Специальная линейная группа

Таблица Кэли SL (2,3).

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , то специальная линейная группа SL ( п , Р ) степени п над полем F называется множество п × п матриц с определителем 1, с группой операций обычного матричного умножения и обращения матрицы . Это нормальная подгруппа из общей линейной группы определяется ядром из определителя

${\displaystyle \det \colon \operatorname {GL} (n,F)\to F^{\times }.}$

где мы пишем F ^× для мультипликативной группы из F (то есть, F за исключением 0).

Эти элементы являются «особенными» в том смысле, что они образуют алгебраическое подмногообразие общей линейной группы - они удовлетворяют полиномиальному уравнению (поскольку определитель полиномиален по элементам).

Геометрическая интерпретация [ править ]

Специальную линейную группу SL ( n , R ) можно охарактеризовать как группу сохраняющих объем и ориентацию линейных преобразований R ⁿ ; это соответствует интерпретации определителя как измерения изменения объема и ориентации.

Подгруппа Ли [ править ]

Когда F является R или C , SL ( n , F ) является подгруппой Ли в GL ( n , F ) размерности n ² - 1 . Алгебра Ли из SL ( п , Р ) состоит из все п х п матриц над F с нулевым следом . Скобка Ли задаются коммутатором .${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$

Топология [ править ]

Любая обратимая матрица может быть однозначно представлена ​​в соответствии с полярным разложением как произведение унитарной матрицы и эрмитовой матрицы с положительными собственными значениями . Определитель унитарной матрицы на единичной окружности в то время как эрмитовая матрицы является реальным и положительным , и , так как в случае матрицы из специальной линейной группы произведения этих двух определителей должна быть 1, то каждый из них должен быть 1. Следовательно, специальная линейная матрица может быть записана как произведение специальной унитарной матрицы (или специальной ортогональной матрицы в вещественном случае) и положительно определеннойэрмитова матрица (или симметричная матрица в реальном случае) с определителем 1.

Таким образом, топология группы SL ( n , C ) является произведением топологии SU ( n ) и топологии группы эрмитовых матриц единичного определителя с положительными собственными значениями. Эрмитова матрица единичным детерминантом и имеющий положительные собственные значения могут быть однозначно выражены в виде экспоненты из более бесследовой эрмитовой матрицей, и , следовательно , топология этого является то , что ( п ² - 1) -мерном евклидовом пространстве . ^[1] Поскольку SU ( n ) односвязен , ^[2] заключаем, чтоSL ( n , C ) также односвязен для всех n .

Топология SL ( n , R ) является произведением топологии SO ( n ) и топологии группы симметричных матриц с положительными собственными значениями и единичным определителем. Поскольку последние матрицы могут быть однозначно выражены как экспонента симметричных бесследовых матриц, то последняя топология является топологией ( n + 2) ( n - 1) / 2 -мерного евклидова пространства. Таким образом, группа SL ( n , R ) имеет ту же фундаментальную группу, что и SO ( n ), то есть Z при n = 2 иZ ₂ для n > 2 . ^[3] В частности, это означает, что SL ( n , R ) , в отличие от SL ( n , C ) , не является односвязным, если n больше 1.

Отношения с другими подгруппами GL ( n , A ) [ править ]

Две связанные подгруппы, которые в некоторых случаях совпадают с SL, а в других случаях случайно объединяются с SL, - это коммутаторная подгруппа группы GL и группа, порожденная трансвекциями . Обе эти подгруппы в SL (детерминант трансвекций равен 1, а det - отображение в абелеву группу, поэтому [GL, GL] ≤ SL), но в общем случае не совпадают с ней.

Группа, порожденная трансвекциями, обозначается E ( n , A ) (для элементарных матриц ) или TV ( n , A ) . Ко второму Steinberg отношению , для п ≥ 3 , трансвекции являются коммутаторами, так что для п ≥ 3 , Е ( п , ) ≤ [GL ( п , ), GL ( п , )] .

При n = 2 трансвекции не обязательно должны быть коммутаторами ( матриц 2 × 2 ), как видно, например, когда A - это F ₂ , поле из двух элементов, тогда

${\displaystyle \operatorname {Alt} (3)\cong [\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2}),\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2})]<\operatorname {E} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {SL} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3),}$

где Alt (3) и Sym (3) обозначают чередующиеся соотв. симметричная группа на 3 буквы.

Однако, если A - поле с более чем 2 элементами, то E (2, A ) = [GL (2, A ), GL (2, A )] , а если A - поле с более чем 3 элементами, E (2, A ) = [SL (2, A ), SL (2, A )] . ^{[ сомнительно - обсудить ]}

В некоторых случаях они совпадают: специальная линейная группа над полем или евклидовой областью порождается трансвекциями, а стабильная специальная линейная группа над дедекиндовской областью порождается трансвекциями. Для более общих колец стабильная разность измеряется специальной группой Уайтхеда SK ₁ ( A ): = SL ( A ) / E ( A ) , где SL ( A ) и E ( A ) - стабильные группы специальной линейной группы и элементарные матрицы.

Генераторы и отношения [ править ]

Если работать над кольцом, где SL порождается трансвекциями (например, полем или евклидовой областью ), можно дать представление SL, используя трансвекции с некоторыми отношениями. Трансвекции удовлетворяют соотношениям Стейнберга , но этого недостаточно: результирующая группа является группой Стейнберга , которая не является специальной линейной группой, а скорее универсальным центральным расширением коммутаторной подгруппы группы GL.

Достаточный набор соотношений для SL ( n , Z ) при n ≥ 3 задается двумя отношениями Стейнберга, а также третьим соотношением ( Conder, Robertson & Williams 1992 , p. 19). Пусть T _ij  : = e _ij (1) будет элементарной матрицей с единицами на диагонали и в позиции ij и нулями в другом месте (и i ≠ j ). потом

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{ij},T_{jk}\right]&=T_{ik}&&{\text{for }}i\neq k\\[4pt]\left[T_{ij},T_{k\ell }\right]&=\mathbf {1} &&{\text{for }}i\neq \ell ,j\neq k\\[4pt](T_{12}T_{21}^{-1}T_{12})^{4}&=\mathbf {1} \end{aligned}}}$

являются полным набором соотношений для SL ( n , Z ), n ≥ 3.

SL ^± ( n , F ) [ править ]

В характеристике, отличной от 2, набор матриц с определителем ± 1 образует другую подгруппу GL, с SL как подгруппа индекса 2 (обязательно нормальная); в характеристике 2 это то же самое, что и SL. Это формирует короткую точную последовательность групп:

${\displaystyle \mathrm {SL} (n,F)\to \mathrm {SL} ^{\pm }(n,F)\to \{\pm 1\}.}$

Эта последовательность разбивается, беря любую матрицу с определителем −1 , например диагональную матрицу If нечетно, отрицательная единичная матрица находится в SL ^± ( n , F ), но не в SL ( n , F ), и, таким образом, группа разделяется как внутренний прямой продукт . Однако, если четное, уже находится в SL ( n , F ) , SL ^± не расщепляется и в общем случае является нетривиальным расширением группы .${\displaystyle (-1,1,\dots ,1).}$${\displaystyle n=2k+1}$${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle SL^{\pm }(2k+1,F)\cong SL(2k+1,F)\times \{\pm I\}}$${\displaystyle n=2k}$${\displaystyle -I}$

Над действительными числами SL ^± ( n , R ) имеет две компоненты связности , соответствующие SL ( n , R ) и еще одну компоненту, которые изоморфны с идентификацией в зависимости от выбора точки (матрица с определителем −1 ). В нечетном измерении они естественным образом идентифицируются , но в четном измерении нет единой естественной идентификации.${\displaystyle -I}$

Структура GL ( n , F ) [ править ]

Группа GL ( n , F ) распадается по своему определителю (мы используем F ^× ≅ GL (1, F ) → GL ( n , F ) как мономорфизм из F ^× в GL ( n , F ) , см. Полупрямое произведение ), и , следовательно , GL ( п , Р ) может быть записана в виде полупрямого произведения из SL ( п , F ) по F ^× :

GL ( n , F ) = SL ( n , F ) ⋊ F ^× .

См. Также [ править ]

• SL (2, R )
• SL (2, С )
• Модульная группа
• Проективная линейная группа
• Конформная карта
• Представления классических групп Ли

Ссылки [ править ]

• Кондер, Марстон ; Робертсон, Эдмунд; Уильямс, Питер (1992), "Презентации для 3-мерного специальных линейных групп над целыми кольцами", Труды Американского математического общества , Американского математического общества, 115 (1): 19-26, DOI : 10,2307 / 2159559 , JSTOR  2159559 , MR  1079696
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer