Преобразование Лоренца

Часть серии по
Пространство-время
Специальная теория относительности Общая теория относительности
Концепции пространства-времени Многообразие пространства-времени Принцип эквивалентности Преобразования Лоренца Пространство Минковского
Общая теория относительности Введение в общую теорию относительности Математика общей теории относительности уравнения поля Эйнштейна
Классическая гравитация Введение в гравитацию Закон всемирного тяготения Ньютона
Соответствующая математика Четырехвекторные выводы теории относительности Диаграммы пространства-времени Дифференциальная геометрия Искривленное пространство-время Математика общей теории относительности Топология пространства-времени
v т е

В физике , то преобразования Лоренца являются шесть-параметрическое семейство линейных преобразований из координат в пространстве - времени на другой кадр , который движется с постоянной скоростью по отношению к первому. Соответствующее обратное преобразование затем параметризуется отрицательной величиной этой скорости. Преобразования названы в честь голландского физика Хендрика Лоренца .

Наиболее распространенная форма преобразования, параметризованная действительной константой, представляющей скорость, ограниченную x- направлением, выражается как ^{[1] [2]}${\ displaystyle v,}$

${\ displaystyle {\ begin {align} t '& = \ gamma \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ right) \\ x' & = \ gamma \ left (x- vt \ right) \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {align}}}$

где ( t , x , y , z ) и ( t ', x ', y ', z ') - координаты события в двух кадрах, где штрихованный кадр виден из незаштрихованного кадра как движущийся со скоростью v вдоль х оси х, с есть скорость света , а также является фактором Лоренца . Когда скорость v намного меньше, чем c , фактор Лоренца незначительно отличается от 1, но когда v приближается к c${\ displaystyle \ gamma = \ textstyle \ left ({\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ right) ^ {- 1}}$, растет неограниченно. Значение v должно быть меньше c, чтобы преобразование имело смысл.${\ displaystyle \ gamma}$

Выражая скорость как эквивалентную форму преобразования, ^[3]${\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}ct'&=\gamma \left(ct-\beta x\right)\\x'&=\gamma \left(x-\beta ct\right)\\y'&=y\\z'&=z.\end{aligned}}}$

Системы отсчета можно разделить на две группы: инерционные (относительное движение с постоянной скоростью) и неинерционные (ускорение, движение по криволинейным траекториям, вращательное движение с постоянной угловой скоростью и т. Д.). Термин «преобразования Лоренца» относится только к преобразованиям между инерциальными системами отсчета, обычно в контексте специальной теории относительности.

В каждой системе отсчета наблюдатель может использовать локальную систему координат (обычно в данном контексте декартовы координаты ) для измерения длины и часы для измерения временных интервалов. Событие является то , что происходит в точке в пространстве в момент времени, или более формально точки в пространстве - времени . Преобразования связывают пространственные и временные координаты события, измеренные наблюдателем в каждом кадре. ^{[nb 1]}

Они заменяют преобразование Галилея в ньютоновской физике , которое предполагает абсолютное пространство и время (см. Теорию относительности Галилея ). Преобразование Галилея является хорошим приближением только для относительных скоростей, намного меньших скорости света. Преобразования Лоренца обладают рядом неинтуитивных особенностей, которых нет в преобразованиях Галилея. Например, они отражают тот факт, что наблюдатели, движущиеся с разными скоростями, могут измерять разные расстояния , прошедшее время и даже разный порядок событий , но всегда такой, что скорость светаодинаково во всех инерциальных системах отсчета. Неизменность скорости света - один из постулатов специальной теории относительности .

Исторически эти преобразования были результатом попыток Лоренца и других объяснить, как наблюдалось, что скорость света не зависит от системы отсчета , и понять симметрию законов электромагнетизма . Преобразование Лоренца в соответствии с Альберта Эйнштейна «ы специальной теории относительности , но была получена в первую очередь.

Преобразование Лоренца - линейное преобразование . Это может включать вращение пространства; преобразование Лоренца без вращения называется бустом Лоренца . В пространстве Минковского - математической модели пространства-времени в специальной теории относительности - преобразования Лоренца сохраняют пространственно-временной интервал между любыми двумя событиями. Это свойство является определяющим свойством преобразования Лоренца. Они описывают только преобразования, при которых пространственно-временное событие в начале координат остается фиксированным. Их можно рассматривать как гиперболическое вращение пространства Минковского. Более общий набор преобразований, который также включает переводы, известен как группа Пуанкаре .

История [ править ]

Многие физики, включая Вольдемара Фойгта , Джорджа Фицджеральда , Джозефа Лармора и самого Хендрика Лоренца ^[4], обсуждали физику, подразумеваемую этими уравнениями с 1887 года. ^{[5] В} начале 1889 года Оливер Хевисайд показал из уравнений Максвелла, что электрическая поле, окружающее сферическое распределение заряда, должно перестать иметь сферическую симметриюкогда заряд движется относительно эфира. Затем Фитцджеральд предположил, что результат об искажении Хевисайда может быть применен к теории межмолекулярных сил. Несколько месяцев спустя Фитцджеральд опубликовал гипотезу о том, что движущиеся тела сжимаются, чтобы объяснить загадочный результат эксперимента Майкельсона и Морли с эфирным ветром 1887 года . В 1892 году Лоренц независимо представил ту же идею в более подробной форме, которая впоследствии была названа гипотезой сжатия Фитцджеральда – Лоренца . ^[6] Их объяснение было широко известно до 1905 года. ^[7]

Лоренц (1892–1904) и Лармор (1897–1900), которые верили в гипотезу светоносного эфира , также искали преобразование, при котором уравнения Максвелла инвариантны при преобразовании из эфира в движущуюся систему отсчета. Они расширили гипотезу сжатия Фитцджеральда – Лоренца и обнаружили, что временная координата также должна быть изменена (« местное время »). Анри Пуанкаре дал физическую интерпретацию местного времени (до первого порядка по v / c , относительной скорости двух систем отсчета, нормированной на скорость света) как следствие синхронизации часов, в предположении, что скорость света постоянна. в движущихся кадрах.^[8] Считается, что Лармор был первым, кто понял решающеесвойство замедления времени, присущее его уравнениям. ^[9]

В 1905 году Пуанкаре первым осознал, что преобразование обладает свойствами математической группы , и назвал его в честь Лоренца. ^[10] Позже в том же году Альберт Эйнштейн опубликовал то, что сейчас называется специальной теорией относительности , выведя преобразование Лоренца в предположении принципа относительности и постоянства скорости света в любой инерциальной системе отсчета и отказавшись от механистической теории относительности. эфир за ненадобностью. ^[11]

Вывод группы преобразований Лоренца [ править ]

Событие является то , что происходит в определенной точке в пространстве - времени, или в более общем случае , точка в самом пространстве - времени. В любом инерциальном кадре событие задается временной координатой ct и набором декартовых координат x , y , z, чтобы указать положение в пространстве в этом кадре. Индексы обозначают отдельные события.

Из второго постулата относительности Эйнштейна (инвариантность c ) следует, что:

${\displaystyle c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}=0\quad {\text{(lightlike separated events 1, 2)}}}$

( D1 )

во всех инерциальных системах отсчета событий, связанных световыми сигналами . Величина слева называется пространственно-временным интервалом между событиями a ₁ = ( t ₁ , x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и a ₂ = ( t ₂ , x ₂ , y ₂ , z ₂ ) . Интервал между любыми двумяСобытия, не обязательно разделенные световыми сигналами, на самом деле инвариантны, т. е. не зависят от состояния относительного движения наблюдателей в различных инерциальных системах отсчета, как показано с использованием однородности и изотропии пространства . Таким образом, искомая трансформация должна обладать следующим свойством:

${\displaystyle {\begin{aligned}&c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}\\[6pt]={}&c^{2}(t_{2}'-t_{1}')^{2}-(x_{2}'-x_{1}')^{2}-(y_{2}'-y_{1}')^{2}-(z_{2}'-z_{1}')^{2}\quad {\text{(all events 1, 2)}}.\end{aligned}}}$

( D2 )

где ( ct , x , y , z ) - координаты пространства-времени, используемые для определения событий в одном кадре, а ( ct ′, x ′, y ′, z ′) - координаты в другом кадре. Сначала следует заметить, что (D2) удовлетворяется, если произвольный 4- набор чисел b добавляется к событиям a ₁ и a ₂ . Такие преобразования называются трансляциями пространства-времени и здесь не рассматриваются. Тогда замечаем, что линейная решение, сохраняющее происхождение более простой задачи, решает и общую проблему:

${\displaystyle {\begin{aligned}&c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=c^{2}t'^{2}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}\\[6pt]{\text{or}}\quad &c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}=c^{2}t'_{1}t'_{2}-x'_{1}x'_{2}-y'_{1}y'_{2}-z'_{1}z'_{2}\end{aligned}}}$

( D3 )

(решение, удовлетворяющее левой формуле, автоматически удовлетворяет и правой; см. поляризационное тождество ). Поиск решения более простой проблемы - это просто вопрос поиска в теории классических групп , сохраняющих билинейные формы различной сигнатуры. ^{[nb 2]} Первое уравнение в (D3) может быть записано более компактно как:

${\displaystyle (a,a)=(a',a')\quad {\text{or}}\quad a\cdot a=a'\cdot a',}$

( D4 )

где (·, ·) относится к билинейной форме сигнатуры (1, 3) на ℝ ^4, выраженной формулой правой части в (D3) . Альтернативное обозначение, определенное справа, называется релятивистским скалярным произведением . Пространство математически рассматриваются как ℝ ⁴ , наделенное этим билинейная форма известна как пространства Минковского M . Таким образом, преобразование Лоренца является элементом групповой группы Лоренца O (1, 3) , группы Лоренца или, для тех, кто предпочитает другую метрическую сигнатуру , O (3, 1) (также называемой группой Лоренца).^{[nb 3] У} одного есть:

${\displaystyle (a,a)=(\Lambda a,\Lambda a)=(a',a'),\quad \Lambda \in \mathrm {O} (1,3),\quad a,a'\in M,}$

( D5 )

что является в точности сохранением билинейной формы (D3), из которой следует (в силу линейности Λ и билинейности формы) выполнение (D2) . Элементы группы Лоренца вращение и повышает и смесь их. Если включить пространственно-временные трансляции, то получится неоднородная группа Лоренца или группа Пуанкаре .

Общие [ править ]

Отношения между штрихованными и незаштрихованными координатами пространства-времени являются преобразованиями Лоренца , каждая координата в одном кадре является линейной функцией всех координат в другом кадре, а обратные функции являются обратным преобразованием. В зависимости от того, как кадры перемещаются относительно друг друга и как они ориентированы в пространстве относительно друг друга, в уравнения преобразования входят другие параметры, которые описывают направление, скорость и ориентацию.

Преобразования, описывающие относительное движение с постоянной (равномерной) скоростью и без вращения осей пространственных координат, называются повышениями , а относительная скорость между кадрами является параметром преобразования. Другой базовый тип преобразования Лоренца - это вращение только в пространственных координатах, эти подобные повышения являются инерционными преобразованиями, поскольку нет относительного движения, кадры просто наклоняются (а не непрерывно вращаются), и в этом случае величины, определяющие вращение, являются параметры преобразования (например, представление ось – угол или углы Эйлера и т. д.). Комбинация поворота и ускорения - это однородное преобразование , которое преобразует исходную точку обратно в исходную.

Полная группа Лоренца O (3, 1) также содержит специальные преобразования, которые не являются ни поворотами, ни повышениями, а скорее отражениями в плоскости, проходящей через начало координат. Можно выделить два из них; пространственная инверсия, при которой пространственные координаты всех событий меняются знаками, и временная инверсия, при которой временная координата для каждого события меняет свой знак.

Подъемы не следует смешивать с простыми смещениями в пространстве-времени; в этом случае системы координат просто смещаются и относительного движения нет. Однако они также считаются симметриями, обусловленными специальной теорией относительности, поскольку они оставляют интервал пространства-времени инвариантным. Комбинация вращения с ускорением, за которым следует сдвиг в пространстве-времени, является неоднородным преобразованием Лоренца , элементом группы Пуанкаре, которую также называют неоднородной группой Лоренца.

Физическая формулировка бустов Лоренца [ править ]

Преобразование координат [ править ]

«Стационарный» наблюдатель в кадре F определяет события с координатами t , x , y , z . Другая система F ' движется со скоростью v относительно F , и наблюдатель в этой "движущейся" системе F ' определяет события, используя координаты t ', x ', y ', z ' .

Оси координат в каждом кадре параллельны ( оси x и x ′ параллельны, оси y и y ′ параллельны, а оси z и z ′ параллельны), остаются взаимно перпендикулярными, а относительное движение происходит вдоль совпадающего xx ' Оси. При t = t ′ = 0 начала обеих систем координат одинаковы, ( x, y, z ) = ( x ′, y ′, z ′) = (0, 0, 0). Другими словами, время и место на этом мероприятии совпадают. Если все это выполняется, то говорят, что системы координат имеют стандартную конфигурацию или синхронизированы .

Если наблюдатель в F записывает событие t, x, y, z , то наблюдатель в F ' записывает то же событие с координатами ^[13]

где v - относительная скорость между кадрами в направлении x , c - скорость света , и

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

( гамма в нижнем регистре ) - это фактор Лоренца .

Здесь v - параметр преобразования, для данного повышения это постоянное число, но может принимать непрерывный диапазон значений. В используемой здесь установке положительная относительная скорость v > 0 - это движение вдоль положительных направлений осей xx ′ , нулевая относительная скорость v = 0 - отсутствие относительного движения, а отрицательная относительная скорость v <0 - относительное движение вдоль отрицательных направлений оси. хе ' ось. Величина относительной скорости v не может быть равной или превышать c , поэтому только субсветовые скорости - c <v < c допустимы. Соответствующий диапазон γ равен 1 ≤ γ <∞ .

Преобразования не определены, если v выходит за эти пределы. При скорости света ( v = c ) γ бесконечно, а быстрее света ( v > c ) γ - комплексное число , каждое из которых делает преобразования нефизическими. Координаты пространства и времени являются измеримыми величинами и численно должны быть действительными числами.

Как активное преобразование , наблюдатель в F 'замечает, что координаты события должны быть "увеличены" в отрицательных направлениях осей xx ' из-за - v в преобразованиях. Это имеет эквивалентный эффект системы координат F ', усиленный в положительных направлениях осей xx ' , в то время как событие не изменяется и просто представлено в другой системе координат, пассивное преобразование .

Обратные соотношения ( t , x , y , z через t ′, x ′, y ′, z ′ ) могут быть найдены путем алгебраического решения исходной системы уравнений. Более эффективный способ - использовать физические принципы. Здесь F ′ - «неподвижная» система отсчета, а F - «подвижная» система отсчета. Согласно принципу относительности, привилегированной системы отсчета не существует, поэтому преобразования из F ′ в F должны принимать точно такую ​​же форму, что и преобразования из F в F ′.. Единственное отличие состоит в том, что F движется со скоростью - v относительно F ′ (т. Е. Относительная скорость имеет ту же величину, но противоположно направлена). Таким образом, если наблюдатель в F ' отмечает событие t ', x ', y ', z ' , то наблюдатель в F отмечает то же событие с координатами

а значение γ остается неизменным. Этот «трюк», заключающийся в простом изменении направления относительной скорости на противоположное, сохраняя при этом ее величину, и заменяя переменные со штрихом и без него, всегда применяется для нахождения обратного преобразования каждого ускорения в любом направлении.

Иногда удобнее использовать β = v / c ( бета в нижнем регистре ) вместо v , чтобы

${\displaystyle {\begin{aligned}ct'&=\gamma \left(ct-\beta x\right)\,,\\x'&=\gamma \left(x-\beta ct\right)\,,\\\end{aligned}}}$

что гораздо яснее показывает симметрию преобразования. Из допустимых диапазонов v и определения β следует −1 < β <1 . Использование β и γ является стандартным во всей литературе.

Преобразования Лоренца также могут быть получены способом, который напоминает круговые вращения в трехмерном пространстве с использованием гиперболических функций . Для повышения в направлении x результаты будут

где ζ (строчная дзета ) - параметр, называемый быстротой (используются многие другие символы, включая θ, ϕ, φ, η, ψ, ξ ). Учитывая сильное сходство с вращениями пространственных координат в трехмерном пространстве в декартовых плоскостях xy, yz и zx, повышение Лоренца можно рассматривать как гиперболическое вращение пространственно-временных координат в декартовых временных плоскостях xt, yt и zt. 4d пространство Минковского . Параметр ζ - это гиперболический угол поворота, аналогичный обычному углу для круговых вращений. Это преобразование можно проиллюстрировать диаграммой Минковского .

Гиперболические функции возникают из разницы между квадратами времени и пространственных координат в пространственно-временном интервале, а не из суммы. Геометрическое значение гиперболических функций можно визуализировать, взяв в преобразованиях x = 0 или ct = 0 . Возводя в квадрат и вычитая результаты, можно получить гиперболические кривые с постоянными значениями координат, но с изменением ζ , что параметризует кривые в соответствии с тождеством

${\displaystyle \cosh ^{2}\zeta -\sinh ^{2}\zeta =1\,.}$

И наоборот, оси ct и x могут быть построены для различных координат, но постоянного ζ . Определение

${\displaystyle \tanh \zeta ={\frac {\sinh \zeta }{\cosh \zeta }}\,,}$

обеспечивает связь между постоянным значением быстроты, а наклон от кар оси в пространстве - времени. Следствием этих двух гиперболических формул является тождество, которое соответствует фактору Лоренца.

${\displaystyle \cosh \zeta ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}\,.}$

Сравнивая преобразования Лоренца по относительной скорости и быстроте или используя приведенные выше формулы, можно увидеть, что связи между β , γ и ζ равны

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta &=\tanh \zeta \,,\\\gamma &=\cosh \zeta \,,\\\beta \gamma &=\sinh \zeta \,.\end{aligned}}}$

Взятие обратного гиперболического тангенса дает быстроту

${\displaystyle \zeta =\tanh ^{-1}\beta \,.}$

Поскольку −1 < β <1 , следует −∞ < ζ <∞ . Из соотношения между ζ и β положительная скорость ζ > 0 - это движение вдоль положительных направлений осей xx ′ , нулевая скорость ζ = 0 - отсутствие относительного движения, а отрицательная скорость ζ <0 - относительное движение вдоль отрицательных направлений оси. xx ′ оси.

Обратные преобразования получаются путем обмена величинами со штрихом и без штриха для переключения системы координат и отрицания скорости ζ → - ζ, поскольку это эквивалентно отрицанию относительной скорости. Следовательно,

Обратные преобразования можно визуализировать аналогично, рассматривая случаи, когда x ′ = 0 и ct ′ = 0 .

До сих пор преобразования Лоренца применялись к одному событию . Если есть два события, между ними существует пространственное разделение и временной интервал. Из линейности преобразований Лоренца следует, что можно выбрать два значения пространственных и временных координат, к каждому можно применить преобразования Лоренца, а затем вычесть их, чтобы получить преобразования Лоренца разностей;

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t'&=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x'&=\gamma \left(\Delta x-v\,\Delta t\right)\,,\end{aligned}}}$

с обратными отношениями

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t&=\gamma \left(\Delta t'+{\frac {v\,\Delta x'}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x&=\gamma \left(\Delta x'+v\,\Delta t'\right)\,.\end{aligned}}}$

где Δ ( дельта в верхнем регистре ) указывает разницу величин; например, Δ x = x ₂ - x ₁ для двух значений координат x и так далее.

Эти преобразования разностей, а не пространственных точек или моментов времени полезны по ряду причин:

• в расчетах и ​​экспериментах измеряются или представляют интерес промежутки между двумя точками или временными интервалами (например, длина движущегося транспортного средства или время, необходимое для путешествия из одного места в другое),
• преобразования скорости можно легко получить, сделав разницу бесконечно малой и разделив уравнения, и повторив процесс для преобразования ускорения,
• если системы координат никогда не совпадают (т. е. не в стандартной конфигурации), и если оба наблюдателя могут договориться о событии t ₀ , x ₀ , y ₀ , z ₀ в F и t ₀ ', x ₀ ', y ₀ ' , z ₀ ′ в F ′ , то они могут использовать это событие как начало координат, а разности пространственно-временных координат - это разности между их координатами и этим началом, например, Δ x = x - x ₀ ,Δ x ′ = x ′ - x ₀ ′ и т. Д.

Физические последствия [ править ]

Критическим требованием преобразований Лоренца является неизменность скорости света, факт, используемый при их выводе и содержащийся в самих преобразованиях. Если в F уравнение для импульса света вдоль направления x имеет вид x = ct , то в F ′ преобразования Лоренца дают x ′ = ct ′ , и наоборот, для любого - c < v < c .

Для относительных скоростей, намного меньших скорости света, преобразования Лоренца сводятся к преобразованию Галилея

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&\approx t\\x'&\approx x-vt\end{aligned}}}$

в соответствии с принципом соответствия . Иногда говорят, что нерелятивистская физика - это физика «мгновенного действия на расстоянии». ^[14]

Три противоречивых, но верных предсказания преобразований таковы:

Относительность одновременности

Предположим, что два события происходят одновременно ( Δ t = 0 ) вдоль оси x, но разделены ненулевым смещением Δ x . Затем в F ' мы находим это , так что события больше не являются одновременными согласно движущемуся наблюдателю.${\displaystyle \Delta t'=\gamma {\frac {-v\,\Delta x}{c^{2}}}}$

Замедление времени

Предположим, что в F покоятся часы . Если временной интервал измеряется в той же точке в этом кадре, так что Δ x = 0 , то преобразования дают этот интервал в F ′ как Δ t ′ = γ Δ t . Наоборот, предположим, что в F ′ находятся часы в состоянии покоя . Если интервал измеряется в той же точке в этой системе отсчета, так что Δ x ′ = 0 , то преобразования дают этот интервал в F как Δ t = γ Δ t ′. В любом случае каждый наблюдатель измеряет временной интервал между тактами движущихся часов, чтобы он был на коэффициент γ длиннее, чем временной интервал между тактами его собственных часов.

Уменьшение длины

Предположим, что в F неподвижен стержень, выровненный вдоль оси x, длиной Δ x . В F ' стержень движется со скоростью - v , поэтому его длину необходимо измерить, выполнив два одновременных ( Δ t ′ = 0 ) измерения на противоположных концах. В этих условиях обратное преобразование Лоренца показывает, что Δ x = γ Δ x ′ . В F два измерения больше не являются одновременными, но это не имеет значения, потому что стержень покоится в F. Таким образом, каждый наблюдатель измеряет расстояние между концами движущегося стержня, чтобы оно было короче в 1 / γ раз, чем концы идентичного стержня, покоящегося в его собственной системе отсчета. Сокращение длины влияет на любую геометрическую величину, связанную с длиной, поэтому с точки зрения движущегося наблюдателя области и объемы также будут казаться сжимающимися в направлении движения.

Векторные преобразования [ править ]

Использование векторов позволяет компактно выражать положения и скорости в произвольных направлениях. Однократное ускорение в любом направлении зависит от полного вектора относительной скорости v с величиной | v | = v, которое не может быть равным или превосходящим c , так что 0 ≤ v < c .

Меняются только время и координаты, параллельные направлению относительного движения, а перпендикулярные - нет. Имея это в виду, разделите вектор пространственного положения r, измеренный в F , и r ′, измеренный в F ′ , каждый на компоненты, перпендикулярные (⊥) и параллельные (‖) к v ,

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\perp }+\mathbf {r} _{\|}\,,\quad \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{\perp }'+\mathbf {r} _{\|}'\,,}$

то преобразования

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {\mathbf {r} _{\parallel }\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {r} _{\|}'&=\gamma (\mathbf {r} _{\|}-\mathbf {v} t)\\\mathbf {r} _{\perp }'&=\mathbf {r} _{\perp }\end{aligned}}}$

где · - скалярное произведение . Фактор Лоренца γ сохраняет свое определение для ускорения в любом направлении, поскольку он зависит только от величины относительной скорости. Некоторые авторы также используют определение β = v / c с величиной 0 ≤ β <1 .

Вводя единичный вектор n = v / v = β / β в направлении относительного движения, относительная скорость равна v = v n с величиной v и направлением n , а проекция и отклонение вектора дают соответственно

${\displaystyle \mathbf {r} _{\parallel }=(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {r} _{\perp }=\mathbf {r} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$

Накопление результатов дает полные преобразования,

Проекция и отклонение также применимы к r ' . Для обратных преобразований поменяйте местами r и r ′, чтобы переключить наблюдаемые координаты, и отмените относительную скорость v → - v (или просто единичный вектор n → - n, поскольку величина v всегда положительна), чтобы получить

Единичный вектор имеет то преимущество, что упрощает уравнения для одного буста, позволяет восстанавливать либо v, либо β , когда это удобно, а параметризация быстродействия сразу же получается заменой β и βγ . Это не удобно для многократных бустов.

Векторное соотношение между относительной скоростью и быстротой ^[15]

${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\beta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh \zeta \,,}$

а «вектор быстроты» можно определить как

${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta \,,}$

каждый из которых служит полезным сокращением в некоторых контекстах. Величина ζ - это абсолютное значение скаляра быстроты, ограниченное 0 ≤ ζ <∞ , что согласуется с диапазоном 0 ≤ β <1 .

Преобразование скоростей [ править ]

Определение координатных скоростей и фактора Лоренца с помощью

${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {u} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt'}}\,,\quad \gamma _{\mathbf {v} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}}}$

взяв дифференциалы в координатах и ​​времени векторных преобразований, а затем разделив уравнения, мы получим

${\displaystyle \mathbf {u} '={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}\left(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {v} \right]}$

Скорости u и u ′ - это скорость некоторого массивного объекта. Они также могут быть для третьей инерциальной системы отсчета (скажем, F ′ ′), и в этом случае они должны быть постоянными . Обозначим любую сущность через X. Тогда X движется со скоростью u относительно F или, что эквивалентно, со скоростью u ′ относительно F ′, в свою очередь F ′ движется со скоростью v относительно F. Обратные преобразования могут быть получены аналогичным образом: или, как с координатами положения , поменяйте местами u и u ′ и измените v на - v .

Преобразование скорости полезно при звездной аберрации , эксперименте Физо и релятивистском эффекте Доплера .

Эти преобразования Лоренца ускорения может быть получены аналогичным образом, принимая дифференциалы в векторах скорости, и разделив их по времени дифференциала.

Преобразование других величин [ править ]

В общем, для четырех величин A и Z = ( Z _x , Z _y , Z _z ) и их лоренц-бустированных аналогов A ′ и Z ′ = ( Z ′ _x , Z ′ _y , Z ′ _z ) соотношение форма

${\displaystyle A^{2}-\mathbf {Z} \cdot \mathbf {Z} ={A'}^{2}-\mathbf {Z} '\cdot \mathbf {Z} '}$

подразумевает преобразование величин при преобразованиях Лоренца, аналогичных преобразованию координат пространства-времени;

${\displaystyle {\begin{aligned}A'&=\gamma \left(A-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {Z} }{c}}\right)\,,\\\mathbf {Z} '&=\mathbf {Z} +(\gamma -1)(\mathbf {Z} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -{\frac {\gamma Av\mathbf {n} }{c}}\,.\end{aligned}}}$

Разложение Z (и Z ′ ) на компоненты, перпендикулярные и параллельные v , точно такое же, как и для вектора положения, как и процесс получения обратных преобразований (обмен ( A , Z ) и ( A ′, Z ′) для переключения наблюдаемых величин и изменения направления относительного движения путем замены n ↦ - n ).

Величины ( A , Z ) вместе составляют четырехвектор , где A - «времениподобный компонент», а Z - «пространственноподобный компонент». Примеры A и Z следующие:

Четыре вектора	А	Z
Положение четырехвекторное	Время (умноженное на c ), ct	Вектор положения , r
Четыре импульса	Энергия (деленная на c ), E / c	Импульс , p
Четырехволновой вектор	угловая частота (деленная на c ), ω / c	волновой вектор , k
Четыре вращения	(Без имени), с т	Спин , с
Четыре текущих	Плотность заряда (умноженная на c ), ρc	Плотность тока , Дж
Электромагнитный четырехпотенциал	Электрический потенциал (деленный на c ), φ / c	Магнитно-векторный потенциал , А

Для данного объекта (например, частицы, жидкости, поля, материала), если A или Z соответствуют свойствам, специфичным для объекта, таким как его плотность заряда , массовая плотность , вращение и т. Д., Его свойства могут быть зафиксированы в системе покоя этот объект. Тогда преобразования Лоренца придают соответствующие свойства в системе отсчета, движущейся относительно объекта с постоянной скоростью. Это разрушает некоторые понятия, которые считаются само собой разумеющимися в нерелятивистской физике. Например, энергия Eобъекта является скаляром в нерелятивистской механике, но не в релятивистской механике, потому что энергия изменяется при преобразованиях Лоренца; его значение различно для разных инерциальных систем отсчета. В системе покоя объект имеет энергию покоя и нулевой импульс. В усиленной рамке его энергия отличается, и кажется, что он имеет импульс. Точно так же в нерелятивистской квантовой механике спин частицы является постоянным вектором, но в релятивистской квантовой механике спин s зависит от относительного движения. В системе покоя частицы спиновой псевдовектор можно зафиксировать как ее обычный нерелятивистский спин с нулевой времениподобной величиной s _t, однако усиленный наблюдатель будет воспринимать ненулевую времениподобную компоненту и измененный спин. ^[16]

Не все величины инвариантны в форме , как показано выше, например , орбитальный угловой момент L не имеет количество времениподобную, и ни один не делает электрическое поле Е , ни магнитного поля B . Угловой момент определяется как L = r × p , а в усиленной системе отсчета измененный угловой момент равен L ′ = r ′ × p ′ . Применение этого определения с использованием преобразований координат и импульса приводит к преобразованию углового момента. Оказывается, L преобразуется с другой векторной величиной N = (E / c ² ) r - t p, связанное с ускорениями, см. Релятивистский угловой момент для деталей. В случаеполей E и B преобразования не могут быть получены напрямую с использованием векторной алгебры. Сила Лоренца является определением этих полей, и в F это F = q ( E + v × B ), а в F ′ это F ′ = q ( E ′ + v ′ ×B ′) . Метод получения преобразований электромагнитного поля эффективным способом, который также иллюстрирует единицу электромагнитного поля, использует тензорную алгебру, представленную ниже .

Математическая формулировка [ править ]

Повсюду, выделенные курсивом не полужирные заглавные буквы обозначают матрицы 4 × 4, а жирные не курсивные буквы - матрицы 3 × 3.

Однородная группа Лоренца [ править ]

Запись координат в векторах-столбцах и метрики Минковского η в виде квадратной матрицы

${\displaystyle X'={\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}\,,\quad \eta ={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,,\quad X={\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}$

интервал пространства-времени принимает форму (T означает транспонирование )

${\displaystyle X\cdot X=X^{\mathrm {T} }\eta X={X'}^{\mathrm {T} }\eta {X'}}$

и инвариантен относительно преобразования Лоренца

${\displaystyle X'=\Lambda X}$

где Λ - квадратная матрица, которая может зависеть от параметров.

Обозначено множество всех преобразований Лоренца Λ в этой статье . Этот набор вместе с умножением матриц образует группу , в этом контексте известную как группа Лоренца . Кроме того, указанное выше выражение X · X является квадратичной формой сигнатуры (3,1) в пространстве-времени, а группа преобразований, которая оставляет эту квадратичную форму инвариантной, является неопределенной ортогональной группой O (3,1), группой Ли . Другими словами, группа Лоренца - это O (3,1). Как представлено в этой статье, любые упомянутые группы Ли являются матричными группами Ли . В этом контексте операция композиции сводится к умножению матриц .${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Из инвариантности пространственно-временного интервала следует

${\displaystyle \eta =\Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \Lambda }$

и это матричное уравнение содержит общие условия на преобразование Лоренца для обеспечения инвариантности пространственно-временного интервала. Взяв определитель уравнения с помощью правила произведения ^{[nb 4],} сразу получаем

${\displaystyle [\det(\Lambda )]^{2}=1\quad \Rightarrow \quad \det(\Lambda )=\pm 1}$

Записывая метрику Минковского в виде блочной матрицы и преобразование Лоренца в самом общем виде,

${\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}\,,\quad \Lambda ={\begin{bmatrix}\Gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}\,,}$

выполнение блочного умножения матриц дает общие условия на Γ, a , b , M для обеспечения релятивистской инвариантности. Непосредственно из всех условий можно извлечь не так много информации, однако один из результатов

${\displaystyle \Gamma ^{2}=1+\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }$

Полезно; b ^T b ≥ 0 всегда, поэтому

${\displaystyle \Gamma ^{2}\geq 1\quad \Rightarrow \quad \Gamma \leq -1\,,\quad \Gamma \geq 1}$

Отрицательное неравенство может быть неожиданным, потому что Γ умножает временную координату, и это влияет на временную симметрию . Если выполнено положительное равенство, то Γ - фактор Лоренца.

Детерминант и неравенство обеспечивают четыре способа для классификации л orentz Т ransformations ( в данном описании LT с для краткости ). Любая конкретная LT имеет только один детерминантный знак и одно неравенство. Есть четыре набора, которые включают каждую возможную пару, заданную пересечениями (символ в форме «n», означающий «и») этих классифицирующих наборов.

где «+» и «-» обозначают знак определителя, а «↑» для ≥ и «↓» для ≤ обозначают неравенства.

Полная группа Лоренца распадается на объединение (символ в форме «u», означающий «или») четырех непересекающихся множеств.

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$

Подгруппа группы должна быть закрыта в соответствии с той же самой операцией группы (здесь умножения матриц). Другими словами, для двух преобразований Лоренца Л и L из определенного набора, составного преобразования Лоренца Λ L и L Λ должен быть в том же множестве , как Л и L . Это не всегда так: композиция двух антихронных преобразований Лоренца ортохронна, а композиция двух несобственных преобразований Лоренца правильна. Другими словами, в то время как наборы , , , и${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\uparrow }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$все формы подгруппа, наборы , содержащие неправильные и / или antichronous преобразований без достаточного количества собственных ортохронных преобразований (например , , ) не образуют подгруппы.${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }}$

Правильные преобразования [ править ]

Если ковариантный 4-вектор Лоренца измеряется в одной инерциальной системе отсчета с результатом , и такое же измерение, выполненное в другой инерциальной системе отсчета (с той же ориентацией и началом координат), дает результат , два результата будут связаны соотношением${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$

${\displaystyle X'=B(\mathbf {v} )X}$

где матрица усиления представляет преобразование Лоренца между кадрами без штриха и кадра со штрихом, а скорость кадра со штрихом, как видно из кадра без штриха. Матрица имеет вид ^[17]${\displaystyle B(\mathbf {v} )}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma v_{x}/c&-\gamma v_{y}/c&-\gamma v_{z}/c\\-\gamma v_{x}/c&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{x}^{2}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{x}v_{y}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{x}v_{z}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{y}/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{y}v_{x}}{v^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{y}^{2}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{y}v_{z}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{z}/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{z}v_{x}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{z}v_{y}}{v^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{z}^{2}}{v^{2}}}\end{bmatrix}},}$

где - величина скорости, - фактор Лоренца. Эта формула представляет собой пассивное преобразование, поскольку она описывает, как координаты измеряемой величины изменяются от кадра без штриховки к кадру со штрихом. Активное преобразование определяется как .${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$${\displaystyle B(-\mathbf {v} )}$

Если кадр F ' увеличивается со скоростью u относительно кадра F , а другой кадр F ' ' увеличивается со скоростью v относительно F ' , отдельные повышения

${\displaystyle X''=B(\mathbf {v} )X'\,,\quad X'=B(\mathbf {u} )X}$

а композиция двух бустов соединяет координаты в F ′ ′ и F ,

${\displaystyle X''=B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )X\,.}$

Слева действуют последовательные преобразования. Если у и v имеют коллинеарны (параллельно или антипараллельно по той же линии относительного движения), матрицы наддува коммутируют : В ( V ) В ( у ) = B ( U ) В ( V ) . Это составное преобразование оказывается еще одним усилением, B ( w ) , где w коллинеарно с u и v .

Если u и v не лежат на одной прямой, а направлены в разные стороны, ситуация значительно усложняется. Повышения Лоренца в разных направлениях не коммутируют: B ( v ) B ( u ) и B ( u ) B ( v ) не равны. Кроме того, каждая из этих композиций не является одиночным усилением, но они по-прежнему являются преобразованиями Лоренца, каждая из которых сохраняет пространственно-временной интервал. Оказывается, композиция любых двух бустов Лоренца эквивалентна бусту, за которым или которому предшествует поворот в пространственных координатах, в форме R (ρ ) B ( w ) или B ( w ) R ( ρ ) . Ш и ш являются композиционные скорости ,то время как ρ и ρ являются параметрами вращения (например , ось-угловые переменные, углы Эйлера и т.д.). Вращение вформе блочной матрицы просто

${\displaystyle \quad R({\boldsymbol {\rho }})={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf {R} ({\boldsymbol {\rho }})\end{bmatrix}}\,,}$

где R ( ρ ) - это трехмерная матрица вращения , которая вращает любой трехмерный вектор в одном смысле (активное преобразование) или, что эквивалентно, систему координат в противоположном смысле (пассивное преобразование). Это не просто соединить ж и ρ (или ш и ρ ) для исходных параметров наддува у и v . В композиции бустов матрица R называется вращением Вигнера и порождает прецессию Томаса. В этих статьях даются явные формулы для составных матриц преобразования, включая выражения для w , ρ , w , ρ .

В этой статье для ρ используется ось-угол . Вращение происходит вокруг оси в направлении единичного вектора e на угол θ (положительный против часовой стрелки, отрицательный по часовой стрелке согласно правилу правой руки ). "Вектор ось-угол"

${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} }$

будет полезным сокращением.

Пространственные вращения сами по себе также являются преобразованиями Лоренца, они оставляют интервал пространства-времени неизменным. Как и бусты, последовательные вращения вокруг разных осей не меняются. В отличие от бустов, сочетание любых двух вращений эквивалентно одному вращению. Некоторые другие сходства и различия между матрицами ускорения и вращения включают:

• обратное : B ( v ) ⁻¹ = B (- v ) (относительное движение в противоположном направлении) и R ( θ ) ⁻¹ = R (- θ ) (вращение в противоположном направлении вокруг той же оси)
• преобразование идентичности для отсутствия относительного движения / вращения: B ( 0 ) = R ( 0 ) = I
• определитель единицы : det ( B ) = det ( R ) = +1 . Это свойство делает их правильными преобразованиями.
• симметрия матрицы : B симметрична (равно транспонированию ), в то время как R несимметрична, но ортогональна (транспонирование равно обратному , R ^T = R ⁻¹ ).

Наиболее общее собственное преобразование Лоренца Λ ( v , θ ) включает в себя повышение и вращение вместе и является несимметричной матрицей. В качестве частных случаев Λ ( 0 , θ ) = R ( θ ) и Λ ( v , 0 ) = B ( v ) . Явная форма общего преобразования Лоренца громоздка для записи и здесь не приводится. Тем не менее, выражения в замкнутой форме для матриц преобразования будут приведены ниже с использованием теоретико-групповых аргументов. Будет проще использовать параметризацию быстроты для повышения, и в этом случае можно написатьΛ ( ζ , θ ) и B ( ζ ) .

Группа Ли SO ⁺ (3,1) [ править ]

Набор преобразований

${\displaystyle \{B({\boldsymbol {\zeta }}),R({\boldsymbol {\theta }}),\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})\}}$

с матричным умножением в качестве операции композиции образует группу, называемую «ограниченной группой Лоренца», и является специальной неопределенной ортогональной группой SO ⁺ (3,1). (Знак плюс указывает, что он сохраняет ориентацию временного измерения).

Для простоты взгляните на бесконечно малое усиление Лоренца в направлении x (изучение повышения в любом другом направлении или вращения вокруг любой оси следует идентичной процедуре). Бесконечно малое усиление - это небольшое усиление от тождества, полученное расширением Тейлора матрицы буста до первого порядка около ζ = 0 ,

${\displaystyle B_{x}=I+\zeta \left.{\frac {\partial B_{x}}{\partial \zeta }}\right|_{\zeta =0}+\cdots }$

где не показанными членами более высокого порядка можно пренебречь, потому что ζ мало, а B _x - это просто матрица усиления в направлении x . Производная матрицы является матрица производных (из записей, по отношению к одной и той же переменной), и следует понимать производные найдены первые затем оценивали при г = 0 ,

${\displaystyle \left.{\frac {\partial B_{x}}{\partial \zeta }}\right|_{\zeta =0}=-K_{x}\,.}$

На данный момент K _x определяется этим результатом (его значение будет вскоре объяснено). В пределе бесконечного числа бесконечно малых шагов получается преобразование конечного буста в виде матричной экспоненты

${\displaystyle B_{x}=\lim _{N\rightarrow \infty }\left(I-{\frac {\zeta }{N}}K_{x}\right)^{N}=e^{-\zeta K_{x}}}$

где использовалось предельное определение экспоненты (см. также характеристики экспоненциальной функции ). В более общем плане ^{[nb 5]}

${\displaystyle B({\boldsymbol {\zeta }})=e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} }\,,\quad R({\boldsymbol {\theta }})=e^{{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }\,.}$

Вектор ось-угол θ и вектор скорости ζ представляют собой шесть непрерывных переменных, которые составляют параметры группы (в этом конкретном представлении), а образующие группы - это K = ( K _x , K _y , K _z ) и J = ( J _x , J _y , J _z ) , каждый вектор матриц с явным ^{видом [nb 6]}

${\displaystyle K_{x}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad K_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad K_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle J_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad J_{y}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad J_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Все они определены аналогично K _x выше, хотя знаки минус в генераторах повышения напряжения являются обычными. Физически генераторы группы Лоренца соответствуют важным симметриям в пространстве-времени: J - генераторы вращения, которые соответствуют угловому моменту , а K - генераторы ускорения, которые соответствуют движению системы в пространстве-времени. Производная любой гладкой кривой C ( t ) с C (0) = I в группе, зависящей от некоторого параметра группы t по отношению к этому параметру группы, вычисленная приt = 0 , служит определением соответствующего группового генератора G , и это отражает бесконечно малое преобразование вдали от тождества. Гладкую кривую всегда можно рассматривать как экспоненту, поскольку экспонента всегда будетплавноотображать G обратно в группу через t → exp ( tG ) для всех t ; эта кривая снова даст G при дифференцировании при t = 0 .

Разлагая экспоненты в их ряды Тейлора, получаем

${\displaystyle B({\boldsymbol {\zeta }})=I-\sinh \zeta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\cosh \zeta -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}}$

${\displaystyle R({\boldsymbol {\theta }})=I+\sin \theta (\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )^{2}\,.}$

которые компактно воспроизводят матрицы ускорения и вращения, как указано в предыдущем разделе.

Было заявлено, что общее собственное преобразование Лоренца является продуктом ускорения и вращения. На бесконечно малом уровне продукт

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda &=(I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +\cdots )(I+{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots )\\&=(I+{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots )(I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +\cdots )\\&=I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots \end{aligned}}}$

коммутативен, потому что требуются только линейные члены (такие продукты, как ( θ · J ) ( ζ · K ) и ( ζ · K ) ( θ · J ), считаются членами более высокого порядка и пренебрежимо малы). Переход к пределу, как и раньше, приводит к конечному преобразованию в виде экспоненты

${\displaystyle \Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }.}$

Верно и обратное, но разложение конечного общего преобразования Лоренца на такие множители нетривиально. Особенно,

${\displaystyle e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }\neq e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} }e^{{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} },}$

потому что генераторы не работают. Для описания того, как найти факторы общего преобразования Лоренца в терминах повышения и вращения в принципе (это обычно не дает внятного выражения в терминах генераторов J и K ), см. Вращение Вигнера . Если, с другой стороны, разложение дано в терминах генераторов, и кто-то хочет найти произведение в терминах генераторов, тогда применяется формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа .

Алгебра Ли so (3,1) [ править ]

Генераторы Лоренца можно складывать вместе или умножать на действительные числа, чтобы получить больше генераторов Лоренца. Другими словами, множество всех генераторов Лоренца

${\displaystyle V=\{{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \}}$

вместе с операциями сложения обычных матриц и умножения матрицы на число образует векторное пространство над действительными числами. ^{[nb 7]} Генераторы J _x , J _y , J _z , K _x , K _y , K _z образуют базисный набор V , а компоненты векторов осевого угла и скорости θ _x , θ _y , θ _z , ζ _x , ζ _y , ζ _z , - координатыгенератора Лоренца по этому базису. ^{[№ 8]}

Три коммутационных соотношения генераторов Лоренца следующие:

${\displaystyle [J_{x},J_{y}]=J_{z}\,,\quad [K_{x},K_{y}]=-J_{z}\,,\quad [J_{x},K_{y}]=K_{z}\,,}$

где скобка [ A , B ] = AB - BA известна как коммутатор , а другие соотношения можно найти, взяв циклические перестановки компонентов x, y, z (т.е. заменив x на y, y на z, а z на х, повторить).

Эти коммутационные соотношения и векторное пространство образующих удовлетворяют определению алгебры Ли . Таким образом, алгебра Ли определяется как векторное пространство V над полем чисел и с бинарной операцией [,] ( в данном контексте называемой скобкой Ли ) над элементами векторного пространства, удовлетворяющей аксиомам билинейности , альтернатизация и тождество Якоби . Здесь операция [,] - коммутатор, который удовлетворяет всем этим аксиомам, векторное пространство - это набор генераторов Лоренца V, как указано ранее, а поле - это набор действительных чисел.${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)}$

Связывание терминологии, используемой в математике и физике: генератор группы - это любой элемент алгебры Ли. Групповой параметр - это компонент координатного вектора, представляющий произвольный элемент алгебры Ли относительно некоторого базиса. Таким образом, базис - это набор образующих, являющийся базисом алгебры Ли в обычном смысле векторного пространства.

Экспоненциальное отображение из алгебры Ли в группе Ли,

${\displaystyle \mathrm {exp} \,:\,{\mathfrak {so}}(3,1)\rightarrow \mathrm {SO} (3,1),}$

обеспечивает взаимно однозначное соответствие между достаточно малыми окрестностями начала координат алгебры Ли и окрестностями единичного элемента группы Ли. В случае группы Лоренца экспоненциальное отображение - это просто матричная экспонента . Глобально экспоненциальное отображение не взаимно однозначно, но в случае группы Лоренца оно сюръективно (на). Следовательно, любой элемент группы в компоненте связности тождества может быть выражен как экспонента элемента алгебры Ли.

Неправильные преобразования [ править ]

Преобразования Лоренца также включают обращение четности

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$

который сводит на нет все пространственные координаты, и обращение времени

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$

что отрицает только координату времени, потому что эти преобразования оставляют интервал пространства-времени инвариантным. Здесь I - трехмерная единичная матрица . Они оба симметричны, они сами по себе обратные (см. Инволюция (математика) ), и у каждого есть определитель -1. Последнее свойство делает их неправильными преобразованиями.

Если Λ - собственное ортохронное преобразование Лоренца, то T Λ - несобственное антихронное преобразование, P Λ - несобственное ортохронное преобразование, а TP Λ = PT Λ - собственное антихронное преобразование.

Неоднородная группа Лоренца [ править ]

Две другие симметрии пространства-времени не были учтены. Для того чтобы интервал пространства-времени был инвариантным, можно показать ^[18], что необходимо и достаточно, чтобы преобразование координат имело вид

${\displaystyle X'=\Lambda X+C}$

где C - постоянный столбец, содержащий переводы во времени и пространстве. Если C ≠ 0, это неоднородное преобразование Лоренца или преобразование Пуанкаре . ^{[19] [20]} Если C = 0, это однородное преобразование Лоренца . Преобразования Пуанкаре в этой статье не рассматриваются.

Тензорная формулировка [ править ]

Контравариантные векторы [ править ]

Запись общего матричного преобразования координат в виде матричного уравнения

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{x'}^{0}\\{x'}^{1}\\{x'}^{2}\\{x'}^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\Lambda ^{0}}_{0}&{\Lambda ^{0}}_{1}&{\Lambda ^{0}}_{2}&{\Lambda ^{0}}_{3}\\{\Lambda ^{1}}_{0}&{\Lambda ^{1}}_{1}&{\Lambda ^{1}}_{2}&{\Lambda ^{1}}_{3}\\{\Lambda ^{2}}_{0}&{\Lambda ^{2}}_{1}&{\Lambda ^{2}}_{2}&{\Lambda ^{2}}_{3}\\{\Lambda ^{3}}_{0}&{\Lambda ^{3}}_{1}&{\Lambda ^{3}}_{2}&{\Lambda ^{3}}_{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{bmatrix}}}$

позволяет преобразовывать другие физические величины, которые не могут быть выражены как четырехвекторы; например, тензоры или спиноры любого порядка в 4-м пространстве-времени, которые необходимо определить. В соответствующих обозначениях тензорного индекса приведенное выше матричное выражение имеет вид

${\displaystyle {x^{\prime }}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }x^{\mu },}$

где нижний и верхний индексы обозначают ковариантную и контравариантную компоненты соответственно ^[21] и применяется соглашение о суммировании . Стандартным соглашением является использование греческих индексов, которые принимают значение 0 для компонентов времени и 1, 2, 3 для компонентов пространства, в то время как латинские индексы просто принимают значения 1, 2, 3 для пространственных компонентов. Обратите внимание, что первый индекс (чтение слева направо) соответствует в матричной записи индексу строки . Второй индекс соответствует индексу столбца.

Матрица преобразования универсальна для всех четырех векторов , а не только для координат четырехмерного пространства-времени. Если A - любой четырехвектор, то в тензорной записи индекса

${\displaystyle {A^{\prime }}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }A^{\mu }\,.}$

В качестве альтернативы можно написать

${\displaystyle A^{\nu '}={\Lambda ^{\nu '}}_{\mu }A^{\mu }\,.}$

в котором штриховые индексы обозначают индексы A в штрихованной системе отсчета. Эта нотация снижает риск исчерпания греческого алфавита примерно вдвое.

Для общего n -компонентного объекта можно написать

${\displaystyle {X'}^{\alpha }={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }X^{\beta }\,,}$

где Π - соответствующее представление группы Лоренца , матрица размера n × n для любого Λ . В этом случае индексы не следует рассматривать как пространственно-временные индексы (иногда называемые индексами Лоренца), и они проходят от 1 до n . Например, если X является биспинорами , то индексы называются индексы Дирака .

Ковариантные векторы [ править ]

Есть также векторные величины с ковариантными индексами. Они , как правило , получают из соответствующих им объектов с контравариантными индексами посредством операции опускания индекса ; например,

${\displaystyle x_{\nu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu },}$

где η - метрический тензор . (В связанной статье также содержится дополнительная информация о том, что на самом деле представляет собой операция повышения и понижения индексов с математической точки зрения.) Обратное преобразование дается выражением

${\displaystyle x^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }x_{\nu },}$

где, если рассматривать ее как матрицы, η ^μν является обратной _{величиной} η _μν . Оказывается, η ^μν = η _μν . Это называется повышением индекса . Чтобы преобразовать ковариантный вектор A _μ , сначала увеличьте его индекс, затем преобразуйте его по тому же правилу, что и для контравариантных 4 -векторов, а затем, наконец, уменьшите индекс;

${\displaystyle {A'}_{\nu }=\eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }A_{\mu }.}$

Но

${\displaystyle \eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },}$

То есть это ( μ , ν ) -компонента обратного преобразования Лоренца. Один определяет (в порядке обозначений),

${\displaystyle {\Lambda _{\nu }}^{\mu }\equiv {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },}$

и можете в этих обозначениях написать

${\displaystyle {A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }.}$

Теперь о тонкости. Подразумеваемое суммирование в правой части

${\displaystyle {A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }A_{\mu }}$

пробегает индекс строки матрицы, представляющей Λ ⁻¹ . Таким образом, в терминах матриц, это преобразование следует рассматривать как обратные транспонированные из Л , действующие на вектор - столбец А _ц . То есть в чисто матричной записи

${\displaystyle A'=\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mathrm {T} }A.}$

Это в точности означает, что ковариантные векторы (рассматриваемые как матрицы-столбцы) преобразуются в соответствии с двойственным представлением стандартного представления группы Лоренца. Это понятие обобщается на общие представления, просто замените Λ на Π (Λ) .

Тензоры [ править ]

Если и В являются линейными операторами на векторных пространства U и V , то линейный оператор ⊗ B может быть определен на тензорное произведение из U и V , обозначается U ⊗ V в соответствии с ^[22]

Отсюда сразу ясно, что если u и v - четырехвекторы в V , то u ⊗ v ∈ T ₂ V ≡ V ⊗ V преобразуется как

На втором этапе используется билинейность тензорного произведения, а на последнем этапе определяется 2-тензор на компонентной форме, или, скорее, он просто переименовывает тензор u ⊗ v .

Эти наблюдения очевидным образом обобщаются на большее количество факторов, и, используя тот факт, что общий тензор в векторном пространстве V может быть записан как сумма коэффициента (компонента!), Умноженного на тензорные произведения базисных векторов и базисных ковекторов, мы получаем закон преобразования для любого тензора величины Т . Это дается ^[23]

где Λ _{χ ′} ^ψ определено выше. Эта форма обычно может быть сведена к форме для общих n -компонентных объектов, приведенной выше, с единственной матрицей ( Π (Λ) ), работающей с векторами-столбцами. Эта последняя форма иногда предпочтительна; например, для тензора электромагнитного поля.

Преобразование электромагнитного поля [ править ]

Преобразования Лоренца также можно использовать, чтобы проиллюстрировать, что магнитное поле B и электрическое поле E - это просто разные аспекты одной и той же силы - электромагнитной силы , как следствие относительного движения между электрическими зарядами и наблюдателями. ^[24] Тот факт, что электромагнитное поле демонстрирует релятивистские эффекты, становится очевидным после проведения простого мысленного эксперимента. ^[25]

• Наблюдатель измеряет заряд в состоянии покоя в кадре F. Наблюдатель обнаруживает статическое электрическое поле. Поскольку заряд в этой системе координат неподвижен, электрический ток отсутствует, поэтому наблюдатель не видит никакого магнитного поля.
• Другой наблюдатель в системе F 'движется со скоростью v относительно F и заряда. Этот наблюдатель видит другое электрическое поле, потому что заряд движется со скоростью - v в их системе покоя. Движение заряда соответствует электрическому току , и, таким образом, наблюдатель в системе F 'также видит магнитное поле.

Электрические и магнитные поля трансформируются по-разному в пространстве и времени, но точно так же, как релятивистский угловой момент и вектор ускорения.

Тензор напряженности электромагнитного поля имеет вид

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-{\frac {1}{c}}E_{x}&-{\frac {1}{c}}E_{y}&-{\frac {1}{c}}E_{z}\\{\frac {1}{c}}E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {1}{c}}E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {1}{c}}E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}{\text{(SI units, signature }}(+,-,-,-){\text{)}}.}$

в единицах СИ . В теории относительности гауссова система единиц часто предпочтительнее единиц СИ, даже в текстах, в которых основным выбором единиц являются единицы СИ, потому что в ней электрическое поле E и магнитная индукция B имеют одни и те же единицы, создающие вид электромагнитного поля тензор более естественный. ^[26] Рассмотрим буст Лоренца в x -направлении. Это дается ^[27]

${\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},\qquad F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}{\text{(Gaussian units, signature }}(-,+,+,+){\text{)}},}$

где тензор поля отображается бок о бок для удобства использования при описанных ниже манипуляциях.

Общий закон преобразования (T3) принимает вид

${\displaystyle F^{\mu '\nu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }.}$

Для магнитного поля получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{x'}&=F^{2'3'}={\Lambda ^{2}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{2}}_{2}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{23}=1\times 1\times B_{x}\\&=B_{x},\\B_{y'}&=F^{3'1'}={\Lambda ^{3}}_{\mu }{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{3\nu }={\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{30}+{\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{1}F^{31}\\&=1\times (-\beta \gamma )(-E_{z})+1\times \gamma B_{y}=\gamma B_{y}+\beta \gamma E_{z}\\&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{y}\\B_{z'}&=F^{1'2'}={\Lambda ^{1}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{1}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2}={\Lambda ^{1}}_{0}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{02}+{\Lambda ^{1}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}\\&=(-\gamma \beta )\times 1\times E_{y}+\gamma \times 1\times B_{z}=\gamma B_{z}-\beta \gamma E_{y}\\&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{z}\end{aligned}}}$

Для результатов электрического поля

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{x'}&=F^{0'1'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{10}+{\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{1}}_{1}F^{01}\\&=(-\gamma \beta )(-\gamma \beta )(-E_{x})+\gamma \gamma E_{x}=-\gamma ^{2}\beta ^{2}(E_{x})+\gamma ^{2}E_{x}=E_{x}(1-\beta ^{2})\gamma ^{2}\\&=E_{x},\\E_{y'}&=F^{0'2'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2}={\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{02}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}\\&=\gamma \times 1\times E_{y}+(-\beta \gamma )\times 1\times B_{z}=\gamma E_{y}-\beta \gamma B_{z}\\&=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{y}\\E_{z'}&=F^{0'3'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{3}F^{\mu 3}={\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{03}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{13}\\&=\gamma \times 1\times E_{z}-\beta \gamma \times 1\times (-B_{y})=\gamma E_{z}+\beta \gamma B_{y}\\&=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{z}.\end{aligned}}}$