Группа Пуанкаре , названный в честь Анри Пуанкаре (1906), [1] был впервые определен Герман Минковский (1908) в качестве группы из Минковского пространственно - временных изометрии . [2] [3] Это десятимерная неабелева группа Ли , которая важна как модель в нашем понимании самых основных основ физики . Например, одним из способов точного определения того, что такое субатомная частица , Шелдон Ли Глэшоу выразил, что « Частицыкак минимум описываются неприводимыми представлениями группы Пуанкаре » [4].
Обзор
А Минковского пространства - времени изометрия обладает тем свойством , что интервал между событиями остается инвариантным. Например, если все было отложено на два часа, включая два события и путь, который вы выбрали, чтобы перейти от одного к другому, то временной интервал между событиями, записанными секундомером, который вы носили с собой, был бы таким же. Или, если бы все было сдвинуто на пять километров к западу или повернулось на 60 градусов вправо, вы также не увидели бы никаких изменений в интервале. Оказывается, такой сдвиг не влияет и на правильную длину объекта. Поворот времени или пространства (отражение) также является изометрией этой группы.
В пространстве Минковского (т. Е. Игнорируя эффекты гравитации ) существует десять степеней свободы изометрий , которые можно рассматривать как перемещение во времени или пространстве (четыре степени, по одной на измерение); отражение через плоскость (три степени, свобода ориентации этой плоскости); или « усиление » в любом из трех пространственных направлений (три градуса). Композиция преобразований - это операция группы Пуанкаре, при которой правильные вращения производятся как композиция четного числа отражений.
В классической физике , то галилеянин группа является сравнимой десятью параметрами группа , которая действует на абсолютное время и пространстве . Вместо повышения, в нем есть сопоставления сдвига, чтобы связать совместно движущиеся системы отсчета.
Симметрия Пуанкаре
Симметрия Пуанкаре - это полная симметрия специальной теории относительности . Это включает:
- трансляции (смещения) во времени и пространстве ( P ), образующие абелеву группу Ли трансляций в пространстве-времени;
- вращения в пространстве, образующие неабелеву группу Ли трехмерных вращений ( J );
- бусты , преобразования, соединяющие два равномерно движущихся тела ( K ).
Две последние симметрии, J и K , вместе составляют группу Лоренца (см. Также лоренц-инвариантность ); тогда полупрямое произведение группы трансляций и группы Лоренца дает группу Пуанкаре. В этом случае говорят, что объекты, инвариантные относительно этой группы, обладают пуанкаре-инвариантностью или релятивистской инвариантностью .
10 генераторов (в четырех измерениях пространства-времени), связанных с симметрией Пуанкаре, согласно теореме Нётер , подразумевают 10 законов сохранения: 1 для энергии, 3 для импульса, 3 для момента количества движения и 3 для скорости центра масс. [5] [6]
Группа Пуанкаре
Группа Пуанкаре - это группа изометрий пространства-времени Минковского . Это десятимерная некомпактная группа Ли . Абелева группа из переводов является нормальной подгруппой , в то время как группа Лоренца также подгруппа, то стабилизатор происхождения. Сама группа Пуанкаре является минимальной подгруппой аффинной группы, которая включает все трансляции и преобразования Лоренца . Точнее, это полупрямое произведение переводов и группы Лоренца,
с групповым умножением
- . [7]
Другими словами, группа Пуанкаре является групповым расширением группы Лоренца посредством ее векторного представления ; ее иногда неофициально называют неоднородной группой Лоренца . В свою очередь, его также можно получить как групповое сжатие группы де Ситтера SO (4,1) ~ Sp (2,2), поскольку радиус де Ситтера стремится к бесконечности.
Его унитарные неприводимые представления положительной энергии индексируются по массе (неотрицательное число) и спину ( целое или полуцелое) и связаны с частицами в квантовой механике (см . Классификацию Вигнера ).
В соответствии с программой Эрлангена геометрия пространства Минковского определяется группой Пуанкаре: пространство Минковского рассматривается как однородное пространство для группы.
В квантовой теории поля универсальное покрытие группы Пуанкаре
которую можно идентифицировать по двойной крышке
более важно, потому что представления не могут описывать поля со спином 1/2, т.е. фермионы . Здесь это группа сложных матрицы с единичным детерминантом, изоморфные спиновой группе лоренцевой сигнатуры .
Алгебра Пуанкаре
Алгебра Пуанкаре является алгеброй Ли группы Пуанкаре. Это расширение алгебры Ли алгебры Ли группы Лоренца. В частности, правильный (), ортохронный () часть подгруппы Лоренца (ее тождественная компонента ),, связан с идентичностью и, таким образом, обеспечивается возведением в степень этой алгебры Ли . В компонентной форме алгебра Пуанкаре задается коммутационными соотношениями: [8] [9]
где является генератором переводов, является генератором преобразований Лоренца, а это Метрика Минковского (см. Соглашение о знаках ).
Нижним коммутационным соотношением является («однородная») группа Лоренца, состоящая из вращений, , и повышает, . В этих обозначениях вся алгебра Пуанкаре выражается на нековариантном (но более практичном) языке как
где нижний коммутатор двух бустеров часто называют «вращением Вигнера». Упрощение позволяет свести подалгебру Лоренца к и эффективная обработка связанных с ним представлений . По физическим параметрам имеем
В Казимира инварианты этой алгебры а также где - псевдовектор Паули – Любанского ; они служат ярлыками для представлений группы.
Группа Пуанкаре - это полная группа симметрии любой релятивистской теории поля . В результате все элементарные частицы попадают в представления этой группы . Обычно они задаются квадратом четырех импульсов каждой частицы (т. Е. Квадратом ее массы) и собственными квантовыми числами. , где - квантовое число спина ,это соотношение и- квантовое число зарядового сопряжения . На практике зарядовое сопряжение и четность нарушаются многими квантовыми теориями поля ; где это происходит, а также утрачены. Так как СРТ - симметрия является инвариантом в квантовой теории поля, обращения времени квантовое число может быть построена из приведенных.
Как топологическое пространство , группа имеет четыре связных компонента: компонент идентичности; компонент, обращенный во времени; компонент пространственной инверсии; и компонент, обращенный как во времени, так и в пространстве.
Другие размеры
Приведенные выше определения можно напрямую обобщить на произвольные размеры. Аналогично d- мерная группа Пуанкаре определяется полупрямым произведением
с аналогичным умножением
- . [7]
Алгебра Ли сохраняет свою форму, а индексы µ и ν теперь принимают значения от 0 до d - 1 . Альтернативное представление в терминах J i и K i не имеет аналогов в более высоких измерениях.
Суперпуанкаре алгебра
Связанное наблюдение состоит в том, что представления группы Лоренца включают пару неэквивалентных двумерных комплексных спинорных представлений а также чей тензорное произведение - присоединенное представление . Этот последний бит можно отождествить с самим четырехмерным пространством Минковского (в отличие от отождествления его с частицей со спином 1, как это обычно делается для пары фермионов , например, пион , состоящий из пары кварк -антикварк. ). Это убедительно свидетельствует о том, что можно было бы расширить алгебру Пуанкаре, включив также спиноры. Это непосредственно ведет к понятию суперпуанкаре . Математическая привлекательность этой идеи заключается в том, что вы работаете с фундаментальными представлениями , а не с присоединенными представлениями. Физическая привлекательность этой идеи состоит в том, что фундаментальные представления соответствуют фермионам , которые встречаются в природе. Однако до сих пор подразумеваемая здесь суперсимметрия симметрии между пространственным и фермионным направлениями не может быть обнаружена экспериментально в природе. Экспериментальную проблему можно грубо сформулировать как вопрос: если мы живем в присоединенном представлении (пространстве-времени Минковского), то где же скрывается фундаментальное представление?
Смотрите также
- Евклидова группа
- Теория представлений группы Пуанкаре
- Классификация Вигнера
- Симметрия в квантовой механике
- Центр масс (релятивистский)
- Псевдовектор Паули – Любанского
- Физика элементарных частиц и теория представлений
- Непрерывная частица спина
Заметки
- ↑ Пуанкаре, Анри (декабрь 1906), , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 21 : 129–176, Bibcode : 1906RCMP ... 21..129P , doi : 10.1007 / bf03013466 , hdl : 2027 / uiug.30112063899089 , S2CID 120211823( Перевод Wikisource : On the Dynamics of the Electron ). Группа, определенная в этой статье, теперь будет описана как однородная группа Лоренца со скалярными множителями.
- ^ Минковский, Герман, , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : 53–111(Перевод Wikisource: Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах ).
- ^ Минковский, Герман, , Physikalische Zeitschrift , 10 : 75–88
- ^ https://www.quantamagazine.org/what-is-a-particle-20201112/
- ^ "Обзор законов симметрии и сохранения: Подробнее Пуанкаре" (PDF) . frankwilczek.com . Источник 2021-02-14 .
- ^ Барнетт, Стивен М. (2011-06-01). «О шести компонентах оптического момента импульса» . Журнал оптики . 13 (6): 064010. DOI : 10,1088 / 2040-8978 / 13/6/064010 . ISSN 2040-8978 .
- ^ а б Облак, Благое (2017-08-01). Частицы BMS в трех измерениях . Springer. п. 80. ISBN 9783319618784.
- ^ Н. Н. Боголюбов (1989). Общие принципы квантовой теории поля (2-е изд.). Springer. п. 272. ISBN. 0-7923-0540-X.
- ^ Т. Олссон (2011). Релятивистская квантовая физика: от продвинутой квантовой механики до вводной квантовой теории поля . Издательство Кембриджского университета. п. 10. ISBN 978-1-13950-4324.
Рекомендации
- У-Ки Тунг (1985). Теория групп в физике . Мировое научное издательство. ISBN 9971-966-57-3.
- Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей . 1 . Кембридж: издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55001-7.
- Л. Х. Райдер (1996). Квантовая теория поля (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 62. ISBN 0-52147-8146.