Группы Ли |
---|
|
В математике , то присоединенное представление (или присоединенное действие ) от группы Ли G является способом представления элементов группы как линейные преобразования из группы алгебры Ли , рассматриваемых в качестве векторного пространства . Например, если G является , группа Ли вещественный п матрицы с размерностью п обратимых матриц , то присоединенное представлением является группа гомоморфизм , который посылает обратимый п матрицы с размерностью п матрицу с эндоморфизмом векторного пространства всех линейных преобразований определяется:.
Для любой группы Ли, это естественное представление получается путем линеаризации (т.е. принимая дифференциал ) от их действий на G на себе сопряжение . Присоединенное представление может быть определено для линейных алгебраических групп над произвольными полями .
Определение [ править ]
Пусть G - группа Ли и пусть
отображение , г ↦ Ч г , с Aut ( G ) в группе автоморфизмов из G и Ч г : G → G задается внутренний автоморфизм (конъюгация)
Это - гомоморфизм групп Ли .
Для каждого г в G , определим Ad г быть производной от ф г в нуле:
где d - дифференциал, а - касательное пространство в начале координат e ( e - единичный элемент группы G ). Поскольку является автоморфизмом группы Ли, Ad g является автоморфизмом алгебры Ли; т.е. обратимое линейное преобразование из себе , что сохраняет скобку Ли . Более того, поскольку является гомоморфизмом группы, также является гомоморфизмом группы. [1] Следовательно, отображение
это группа представление называется присоединенным представлением о G .
Если G - погруженная подгруппа Ли общей линейной группы (называемая погруженной линейной группой Ли), то алгебра Ли состоит из матриц, а экспоненциальное отображение - это матричная экспонента для матриц X с малыми операторными нормами. Таким образом, для g в G и малых X in , взяв производную от при t = 0, получаем:
где справа - произведения матриц. Если - замкнутая подгруппа (то есть G - матричная группа Ли), то эта формула верна для всех g в G и всех X в .
Кратко, присоединенное представление является представлением изотропии , связанное с сопряжением действия G вокруг единичного элемента G .
Производная от объявления [ править ]
Всегда можно перейти от представления группы Ли G к представлению ее алгебры Ли , взяв производную в единице.
Взяв производную от сопряженного отображения
в единице дает присоединенное представление алгебры Ли группы G :
где это алгебра Ли , которая может быть идентифицирована с дифференцированием алгебры в . Можно показать, что
для всех , где правая часть задается (индуцируется) скобкой Ли векторных полей . Действительно, напомним [2], что, рассматривая как алгебру Ли левоинвариантных векторных полей на G , скобка на задается как: [3] для левоинвариантных векторных полей X , Y ,
где обозначает поток , генерируемый X . Оказывается , примерно потому, что обе стороны удовлетворяют одному и тому же ОДУ, определяющему поток. То есть, где обозначает правильное умножение на . С другой стороны, так как , по правилу цепи ,
поскольку Y левоинвариантен. Следовательно,
- ,
что и нужно было показать.
Таким образом, совпадает с тем же, что определено в § Присоединенное представление алгебры Ли ниже. Ad и ad связаны экспоненциальным отображением : в частности, Ad exp ( x ) = exp (ad x ) для всех x в алгебре Ли. [4] Это следствие общего результата, связывающего гомоморфизмы групп Ли и алгебр Ли через экспоненциальное отображение. [5]
Если G является immersely линейная группа Ли, то выше вычислений упрощается: на самом деле, как уже отмечалось раньше, и , таким образом , с ,
- .
Взяв производную от этого в , мы имеем:
- .
Общий случай можно вывести из линейного случая: в самом деле, пусть быть immersely линейной группы Ли с той же алгеброй Ли, что и G . Тогда производная Ad в единице G и G ' совпадают; следовательно, без ограничения общности G можно считать G ' .
Обозначения в верхнем и нижнем регистрах широко используются в литературе. Так, например, вектор х в алгебре формирует векторное поле X в группе G . Аналогичным образом , присоединенное отображение объявления х у = [ х , у ] векторов в гомоморфную [ разъяснение необходимости ] к Ли производной L X Y = [ X , Y ] векторных полей на группе G , рассматриваемой как коллектор .
Далее смотрите производную экспоненциального отображения .
Присоединенное представление алгебры Ли [ править ]
Позвольте быть алгеброй Ли над некоторым полем. Учитывая элемент x алгебры Ли , можно определить присоединенное действие x на как отображение
для всех у в . Это называется присоединенным эндоморфизмом или присоединенным действием . ( также часто обозначается как .) Поскольку скобка билинейна, она определяет линейное отображение
задается формулой x ↦ ad x . Внутри End скобка по определению задается коммутатором двух операторов:
где обозначает композицию линейных отображений. Используя приведенное выше определение скобки, тождество Якоби
принимает форму
где x , y и z - произвольные элементы .
Последнее тождество говорит, что ad является гомоморфизмом алгебр Ли; т.е. линейное отображение, переводящее скобки в скобки. Следовательно, ad является представлением алгебры Ли и называется присоединенным представлением этой алгебры .
Если конечномерно, то End изоморфна алгебре Ли общей линейной группы векторного пространства, и если для нее выбран базис, композиция соответствует матричному умножению .
На более теоретико-модульном языке конструкция говорит, что это модуль над собой.
Ядро объявления является центром из (который только перефразировать определение). С другой стороны, для каждого элемента z in линейное отображение подчиняется закону Лейбница :
для всех x и y в алгебре (повторная формулировка тождества Якоби). Другими словами, ad z - это производное, а изображение under ad - подалгебра Der , пространства всех производных .
Когда - алгебра Ли группы Ли G , ad - дифференциал Ad в единичном элементе группы G (см. # Производный от Ad выше).
Существует следующая формула аналогична формуле Лейбница : для скаляров и элементов алгебры Ли ,
- .
Структурные константы [ править ]
Явные матричные элементы присоединенного представления задаются структурными константами алгебры. То есть, пусть {e i } будет набором базисных векторов алгебры с
Тогда матричные элементы для ad e i имеют вид
Так, например, присоединенное представление su (2) является определяющим представлением so (3) .
Примеры [ править ]
- Если G является абелевой размерности п , присоединенное представление G тривиальное п - мерное представление.
- Если G - матричная группа Ли (т. Е. Замкнутая подгруппа в GL ( n ,)), то ее алгебра Ли является алгеброй матриц размера n × n с коммутатором для скобки Ли (т. Е. Подалгеброй группы ). В этом случае сопряженное отображение задается как Ad g ( x ) = gxg −1 .
- Если G - это SL (2, R ) (вещественные матрицы 2 × 2 с определителем 1), алгебра Ли группы G состоит из вещественных матриц 2 × 2 со следом 0. Представление эквивалентно представлению, заданному действием G по линейному закону. подстановка в пространстве двоичных (т. е. двух переменных) квадратичных форм .
Свойства [ править ]
В следующей таблице приведены свойства различных карт, упомянутых в определении.
Гомоморфизм групп Ли: | Автоморфизм группы Ли: |
Гомоморфизм групп Ли: | Автоморфизм алгебры Ли:
|
Гомоморфизм алгебр Ли:
| Вывод алгебры Ли:
|
Изображение из G при присоединенном представлении обозначается Ad ( G ). Если G является подключен , то ядро присоединенного представления совпадает с ядром Ф , который является только центром в G . Следовательно, присоединенное представление связной группы Ли G является точным тогда и только тогда, когда G не имеет центра. Вообще, если G не подключен, то ядро отображения сопряженного является центратором из компонента идентичности G 0 из G. По первой теореме об изоморфизме имеем
Учитывая конечномерную вещественную алгебру Ли , по третьей теореме Ли , существует связная группа Ли , алгебра Ли которой образ присоединенного представления (т .) Это называется присоединенная группа из .
Теперь, если алгебра Ли связной группы Ли G , то есть образ присоединенного представления G : .
Корни полупростой группы Ли [ править ]
Если G является полупростым , ненулевые веса вида представления сопряженного корневой системы . [6] (В общем, прежде чем продолжить, нужно перейти к комплексификации алгебры Ли.) Чтобы увидеть, как это работает, рассмотрим случай G = SL ( n , R ). В качестве максимального тора T можно взять группу диагональных матриц diag ( t 1 , ..., t n ) . Сопряжение элементом T отправляет
Таким образом, T действует тривиально на диагональной части алгебры Ли группы G и с собственными векторами t i t j −1 на различные недиагональные элементы. Корни G - это веса diag ( t 1 , ..., t n ) → t i t j −1 . Этим объясняется стандартное описание корневой системы G = SL n ( R ) как набора векторов вида e i - e j .
Пример SL (2, R) [ править ]
При вычислении корневой системы для одного из простейших случаев групп Ли группа SL (2, R ) двумерных матриц с определителем 1 состоит из набора матриц вида:
с вещественными a , b , c , d и ad - bc = 1.
Максимальная компактная связная абелева подгруппа Ли, или максимальный тор T , задается подмножеством всех матриц вида
с . Алгебра Ли максимального тора - это подалгебра Картана, состоящая из матриц
Если мы сопрягаем элемент SL (2, R ) элементом максимального тора, получаем
Матрицы
тогда являются «собственными векторами» операции сопряжения с собственными значениями . Функция Λ, которая дает, является мультипликативным характером или гомоморфизмом тора группы в основное поле R. Функция λ, определяющая θ, является весом алгебры Ли с весовым пространством, заданным оболочкой матриц.
Приятно показать мультипликативность персонажа и линейность веса. Далее можно доказать, что дифференциал Λ можно использовать для создания веса. Также полезно рассмотреть случай SL (3, R ).
Варианты и аналоги [ править ]
Присоединенное представление также может быть определено для алгебраических групп над любым полем. [ требуется разъяснение ]
Представление Коприсоединенного является Контрагредиентным представлением присоединенного представления. Александр Кириллов заметил, что орбита любого вектора в коприсоединенном представлении является симплектическим многообразием . Согласно философии теории представлений, известной как метод орбит (см. Также формулу характера Кириллова ), неприводимые представления группы Ли G должны быть каким-то образом проиндексированы ее коприсоединенными орбитами. Это соотношение наиболее близко к случаю нильпотентных групп Ли .
Примечания [ править ]
- ^ Действительно, цепное правило ,
- ↑ Кобаяси-Номидзу , стр. 41
- ^ Кобаяси – Номидзу , Предложение 1.9.
- ^ Hall 2015 Предложение 3,35
- ^ Холл 2015 Теорема 3.28
- ^ Зал 2015 Раздел 7.3
Ссылки [ править ]
- Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту 1153249 . OCLC 246650103 .
- Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии. 1 (Новое изд.). Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-15733-5.
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.