Четыре импульса

Специальная теория относительности

Принцип относительности Теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Общая теория относительности Масштаб относительности
Фонды Постулаты специальной теории относительности Одновременность Относительность одновременности Относительное движение Мероприятие Точка зрения Инерциальная система отсчета Масса Инертная масса Инвариантный Рама отдыха Рамка центра импульса Скорость света Уравнения Максвелла Преобразование Лоренца
Последствия Замедление времени Гравитационное замедление времени Релятивистская масса Эквивалентность массы и энергии Подходящее время Правильная длина Уменьшение длины Действия на расстоянии Принцип локальности Относительность одновременности Релятивистский эффект Доплера Прецессия Томаса Релятивистский диск Парадокс космического корабля Белла Парадокс Эренфеста
Пространство-время Стрела времени Световой конус Мировая линия Трехмерное пространство Четырехмерное пространство Космос Время Многообразие Гладкий коллектор Риманово многообразие Пространство конфигурации Государственное пространство Фазовое пространство Гильбертово пространство Евклидово пространство Топологическое пространство Топологический дефект Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Замкнутая времениподобная кривая (CTC) Червоточина Червоточина Эллиса
Динамика Подходящее время Правильная масса Скаляр Лоренца 4-импульс
История Прекурсоры Галилея относительность Преобразование Галилея Теории эфира
Люди Эйнштейн Зоммерфельд Михельсон Морли Фитцджеральд Herglotz Лоренц Пуанкаре Минковский Физо Авраам Родившийся Планк фон Лауэ Эренфест Толман Дирак
Альтернативные формулировки специальной теории относительности
v т е

В специальной теории относительности , четыре импульса является обобщением классического трехмерного импульса в четырехмерное пространство - время . Импульс - это вектор в трех измерениях ; аналогично четырехмерный импульс - это четырехмерный вектор в пространстве-времени . Контравариантный четыре-импульс частицы с релятивистской энергией $Е$ и три-импульсом $р = (р х, р у, р г) = Тм v$ , где $v$ это три-скорость частицы и $γ$ - фактор Лоренца , равен

p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right).

Величина $m v, указанная$ выше, представляет собой обычный нерелятивистский импульс частицы и $m$ ее массу покоя . Четырехимпульс полезен в релятивистских вычислениях, потому что это ковариантный вектор Лоренца . Это означает, что легко отслеживать, как он трансформируется при преобразованиях Лоренца .

Приведенное выше определение применяется согласно координатному соглашению, что $x 0 = ct$ . Некоторые авторы используют соглашение $x 0 = t$ , что дает модифицированное определение с $p 0 = E / c 2$ . Также возможно определить ковариантный четырехимпульс $p μ,$ где знак энергии (или знак трехимпульса, в зависимости от выбранной сигнатуры метрики) меняется на противоположный.

Норма Минковского [ править ]

Вычисление квадрата нормы Минковского четырехимпульса дает лоренц-инвариантную величину, равную (с точностью до множителей скорости света $c$ ) квадрату собственной массы частицы :

p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \over c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}

куда

\eta _{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)

является метрический тензор из специальной теории относительности с метрикой сигнатуры для определенности выбирается равным $(-1, 1, 1, 1)$ . Отрицательность нормы отражает то, что импульс является времениподобным четырехвектором для массивных частиц. Другой выбор подписи изменил бы знаки в определенных формулах (например, для нормы здесь). Этот выбор не важен, но, однажды сделанный, он должен сохраняться во всем.

Норма Минковского является инвариантом Лоренца, то есть ее значение не изменяется преобразованиями / повышением Лоренца в различных системах отсчета. Вообще говоря, для любых двух четырех импульсов $p$ и $q$ величина $p \cdot q$ инвариантна.

Отношение к четырехскоростной [ править ]

Для массивной частицы четырехмерный импульс задается инвариантной массой частицы m, умноженной на четырехкратную скорость частицы ,

p^{\mu }=mu^{\mu },

где четырехскорость $u$ равна

u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\gamma _{v}\left(c,v_{x},v_{y},v_{z}\right),

и

\gamma _{v}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

- фактор Лоренца (связанный со скоростью $v$ ), $c$ - скорость света .

Вывод [ править ]

Есть несколько способов прийти к правильному выражению для четырехимпульса. Один из способов - сначала определить четыре скорости $u = dx / dτ$ и просто определить $p = mu$ , довольствуясь тем, что это четырехмерный вектор с правильными единицами измерения и правильным поведением. Другой, более удовлетворительный подход состоит в том, чтобы начать с принципа наименьшего действия и использовать лагранжевы рамки для получения четырех импульсов, включая выражение для энергии. ^[1] Можно сразу, используя наблюдения , описанные ниже, определяют четыре импульса от действия $S$ . Учитывая, что в целом для закрытой системы собобщенные координаты $q i$ и канонические импульсы $p i$ , ^[2]

p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial S}{\partial x_{i}}},\quad E=-{\frac {\partial S}{\partial t}}=-c\cdot {\frac {\partial S}{\partial x_{0}}},

это немедленно (вспоминая $x 0 = ct, x 1 = x$ , $x 2 = y$ , $x 3 = z$ и $x 0 = - x 0$ , $x 1 = x 1$ , $x 2 = x 2$ , $x 3 = x 3$ в настоящее метрическое соглашение), что

p_{\mu }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}=\left({E \over c},-\mathbf {p} \right)

является ковариантным четырехвектором с трехвекторной частью, являющейся (отрицательной) каноническим импульсом.

Наблюдения

Сначала рассмотрим систему с одной степенью свободы $q$ . При выводе уравнений движения из действия с использованием принципа Гамильтона обнаруживается (как правило) промежуточная стадия для изменения действия:

\delta S=\left.\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]\right|_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta qdt.

Предполагается, что различные пути удовлетворяют условию $δq (t 1) = δq (t 2) = 0$ , из которого сразу следуют уравнения Лагранжа . Когда уравнения движения известны (или просто предполагаются выполненными), можно отказаться от требования $δq (t 2) = 0$ . В этом случае предполагается, что траектория удовлетворяет уравнениям движения, а действие является функцией верхнего предела интегрирования $δq (t 2)$ , но $t 2$ все еще фиксируется. Приведенное выше уравнение становится с $S = S (q)$ , определив $δq (t 2) = δq$ и допуская большее количество степеней свободы,

\delta S=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta q_{i}=\sum _{i}p_{i}\delta q_{i}.

Наблюдая за этим

\delta S=\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial {q}_{i}}}\delta q_{i},

один вывод

p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}.

Аналогичным образом оставьте конечные точки фиксированными, но пусть $t 2 = t$ меняется. На этот раз системе позволено перемещаться через конфигурационное пространство с «произвольной скоростью» или с «большей или меньшей энергией», уравнения поля по-прежнему выполняются, и можно изменять интеграл, но вместо этого наблюдайте

{\frac {dS}{dt}}=L

по основной теореме исчисления . Вычислите, используя приведенное выше выражение для канонических импульсов,

{\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}=L.

Теперь используя

H=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L,

где $H$ - гамильтониан , приводит к, поскольку $E = H$ в данном случае,

E=H=-{\frac {\partial S}{\partial t}}.

Между прочим, используя $H = H (q, p, t)$ с $p = \partial S / \partial q$ в приведенном выше уравнении дает уравнения Гамильтона – Якоби . В этом контексте $S$ называется главной функцией Гамильтона .

Действие $S$ задается формулой

S=-mc\int ds=\int Ldt,\quad L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},

где $L$ - релятивистский лагранжиан для свободной частицы. Из этого,

замалчивая эти детали,

Вариант действия

\delta S=-mc\int \delta ds.

Чтобы вычислить $δds$ , сначала $заметьте$ , что $δds 2 = 2 dsδds$ и что

\delta ds^{2}=\delta \eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\left(\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }+dx^{\mu }\delta \left(dx^{\nu }\right)\right)=2\eta _{\mu \nu }\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }.

Так

\delta ds=\eta _{\mu \nu }\delta dx^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=\eta _{\mu \nu }d\delta x^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}},

или же

\delta ds=\eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{cd\tau }}d\tau ,

и поэтому

\delta S=-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}u^{\nu }d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }\left\lbrack {\frac {d}{d\tau }}\left(\delta x^{\mu }u^{\nu }\right)-\delta x^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}u^{\nu }\right\rbrack d\tau

что просто

\delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds

\delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds=-mu_{\mu }\delta x^{\mu }={\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}\delta x^{\mu }=-p_{\mu }\delta x^{\mu },

где на втором этапе используются уравнения поля $du μ / ds = 0$ , $(δx μ) t 1 = 0$ и $(δx μ) t 2 \equiv δx μ,$ как в наблюдениях выше. Теперь сравните последние три выражения, чтобы найти

p^{\mu }=-\partial ^{\mu }[S]=-{\frac {\partial S}{\partial x_{\mu }}}=mu^{\mu }=m\left({\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{z}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right),

с нормой $- m 2 c 2$ , и знаменитым результатом для релятивистской энергии,

$E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=m_{r}c^{2},$

где $m r$ - немодная релятивистская масса , следует. Непосредственно сравнивая выражения для импульса и энергии, можно получить

$\mathbf {p} =E{\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}},$

это справедливо и для безмассовых частиц. Возводя в квадрат выражения для энергии и трехимпульса и связывая их, получаем соотношение энергия-импульс :

${\frac {E^{2}}{c^{2}}}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +m^{2}c^{2}.$

Подстановка

p_{\mu }\leftrightarrow -{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}

в уравнении для нормы дает релятивистское уравнение Гамильтона – Якоби , ^[3]

$\eta ^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}}=-m^{2}c^{2}.$

Также возможно получить результаты напрямую из лагранжиана. По определению ^[4]

{\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=\left({\partial L \over \partial {\dot {x}}},{\partial L \over \partial {\dot {y}}},{\partial L \over \partial {\dot {z}}}\right)=m(\gamma v_{x},\gamma v_{y},\gamma v_{z})=m\gamma \mathbf {v} =m\mathbf {u} ,\\E&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} -L={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\end{aligned}}

которые представляют собой стандартные формулы для канонического импульса и энергии замкнутой (не зависящей от времени лагранжевой) системы. При таком подходе менее очевидно, что энергия и импульс являются частями четырехвектора.

Энергия и трехимпульс являются отдельно сохраняющимися величинами для изолированных систем в лагранжевых рамках. Следовательно, сохраняется и четырехмерный импульс. Подробнее об этом ниже.

Более простые подходы включают ожидаемое поведение в электродинамике. ^[5] В этом подходе отправной точкой является применение закона силы Лоренца и второго закона Ньютона в системе покоя частицы. Свойства преобразования тензора электромагнитного поля, включая инвариантность электрического заряда , затем используются для преобразования в лабораторную систему отсчета, и полученное выражение (снова закон силы Лоренца) интерпретируется в духе второго закона Ньютона, что приводит к правильному выражению для релятивистского трехимпульса. Недостатком, конечно же, является то, что не сразу ясно, применим ли результат ко всем частицам, независимо от того, заряжены они или нет, и что он не дает полного четырехвектора.

Также можно избежать электромагнетизма и использовать хорошо настроенные мыслительные эксперименты с участием хорошо обученных физиков, бросающих бильярдные шары, используя знание формулы сложения скоростей и предполагая сохранение количества движения. ^[6]^[7] Это тоже дает только трехвекторную часть.

Сохранение четырёхимпульса [ править ]

Как показано выше, существует три закона сохранения (не независимых, последние два подразумевают первый и наоборот):

Четырехмерный импульс $p$ (ковариантный или контравариантный) сохраняется.
Полная энергия $E = p 0 c$ сохраняется.
3-пространство импульс сохраняется (не следует путать с классическим нерелятивистским импульсом ). $\mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)$ $m\mathbf {v}$

Обратите внимание, что инвариантная масса системы частиц может быть больше, чем сумма масс покоя частиц, поскольку кинетическая энергия в системе отсчета центра масс и потенциальная энергия сил между частицами вносят вклад в инвариантную массу. В качестве примера, две частицы с четырьмя импульсами (5 ГэВ / c , 4 ГэВ / c , 0, 0) и (5 ГэВ / c , −4 ГэВ / c , 0, 0) каждая имеют массу (покоя) 3 ГэВ. / c ^{2 по} отдельности, но их общая масса (масса системы) составляет 10 ГэВ / c ². Если бы эти частицы столкнулись и прилипли, масса составного объекта составила бы 10 ГэВ / c ² .

Одно из практических приложений сохранения инвариантной массы из физики элементарных частиц включает объединение четырех импульсов $p$ $A$ и $p$ $B$ двух дочерних частиц, образующихся при распаде более тяжелой частицы, с четырехимпульсным $p$ $C,$ чтобы найти массу более тяжелой частицы. . Сохранение четырехимпульса дает $p$ $C$ $μ$ $=$ $p$ $A$ $μ$ $+$ $p$ $B$ $μ$ , а масса $M$ более тяжелой частицы определяется как $-$ $P$ $C$ $\cdot$ $P$ $C$ $=$ $M$ $2 в 2$ . Путем измерения энергии и три-импульсы дочерних частиц, можно реконструировать инвариантную массу системы двух частиц, который должен быть равен $М$ . Этот метод используется, например, в экспериментальных поисках Z 'бозонов на частицы высоких энергий коллайдеров , где Z' бозон будет отображаться как выпуклость в спектре инвариантных масс электрона - позитрон или мюоны -antimuon пар.

Если масса объекта не изменяется, внутреннее произведение Минковского его четырех импульсов и соответствующих четырех ускорений $A μ$ просто равно нулю. Четырехскоростное ускорение пропорционально производной по собственному времени четырехмерного импульса, деленной на массу частицы, поэтому

p^{\mu }A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }A^{\nu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}{\frac {p^{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}p\cdot p={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}\left(-m^{2}c^{2}\right)=0.

Канонический импульс в присутствии электромагнитного потенциала [ править ]

Для заряженной частицы с зарядом $q$ , движущейся в электромагнитном поле, заданном электромагнитным четырехпотенциалом :

A=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left({\phi \over c},A_{x},A_{y},A_{z}\right)

где $Φ$ - скалярный потенциал и $A = (A x, A y, A z)$ - векторный потенциал , компоненты (не калибровочно-инвариантного ) канонического четырехвектора импульса $P$ равны

P^{\mu }=p^{\mu }+qA^{\mu }.\!

Это, в свою очередь, позволяет компактно включить потенциальную энергию заряженной частицы в электростатический потенциал и силу Лоренца на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, в релятивистскую квантовую механику .

См. Также [ править ]

Четыре силы
Четыре градиента
Псевдовектор Паули – Любанского

Ссылки [ править ]

Перейти ↑ Landau & Lifshitz 2002 , pp. 25–29
↑ Ландау и Лифшиц, 1975 , стр.139.
^ Ландау и Лифшиц 1975 , стр. 30
↑ Ландау и Лифшиц, 1975 , стр. 15–16.
^ Сард 1970 , Раздел 3.1
^ Сард 1970 , Раздел 3.2
^ Lewis & Tolman 1909 Версия Wikisource

Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Паб Аддисон – Уэсли. Co. ISBN 978-0201029185.CS1 maint: ref=harv (link)
Ландау, ЛД ; Лифшиц Е.М. (1975) [1939]. Механика . Перевод с русского Дж. Б. Сайкса и Дж . С. Белла . (3-е изд.). Амстердам: Эльзевир. ISBN 978-0-7506-28969.CS1 maint: ref=harv (link)
Ландау, ЛД; Лифшиц, Э.М. (2000). Классическая теория полей . 4-я ред. Английское издание, перепечатанное с исправлениями; перевод с русского Мортона Хамермеша. Оксфорд: Баттерворт Хайнеманн. ISBN 9780750627689.CS1 maint: ref=harv (link)
Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853952-0.CS1 maint: ref=harv (link)
Сард, RD (1970). Релятивистская механика - специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: В. А. Бенджамин. ISBN 978-0805384918.CS1 maint: ref=harv (link)
Льюис, штат Нью-Йорк ; Толмен, Р. К. (1909). «Принцип относительности и неньютоновская механика» . Фил. Mag . 6. 18 (106): 510–523. DOI : 10.1080 / 14786441008636725 .CS1 maint: ref=harv (link) Версия Wikisource

[1] Перейти ↑ Landau & Lifshitz 2002 , pp. 25–29

[2] Ландау и Лифшиц, 1975 , стр.139.

[3] Ландау и Лифшиц 1975 , стр. 30

[4] Ландау и Лифшиц, 1975 , стр. 15–16.

[5] Сард 1970 , Раздел 3.1

[6] Сард 1970 , Раздел 3.2

[7] Lewis & Tolman 1909 Версия Wikisource