F 4 (математика)

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , F ₄ является имя группы Ли , а также ее алгебра Ли е ₄ . Это одна из пяти исключительных простых групп Ли . F ₄ имеет ранг 4 и размерность 52. Компактная форма односвязна, и ее группа внешних автоморфизмов является тривиальной группой . Его фундаментальное представление - 26-мерное.

Компактная вещественная форма F ₄ - это группа изометрий 16-мерного риманова многообразия, известного как октонионная проективная плоскость OP ² . Систематически это можно увидеть, используя конструкцию, известную как магический квадрат , созданную Гансом Фройденталем и Жаком Титсом .

Существуют 3 настоящие формы : компактная, раздельная и третья. Это группы изометрий трех вещественных алгебр Альберта .

Алгебра Ли F ₄ может быть построена путем добавления 16 генераторов, преобразующих как спинор в 36-мерную алгебру Ли so (9), по аналогии с построением E 8 .

В старых книгах и статьях F ₄ иногда обозначается как E ₄ .

Алгебра [ править ]

Диаграмма Дынкина [ править ]

Диаграмма Дынкина для F ₄ является:.

Группа Вейля / Кокстера [ править ]

Его Вейль / Косетер группой является группа симметрии из 24-клетки : это разрешимая группа порядка 1152. Он имеет минимальную степень верной ^[1] , который реализуется действием на 24-клетке .${\ Displaystyle G = W \ влево (\ mathrm {F} _ {4} \ right)}$${\ Displaystyle \ му (G) = 24}$

Матрица Картана [ править ]

${\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {rrrr} 2 & -1 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \ end {array}} \ right]}$

Решетка F ₄ [ править ]

Решетка F ₄ представляет собой четырехмерную объемно -центрированную кубическую решетку (т. Е. Объединение двух гиперкубических решеток , каждая из которых лежит в центре другой). Они образуют кольцо, называемое кватернионным кольцом Гурвица . 24 кватерниона Гурвица нормы 1 образуют вершины 24-ячейки с центром в начале координат.

Корни F ₄ [ править ]

48 корневых векторов F ₄ могут быть найдены как вершины 24-ячеек в двух двойных конфигурациях, представляющих вершины дисфеноидальных 288-ячеек, если длины ребер 24-ячеек равны:

24-х клеточные вершины:

• 24 корня по (± 1, ± 1,0,0), меняя положения координат

Двойные 24-ячеечные вершины:

• 8 корней по (± 1, 0, 0, 0), меняя положения координат
• 16 корней по (± ½, ± ½, ± ½, ± ½).

Простые корни [ править ]

Один выбор простых корней для F ₄ ,, задается строками следующей матрицы:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ {\ frac {1} {2}} & - {\ frac {1} {2}} & - {\ frac { 1} {2}} & - {\ frac {1} {2}} \\\ end {bmatrix}}}$

Полиномиальный инвариант F ₄ [ править ]

Подобно тому, как O ( n ) - это группа автоморфизмов, которые сохраняют квадратичные многочлены x ² + y ² + ... инвариантными, F ₄ - это группа автоморфизмов следующего набора из трех многочленов от 27 переменных. (Первую можно легко заменить на две другие, составляя 26 переменных).

${\ displaystyle C_ {1} = x + y + z}$

${\ displaystyle C_ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + 2X {\ overline {X}} + 2Y {\ overline {Y}} + 2Z {\ overline {Z }}}$

${\displaystyle C_{3}=xyz-xX{\overline {X}}-yY{\overline {Y}}-zZ{\overline {Z}}+XYZ+{\overline {XYZ}}}$

Где x , y , z - действительные значения, а X , Y , Z - октонионные значения. Другой способ записать эти инварианты - это как (комбинации) Tr ( M ), Tr ( M ² ) и Tr ( M ³ ) эрмитовой матрицы октониона :

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}x&{\overline {Z}}&Y\\Z&y&{\overline {X}}\\{\overline {Y}}&X&z\end{bmatrix}}}$

Набор многочленов определяет 24-мерную компактную поверхность.

Представления [ править ]

Характеры конечномерных представлений вещественных и комплексных алгебр Ли и групп Ли задаются формулой характера Вейля . Размеры наименьших неприводимых представлений (последовательность A121738 в OEIS ):

1, 26, 52, 273, 324, 1053 (дважды), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829, 12376, 16302, 17901, 19278, 19448, 29172, 34749, 76076, 81081, 100776, 106496, 107406, 119119 , 160056 (дважды), 184756, 205751, 212992, 226746, 340119, 342056, 379848, 412776, 420147, 627912…

52-мерное представление является присоединенным представлением , а 26-мерное - бесследной частью действия F ₄ на исключительной алгебре Альберта размерности 27.

Есть два неизоморфных неприводимых представления размерностей 1053, 160056, 4313088 и т. Д. Фундаментальные представления - это те, которые имеют размерности 52, 1274, 273, 26 (соответствующие четырем узлам на диаграмме Дынкина в таком порядке, что двойная стрелка баллы со второго по третий).

См. Также [ править ]

• Алгебра Альберта
• Самолет Кэли
• Диаграмма Дынкина
• Фундаментальное представление
• Простая группа Ли

Ссылки [ править ]

• Адамс, Дж. Франк (1996). Лекции об исключительных группах Ли . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 978-0-226-00526-3. Руководство по ремонту  1428422 .
• Джон Баэз , Octonions , Раздел 4.2: F ₄ , Bull. Амер. Математика. Soc. 39 (2002), 145-205 . Онлайн-версия HTML по адресу http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node15.html .
• Chevalley C, Schafer RD (февраль 1950 г.). «Исключительно простые алгебры Ли F (4) и E (6)» . Proc. Natl. Акад. Sci. США . 36 (2): 137–41. Bibcode : 1950PNAS ... 36..137C . DOI : 10.1073 / pnas.36.2.137 . PMC  1063148 . PMID  16588959 .
• Джейкобсон, Натан (1971-06-01). Исключительные алгебры Ли (1-е изд.). CRC Press. ISBN 0-8247-1326-5.