Классическая группа
В математике классические группы определяются как специальные линейные группы по вещественным числам R , комплексным числам C и кватернионам H вместе со специальными [1] группами автоморфизмов симметричных или кососимметричных билинейных форм и эрмитовых или косоэрмитовых полуторалинейных форм. определенные на вещественных, комплексных и кватернионных конечномерных векторных пространствах. [2] Из них комплексные классические группы Ли представляют собой четыре бесконечных семействаГруппы Ли, которые вместе с исключительными группами исчерпывают классификацию простых групп Ли . Компактные классические группы — это компактные вещественные формы комплексных классических групп. Конечными аналогами классических групп являются классические группы лиева типа . Термин «классическая группа» был введен Германом Вейлем в качестве названия его монографии 1939 года «Классические группы » . [3]
Классические группы составляют самую глубокую и наиболее полезную часть предмета линейных групп Ли. [4] Большинство типов классических групп находят применение в классической и современной физике. Вот несколько примеров. Группа вращения SO(3) — это симметрия евклидова пространства и всех фундаментальных законов физики, группа Лоренца O(3,1) — это группа симметрии пространства - времени специальной теории относительности . Специальная унитарная группа SU(3) является группой симметрии квантовой хромодинамики , а симплектическая группа Sp( m ) находит применение вГамильтонова механика и ее квантово-механические версии.
Классические группы - это в точности общие линейные группы над R , C и H вместе с группами автоморфизмов невырожденных форм, обсуждаемыми ниже. [5] Эти группы обычно дополнительно ограничиваются подгруппами, элементы которых имеют определитель 1, так что их центры дискретны. Классические группы с условием определителя 1 перечислены в таблице ниже. В дальнейшем условие определителя 1 не используется последовательно в интересах большей общности.
Комплексными классическими группами являются SL( n , C ) , SO( n , C ) и Sp( n , C ) . Группа сложна в зависимости от того, сложна ли ее алгебра Ли. Вещественные классические группы относятся ко всем классическим группам, поскольку любая алгебра Ли является вещественной алгеброй. Компактные классические группы — это компактные вещественные формы комплексных классических групп. Это, в свою очередь, SU( n ) , SO( n ) и Sp( n) . Одна характеристика компактной вещественной формы в терминах алгебры Ли g . Если g = u + i u , комплексификация u , и если связная группа K , порожденная {exp( X ): X ∈ u }, компактна, то K является компактной вещественной формой. [6]
Классические группы можно единообразно охарактеризовать по-разному, используя вещественные формы . Классические группы (здесь с условием определителя 1, но это не обязательно) следующие:
Например, SO ∗ ( 2n ) — вещественная форма SO( 2n , C ) , SU( p , q ) — вещественная форма SL( n , C ) , а SL( n , H ) — вещественная форма . форма SL(2 n , C ). Без условия определителя 1 замените в характеристике специальные линейные группы соответствующими общими линейными группами. Рассматриваемые алгебраические группы являются группами Ли, но квалификатор «алгебраический» необходим, чтобы получить правильное понятие «действительной формы».
