Специальная унитарная группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике специальная унитарная группа степени п , обозначается SU ( п ) , является группой Ли из п  ×  п унитарных матриц с определителем 1.

Более общие унитарные матрицы могут иметь комплексные детерминанты с абсолютным значением 1, а не вещественным 1 в частном случае.

Групповая операция - это матричное умножение . Специальная унитарная группа является подгруппой из унитарной группы U ( п ) , состоящее из всех п × п унитарных матриц. Как компактная классическая группа , U ( n ) - это группа, сохраняющая стандартное скалярное произведение на . ^[а] Это само по себе является подгруппой общей линейной группы , .${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ OperatorName {SU} (n) \ subset \ OperatorName {U} (n) \ subset \ Operatorname {GL} (n, \ mathbb {C})}$

В SU ( п ) группы находят широкое применение в стандартной модели в физике элементарных частиц , особенно SU (2) в взаимодействии электрослабого и SU (3) в КХДЕ . ^[1]

Простейший случай SU (1) - это тривиальная группа , имеющая только один элемент. Группа SU (2) является изоморфна группой кватернионов с нормой 1, и, таким образом , диффеоморфные к 3-мерной сфере . Поскольку единичные кватернионы могут использоваться для представления поворотов в трехмерном пространстве (с точностью до знака), существует сюръективный гомоморфизм из SU (2) в группу вращений SO (3) , ядро которой равно {+ I , - I } . ^[b] SU (2) также идентичен одной из групп симметрии спиноров , Spin (3), которая позволяет спинорное представление вращений.

Свойства [ править ]

Специальная унитарная группа SU ( n ) является действительной группой Ли (но не комплексной группой Ли ). Его размерность как вещественного многообразия равна n ² - 1 . Топологически он компактен и односвязен . ^[2] Алгебраически это простая группа Ли (то есть ее алгебра Ли проста; см. Ниже). ^[3]

Центр из SU ( п ) изоморфна циклической группе , и состоит из диагональных матриц z | для z , с п - ^й корень из единицы и I п × п единичной матрицы.${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

Его группа внешних автоморфизмов при n ≥ 3 равна , а группа внешних автоморфизмов SU (2) является тривиальной группой .${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Максимальный тор ранга n - 1 задается набором диагональных матриц с определителем 1. Группа Вейля - это симметрическая группа S _n , которая представлена матрицами перестановок со знаком (знаки необходимы, чтобы гарантировать, что определитель равен 1 ).

Алгебра Ли из SU ( п ) , обозначается , может быть идентифицирована с множеством бесследовыми антиэрмитов п × п комплексных матриц, с обычным коммутатором в качестве скобки Ли. Физики элементарных частиц часто используют другое эквивалентное представление: набор бесследовых эрмитовых комплексных матриц размера n × n со скобкой Ли, заданной как - i, умноженное на коммутатор.${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

Алгебра Ли [ править ]

Алгебра Ли из состоит из косоэрмитовых матриц с нулевым следом. ^[4] Эта (действительная) алгебра Ли имеет размерность . Более подробную информацию о структуре этой алгебры Ли можно найти ниже в разделе «Структура алгебры Ли».${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n^{2}-1}$

Фундаментальное представление [ править ]

В физической литературе принято отождествлять алгебру Ли с пространством эрмитовых (а не косоэрмитовых) матриц с нулевым следом . Другими словами, алгебра Ли физиков отличается от алгебры математиков в несколько раз. Используя это соглашение, можно затем выбрать генераторы T _a, которые являются бесследными эрмитовыми комплексными матрицами размера n × n , где:${\displaystyle i}$

${\displaystyle T_{a}T_{b}={\frac {1}{2n}}\delta _{ab}I_{n}+{\frac {1}{2}}\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)T_{c}}$

где f - структурные константы и антисимметричны по всем индексам, а коэффициенты d - симметричны по всем индексам.

Как следствие, антикоммутатор и коммутатор:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{n}}\delta _{ab}I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}T_{c}}\\\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}f_{abc}T_{c}\,.\end{aligned}}}$

Фактор в коммутационных соотношениях возникает из соглашения физики и не присутствует при использовании соглашения математиков.${\displaystyle i}$

Мы также можем взять

${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}d_{bce}={\frac {n^{2}-4}{n}}\delta _{ab}}$

как соглашение о нормализации.

Присоединенное представление [ править ]

В ( n ² - 1) -мерном сопряженном представлении генераторы представлены матрицами ( n ² - 1) × ( n ² - 1) , элементы которых определяются самими структурными константами:

${\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}$

Группа SU (2) [ править ]

SU (2) - следующая группа, ^[5]

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,}$

где черта означает комплексное сопряжение .

Диффеоморфизм с S 3 [ править ]

Если мы рассмотрим пару в где и , то уравнение станет${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \alpha =a+bi}$${\displaystyle \beta =c+di}$${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$

${\displaystyle \ \ \ a^{2}}$${\displaystyle +}$${\displaystyle b^{2}}$${\displaystyle +}$${\displaystyle c^{2}}$${\displaystyle +}$${\displaystyle d^{2}=1}$

Это уравнение 3-сферы S 3 . Это также можно увидеть с помощью вложения: карта

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}&\to \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )&={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

где обозначает множество 2 по 2 комплексных матриц, является инъективным вещественное линейное отображение (с учетом диффеоморфен к и диффеоморфен ). Следовательно, ограничение на ф к 3-мерной сферы (так как модуль упругости равен 1), обозначается S ³ , является вложением 3-сферы на компактном подмногообразии , а именно φ ( S ³ ) = SU (2) .${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$

Поэтому, как многообразие, S ³ диффеоморфен SU (2) , который показывает , что SU (2) является односвязной и S ³ может быть наделен со структурой компактной связной группы Ли .

Изоморфизм с единичными кватернионами [ править ]

Комплексная матрица:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$

можно сопоставить с кватернионом :

${\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}}$

На самом деле это отображение является изоморфизмом. Кроме того, определитель матрицы - это квадратная норма соответствующего кватерниона. Ясно, что любая матрица в SU (2) имеет такой вид, и, поскольку она имеет определитель 1, соответствующий кватернион имеет норму 1. Таким образом, SU (2) изоморфен единичным кватернионам . ^[6]

Связь с пространственными поворотами [ править ]

Каждый единичный кватернион естественно связан с пространственным вращением в 3 измерениях, а произведение двух кватернионов связано с составом связанных вращений. Более того, каждое вращение возникает таким образом ровно из двух единичных кватернионов. Вкратце: существует сюръективный гомоморфизм 2: 1 из SU (2) в SO (3) ; следовательно, SO (3) изоморфна фактор-группе SU (2) / {± I}, многообразие, лежащее в основе SO (3), получается отождествлением антиподальных точек 3-сферы S ³ , а SU (2) является универсальным крышка SO (3).

Алгебра Ли [ править ]

Алгебра Ли из SU (2) состоит из косоэрмитовых матриц с нулевым следом. ^{[7] В} явном виде это означает${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}$

Алгебра Ли порождается следующими матрицами:

${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$

которые имеют форму указанного выше общего элемента.

Они удовлетворяют кватернионные отношения и коммутатор скобка поэтому определяется${\displaystyle u_{2}\ u_{3}=-u_{3}\ u_{2}=u_{1}~,}$ ${\displaystyle u_{3}\ u_{1}=-u_{1}\ u_{3}=u_{2}~,}$${\displaystyle u_{1}u_{2}=-u_{2}\ u_{1}=u_{3}~.}$

${\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.}$

Вышеуказанные генераторы связаны с Паулями матриц путем , и это представление обычно используются в квантовой механике для представления спина из элементарных частиц , таких как электроны . Они также служат единичными векторами для описания наших трех пространственных измерений в петлевой квантовой гравитации .${\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$${\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}$

Алгебра Ли служит для выработки представлений SU (2) .

Группа SU (3) [ править ]

${\displaystyle SU(3)}$представляет собой 8-мерную простую группу Ли, состоящую из всех унитарных матриц 3 × 3 с определителем 1.

Топология [ править ]

Группа представляет собой односвязную компактную группу Ли. ^[8] Его топологическую структуру можно понять, заметив, что SU (3) транзитивно действует на единичной сфере в . Стабилизатор произвольной точки в области изоморфен SU (2), которая топологический представляет собой 3-сферу. Отсюда следует, что SU (3) - расслоение над базой со слоем . Поскольку слои и база односвязны, тогда простая связность SU (3) следует с помощью стандартного топологического результата ( длинной точной последовательности гомотопических групп для расслоений). ^[9]${\displaystyle SU(3)}$${\displaystyle S^{5}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}}$${\displaystyle S^{5}}$${\displaystyle S^{3}}$

В -расслоениях над классифицируются , так как любой такой пачке может быть построена, глядя на тривиальных расслоений на двух полусфер и смотрит на переходной функции на их пересечении , которое гомотопически эквивалентно , так${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle S^{5}}$${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})=\mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle S_{N}^{5},S_{S}^{5}}$${\displaystyle S^{4}}$

${\displaystyle S_{N}^{5}\cap S_{S}^{5}\simeq S^{4}}$

Затем все такие переходные функции классифицируются по гомотопическим классам отображений

${\displaystyle [S^{4},SU(2)]\cong [S^{4},S^{3}]=\pi _{4}(S^{3})\cong \mathbb {Z} /2}$

и as вместо , не может быть тривиальным расслоением и, следовательно, должно быть единственным нетривиальным (скрученным) расслоением. Это можно показать, посмотрев на индуцированную длинную точную последовательность на гомотопических группах.${\displaystyle \pi _{4}(SU(3))=\{0\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle SU(3)}$${\displaystyle SU(2)\times S^{5}\cong S^{3}\times S^{5}}$

Теория представлений [ править ]

Теория представлений хорошо изучена. ^[10] Описание этих представлений с точки зрения комплексифицированной алгебры Ли можно найти в статьях о представлениях алгебры Ли или коэффициентах Клебша – Гордана для SU (3) .${\displaystyle SU(3)}$${\displaystyle \operatorname {sl} (3;\mathbb {C} )}$

Алгебра Ли [ править ]

Генераторы, T , алгебры Ли из в определяющем (физики элементарных частиц, Эрмитова) представление, являются${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$${\displaystyle SU(3)}$

${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}$

где λ , матрицы Гелл-Манна , являются SU (3) аналогом матриц Паули для SU (2) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Эти λ _в пролете все бесследовое эрмитовые матрицы Н из алгебры Ли , по мере необходимости. Отметим, что λ ₂ , λ ₅ , λ ₇ антисимметричны.

Они подчиняются отношениям

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}$

или, что то же самое,

${\displaystyle \{\lambda _{a},\lambda _{b}\}={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}}$.

Е являются структурными константами алгебры Ли, приведенных

${\displaystyle f_{123}=1}$,

${\displaystyle f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}={\frac {1}{2}}}$,

${\displaystyle f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$,

в то время как все остальные f _abc, не связанные с ними перестановкой, равны нулю. Обычно они исчезают, если не содержат нечетное количество индексов из набора {2, 5, 7}. ^[c]

Симметричные коэффициенты d принимают значения

${\displaystyle d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$

${\displaystyle d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}}$

${\displaystyle d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}={\frac {1}{2}}~.}$

Они обращаются в нуль, если число индексов из набора {2, 5, 7} нечетное.

Типовой групповой элемент SU (3), порожденный бесследной эрмитовой матрицей 3 × 3 H , нормированной как tr ( H ² ) = 2 , может быть выражен как матричный полином второго порядка в H : ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}$

Структура алгебры Ли [ править ]

Как было отмечено выше, алгебра Ли из состоит из косоэрмитовых матриц с нулевым следом. ^[12]${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$${\displaystyle n\times n}$

Комплексификация алгебры Ли является пространством всех комплексных матриц с нулевым следом. ^[13] Подалгебра Картана состоит из диагональных матриц с нулевым следом ^[14], которые мы отождествляем с векторами , сумма элементов которых равна нулю. Тогда корни состоят из всех n ( n - 1) перестановок (1, −1, 0, ..., 0) .${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Выбор простых корней является

${\displaystyle {\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0,0),\\&\vdots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}}$

Итак, SU ( n ) имеет ранг n - 1, а его диаграмма Дынкина задается A _{n −1} , цепочкой из n - 1 узлов:.... ^[15] Его матрица Картана является

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.}$

Ее группа Вейля или группа Коксетера является симметрической группой S _п , то группа симметрии из ( п - 1) - симплекс .

Обобщенная специальная унитарная группа [ править ]

Для поля F , в обобщенной специальной унитарной группы над F , SU ( р , д ; F ) , является группой всех линейных преобразований в определителем 1 из в векторном пространстве ранга п = р + д над F , оставляющих инвариантными в невырожденных , эрмитова форма из сигнатуры ( р , д ) . Эту группу часто называютспециальная унитарная группа сигнатуры рд над F . Поле F может быть заменено коммутативным кольцом , и в этом случае векторное пространство заменяется свободным модулем .

В частности, зафиксируйте эрмитову матрицу A сигнатуры pq in , тогда все${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle M\in \operatorname {SU} (p,q,\mathbb {R} )}$

удовлетворить

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{*}AM&=A\\\det M&=1.\end{aligned}}}$

Часто можно встретить обозначение SU ( p , q ) без ссылки на кольцо или поле; в этом случае имеется ввиду кольцо или поле, и это дает одну из классических групп Ли . Стандартный выбор для A , когда это${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {F} =\mathbb {C} }$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.}$

Однако могут быть лучшие варианты для A для определенных измерений, которые демонстрируют большее поведение при ограничении вложенными строками .${\displaystyle \mathbb {C} }$

Пример [ править ]

Важным примером группы этого типа является модулярная группа Пикара, которая действует (проективно) на комплексном гиперболическом пространстве степени два, точно так же, как действует (проективно) на вещественном гиперболическом пространстве размерности два. В 2005 году Габор Франсикс и Питер Лакс вычислили явную фундаментальную область действия этой группы на HC ² . ^[16]${\displaystyle \operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z} )}$

Еще один пример , который изоморфен .${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1;\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$

Важные подгруппы [ править ]

В физике для представления бозонных симметрий используется специальная унитарная группа . В теориях нарушения симметрии важно уметь находить подгруппы специальной унитарной группы. Подгруппы SU ( n ) , которые важны для физики GUT , следующие: при p > 1, n - p > 1 ,

${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SU} (p)\times \operatorname {SU} (n-p)\times \operatorname {U} (1),}$

где × обозначает прямое произведение, а U (1) , известная как круговая группа , является мультипликативной группой всех комплексных чисел с абсолютным значением  1.

Для полноты также существуют ортогональная и симплектическая подгруппы,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SU} (n)&\supset \operatorname {SO} (n),\\\operatorname {SU} (2n)&\supset \operatorname {Sp} (n).\end{aligned}}}$

Поскольку ранг группы SU (n) равен n - 1, а ранг U (1) равен 1, полезная проверка состоит в том, что сумма рангов подгрупп меньше или равна рангу исходной группы. SU ( n ) - подгруппа различных других групп Ли,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SO} (2n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Sp} (n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Spin} (4)&=\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\\\operatorname {E} _{6}&\supset \operatorname {SU} (6)\\\operatorname {E} _{7}&\supset \operatorname {SU} (8)\\\operatorname {G} _{2}&\supset \operatorname {SU} (3)\end{aligned}}}$

См. Спиновую группу и простые группы Ли для E ₆ , E ₇ и G ₂ .

Также существуют случайные изоморфизмы : SU (4) = Spin (6) , SU (2) = Spin (3) = Sp (1) , ^[d] и U (1) = Spin (2) = SO (2) .

Можно , наконец , отметить , что SU (2) представляет собой двойное покрытие группы из SO (3) , отношение , которое играет важную роль в теории вращений 2- спинорами в нерелятивистской квантовой механике .

Группа SU (1,1) [ править ]

${\displaystyle SU(1,1)=\left\{{\begin{bmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{bmatrix}}\in M(2,\mathbb {C} ):\ uu^{*}-vv^{*}\ =\ 1\right\}~,~}$где обозначает комплексное сопряжение комплексного числа u .${\displaystyle ~u^{*}~}$

Эта группа локально изоморфна SO (2,1) и SL (2, ℝ) ^[17] , где числа разделенных запятой относятся к подписи в квадратичной форме , сохраненной группе. Выражение в определении SU (1,1) - это эрмитова форма, которая становится изотропной квадратичной формой, когда u и v разлагаются с их действительными компонентами. Раннее появление этой группы было как «единичная сфера» кокватернионов , введенная Джеймсом Коклом в 1852 году.${\displaystyle ~uu^{*}-vv^{*}~}$

${\displaystyle j\,=\,{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\,,\quad k\,={\begin{bmatrix}1&\;~0\\0&-1\end{bmatrix}}\,,\quad i\,=\,{\begin{bmatrix}\;~0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~.}$

Тогда матрица 2 × 2 идентичность, и и элементы I, J и K все антикоммутируют , как обычные кватернионов. Кроме того, по - прежнему является квадратный корень из - I ₂ (отрицательный единичной матрицы), тогда как не являются, в отличие от кватернионов . И для кватернионов, и для кокватернионов все скалярные величины трактуются как неявные кратные I ₂  , называемые единичным (ко) кватернионом , а иногда и явно обозначаются как 1  .${\displaystyle ~j\,k={\begin{bmatrix}0&-1\\1&\;~0\end{bmatrix}}=-i~,~}$ ${\displaystyle ~i\,j\,k\,=\,I_{2}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~,~}$${\displaystyle ~k\,i\,=\,j~,}$${\displaystyle \;i\,j=k\;,}$${\displaystyle i}$${\displaystyle ~j^{2}=k^{2}=+I_{2}~}$

Кокватернион со скаляром w имеет сопряжение, подобное кватернионам Гамильтона. Квадратичная форма${\displaystyle ~q\,=\,w+x\,i+y\,j+z\,k~}$${\displaystyle ~q\,=\,w-x\,i-y\,j-z\,k~}$${\displaystyle ~q\,q^{*}\,=\,w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}~.}$

Обратите внимание, что двухслойный гиперболоид соответствует мнимым единицам в алгебре, так что любую точку p на этом гиперболоиде можно использовать как полюс синусоидальной волны согласно формуле Эйлера .${\displaystyle ~\{xi+yj+zk:x^{2}-y^{2}-z^{2}=1\}~}$

Гиперболоид устойчив относительно SU (1,1) , что иллюстрирует изоморфизм с SO (2,1) . Изменчивость полюса волны, как отмечалось в исследованиях поляризации , может рассматривать эллиптическую поляризацию как проявление эллиптической формы волны с полюсом .${\displaystyle ~p\neq \pm i~}$ Модель сферы Пуанкаре, используемую с 1892 года, сравнивают с моделью двухлистного гиперболоида. ^[18]

Когда элемент SU (1,1) интерпретируется как преобразования Мёбиуса , она покидает диск блока стабильной, так что эта группа представляет движения на диске модели Пуанкаре гиперболической геометрии плоскости. В самом деле, для точки [ г, 1 ] в комплексной проективной прямой , действие SU (1,1) задается

${\displaystyle {\bigl [}\;z,\;1\;{\bigr ]}\,{\begin{bmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{bmatrix}}\,=\,[\;u\,z+v^{*},\,v\,z+u^{*}\;]\,\thicksim \,\left[\;{\frac {uz+v^{*}}{vz+u^{*}}},\,1\;\right]}$

поскольку в проективных координатах ${\displaystyle [\;u\,z+v^{*},\;v\,z+u^{*}\;]\,\thicksim \,\left[\;{\frac {\,u\,z+v^{*}\,}{v\,z+u^{*}}},\;1\;\right]~.}$

Написание арифметических шоу комплексных чисел${\displaystyle \;suv+{\overline {suv}}\,=\,2\,\Re \,{\bigl (}\,suv\,{\bigr )}\;,}$

${\displaystyle {\bigl |}\,u\,z+v^{*}{\bigr |}^{2}\,=\,S+z\,z^{*}\quad {\text{ and }}\quad {\bigl |}\,v\,z+u^{*}{\bigr |}^{2}\,=\,S+1~,}$

где Следовательно, так что их соотношение лежит в открытом диске. ^[19]${\displaystyle ~S\,=\,v\,v^{*}(z\,z^{*}+1)+2\,\Re \,{\bigl (}\,uvz\,{\bigr )}~.}$${\displaystyle ~z\,z^{*}<1~\implies ~{\bigl |}uz+v^{*}{\bigr |}<{\bigl |}\,v\,z+u^{*}\,{\bigr |}~}$

См. Также [ править ]

• Унитарная группа
• Проективная специальная унитарная группа , PSU ( n )
• Ортогональная группа
• Обобщения матриц Паули
• Теория представлений SU (2)

Сноски [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Ячелло, Франческо (2006), Алгебры Ли и приложения , Лекционные заметки по физике, 708 , Springer, ISBN 3540362363