Четыре вектора

Часть серии по
Пространство-время
Специальная теория относительности Общая теория относительности
Концепции пространства-времени Многообразие пространства-времени Принцип эквивалентности Преобразования Лоренца пространство Минковского
Общая теория относительности Введение в общую теорию относительности Математика общей теории относительности уравнения поля Эйнштейна
Классическая гравитация Введение в гравитацию Закон всемирного тяготения Ньютона
Соответствующая математика Четырехвекторные выводы теории относительности Диаграммы пространства-времени Дифференциальная геометрия Искривленное пространство-время Математика общей теории относительности Топология пространства-времени
v т е

В специальной теории относительности , A четырехмерного вектора (также известный как 4-вектор) ^[1] представляет собой объект с четырьмя компонентов, которые преобразуют определенным образом при преобразовании Лоренца . В частности, четырехмерный вектор - это элемент четырехмерного векторного пространства, рассматриваемого как пространство представления стандартного представления группы Лоренца , представления (½, ½). Он отличается от евклидова вектора тем, как определяется его величина. Преобразования, которые сохраняют эту величину, - это преобразования Лоренца, которые включают пространственные повороты и повышения.(переход с постоянной скорости на другую инерциальную систему отсчета ). ^{[2] : ch1}

Четыре-векторы описывают, например, положение х ^μ в пространстве - время смоделировано как пространство Минковского , частицу в четыре-импульсе р ^ц , амплитуды электромагнитного потенциала А ^ц ( х ) в точке х в пространстве - время, и элементы подпространство, натянутое на гамма-матрицы внутри алгебры Дирака .

Группа Лоренца может быть представлена ​​матрицами Λ размером 4 × 4 . Действие преобразования Лоренца на общий контравариантный четырехвектор X (как в приведенных выше примерах), рассматриваемый как вектор-столбец с декартовыми координатами относительно инерциальной системы отсчета в элементах, задается выражением

${\ Displaystyle X ^ {\ prime} = \ Lambda X,}$

(матричное умножение), где компоненты выделенного объекта относятся к новому кадру. В отношении приведенных выше примеров, которые даны как контравариантные векторы, существуют также соответствующие ковариантные векторы x _μ , p _μ и A _μ ( x ) . Они преобразуются по правилу

${\ Displaystyle X ^ {\ prime} = {(\ Lambda ^ {- 1})} ^ {\ mathrm {T}} X,}$

где ^T обозначает транспонированную матрицу . Это правило отличается от приведенного выше. Это соответствует двойственному представлению стандартного представления. Однако для группы Лоренца двойственное к любому представлению эквивалентно исходному представлению. Таким образом, объекты с ковариантными индексами также являются четырехвекторами.

Для примера хорошо управляемого четырехкомпонентного объекта в специальной теории относительности, который не является четырехвекторным, см. Bipinor . Он определяется аналогично, с той разницей, что правило преобразования при преобразованиях Лоренца задается представлением, отличным от стандартного представления. В этом случае правило гласит: X ′ = Π (Λ) X , где Π (Λ) - это матрица 4 × 4, отличная от Λ . Подобные замечания применимы к объектам с меньшим или большим количеством компонентов, которые хорошо себя ведут при преобразованиях Лоренца. К ним относятся скаляры , спиноры , тензоры и спинор-тензоры.

В статье четырехвекторы рассматриваются в контексте специальной теории относительности. Хотя концепция четырехвекторов также распространяется на общую теорию относительности , некоторые из результатов, изложенных в этой статье, требуют модификации в общей теории относительности.

Обозначение [ править ]

Обозначения в этой статье: строчные полужирные для трехмерных векторов, шляпы для трехмерных единичных векторов , прописные жирные для четырехмерных векторов (кроме четырехградиентного) и обозначение тензорного индекса .

Четырехвекторная алгебра [ править ]

Четыре вектора в действительном базисе [ править ]

Четырехмерного вектор представляет собой вектор с компонентом «времениподобного» и три «пространственноподобных» компонентами, и может быть записан в различных эквивалентных обозначениях: ^[3]

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} & = (A ^ {0}, \, A ^ {1}, \, A ^ {2}, \, A ^ {3}) \\ & = A ^ {0} \ mathbf {E} _ {0} + A ^ {1} \ mathbf {E} _ {1} + A ^ {2} \ mathbf {E} _ {2} + A ^ {3 } \ mathbf {E} _ {3} \\ & = A ^ {0} \ mathbf {E} _ {0} + A ^ {i} \ mathbf {E} _ {i} \\ & = A ^ { \ alpha} \ mathbf {E} _ {\ alpha} \\ & = A ^ {\ mu} \ end {выравнивается}}}$

где в последней форме составляющая величины и базисный вектор были объединены в один элемент.

Верхние индексы указывают на контравариантные компоненты. Здесь стандартное соглашение заключается в том, что латинские индексы принимают значения для пространственных компонентов, так что i = 1, 2, 3, а греческие индексы принимают значения для пространственных и временных компонентов, так что α = 0, 1, 2, 3, используется с суммированием конвенция . Разделение между временной составляющей и пространственными компонентами полезно делать при определении сокращений одного четырехвектора с другими тензорными величинами, например, для вычисления инвариантов Лоренца во внутренних продуктах (примеры приведены ниже) или повышения и понижения индексов .

В специальной теории относительности пространственноподобный базис E ₁ , E ₂ , E ₃ и компоненты A ¹ , A ² , A ³ часто являются декартовыми базисом и компонентами:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{t},\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z})\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{x}\mathbf {E} _{x}+A_{y}\mathbf {E} _{y}+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned}}}$

хотя, конечно, можно использовать любую другую основу и компоненты, например сферические полярные координаты.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{\phi })\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{\theta }\mathbf {E} _{\theta }+A_{\phi }\mathbf {E} _{\phi }\\\end{aligned}}}$

или цилиндрические полярные координаты ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{z})\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{\theta }\mathbf {E} _{\theta }+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned}}}$

или любые другие ортогональные координаты , или даже общие криволинейные координаты . Обратите внимание, что координатные метки всегда подписываются как метки и не являются индексами, принимающими числовые значения. В общей теории относительности необходимо использовать локальные криволинейные координаты в локальном базисе. Геометрически четырехмерный вектор все еще можно интерпретировать как стрелку, но в пространстве-времени, а не только в пространстве. В теории относительности стрелки рисуются как часть диаграммы Минковского (также называемой диаграммой пространства-времени ). В этой статье мы будем называть четырехвектора просто векторами.

Также принято представлять основания векторами-столбцами :

${\displaystyle \mathbf {E} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}$

так что:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$

Связь между ковариантными и контравариантными координатами осуществляется через метрический тензор Минковского (называемый метрикой), η, который повышает и понижает индексы следующим образом:

${\displaystyle A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu }\,,}$

и в различных эквивалентных обозначениях ковариантными компонентами являются:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3})\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{1}\mathbf {E} ^{1}+A_{2}\mathbf {E} ^{2}+A_{3}\mathbf {E} ^{3}\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{i}\mathbf {E} ^{i}\\&=A_{\alpha }\mathbf {E} ^{\alpha }\\\end{aligned}}}$

где пониженный индекс указывает на ковариантность . Часто метрика диагональна, как в случае с ортогональными координатами (см. Линейный элемент ), но не в общих криволинейных координатах .

Базы могут быть представлены векторами-строками :

${\displaystyle \mathbf {E} ^{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} ^{1}={\begin{pmatrix}0&1&0&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} ^{2}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

так что:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}}$

Мотивация для вышеуказанных соглашений заключается в том, что внутренний продукт является скаляром, подробности см. Ниже.

Преобразование Лоренца [ править ]

Учитывая две инерциальные или повернутые системы отсчета , четырехвектор определяется как величина, которая преобразуется в соответствии с матрицей  преобразования Лоренца Λ :

${\displaystyle \mathbf {A} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {A} }$

В индексной записи контравариантная и ковариантная компоненты преобразуются соответственно:

${\displaystyle {A'}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }A^{\nu }\,,\quad {A'}_{\mu }=\Lambda _{\mu }{}^{\nu }A_{\nu }}$

в котором матрица Λ имеет компоненты Λ ^μ _ν в строке  μ и столбце  ν , а обратная матрица Λ ⁻¹ имеет компоненты Λ _μ ^ν в строке  μ и столбце  ν .

Для получения информации о природе этого определения преобразования см. Тензор . Все четыре вектора преобразуются одинаково, и это может быть обобщено на четырехмерные релятивистские тензоры; см. специальную теорию относительности .

Чистое вращение вокруг произвольной оси [ править ]

Для двух кадров, повернутых на фиксированный угол θ вокруг оси, определяемой единичным вектором :

${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}=({\hat {n}}_{1},{\hat {n}}_{2},{\hat {n}}_{3})\,,}$

без каких-либо повышений матрица Λ имеет компоненты, определяемые следующим образом: ^[4]

${\displaystyle \Lambda _{00}=1}$

${\displaystyle \Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}=0}$

${\displaystyle \Lambda _{ij}=(\delta _{ij}-{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j})\cos \theta -\varepsilon _{ijk}{\hat {n}}_{k}\sin \theta +{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}}$

где δ _ij - символ Кронекера , а ε _ijk - трехмерный символ Леви-Чивиты . Пространственноподобные компоненты четырехвекторов поворачиваются, а времениподобные компоненты остаются неизменными.

Для случая вращения только вокруг оси z пространственноподобная часть матрицы Лоренца сводится к матрице вращения вокруг оси z :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{A'}^{0}\\{A'}^{1}\\{A'}^{2}\\{A'}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}\ .}$

Чистые бусты в произвольном направлении [ править ]

Для двух систем, движущихся с постоянной относительной трехскоростной v (не четырехскоростной, см. Ниже ), удобно обозначить и определить относительную скорость в единицах c следующим образом:

${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{1},\,\beta _{2},\,\beta _{3})={\frac {1}{c}}(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})={\frac {1}{c}}\mathbf {v} \,.}$

Тогда без поворотов матрица Λ имеет компоненты, заданные формулой ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=\gamma ,\\\Lambda _{0i}&=\Lambda _{i0}=-\gamma \beta _{i},\\\Lambda _{ij}&=\Lambda _{ji}=(\gamma -1){\dfrac {\beta _{i}\beta _{j}}{\beta ^{2}}}+\delta _{ij}=(\gamma -1){\dfrac {v_{i}v_{j}}{v^{2}}}+\delta _{ij},\\\end{aligned}}\,\!}$

где фактор Лоренца определяется как:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}}}\,,}$

а δ _ij - символ Кронекера . В отличие от чистых вращений, пространственноподобные и времениподобные компоненты смешиваются вместе при повышениях.

Для случая повышения только в направлении x матрица уменьшается до; ^{[6] [7]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A'^{0}\\A'^{1}\\A'^{2}\\A'^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi &0&0\\-\sinh \phi &\cosh \phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$

Где использовалось выражение для быстроты ϕ , записанное в терминах гиперболических функций :

${\displaystyle \gamma =\cosh \phi }$

Эта матрица Лоренца иллюстрирует усиление как гиперболическое вращение в четырехмерном пространстве-времени, аналогичное круговому вращению выше в трехмерном пространстве.

Свойства [ править ]

Линейность [ править ]

Четыре вектора имеют те же свойства линейности, что и евклидовы векторы в трех измерениях . Их можно добавить обычным пошаговым способом:

${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})+(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3})=(A^{0}+B^{0},A^{1}+B^{1},A^{2}+B^{2},A^{3}+B^{3})}$

и аналогично скалярное умножение на скаляр λ определяется поэтапно:

${\displaystyle \lambda \mathbf {A} =\lambda (A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})=(\lambda A^{0},\lambda A^{1},\lambda A^{2},\lambda A^{3})}$

Тогда вычитание - это операция, обратная сложению, определяемая на входе:

${\displaystyle \mathbf {A} +(-1)\mathbf {B} =(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})+(-1)(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3})=(A^{0}-B^{0},A^{1}-B^{1},A^{2}-B^{2},A^{3}-B^{3})}$

Тензор Минковского [ править ]

Применяя тензор Минковского η _μν к двум четырехвекторам A и B , записывая результат в нотации скалярного произведения , мы получаем, используя нотацию Эйнштейна :

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}$

Удобно переписать определение в матричном виде:

${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\eta _{00}&\eta _{01}&\eta _{02}&\eta _{03}\\\eta _{10}&\eta _{11}&\eta _{12}&\eta _{13}\\\eta _{20}&\eta _{21}&\eta _{22}&\eta _{23}\\\eta _{30}&\eta _{31}&\eta _{32}&\eta _{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}}$

в этом случае η _μν выше - это запись в строке μ и столбце ν метрики Минковского в виде квадратной матрицы. Метрика Минковского не является евклидовой метрикой , потому что она неопределенна (см. Подпись метрики ). Ряд других выражений может быть использован , поскольку метрический тензор может поднимать и опускать компоненты A или B . Для противоположных / ковариантных компонентов A и ковариантных / противовариантных компонентов B мы имеем:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }}$

так что в матричной записи:

${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}B_{0}&B_{1}&B_{2}&B_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$

а для A и B каждый в ковариантных компонентах:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{\mu }\eta ^{\mu \nu }B_{\nu }}$

с матричным выражением, аналогичным приведенному выше.

Применяя тензор Минковского к четырехвектору A с самим собой, получаем:

${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }}$

который, в зависимости от случая, можно рассматривать как квадрат или его отрицательную величину длины вектора.

Ниже приведены два распространенных варианта метрического тензора в стандартном базисе (по сути, в декартовых координатах). Если используются ортогональные координаты, вдоль диагональной части пространственноподобной части метрики будут масштабные коэффициенты, тогда как для общих криволинейных координат вся пространственноподобная часть метрики будет иметь компоненты, зависящие от используемого криволинейного базиса.

Стандартная основа, (+ −−−) подпись [ править ]

В метрической сигнатуре (+ −−−) вычисление суммирования по индексам дает:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}}$

в матричной форме:

${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}}$

В специальной теории относительности часто встречается выражение

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}=C}$

в одной системе отсчета , где C - значение внутреннего продукта в этой системе координат, и:

${\displaystyle \mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}=C'}$

в другом кадре, в котором C '- значение внутреннего продукта в этом кадре. Тогда, поскольку внутренний продукт является инвариантом, они должны быть равны:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '}$

то есть:

${\displaystyle C=A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}}$

Учитывая, что физические величины в теории относительности являются четырехвекторными, это уравнение имеет вид « закона сохранения », но здесь нет никакого «сохранения». Основное значение внутреннего произведения Минковского состоит в том, что для любых двух четырех векторов его значение инвариантно для всех наблюдателей; изменение координат не приводит к изменению стоимости внутреннего продукта. Компоненты четырех векторов изменяются от одного кадра к другому; A и A ′ связаны преобразованием Лоренца , и аналогично для B и B′, Хотя внутренние продукты одинаковы во всех кадрах. Тем не менее, этот тип выражения используется в релятивистских вычислениях наравне с законами сохранения, поскольку величины компонентов могут быть определены без явного выполнения каких-либо преобразований Лоренца. Конкретный пример - энергия и импульс в соотношении энергия-импульс, полученном из вектора четырех импульсов (см. Также ниже).

В этой подписи мы имеем:

${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =(A^{0})^{2}-(A^{1})^{2}-(A^{2})^{2}-(A^{3})^{2}}$

С сигнатурой (+ −−−), четыре вектора могут быть классифицированы как пространственноподобные if , времениподобные if и нулевые векторы if .${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} <0}$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} >0}$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =0}$

Стандартная основа, (- +++) подпись [ править ]

Некоторые авторы определяют η с противоположным знаком, и в этом случае мы имеем метрическую сигнатуру (- +++). Оценивая суммирование с помощью этой подписи:

${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}}$

а матричная форма:

${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =\left({\begin{matrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{matrix}}\right)}$

Обратите внимание, что в этом случае в одном кадре:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}=-C}$

а в другом:

${\displaystyle \mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}=-C'}$

так что:

${\displaystyle -C=-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}}$

что эквивалентно приведенному выше выражению для C в терминах A и B . Любая конвенция будет работать. С метрикой Минковского, определенной двумя способами, описанными выше, единственная разница между ковариантными и контравариантными четырехвекторными компонентами - это знаки, поэтому знаки зависят от того, какое соглашение о знаках используется.

У нас есть:

${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =-(A^{0})^{2}+(A^{1})^{2}+(A^{2})^{2}+(A^{3})^{2}}$

С помощью сигнатуры (- +++) четыре вектора могут быть классифицированы как пространственноподобные if , timelike if и null if .${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} >0}$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} <0}$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =0}$

Двойные векторы [ править ]

Применение тензора Минковского часто выражается как влияние двойственного вектора одного вектора на другой:

${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =A^{*}(\mathbf {B} )=A{_{\nu }}B^{\nu }.}$

Здесь A _ν s являются компонентами двойственного вектора A * к A в дуальном базисе и называются ковариантными координатами A , а исходные компоненты A ^ν называются контравариантными координатами.

Четырехвекторное исчисление [ править ]

Производные и дифференциалы [ править ]

В специальной теории относительности (но не в общей теории относительности) производная четырехвектора по скаляру λ (инвариант) сама является четырехвектором. Также полезно взять дифференциал четырехвектора d A и разделить его на дифференциал скаляра dλ :

${\displaystyle {\underset {\text{differential}}{d\mathbf {A} }}={\underset {\text{derivative}}{\frac {d\mathbf {A} }{d\lambda }}}{\underset {\text{differential}}{d\lambda }}}$

где контравариантные компоненты:

${\displaystyle d\mathbf {A} =(dA^{0},dA^{1},dA^{2},dA^{3})}$

а ковариантные компоненты:

${\displaystyle d\mathbf {A} =(dA_{0},dA_{1},dA_{2},dA_{3})}$

В релятивистской механике часто берется дифференциал четырехвектора и делится на дифференциал в собственном времени (см. Ниже).

Фундаментальные четырехвекторы [ править ]

Четырехпозиционный [ править ]

Точка в пространстве Минковского - это временная и пространственная позиция, называемая «событием», или иногда позиция четырехвекторная, четырехпозиционная или четырехпозиционная, описываемая в некоторой системе отсчета набором четырех координат:

${\displaystyle \mathbf {R} =\left(ct,\mathbf {r} \right)}$

где r - вектор положения в трехмерном пространстве . Если r является функцией координатного времени t в том же кадре, то есть r = r ( t ), это соответствует последовательности событий при изменении t . Определение R ⁰ = ct гарантирует, что все координаты имеют одинаковые единицы (расстояния). ^{[8] [9] [10]} Эти координаты являются компонентами четырехмерного вектора положения для события. Четырехвектор смещения определяется как «стрелка», связывающая два события:

${\displaystyle \Delta \mathbf {R} =\left(c\Delta t,\Delta \mathbf {r} \right)}$

Для дифференциального четырехпозиционного положения на мировой линии мы имеем, используя обозначение нормы :

${\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=\mathbf {dR\cdot dR} =dR^{\mu }dR_{\mu }=c^{2}d\tau ^{2}=ds^{2}\,,}$

определяя дифференциальный линейный элемент d s и дифференциальное приращение собственного времени d τ , но эта "норма" также:

${\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,,}$

так что:

${\displaystyle (cd\tau )^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,.}$

При рассмотрении физических явлений естественно возникают дифференциальные уравнения; однако при рассмотрении производных функций по пространству и времени неясно, относительно какой системы отсчета взяты эти производные. Принято считать, что производные по времени берутся по отношению к собственному времени . Поскольку собственное время является инвариантом, это гарантирует, что производная по собственному времени любого четырехвектора сама является четырехвектором. Затем важно найти связь между этой производной по собственному времени и другой производной по времени (с использованием координатного времени t инерциальной системы отсчета). Это соотношение обеспечивается путем деления указанного выше дифференциального инвариантного пространственно-временного интервала на ( cdt ) ²${\displaystyle \tau }$ чтобы получить:

${\displaystyle \left({\frac {cd\tau }{cdt}}\right)^{2}=1-\left({\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\right)=1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {u} )^{2}}}\,,}$

где u = d r / dt - координата 3 - скорость объекта, измеренная в той же системе отсчета, что и координаты x , y , z и координатное время t , и

${\displaystyle \gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}}$

- фактор Лоренца . Это обеспечивает полезную связь между разностями в координатном времени и собственном времени:

${\displaystyle dt=\gamma (\mathbf {u} )d\tau \,.}$

Это соотношение также можно найти из преобразования времени в преобразованиях Лоренца .

Важные четыре вектора в теории относительности могут быть определены с помощью этого дифференциала .${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$

Четыре градиента [ править ]

Учитывая, что частные производные являются линейными операторами , можно сформировать четырехкратный градиент из частной производной по времени ∂ / ∂ t и пространственного градиента ∇. Используя стандартный базис, в индексных и сокращенных обозначениях, контравариантными компонентами являются:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x_{0}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\right)\\&=(\partial ^{0},\,-\partial ^{1},\,-\partial ^{2},\,-\partial ^{3})\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{1}\partial ^{1}-\mathbf {E} _{2}\partial ^{2}-\mathbf {E} _{3}\partial ^{3}\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{i}\partial ^{i}\\&=\mathbf {E} _{\alpha }\partial ^{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,-\nabla \right)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\\&=\mathbf {E} _{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\nabla \\\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что базисные векторы помещаются перед компонентами, чтобы предотвратить путаницу между взятием производной базисного вектора или просто указанием, что частная производная является компонентом этого четырехвектора. Ковариантные компоненты:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\right)\\&=(\partial _{0},\,\partial _{1},\,\partial _{2},\,\partial _{3})\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{1}\partial _{1}+\mathbf {E} ^{2}\partial _{2}+\mathbf {E} ^{3}\partial _{3}\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{i}\partial _{i}\\&=\mathbf {E} ^{\alpha }\partial _{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,\nabla \right)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\nabla \right)\\&=\mathbf {E} ^{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\nabla \\\end{aligned}}}$

Поскольку это оператор, у него нет «длины», но оценка внутреннего произведения оператора на самого себя дает другой оператор:

${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}={\frac {{\partial _{t}}^{2}}{c^{2}}}-\nabla ^{2}}$

позвонил оператору Даламбера .

Кинематика [ править ]

Четыре скорости [ править ]

Четыре-скорость частицы определяется по формуле:

${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}={\frac {d\mathbf {X} }{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left(c,\mathbf {u} \right),}$

Геометрически U - это нормализованный вектор, касательный к мировой линии частицы. Используя дифференциал четырехпозиционного, можно получить величину четырехступенчатой ​​скорости:

${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=U^{\mu }U_{\mu }={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX_{\mu }}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }dX_{\mu }}{d\tau ^{2}}}=c^{2}\,,}$

Короче говоря, величина четырехскорости для любого объекта всегда является фиксированной константой:

${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=c^{2}\,}$

Нормой также является:

${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,}$

так что:

${\displaystyle c^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,}$

что сводится к определению фактора Лоренца .

Единицы измерения четырехскоростной скорости - м / с в СИ и 1 в геометризованной системе единиц . Четыре скорости - это контравариантный вектор.

Четырехскоростное [ править ]

Четыре ускорения определяется по формуле:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,{\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right).}$

где a = d u / dt - координата 3-ускорения. Поскольку величина U постоянна, четыре ускорения ортогональны четырем скоростям, то есть внутреннее произведение Минковского четырех ускорений и четырех скоростей равно нулю:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {U} =A^{\mu }U_{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}U_{\mu }={\frac {1}{2}}\,{\frac {d}{d\tau }}(U^{\mu }U_{\mu })=0\,}$

что верно для всех мировых линий. Геометрический смысл четырехскоростного ускорения - это вектор кривизны мировой линии в пространстве Минковского.

Динамика [ править ]

Четыре импульса [ править ]

Для массивной частицы массы покоя (или инвариантной массе ) м ₀ , то четыре-импульса определяется по формуле:

${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )(c,\mathbf {u} )=(E/c,\mathbf {p} )}$

где полная энергия движущейся частицы равна:

${\displaystyle E=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2}}$

а полный релятивистский импульс равен:

${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} }$

Взяв с собой внутренний продукт четырехмерного импульса:

${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}=P^{\mu }P_{\mu }=m_{0}^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m_{0}^{2}c^{2}}$

а также:

${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }$

что приводит к соотношению энергия – импульс :

${\displaystyle E^{2}=c^{2}\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +(m_{0}c^{2})^{2}\,.}$

Это последнее соотношение полезно для релятивистской механики , существенной в релятивистской квантовой механике и релятивистской квантовой теории поля , и все это имеет приложения к физике элементарных частиц .

Четыре силы [ править ]

Четыре силы , действующей на частицу, определяется аналогично 3-силы как производной по времени от 3-импульса в втором законе Ньютона :

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {P} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {1}{c}}{\frac {dE}{dt}},{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)=\gamma (\mathbf {u} )(P/c,\mathbf {f} )}$

где P - мощность, передаваемая для перемещения частицы, а f - 3-сила, действующая на частицу. Для частицы постоянной инвариантной массы m ₀ это эквивалентно

${\displaystyle \mathbf {F} =m_{0}\mathbf {A} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right)\right)}$

Инвариант, полученный из четырех сил:

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {U} =F^{\mu }U_{\mu }=m_{0}A^{\mu }U_{\mu }=0}$

из приведенного выше результата.

Термодинамика [ править ]

Четыре тепловых потока [ править ]

Векторное поле четырех тепловых потоков, по существу, аналогично трехмерному векторному полю теплового потока q в локальной системе отсчета жидкости: ^[11]

${\displaystyle \mathbf {Q} =-k{\boldsymbol {\partial }}T=-k\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial T}{\partial t}},\nabla T\right)}$

где T - абсолютная температура, а k - теплопроводность .

Поток четырехбарионных чисел [ править ]

Поток барионов равен: ^[12]

${\displaystyle \mathbf {S} =n\mathbf {U} }$

где n - плотность числа барионов в локальной системе покоя барионной жидкости (положительные значения для барионов, отрицательные для антибарионов ), а U - поле четырех скоростей (жидкости), как указано выше.

Четыре-энтропия [ править ]

Четырех- энтропии вектор определяется следующим образом: ^[13]

${\displaystyle \mathbf {s} =s\mathbf {S} +{\frac {\mathbf {Q} }{T}}}$

где s - энтропия, приходящаяся на барион, а T - абсолютная температура в локальной системе покоя жидкости. ^[14]

Электромагнетизм [ править ]

Примеры четырех-векторов в электромагнетизме включают следующее.

Четыре тока [ править ]

Электромагнитный четырехток (или, точнее, четырехканальная плотность тока) ^[15] определяется как

${\displaystyle \mathbf {J} =\left(\rho c,\mathbf {j} \right)}$

формируется из плотности тока j и плотности заряда ρ .

Четырехпотенциал [ править ]

Электромагнитный потенциала (или более правильно векторный потенциал четыре-ЭМ) определяются

${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {a} \right)}$

формируется из векторного потенциала a и скалярного потенциала ϕ .

Четырехпотенциал определяется неоднозначно, поскольку зависит от выбора калибровки .

В волновом уравнении для электромагнитного поля:

${\displaystyle (\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {A} =0}$ {в вакууме}

${\displaystyle (\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }${с четырехтоковым источником и с использованием калибровочного условия Лоренца }${\displaystyle (\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {A} )=0}$

Волны [ править ]

Четырехчастотный [ править ]

Фотонную плоскую волну можно описать четырехчастотной системой, определяемой как

${\displaystyle \mathbf {N} =\nu \left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)}$

где ν есть частота волны и является единичным вектором в направлении волны путешествия. Сейчас же:${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

${\displaystyle \|\mathbf {N} \|=N^{\mu }N_{\mu }=\nu ^{2}\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)=0}$

поэтому четырехчастотная частота фотона всегда является нулевым вектором.

Четырехволновой вектор [ править ]

Величины, обратные времени t и пространству r, представляют собой угловую частоту ω и волновой вектор k соответственно. Они образуют компоненты четырехволнового вектора или волнового четырехвектора:

${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}\mathbf {\hat {n}} \right)\,.}$

Волновой пакет почти монохроматического света можно описать следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {K} ={\frac {2\pi }{c}}\mathbf {N} ={\frac {2\pi }{c}}\nu (1,{\hat {\mathbf {n} }})={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)\,.}$

Затем соотношения де Бройля показали, что четырехволновой вектор применим как к волнам материи, так и к световым волнам. :

${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)\,.}$

дает и , где ħ - постоянная Планка, деленная на 2 π .${\displaystyle E=\hbar \omega }$${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$

Квадрат нормы равен:

${\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}=K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,}$

и соотношением де Бройля:

${\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\|\mathbf {P} \|^{2}=\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\,,}$

у нас есть материально-волновой аналог отношения энергии-импульса:

${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} =\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\,.}$

Обратите внимание, что для безмассовых частиц, в этом случае m ₀ = 0 , мы имеем:

${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}=\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,}$

или || k || = ω / c . Обратите внимание, что это согласуется с приведенным выше случаем; для фотонов с 3-волновым вектором модуля ω / c в направлении распространения волны, определяемом единичным вектором .${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

Квантовая теория [ править ]

Ток с четырьмя вероятностями [ править ]

В квантовой механике ток с четырьмя вероятностями или ток с четырьмя вероятностями аналогичен электромагнитному четырехканальному току : ^[16]

${\displaystyle \mathbf {J} =(\rho c,\mathbf {j} )}$

где ρ - функция плотности вероятности, соответствующая временной составляющей, а j - вектор тока вероятности . В нерелятивистской квантовой механике этот ток всегда хорошо определен, потому что выражения для плотности и тока положительно определены и могут допускать вероятностную интерпретацию. В релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля не всегда можно найти ток, особенно когда задействованы взаимодействия.

Заменяя энергию оператором энергии и импульс оператором импульса в четырехмерном импульсе, мы получаем четырехмерный оператор импульса , используемый в релятивистских волновых уравнениях .

Четыре вращения [ править ]

Четыре-спиновой частицы определяется в системе покоя частицы , чтобы быть

${\displaystyle \mathbf {S} =(0,\mathbf {s} )}$

где s - псевдовектор спина . В квантовой механике не все три составляющие этого вектора можно измерить одновременно, только одна составляющая. Времяподобный компонент равен нулю в системе отсчета частицы, но не в любой другой системе отсчета. Этот компонент можно найти с помощью соответствующего преобразования Лоренца.

Квадрат нормы - это (отрицательный) квадрат величины спина, и согласно квантовой механике мы имеем

${\displaystyle \|\mathbf {S} \|^{2}=-|\mathbf {s} |^{2}=-\hbar ^{2}s(s+1)}$

Это значение можно наблюдать и квантовать, где s - квантовое число спина (а не величина вектора спина).

Другие формулировки [ править ]

Четырехвекторы в алгебре физического пространства [ править ]

Четырехвекторный A также может быть определен при использовании матриц Паули в качестве базиса , опять же в различных эквивалентных обозначениях: ^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3})\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{1}{\boldsymbol {\sigma }}_{1}+A^{2}{\boldsymbol {\sigma }}_{2}+A^{3}{\boldsymbol {\sigma }}_{3}\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{i}{\boldsymbol {\sigma }}_{i}\\&=A^{\alpha }{\boldsymbol {\sigma }}_{\alpha }\\\end{aligned}}}$

или явно:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=A^{0}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+A^{1}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+A^{2}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+A^{3}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

и в этой формулировке четырехмерный вектор представлен как эрмитова матрица ( транспонированная матрица и комплексно сопряженная матрица оставляет ее неизменной), а не как вещественный столбец или вектор-строку. Определитель матрицы представляет собой модуль из четырех-вектора, так что определитель является инвариантом:

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |&={\begin{vmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{vmatrix}}\\&=(A^{0}+A^{3})(A^{0}-A^{3})-(A^{1}-iA^{2})(A^{1}+iA^{2})\\&=(A^{0})^{2}-(A^{1})^{2}-(A^{2})^{2}-(A^{3})^{2}\end{aligned}}}$

Эта идея использования матриц Паули в качестве базисных векторов используется в алгебре физического пространства , как пример алгебры Клиффорда .

Четыре вектора в алгебре пространства-времени [ править ]

В алгебре пространства-времени , другом примере алгебры Клиффорда, гамма-матрицы также могут составлять основу . (Их также называют матрицами Дирака из-за их появления в уравнении Дирака ). Существует несколько способов выражения гамма-матриц, подробно описанных в этой основной статье.

Слэш обозначение Фейнман является сокращением для четыре-вектора А по контракту с гамма - матрицами:

${\displaystyle \mathbf {A} \!\!\!\!/=A_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=A_{0}\gamma ^{0}+A_{1}\gamma ^{1}+A_{2}\gamma ^{2}+A_{3}\gamma ^{3}}$

Четыре импульса, сжатые с гамма-матрицами, являются важным случаем в релятивистской квантовой механике и релятивистской квантовой теории поля . В уравнении Дирака и других релятивистских волновых уравнениях члены вида:

${\displaystyle \mathbf {P} \!\!\!\!/=P_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=P_{0}\gamma ^{0}+P_{1}\gamma ^{1}+P_{2}\gamma ^{2}+P_{3}\gamma ^{3}={\dfrac {E}{c}}\gamma ^{0}-p_{x}\gamma ^{1}-p_{y}\gamma ^{2}-p_{z}\gamma ^{3}}$

появляются, в которых компоненты энергии E и импульса ( p _x , p _y , p _z ) заменяются соответствующими операторами .

См. Также [ править ]

• Релятивистская механика
• паравектор
• волновой вектор
• Пыль (теория относительности) для четырехвектора числового потока
• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Пространство Минковского

Ссылки [ править ]

• Риндлер, В. Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5