется алгеброй Ли группы G . Это можно понять более конкретно, отождествив пространство левоинвариантных векторных полей с касательным пространством в единице следующим образом: для левоинвариантного векторного поля можно взять его значение в единице, а для заданного касательного вектора в точке тождество, его можно расширить до левоинвариантного векторного поля. Таким образом, алгебру Ли можно рассматривать как касательное пространство в единице и скобку X и Y в можно вычислить, расширив их до левоинвариантных векторных полей, взяв коммутатор векторных полей и затем вычислив тождество.
Есть еще одно воплощение как алгебра Ли примитивных элементов алгебры Хопфа распределений на G с носителем в единице; для этого см. # Соответствующие конструкции ниже.
Матричные группы Ли
Предположим, что G - замкнутая подгруппа в GL (n; C ) и, следовательно, группа Ли по теореме о замкнутых подгруппах . Тогда алгебра Ли группы G может быть вычислена как [2] [3]
Например, можно использовать критерий для установления соответствия для классических компактных групп (см. Таблицу в «компактных группах Ли» ниже).
Гомоморфизмы
Если
является гомоморфизмом группы Ли , то его дифференциал в единице
является гомоморфизмом алгебр Ли (скобки переходят к скобкам), который обладает следующими свойствами:
- для всех X в Lie ( G ), где "exp" - экспоненциальное отображение
- . [4]
- Если образ f замкнут, [5] то[6] и верна первая теорема об изоморфизме : f индуцирует изоморфизм групп Ли:
- Верно цепное правило : если а также являются гомоморфизмами групп Ли, то .
В частности, если H - замкнутая подгруппа [7] группы Ли G , то является подалгеброй Ли в . Кроме того , если е инъективно, то F является погружение и так G называется погруженным (Ли) подгруппа H . Например,является погружают подгруппа H . Если f сюръективно, то f - субмерсия, а если, кроме того, G компактна, то f - главное расслоение со структурной группой его ядром. ( Лемма Эресмана )
Прочие свойства
Позволять - прямое произведение групп Ли ипрогнозы. Тогда дифференциалы дайте каноническую идентификацию:
Если являются подгруппами Ли группы Ли, то
Пусть G - связная группа Ли. Если H группа Ли, то любой гомоморфизм групп Ли однозначно определяется своим дифференциалом . Точнее, экспоненциальное отображение (и один для H ) такой, чтои, поскольку G связна, это однозначно определяет f . [8] В общем случае, если U - окрестность единицы в связной топологической группе G , тосовпадает с G , поскольку первая - открытая (а значит, замкнутая) подгруппа. Сейчас,определяет локальный гомеоморфизм из окрестности нулевого вектора в окрестность единичного элемента. Например, если G - группа Ли обратимых вещественных квадратных матриц размера n ( общая линейная группа ), то- алгебра Ли вещественных квадратных матриц размера n и.
Переписка
Соответствие между группами Ли и алгебрами Ли включает следующие три основных результата.
- Третья теорема Ли : всякая конечномерная вещественная алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой односвязной группы Ли . [9]
- Теорема о гомоморфизмах : еслиявляется гомоморфизмом алгебр Ли, и если G односвязна, то существует (единственный) гомоморфизм групп Ли такой, что . [10]
- Теорема о подгруппах – подалгебрах : если G группа Ли и является подалгеброй Ли в , то существует единственная связная подгруппа Ли (не обязательно замкнутая) H группы G с алгеброй Ли. [11]
Во второй части соответствия нельзя опустить предположение об односвязности G. Например, алгебры Ли SO (3) и SU (2) изоморфны [12], но не существует соответствующего гомоморфизма SO (3) в SU (2). [13] Скорее, гомоморфизм идет от односвязной группы SU (2) к неодносвязной группе SO (3). [14] Если G и H оба односвязны и имеют изоморфные алгебры Ли, приведенный выше результат позволяет показать, что G и H изоморфны. [15] Одним из способов построения f является использование формулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа . [16]
Доказательство третьей теоремы Ли.
Возможно, наиболее элегантное доказательство первого результата выше использует теорему Адо , которая гласит, что любая конечномерная алгебра Ли (над полем любой характеристики) является подалгеброй Ли алгебры Ликвадратных матриц. Доказательство выглядит следующим образом: по теореме Адо полагаемявляется подалгеброй Ли. Пусть G - подгруппа группы создан и разреши быть просто подключено покрытием из G ; нетрудно показать, чтоявляется группой Ли и что накрывающее отображение является гомоморфизмом групп Ли. С, это завершает доказательство.
Пример: каждый элемент X в алгебре Ли порождает гомоморфизм алгебр Ли
По третьей теореме Ли, поскольку и exp для него является единицей, этот гомоморфизм является дифференциалом гомоморфизма групп Ли для некоторой подгруппы погруженной H из G . Этот гомоморфизм групп Ли, называемый однопараметрической подгруппой, порожденной X , в точности является экспоненциальным отображениеми H его изображение. Резюмируя сказанное выше, можно сказать, что существует каноническое биективное соответствие междуи множество однопараметрических подгрупп группы G . [17]
Доказательство теоремы о гомоморфизмах
Один из подходов к доказательству второй части соответствия группы Ли и алгебры Ли (теорема о гомоморфизмах) состоит в использовании формулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа , как в разделе 5.7 книги Холла. [18] В частности, учитывая гомоморфизм алгебр Ли из к , мы можем определить локально (т.е. в окрестности единицы) по формуле
где - экспоненциальное отображение для G , обратное к которому определено около единицы. Теперь мы докажем, что f - локальный гомоморфизм. Таким образом, учитывая два элемента, близких к единице а также (при малых X и Y ), мы рассматриваем их произведение. Согласно формуле Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа имеем, где
с участием указывает на другие термины , выраженные в виде повторных коммутаторов с участием X и Y . Таким образом,
так как является гомоморфизмом алгебр Ли. Используя формулу Бейкера-Кемпбелла-Хаусдорфа , на этот раз для группы H , мы видим , что это последнее выражение становится, и поэтому мы имеем
Таким образом, f обладает свойством гомоморфизма, по крайней мере, когда X и Y достаточно малы. Важно подчеркнуть, что этот аргумент является только локальным, поскольку экспоненциальное отображение обратимо только в небольшой окрестности единицы в G и поскольку формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа верна, только если X и Y малы. Предположение об односвязности G еще не использовалось.
Следующим этапом рассуждения является продолжение f от локального гомоморфизма до глобального. Расширение выполняется путем определения f вдоль пути, а затем использования простой связности G, чтобы показать, что определение не зависит от выбора пути.
Представления группы Ли
Частный случай соответствия Ли - это соответствие между конечномерными представлениями группы Ли и представлениями ассоциированной алгебры Ли.
Общая линейная группа является (действительной) группой Ли, и любой гомоморфизм групп Ли
называется представлением группы Ли G . Дифференциал
тогда является гомоморфизмом алгебры Ли, который называется представлением алгебры Ли . (Дифференциал часто обозначается просто .)
Теорема о гомоморфизмах (упомянутая выше как часть соответствия группы Ли и алгебры Ли) говорит, что если односвязная группа Ли, алгебра Ли которой , каждое представлениеисходит из представления G . Предположение об односвязности G существенно. Рассмотрим, например, группу вращений SO (3) , которая не является односвязной. Существует одно неприводимое представление алгебры Ли в каждом измерении, но только нечетномерные представления алгебры Ли происходят из представлений группы. [19] (Это наблюдение связано с различием между целочисленным спином и полуцелым спином в квантовой механике.) С другой стороны, группа SU (2) просто связана с алгеброй Ли, изоморфной алгебре SO (3), поэтому каждое представление алгебры Ли группы SO (3) порождает представление группы SU (2) .
Присоединенное представление
Примером представления группы Ли является присоединенное представление группы Ли G ; каждый элемент g в группе Ли G определяет автоморфизм группы G сопряжением:; дифференциал тогда является автоморфизмом алгебры Ли . Таким образом, мы получаем представление, называемое присоединенным представлением. Соответствующий гомоморфизм алгебр Линазывается присоединенным представлением о и обозначается . Можно показать, что, в частности, означает, что скобка Ли определяется групповым законом о G .
По третьей теореме Ли существует подгруппа из чья алгебра Ли . (в общем случае не является замкнутой подгруппой; только погружают подгруппа.) Это называется присоединенной группой из. [20] Если G подключен, он укладывается в точную последовательность:
где является центром G . Если центр G дискретен, то здесь Ad - накрывающее отображение.
Пусть G - связная группа Ли. Тогда G является унимодулярным тогда и только тогда , когдадля всех г в G . [21]
Пусть G группа Ли , действующая на многообразии X и G х стабилизатор точки х в X . Позволять. потом
- Если орбита локально замкнуто, то орбита является подмногообразием X и. [22]
Для подмножества A изили G , пусть
алгебра Ли центратор и группы Ли централизатор А . потом.
Если H - замкнутая связная подгруппа группы G , то H нормальна тогда и только тогда, когда идеал и в таком случае .
Абелевы группы Ли
Пусть G - связная группа Ли. Поскольку алгебра Ли центра группы G является центром алгебры Ли группы G (см. Предыдущий §), G абелева тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли абелева.
Если G абелева, то экспоненциальное отображениеявляется сюръективным групповым гомоморфизмом. [23] Ядро ее - дискретная группа (поскольку размерность равна нулю), называемая целочисленной решеткой группы G и обозначаемая. По первой теореме об изоморфизме индуцирует изоморфизм .
По жесткости аргумента , то фундаментальная группа связной группы Ли G является центральной подгруппой односвязного накрытияиз G ; другими словами, G помещается в центральное расширение
Эквивалентно, учитывая алгебру Ли и односвязная группа Ли чья алгебра Ли , существует взаимно однозначное соответствие между частными дискретными центральными подгруппами и связными группами Ли, имеющими алгебру Ли .
Для сложного случая важны комплексные торы ; см. сложную группу Ли по этой теме.
Компактные группы Ли
Пусть G - связная группа Ли с конечным центром. Тогда следующие эквивалентны.
- G компактна.
- (Вейль) Односвязное покрытие группы G компактно.
- Присоединенная группа компактный.
- Существует вложение как замкнутая подгруппа.
- Форма убийства на отрицательно определено.
- Для каждого X в, является диагонализируемы и имеет нулевые или чисто мнимые собственные значения.
- Существует инвариантный внутренний продукт на .
Важно подчеркнуть, что эквивалентность предыдущих условий выполняется только в предположении, что G имеет конечный центр. Так, например, если G компактна с конечным центром , универсальная накрывающаятакже компактный. Ясно, что этот вывод неверен, если G имеет бесконечный центр, например, если. Последние три приведенных выше условия имеют чисто алгебраическую природу Ли.
Компактная группа Ли | Комплексификация ассоциированной алгебры Ли | Корневая система |
---|---|---|
СУ ( п +1) | s л ( п + 1 , C ) {\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} (п + 1, \ mathbb {C})} | А п |
ТАК (2 п +1) | s о ( 2 п + 1 , C ) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (2n + 1, \ mathbb {C})} | B n |
Sp ( п ) | s п ( п , C ) {\ Displaystyle {\ mathfrak {sp}} (п, \ mathbb {C})} | C n |
SO (2 п ) | s о ( 2 п , C ) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (2n, \ mathbb {C})} | D n |
Если G - компактная группа Ли, то
где левая сторона является алгеброй Ли когомологий изи правая часть является когомологий де Рама из G . (Грубо говоря, это является следствием того факта, что любую дифференциальную форму на G можно сделать левоинвариантной с помощью аргумента усреднения.)
Связанные конструкции
Пусть G - группа Ли. Ассоциированная алгебра Лигруппы G можно также определить следующим образом. Позволять- алгебра распределений на G с носителем в единице с умножением, заданным сверткой .на самом деле алгебра Хопфа . Алгебра Ли группы G тогда, алгебра Ли примитивных элементов в. [24] По теореме Милнора – Мура существует канонический изоморфизммежду универсальным обертывающим из а также .
Смотрите также
- компактная алгебра Ли
- Теорема Милнора – Мура
- Формальная группа
- Алгебра Ли Мальцева
- Распределение на линейной алгебраической группе
Цитаты
- ^ Ли 2012 , стр. 530.
- ^ Helgason 1978 , гл. II, § 2, предложение 2.7.
- ^ Зал 2015 Раздел 3.3
- ' ^ В более общем смысле, если H- замкнутая подгруппа вH, то
- ^ Это требование нельзя пропустить; см. также https://math.stackexchange.com/q/329753
- ^ Бурбаки , гл. III, § 3, нет. 8, предложение 28
- ^ Бурбаки , гл. III, § 1, предложение 5
- ^ Холл 2015 Следствие 3.49
- ^ Холл 2015 Теорема 5.25
- ^ Холл 2015 Теорема 5.6
- ^ Холл 2015 Теорема 5.20
- ^ Холл 2015 Пример 3.27
- ^ Hall 2015 Предложение 4,35
- ^ Зал 2015 Раздел 1.4
- ^ Холл 2015 Следствие 5.7
- ^ Зал 2015 Раздел 5.7
- ^ Холл 2015 Теорема 2.14
- ^ Зал 2015
- ^ Холл, 2015 и раздел 4.7
- ^ Helgason 1978 , Ч. II, § 5
- ^ Бурбаки , гл. III, § 3, нет. 16, следствие предложения 55.
- ^ Бурбаки , гл. III, § 1, нет. 7, предложение 14.
- ^ Это сюръективно, потому что в виде абелева.
- ^ Бурбаки , гл. III, § 3. нет. 7
Рекомендации
- Бурбаки, Н. (1981), Groupes et algèbres de Lie (Chapitre 3) , Éléments de Mathématique, Hermann
- Duistermaat, JJ; Колк, А. (2000), группы Ли , Universitext, Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-642-56936-4 , ISBN 3540152938
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-319-13467-3 , ISBN 978-3319134666
- Хелгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
- Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников по математике . 218 (Второе изд.). Нью-Йорк Лондон: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4419-9981-8. OCLC 808682771 .
Внешние ссылки
- Примечания для Math 261A Группы Ли и алгебры Ли
- Попов, В.Л. (2001) [1994], "Алгебра Ли аналитической группы" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Формальная теория Ли в нулевой характеристике , сообщение в блоге Ахила Мэтью