Симплектическая группа

Группы Ли
Классические группы Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n )
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Представления классических групп Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физике Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В математике название симплектическая группа может относиться к двум различным, но тесно связанным, совокупностям математических групп , обозначенных Sp (2 n , F ) и Sp ( n ) для положительного целого числа n и поля F (обычно C или R ). Последняя называется компактной симплектической группой . Многие авторы предпочитают немного разные обозначения, обычно различающиеся в два раза . Используемые здесь обозначения соответствуют размеру наиболее распространенных матриц.которые представляют группы. В Картана классификации «s из простых алгебр Ли , алгебра Ли комплексной группы Sp (2 п , С ) обозначается С _п и Sp ( п ) является компактной вещественной формой в Sp (2 п , С ) . Заметим, что когда мы говорим о (компактной) симплектической группе, подразумевается, что мы говорим о наборе (компактных) симплектических групп, индексированных их размерностью n .

Название «симплектическая группа» принадлежит Герману Вейлю в качестве замены предыдущих запутанных имен ( прямая ) комплексная группа и абелева линейная группа , и является греческим аналогом слова «комплекс».

Метаплектическая группа представляет собой двойную крышку симплектической группы над R ; он имеет аналоги над другими локальными полями , конечными полями и кольцами аделей .

Sp (2 n , F ) [ править ]

Симплектическая группа представляет собой классическая группа определяется как множество линейных преобразований одного 2 п - мерного векторного пространства над полем F , сохраняющими невырожденной кососимметрической билинейной формой . Такое векторное пространство называется симплектическим векторным пространством , а симплектическая группа абстрактного симплектического векторного пространства V обозначается Sp ( V ) . После фиксации базиса для V симплектическая группа становится группой симплектических матриц размером 2 n × 2 n , с элементами из F , при операции умножения матриц . Эта группа обозначается либо Sp (2 n , F ), либо Sp ( n , F ) . Если билинейная форма представлена невырожденной кососимметричной матрицей Ω, то

${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,F)=\{M\in M_{2n\times 2n}(F):M^{\mathrm {T} }\Omega M=\Omega \},}$

где М ^Т является транспонированной из М . Часто Ω определяется как

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},}$

где I _n - единичная матрица. В этом случае Sp (2 n , F ) можно выразить как те блочные матрицы , где , удовлетворяя уравнениям:${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})}$${\displaystyle A,B,C,D\in M_{n\times n}(F)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}-C^{\mathrm {T} }A+A^{\mathrm {T} }C&=0,\\-C^{\mathrm {T} }B+A^{\mathrm {T} }D&=I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }A+B^{\mathrm {T} }C&=-I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }B+B^{\mathrm {T} }D&=0.\end{aligned}}}$

Так как все симплектические матрицы имеют определитель 1 , симплектическая группа является подгруппой из специальной линейной группы SL (2 н , Г ) . Когда n = 1 , симплектическое условие для матрицы выполняется тогда и только тогда, когда определитель равен единице, так что Sp (2, F ) = SL (2, F ) . Для n > 1 существуют дополнительные условия, т.е. Sp (2 n , F ) тогда является собственной подгруппой SL (2 n , F ) .

Как правило, поле F является полем действительных чисел R или комплексных чисел C . В этих случаях Sp (2 n , F ) является вещественной / комплексной группой Ли вещественной / комплексной размерности n (2 n + 1) . Эти группы связаны, но некомпактны .

Центр из Sp (2 н , F ) состоит из матриц я _{2 п} и - я _{2 п} до тех пор , как характеристика поля не 2 . ^[1] Поскольку центр Sp (2 n , F ) дискретен, а его фактор по модулю центра является простой группой , Sp (2 n , F ) считается простой группой Ли .

Действительный ранг соответствующей алгебры Ли, а значит, и группы Ли Sp (2 n , F ) равен n .

Алгебра Ли из Sp (2 п , F ) есть множество

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\Omega X+X^{\mathrm {T} }\Omega =0\},}$

снабженный коммутатором в качестве его скобки Ли. ^[2] Для стандартной кососимметричной билинейной формы эта алгебра Ли представляет собой набор всех блочных матриц, подчиняющихся условиям${\displaystyle \Omega =({\begin{smallmatrix}0&I\\-I&0\end{smallmatrix}})}$${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=-D^{\mathrm {T} },\\B&=B^{\mathrm {T} },\\C&=C^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$

Sp (2 n , C ) [ править ]

Симплектическая группа над полем комплексных чисел является некомпактная , односвязны , простая группа Ли .

Sp (2 n , R ) [ править ]

Sp (2 n , C ) - комплексификация вещественной группы Sp (2 n , R ) . Sp (2 н , R ) является реальным, некомпактная , подключен , простая группа Ли . ^[3] Он имеет фундаментальную группу, изоморфную группе целых чисел при сложении. В качестве вещественной формы в виде простой группы Ли ее алгебра Ли является Расщепляющейся алгеброй Ли .

Некоторые дополнительные свойства Sp (2 n , R ) :

• Экспоненциальное отображение из алгебры Ли зр (2 н , R ) в группе Sp (2 н , R ) не сюръективны . Однако любой элемент группы может быть получен путем группового умножения двух элементов. ^[4] Другими словами,

${\displaystyle \forall S\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\,\,\exists X,Y\in {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbf {R} )\,\,S=e^{X}e^{Y}.}$

• Для всех S в Sp (2 n , R ) :

${\displaystyle S=OZO'\quad {\text{such that}}\quad O,O'\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\cap \operatorname {SO} (2n)\cong U(n)\quad {\text{and}}\quad Z={\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}.}$

Матрица D является положительно определенным и диагональю . Множество таких Z s образует некомпактную подгруппу в Sp (2 n , R ), тогда как U ( n ) образует компактную подгруппу. Это разложение известно как разложение Эйлера или разложения Блоха – Мессии. ^[5] Другие свойства симплектической матрицы можно найти на этой странице в Википедии.

• В качестве группы Ли , Sp (2 н , R ) имеет структуру многообразия. Коллектор для Sp (2 н , R ) является диффеоморфен к декартово произведение из унитарной группы U ( п ) с векторным пространством размерности п ( п + 1) . ^[6]

Генераторы бесконечно малых [ править ]

Члены симплектической алгебры Ли sp (2 n , F ) являются гамильтоновыми матрицами .

Это матрицы, такие что${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}}$

где B и C - симметричные матрицы . См. Классическую группу для вывода.

Пример симплектических матриц [ править ]

Для Sp (2, R ) , группы матриц 2 × 2 с определителем 1 , тремя симплектическими (0, 1) -матрицами являются: ^[7]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Sp (n, R) [ править ]

Оказывается, можно довольно явное описание с помощью генераторов. Если мы обозначим симметричные матрицы, то порождается где${\displaystyle \operatorname {Sp} (n,\mathbf {R} )}$${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (n,\mathbf {R} )}$${\displaystyle D(n)\cup N(n)\cup \{\Omega \},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{bmatrix}}\,\right|\,A\in \operatorname {GL} (n,\mathbf {R} )\right\}\\[6pt]N(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{bmatrix}}\,\right|\,B\in \operatorname {Sym} (n)\right\}\end{aligned}}}$

являются подгруппами ^{[8] стр. 173 [9] стр. 2} .${\displaystyle \operatorname {Sp} (n,\mathbf {R} )}$

Связь с симплектической геометрией [ править ]

Симплектическая геометрия - это изучение симплектических многообразий . Касательное пространство в любой точке на симплектическое многообразии является симплектическим векторным пространством . ^[10] Как отмечалось ранее, сохраняющие структуру преобразования симплектического векторного пространства образуют группу, и эта группа является Sp (2 n , F ) , в зависимости от размерности пространства и поля, в котором она определена.

Симплектическое векторное пространство само является симплектическим многообразием. Таким образом, преобразование под действием симплектической группы является в некотором смысле линеаризованной версией симплектоморфизма, который является более общим сохраняющим структуру преобразованием на симплектическом многообразии.

Sp ( n ) [ править ]

Компактная симплектическая группа ^[11] Sp ( п ) есть пересечение Sp (2 н , C ) с унитарной группой:${\displaystyle 2n\times 2n}$

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n):=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {U} (2n)=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {SU} (2n).}$

Иногда его записывают как USp (2 n ) . В качестве альтернативы Sp ( n ) можно описать как подгруппу GL ( n , H ) (обратимые кватернионные матрицы), которая сохраняет стандартную эрмитову форму на H ⁿ :

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}.}$

То есть, Sp ( п ) является только кватернионно унитарной группой , U ( п , Н ) . ^[12] Действительно, ее иногда называют гиперунитарной группой . Также Sp (1) является группой кватернионов нормы 1 , эквивалентной SU (2) и топологически 3- сферой S ³ .

Обратите внимание , что Sp ( п ) является не симплектической группой в том смысле , в предыдущем раздел, она не сохраняет невырожденную кососимметрична H -bilinear формы на Н ^н : нет такой формы , за исключением нулевой формы. Скорее, он изоморфен подгруппе Sp (2 n , C ) , и поэтому сохраняет комплексную симплектическую форму в векторном пространстве размерности вдвое большей. Как объясняется ниже, алгебра Ли Sp ( n ) является компактной вещественной формой комплексной симплектической алгебры Ли sp (2 n , C ).

Sp ( n ) - действительная группа Ли с (действительной) размерностью n (2 n + 1) . Он компактен , связан и просто связан . ^[13]

Алгебра Ли Sp ( п ) задаются кватернионными косоэрмитовыми матрицами, множество п матрицы с размерностью п кватернионных матриц , которые удовлетворяют условие

${\displaystyle A+A^{\dagger }=0}$

где ^† является сопряженной транспозицией из А (здесь один берет кватернионного конъюгата). Скобка Ли задается коммутатором.

Важные подгруппы [ править ]

Некоторые основные подгруппы:

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {Sp} (n-1)}$

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {U} (n)}$

${\displaystyle \operatorname {Sp} (2)\supset \operatorname {O} (4)}$

Наоборот, это сама подгруппа некоторых других групп:

${\displaystyle \operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {Sp} (n)}$

${\displaystyle \operatorname {F} _{4}\supset \operatorname {Sp} (4)}$

${\displaystyle \operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {Sp} (1)}$

Есть также изоморфизм по Lie алгебры зр (2) = так (5) и зр (1) = так (3) = су (2) .

Связь между симплектическими группами [ править ]

Каждая комплексная полупростая алгебра Ли имеет расщепляемую вещественную форму и компактную вещественную форму ; первое называется комплексификацией двух последних.

Алгебра Ли Sp (2 н , С ) является полупростой и обозначается зр (2 н , C ) . Его расщепленная вещественная форма - это sp (2 n , R ), а его компактная вещественная форма - sp ( n ) . Они соответствуют группам Ли Sp (2 n , R ) и Sp ( n ) соответственно.

Алгебры sp ( p , n - p ) , которые являются алгебрами Ли Sp ( p , n - p ) , представляют собой неопределенную сигнатуру, эквивалентную компактной форме.

Физическое значение [ править ]

Классическая механика [ править ]

Компактная симплектическая группа Sp ( n ) возникает в классической физике как симметрии канонических координат, сохраняющих скобку Пуассона.

Рассмотрим систему из n частиц, эволюционирующую по уравнениям Гамильтона , положение которой в фазовом пространстве в данный момент времени обозначается вектором канонических координат ,

${\displaystyle \mathbf {z} =(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})^{\mathrm {T} }.}$

Элементы группы Sp (2 n , R ) в определенном смысле являются каноническими преобразованиями на этом векторе, т.е. сохраняют форму уравнений Гамильтона . ^{[14] [15]} Если

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {Z} (\mathbf {z} ,t)=(Q^{1},\ldots ,Q^{n},P_{1},\ldots ,P_{n})^{\mathrm {T} }}$

- новые канонические координаты, то с точкой, обозначающей производную по времени,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {Z} }}=M({\mathbf {z} },t){\dot {\mathbf {z} }},}$

куда

${\displaystyle M(\mathbf {z} ,t)\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )}$

для всех t и всех z в фазовом пространстве. ^[16]

В частном случае риманова многообразия уравнения Гамильтона описывают геодезические на этом многообразии. Координаты находятся в касательном расслоении к многообразию, а импульсы - в кокасательном расслоении . Это причина, по которой они обычно записываются с верхним и нижним индексами; это различать их расположение. Соответствующий гамильтониан состоит исключительно из кинетической энергии: это где обратный метрическому тензору на римановом многообразии. ^{[17] [15]} Кокасательное расслоение любого риманового многообразия является частным случаем симплектического многообразия .${\displaystyle q^{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}$${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$

Квантовая механика [ править ]

Рассмотрим систему из n частиц, квантовое состояние которой кодирует ее положение и импульс. Эти координаты являются непрерывными переменными, и, следовательно, гильбертово пространство , в котором живет состояние, бесконечномерно. Это часто затрудняет анализ данной ситуации. Альтернативный подход состоит в рассмотрении эволюции операторов положения и импульса в соответствии с уравнением Гейзенберга в фазовом пространстве .

Построить вектор канонических координат ,

${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =({\hat {q}}^{1},\ldots ,{\hat {q}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})^{\mathrm {T} }.}$

Каноническое коммутационное соотношение может быть выражено просто как

${\displaystyle [\mathbf {\hat {z}} ,\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }]=i\hbar \Omega }$

куда

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}\mathbf {0} &I_{n}\\-I_{n}&\mathbf {0} \end{pmatrix}}}$

а I _n - единичная матрица размера n × n .

Во многих физических ситуациях требуются только квадратичные гамильтонианы , то есть гамильтонианы вида

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }K\mathbf {\hat {z}} }$

где K - действительная симметричная матрица размером 2 n × 2 n . Это оказывается полезным ограничением и позволяет нам переписать уравнение Гейзенберга в виде

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {\hat {z}} }{dt}}=\Omega K\mathbf {\hat {z}} }$

Решение этого уравнения должно сохранять каноническое коммутационное соотношение . Можно показать , что временная эволюция этой системы эквивалентно действию на вещественной симплектической группы, Sp (2 н , R ) , на фазовом пространстве.

См. Также [ править ]

• Ортогональная группа
• Унитарная группа
• Проективная унитарная группа
• Симплектическое многообразие , Симплектическая матрица , Симплектическое векторное пространство , Симплектическое представление
• Представления классических групп Ли
• Гамильтонова механика
• Метаплектическая группа
• Θ10

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Арнольд В.И. (1989), Математические методы классической механики , Тексты для выпускников по математике , 60 (второе изд.), Springer-Verlag , ISBN 0-387-96890-3
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Фултон, В .; Харрис, Дж. (1991), Теория представлений, Первый курс , Тексты для выпускников по математике , 129 , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97495-8.
• Гольдштейн, Х. (1980) [1950]. «Глава 7». Классическая механика (2-е изд.). Читающий Массачусетс: Эддисон-Уэсли . ISBN 0-201-02918-9.
• Ли, Дж. М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Тексты для выпускников по математике , 218 , Springer-Verlag , ISBN 0-387-95448-1
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - Введение в линейные группы , Тексты для выпускников Оксфорда по математике, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• Ферраро, Алессандро; Оливарес, Стефано; Париж, Маттео Г.А. (март 2005 г.), «Гауссовские состояния в непрерывной переменной квантовой информации», arXiv : Quant-ph / 0503237.