Простая алгебра Ли

Группы Ли
Классические группы Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n )
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Точечная симметрия Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Представления классических групп Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физике Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В алгебре простая алгебра Ли является алгеброй Ли , что неабелева и не содержит ненулевых собственных идеалов. Классификация реальных простых алгебр Ли - одно из главных достижений Вильгельма Киллинга и Эли Картана .

Прямая сумма простых алгебр Ли называется полупростой алгеброй Ли .

Простая группа Ли является связной группы Ли , алгебра Ли проста.

Сложные простые алгебры Ли [ править ]

Конечномерная простая комплексная алгебра Ли изоморфна либо из следующих действий : , , ( классические алгебры Ли ) или один из пяти исключительных алгебр Ли . ^[1]${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {п} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {n} \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2n} \ mathbb {C}}$

Каждой конечномерной сложной полупростой алгебре Ли существует соответствующая диаграмма (называемая диаграммой Дынкина ), где узлы обозначают простые корни, узлы соединены (или не соединены) рядом линий в зависимости от углов между простыми корнями. корни и стрелки помещены, чтобы указать, корни длиннее или короче. ^[2] Диаграмма Дынкина связна тогда и только тогда, когда проста. Все возможные связные диаграммы Дынкина следующие: ^[3]${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

где n - количество узлов (простых корней). Соответствие диаграмм и сложных простых алгебр Ли следующее: ^[2]

(А _п )${\ displaystyle \ quad {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1} \ mathbb {C}}$

(B _n )${\ displaystyle \ quad {\ mathfrak {so}} _ {2n + 1} \ mathbb {C}}$

(C _n )${\ Displaystyle \ quad {\ mathfrak {sp}} _ {2n} \ mathbb {C}}$

(Д _н )${\ displaystyle \ quad {\ mathfrak {so}} _ {2n} \ mathbb {C}}$

Остальное - исключительные алгебры Ли .

Реальные простые алгебры Ли [ править ]

Если это конечномерная вещественная простая алгебра Ли, ее комплексификация является либо (1) простой, либо (2) произведением простой комплексной алгебры Ли и ее сопряженной . Например, комплексификация мышления как реальной алгебры Ли . Таким образом, реальная простая алгебра Ли может быть классифицирована с помощью классификации сложных простых алгебр Ли и некоторой дополнительной информации. Это можно сделать с помощью диаграмм Сатаке, которые обобщают диаграммы Дынкина . См. Также Таблицу групп Ли # Вещественные алгебры Ли для частичного списка реальных простых алгебр Ли.${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {п} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ mathbb {C} \ times {\ overline {{\ mathfrak {sl}} _ {n} \ mathbb {C}}}}$

Заметки [ править ]

См. Также [ править ]

• Простая группа Ли

Ссылки [ править ]

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту  1153249 . OCLC  246650103 .
• Джейкобсон, Натан, алгебры Ли , переиздание оригинала 1962 года. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1979. ISBN 0-486-63832-4 ; В главе X рассматривается классификация простых алгебр Ли над полем нулевой характеристики. 

• "Алгебра Ли, полупростая" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Простая алгебра Ли в nLab