Прецессия Томаса

Пространство-время
Часть серии по

Специальная теория относительности Общая теория относительности
Концепции пространства-времени Многообразие пространства-времени Принцип эквивалентности Преобразования Лоренца пространство Минковского
Общая теория относительности Введение в общую теорию относительности Математика общей теории относительности уравнения поля Эйнштейна
Классическая гравитация Введение в гравитацию Закон всемирного тяготения Ньютона
Соответствующая математика Четырехвекторные выводы теории относительности Диаграммы пространства-времени Дифференциальная геометрия Искривленное пространство-время Математика общей теории относительности Топология пространства-времени
v т е

Ллевеллин Томас (1903 - 1992)

В физике , то прецессия Томаса , названная в честь Луэллина Томаса , является релятивистской поправкой , которая применяется к спинам элементарной частицы или вращения макроскопического гироскопа и связывает угловую скорость спина частицы после криволинейной орбиты с угловым скорость орбитального движения.

Для данного инерциального кадра , если второй кадр усилен по Лоренцеву относительно него, а третий - по сравнению со вторым, но не коллинеарен с первым усилением, то преобразование Лоренца между первым и третьим кадрами включает комбинированное усиление и вращение, известное как « вращение Вигнера » или «вращение Томаса». Для ускоренного движения ускоренный кадр имеет инерционный кадр в каждый момент. Два повышения с небольшим интервалом времени (как измерено в лабораторном кадре) друг от друга приводят к вращению Вигнера после второго повышения. В пределе временной интервал стремится к нулю, ускоренная рамка будет вращаться в каждый момент, поэтому ускоренная рамка вращается с угловой скоростью.

Прецессию можно понять геометрически как следствие того факта, что пространство скоростей в теории относительности является гиперболическим , и поэтому параллельный перенос вектора (угловой скорости гироскопа) по окружности (его линейная скорость) оставляет его направленным в другом направлении. или понимать алгебраически как являющийся результатом некоммутативности из преобразований Лоренца . Прецессия Томаса дает поправку к спин-орбитального взаимодействия в квантовой механике , которая учитывает релятивистского замедления времени между электроном и ядром изатом .

Прецессия Томаса является кинематическим эффектом в плоском пространстве - время в специальной теории относительности . В искривленном пространстве-времени общей теории относительности прецессия Томаса в сочетании с геометрическим эффектом приводит к прецессии де Ситтера . Хотя прецессия Томаса ( результирующее вращение после траектории, которая возвращается к своей начальной скорости ) является чисто кинематическим эффектом, она возникает только при криволинейном движении и, следовательно, не может наблюдаться независимо от некоторой внешней силы, вызывающей криволинейное движение, например, вызванное электромагнитным полем. , гравитационное поле или механическая сила, поэтому прецессия Томаса обычно сопровождаетсядинамические эффекты . ^[1]

Если система не испытывает внешнего крутящего момента, например, во внешних скалярных полях, ее спиновая динамика определяется только прецессией Томаса. Одиночное дискретное вращение Томаса (в отличие от серии бесконечно малых вращений, которые складываются в прецессию Томаса) присутствует в ситуациях в любое время, когда есть три или более инерциальных кадра в неколлинеарном движении, как можно увидеть с помощью преобразований Лоренца .

История [ править ]

Прецессия Томаса в теории относительности была уже известна Людвик Зильберштейн , ^[2] в 1914 г. Но только знания Томас имел релятивистскую прецессию пришли из де Ситтера бумаги «s на релятивистской прецессии Луны, впервые опубликованную в книге Эддингтона . ^[3]

В 1925 году Томас релятивистски пересчитал частоту прецессии разделения дублетов в тонкой структуре атома. Таким образом, он нашел недостающий фактор 1/2, который стал известен как половина Томаса.

Это открытие релятивистской прецессии электронного спина привело к пониманию значения релятивистского эффекта. Эффект получил название «прецессия Томаса».

Введение [ править ]

Определение [ править ]

Рассмотрим физическую систему, движущуюся в пространстве-времени Минковского . Предположим, что в любой момент существует такая инерциальная система, в которой система покоится. Это предположение иногда называют третьим постулатом относительности. ^[4] Это означает, что в любой момент координаты и состояние системы могут быть преобразованы Лоренцом в лабораторную систему посредством некоторого преобразования Лоренца.

Пусть система подвергается воздействию внешних сил, которые не создают крутящего момента по отношению к ее центру масс в ее (мгновенной) системе покоя. Условие «отсутствия крутящего момента» необходимо, чтобы изолировать явление прецессии Томаса. В качестве упрощающего предположения предполагается, что внешние силы возвращают систему к ее начальной скорости через некоторое конечное время. Зафиксируем систему Лоренца $O$ так, чтобы начальная и конечная скорости были равны нулю.

Вектор спины Паулей-Любанский $S μ$ определяется как $(0, S я)$ в системах покоя рамки, с $S я$ угловой-импульс три вектора относительно центра масс. При движении от начального до конечного положения $S μ$ подвергается вращению, как записано в $O$ , от своего начального до конечного значения. Это постоянное изменение - прецессия Томаса. ^[5]

Заявление [ править ]

Значение

γ 2 / (γ + 1)

при

β = v / c

увеличивается, где v - мгновенная величина скорости частицы. Вращением Томаса можно пренебречь при

β <0,5

, неуклонно возрастать при

0,5 < β <0,8

, затем быстро уноситься в бесконечность, когда

β

стремится к 1. «Половина Томаса» очевидна в пределе низкой скорости, и вращение только очень ясен для скоростей, приближающихся к скорости света.

Рассмотрим движение частицы . Представьте лабораторную систему координат $Σ,$ в которой наблюдатель может измерить относительное движение частицы. В каждый момент времени частица имеет инерциальную систему отсчета, в которой она покоится. Относительно этой лабораторной системы отсчета мгновенная скорость частицы равна $v (t)$ с величиной $| v | = v,$ ограниченная скоростью света $c$ , так что $0 \leq v < c$ . Здесь время $т$ это координата времени , измеренная в лабораторной системе отсчета, несобственное время частицы.

Помимо верхнего предела величины, скорость частицы является произвольной и не обязательно постоянной, соответствующий ей вектор ускорения равен $a = d v (t) / dt$ . В результате вигнеровского вращения в каждый момент времени система координат частицы прецессирует с угловой скоростью, определяемой ^[6]^[7]^[8]^[9]

Прецессия Томаса

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ text {T}} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ gamma ^ {2}} {\ гамма +1}} \ right) \ mathbf {a} \ times \ mathbf {v}}$

где × - векторное произведение, а

{\ displaystyle \ gamma = {\ dfrac {1} {\ sqrt {1 - {\ dfrac {| \ mathbf {v} (t) | ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}

- мгновенный фактор Лоренца , функция мгновенной скорости частицы. Как и любая угловая скорость, $ω T$ - псевдовектор ; его величина - угловая скорость прецессии кадра частицы (в радианах в секунду), а направление указывает вдоль оси вращения. Как обычно, используется соглашение о правой части перекрестного произведения (см. Правило правой руки ).

Прецессия зависит от ускоренного движения, а также от неколлинеарности мгновенной скорости и ускорения частицы. Прецессии не происходит, если частица движется с постоянной скоростью (постоянная $v,$ поэтому $a = 0$ ) или ускоряется по прямой (в этом случае $v$ и $a$ параллельны или антипараллельны, поэтому их перекрестное произведение равно нулю). Частица должна двигаться по кривой, скажем, по дуге, спирали , спирали , круговой или эллиптической орбите., чтобы его каркас прецессировал. Угловая скорость прецессии максимальна, если векторы скорости и ускорения перпендикулярны на протяжении всего движения (круговая орбита), и велика, если их величины велики (величина $v$ почти равна $c$ ).

В нерелятивистском пределе $v \to 0,$ значит, $γ \to 1$ , а угловая скорость приблизительно равна

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ text {T}} \ приблизительно {\ frac {1} {2c ^ {2}}} \ mathbf {a} \ times \ mathbf {v}}

Коэффициент 1/2 оказывается критическим фактором для согласия с экспериментальными результатами. Он неофициально известен как «половина Томаса».

Математическое объяснение [ править ]

Преобразования Лоренца [ править ]

Описание относительного движения включает преобразования Лоренца , и их удобно использовать в матричной форме; символьные матричные выражения суммируют преобразования и просты в использовании, а при необходимости полные матрицы могут быть записаны явно. Кроме того, чтобы избежать загромождения уравнений дополнительными факторами $c$ , удобно использовать определение $β (t) = v (t) / c$ с величиной $| β | = β$ такое, что $0 \leq β <1$ .

Пространственно-временные координаты лабораторного кадра собираются в вектор-столбец 4 × 1 , а усиление представляется в виде симметричной матрицы 4 × 4 соответственно.

X={\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\,,\quad B({\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta _{x}&-\gamma \beta _{y}&-\gamma \beta _{z}\\-\gamma \beta _{x}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \beta _{y}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \beta _{z}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}^{2}}{\beta ^{2}}}\\\end{bmatrix}}

и повернуть

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}}}}

является фактором Лоренца из $р$ . В других кадрах соответствующие координаты также расположены в векторах-столбцах. Обратная матрица подпиточного соответствует к повышению в направлении , противоположном, и задается $B (& beta; ) -1 = B (- β)$ .

В момент лабораторно записанного времени $t,$ измеренного в лабораторной системе отсчета, преобразование пространственно-временных координат из лабораторной системы отсчета $Σ$ в систему отсчета частицы Σ $'$ будет

X'=B({\boldsymbol {\beta }})X

( 1 )

и в более позднее лабораторное время $t + Δ t$ мы можем определить новую систему отсчета $Σ ' '$ для частицы, которая движется со скоростью $β + Δ β$ относительно $Σ$ , и соответствующее ускорение будет

X''=B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})X

( 2 )

Векторы $β$ и $Δ β$ - это два отдельных вектора. Последний представляет собой небольшое приращение, и его можно удобно разделить на компоненты, параллельные (‖) и перпендикулярные (⊥) к $β$ ^{[nb 1].}

\Delta {\boldsymbol {\beta }}=\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }

Комбинируя ( 1 ) и ( 2 ), получаем преобразование Лоренца между $Σ '$ и $Σ ' '$ ,

X''=B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})B(-{\boldsymbol {\beta }})X'\,,

( 3 )

и эта композиция содержит всю необходимую информацию о движении между этими двумя лабораторными временами. Обратите внимание, что $B (β + Δ β) B (- β)$ и $B (β + Δ β)$ являются бесконечно малыми преобразованиями, потому что они включают небольшое приращение относительной скорости, в то время как $B (- β)$ нет.

Состав двух форсирует приравнивается к одной наддува в сочетании с вращением Вигнера вокруг оси , перпендикулярной к относительной скорости;

\Lambda =B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})B(-{\boldsymbol {\beta }})=R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})B(\Delta \mathbf {b} )

( 4 )

Вращение задается матрицей вращения $R$ 4 × 4 в осевом угловом представлении , а системы координат считаются правыми . Эта матрица вращает трехмерные векторы против часовой стрелки вокруг оси ( активное преобразование ) или, что эквивалентно, вращает системы координат по часовой стрелке вокруг той же оси (пассивное преобразование). Вектор ось-угол $Δ θ$ параметризует поворот, его величина $Δ θ$ представляет собой угол поворота $Σ ' '$ , а направление параллельно оси вращения, в этом случае ось параллельна поперечному произведению $(- β) \times (β + Δ β) = - β \times Δ β$ . Если углы отрицательные, направление вращения меняется на противоположное. Обратная матрица задается формулой $R (Δ θ) -1 = R (-Δ θ)$ .

Повышению соответствует (небольшое изменение) вектор усиления $Δ b$ с величиной и направлением относительной скорости повышения (деленной на $c$ ). Повышение $B (Δ b)$ и поворот $R (Δ θ)$ здесь являются бесконечно малыми преобразованиями, поскольку $Δ b$ и поворот $Δ θ$ малы.

Вращение вызывает прецессию Томаса, но здесь есть тонкость. Чтобы интерпретировать систему отсчета частицы как сопутствующую инерциальную систему отсчета относительно лабораторной системы отсчета и согласиться с нерелятивистским пределом, мы ожидаем, что преобразование между мгновенными системами отсчета частицы в моменты времени $t$ и $t + Δ t$ будет связано повышением без вращения. Объединение ( 3 ) и ( 4 ) и перестановка дает

B(\Delta \mathbf {b} )X'=R(-\Delta {\boldsymbol {\theta }})X''=X'''\,,

( 5 )

где другая мгновенная система отсчета $Σ ' ' '$ вводится с координатами $X' ' '$ , чтобы предотвратить слияние с $Σ ' '$ . Подводя итог системам отсчета: в лабораторной системе отсчета $Σ$ наблюдатель измеряет движение частицы, а три мгновенных инерциальных системы отсчета, в которых частица находится в состоянии покоя, - $Σ '$ (в момент времени $t$ ), $Σ ' '$ (в момент времени $t + Δ t$ ) и $Σ ' ' '$ (в момент времени $t + Δ t$ ). Кадры $Σ ' '$ и $Σ ' ' '$ находятся в одном месте и в одно время, они отличаются только поворотом. Напротив $Σ '$ и $Σ ' ' '$ отличаются ускорением и лабораторным интервалом времени $Δ t$ .

Связывание координат $X' ' '$ с лабораторными координатами $X$ посредством ( 5 ) и ( 2 );

X'''=R(-\Delta {\boldsymbol {\theta }})X''=R(-\Delta {\boldsymbol {\theta }})B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})X\,,

( 6 )

репер $Σ ' ' '$ повернут в отрицательном направлении.

Ротация происходит между двумя моментами лабораторного времени. При $Δ t \to 0$ каркас частицы вращается в каждый момент, и непрерывное движение частицы сводится к непрерывному вращению с угловой скоростью в каждый момент. Разделив $-Δ θ$ на $Δ t$ и взяв предел $Δ t \to 0$ , угловая скорость по определению равна

{\boldsymbol {\omega }}_{T}=-\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {\theta }}}{\Delta t}}

( 7 )

Остается найти то , что $Δ & thetas$ точно есть.

Извлечение формулы [ править ]

Состав можно получить, явно вычислив матричное произведение. Матрица усиления $β + Δ β$ потребует величины и фактора Лоренца этого вектора. Поскольку $Δ β$ мало, члены «второго порядка» $| Δ β | 2$ , $(Δ β x) 2$ , $(Δ β y) 2$ , $Δ β x Δ β y$ и выше пренебрежимо малы. Воспользовавшись этим фактом, квадрат величины вектора равен

|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}=|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}+2{\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}

и разложение фактора Лоренца $β + Δ β$ в степенной ряд дает первый порядок по $Δ β$ ,

{\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}}}}&=1+{\frac {1}{2}}|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}+{\frac {3}{8}}|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{4}+\cdots \\&=\left(1+{\frac {|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}}{2}}+{\frac {3}{8}}|{\boldsymbol {\beta }}|^{4}+\cdots \right)+\left(1+{\frac {3}{2}}|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}+\cdots \right){\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}\\&\approx \gamma +\gamma ^{3}{\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}\end{aligned}}

используя коэффициент Лоренца $γ$ для $β,$ как указано выше.

Состав ускорителей в плоскости xy

Чтобы упростить вычисление без потери общности, возьмите направление $β$ полностью в направлении $x$ , а $Δ β -$ в плоскости $xy$ , чтобы параллельная составляющая была вдоль направления $x,$ а перпендикулярная составляющая - вдоль направления $y$ . Ось вращения Вигнера проходит по направлению $z$ . В декартовом базисе $e x, e y, e z$ , наборе взаимно перпендикулярных единичных векторов в их указанных направлениях, мы имеем

{\boldsymbol {\beta }}=\beta \mathbf {e} _{x}\,,\quad \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }=\Delta \beta _{x}\mathbf {e} _{x}\,,\quad \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }=\Delta \beta _{y}\mathbf {e} _{y}\,,\quad {\boldsymbol {\beta }}\times \Delta {\boldsymbol {\beta }}=\beta \Delta \beta _{y}\mathbf {e} _{z}

Эта упрощенная настройка позволяет явно задавать матрицы повышения с минимальным количеством элементов матрицы. В общем, конечно, $β$ и $Δ β$ могут быть в любой плоскости, окончательный результат, приведенный позже, не будет отличаться.

Явно, в момент $t$ усиление происходит в отрицательном направлении $x$

B(-{\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}\gamma &\gamma \beta &0&0\\\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}

а прирост в момент $t + Δ t$ равен

B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}\gamma +\gamma ^{3}\beta \Delta \beta _{x}&-(\gamma \beta +\gamma ^{3}\Delta \beta _{x})&-\gamma \Delta \beta _{y}&0\\-(\gamma \beta +\gamma ^{3}\Delta \beta _{x})&\gamma +\gamma ^{3}\beta \Delta \beta _{x}&\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&0\\-\gamma \Delta \beta _{y}&\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

где $γ$ - фактор Лоренца $β$ , а не $β + Δ β$ . Составное преобразование - это матричное произведение

\Lambda =B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})B(-{\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}1&-\gamma ^{2}\Delta \beta _{x}&-\gamma \Delta \beta _{y}&0\\-\gamma ^{2}\Delta \beta _{x}&1&\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&0\\-\gamma \Delta \beta _{y}&-\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

Представляем буст-генераторы

K_{x}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad K_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad K_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}

и генераторы вращения

J_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad J_{y}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad J_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}

вместе с скалярным произведением · облегчает координатно-независимое выражение

\Lambda =I-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)({\boldsymbol {\beta }}\times \Delta {\boldsymbol {\beta }})\cdot \mathbf {J} -\gamma (\gamma \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp })\cdot \mathbf {K}

которое имеет место, если $β$ и $Δ β$ лежат в любой плоскости. Это бесконечно малое преобразование Лоренца в форме комбинированного повышения и вращения ^{[nb 2]}

\Lambda =I-\Delta {\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} -\Delta \mathbf {b} \cdot \mathbf {K}

куда

\Delta {\boldsymbol {\theta }}=\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right){\boldsymbol {\beta }}\times \Delta {\boldsymbol {\beta }}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\right)\mathbf {v} \times \Delta \mathbf {v}

\Delta \mathbf {b} =\gamma (\gamma \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp })

Разделив $Δ θ$ на $Δ t$ и взяв предел, как в ( 7 ), получаем мгновенную угловую скорость

{\boldsymbol {\omega }}_{T}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\right)\mathbf {a} \times \mathbf {v}

где $a$ - ускорение частицы, наблюдаемое в лабораторном кадре. Никакие силы не были указаны и не использовались при выводе, поэтому прецессия - это кинематический эффект - он возникает из геометрических аспектов движения. Однако силы вызывают ускорения, поэтому прецессия Томаса наблюдается, если на частицу действуют силы.

Прецессия Томаса также может быть получена с помощью уравнения переноса Ферми-Уокера. ^[10] Предполагается равномерное круговое движение в плоском пространстве-времени Минковского. 4-вектор спина ортогонален 4-вектору скорости. Транспорт Ферми-Уокера сохраняет эту связь. Обнаружено, что скалярное произведение 4-вектора ускорения с 4-вектором спина изменяется во времени синусоидально с угловой частотой Ύ ω, где ω - угловая частота кругового движения, а Ύ = 1 / √⟨1-v ^ 2 / c ^ 2). Это легко показать, взяв вторую производную по времени от этого скалярного произведения. Поскольку эта угловая частота превышает ω, спин прецессирует в обратном направлении. Разница (γ-1) ω представляет собой уже заданную угловую частоту прецессии Томаса, как это просто показано, понимая, что величина 3-ускорения равна ω v.

Приложения [ править ]

На электронных орбиталях [ править ]

В квантовой механике прецессия Томаса - это поправка к спин-орбитальному взаимодействию , которая учитывает релятивистское замедление времени между электроном и ядром в водородных атомах .

По сути, он утверждает, что вращающиеся объекты прецессируют, когда они ускоряются в специальной теории относительности, потому что повышения Лоренца не коммутируют друг с другом.

Чтобы вычислить спин частицы в магнитном поле , необходимо также учитывать ларморовскую прецессию .

В маятнике Фуко [ править ]

Вращение плоскости качания маятника Фуко можно рассматривать как результат параллельного перемещения маятника в 2-мерной сфере евклидова пространства. Гиперболическое пространство скоростей в пространстве - времени Минковского представляет собой 3-мерную (псевдо-) сферу с радиусом мнимой и мнимой времениподобных координат. Параллельный перенос вращающейся частицы в релятивистском пространстве скоростей приводит к прецессии Томаса, которая похожа на вращение плоскости качания маятника Фуко. ^[11] Угол поворота в обоих случаях определяется интегралом площадей кривизны в соответствии с теоремой Гаусса – Бонне .

Прецессия Томаса дает поправку на прецессию маятника Фуко. Для маятника Фуко, расположенного в городе Неймеген в Нидерландах, поправка составляет:

\omega \approx 9.5\cdot 10^{-7}\,\mathrm {arcseconds} /\mathrm {day} .

Обратите внимание, что это более чем на два порядка меньше, чем прецессия из-за общерелятивистской поправки, возникающей из -за перетаскивания кадра , прецессии Лензе – Тирринга .

См. Также [ править ]

Формула сложения скорости
Релятивистский угловой момент

Замечания [ править ]

^ Явно, использование проекции вектора и отклонения относительно направления $β$ дает
$\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }={\frac {\Delta {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}\,,\quad \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }=\Delta {\boldsymbol {\beta }}-{\frac {\Delta {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}$
но проще использовать параллельно-перпендикулярные компоненты.
^ Матрицы вращения и повышения (каждая бесконечно малая) задаются
$R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})=I-\Delta {\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \,,\quad B(\Delta \mathbf {b} )=I-\Delta \mathbf {b} \cdot \mathbf {K} \,,$
На бесконечно малом уровне они коммутируют друг с другом.
$\Lambda =B(\Delta \mathbf {b} )R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})=R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})B(\Delta \mathbf {b} )$
потому что произведениями $(Δ θ \cdot J) (Δ b \cdot K)$ и $(Δ b \cdot K) (Δ θ \cdot J)$ можно пренебречь. Полный наддув и повороты вообще не работают .

Примечания [ править ]

^ Малыкин 2006
^ Зильберштейн 1914 , стр. 169
^ Эддингтон 1924
^ Гольдштейн 1980
↑ Бен-Менахем 1986
Перейти ↑ Jackson 1975 , p. 543–546
Перейти ↑ Goldstein 1980 , p. 288
↑ Сард 1970 , стр. 280
^ Sexl & Urbantke 1992 , стр. 42
↑ Мизнер, Торн и Уиллер, Гравитация, с. 165, с. 175-176.
^ Криворученко 2009

Ссылки [ править ]

Томас Л. Х. Кинематика электрона с осью, Фил. Mag. 7 1927 1-23
Бен-Менахем, А. (1985). «Повторение вращения Вигнера». Являюсь. J. Phys . 53 (1): 62–66. Полномочный код : 1985AmJPh..53 ... 62B . DOI : 10.1119 / 1.13953 .
Бен-Менахем, С. (1986). «Прецессия Томаса и кривизна скоростного пространства». J. Math. Phys . 27 (5): 1284–1286. Bibcode : 1986JMP .... 27.1284B . DOI : 10.1063 / 1.527132 .
Кушинг, Дж. Т. (1967). «Векторные преобразования Лоренца». Являюсь. J. Phys . 35 (9): 858–862. Bibcode : 1967AmJPh..35..858C . DOI : 10.1119 / 1.1974267 .
Эйнштейн, А. (1922), "Взгляд на относительность" , Nature , Лондон: Methuen, 112 (2809): 319, Bibcode : 1923Natur.112..319. , DOI : 10.1038 / 112319a0 , S2CID 4094626 ; (Электронная книга Project Gutenberg)
Эддингтон, А.С. (1924). Математическая теория относительности . Издательство Кембриджского университета ; (Вступление)
Кремер, Х. (январь 2004 г.). «Фактор прецессии Томаса в спин-орбитальном взаимодействии» (PDF) . Являюсь. J. Phys . 72 (1): 51–52. arXiv : физика / 0310016 . Bibcode : 2004AmJPh..72 ... 51K . DOI : 10.1119 / 1.1615526 . S2CID 119533324 .
Криворученко, М.И. (2009). «Вращение плоскости качания маятника Фуко и прецессия вращения Томаса: две грани одной монеты». Phys. Усп . 52 (8): 821–829. arXiv : 0805.1136 . Bibcode : 2009PhyU ... 52..821K . DOI : 10.3367 / UFNe.0179.200908e.0873 . S2CID 118449576 .
Малыкин, ГБ (2006). «Прецессия Томаса: правильные и неправильные решения». Phys. Усп . 49 (8): 83 стр. Bibcode : 2006PhyU ... 49..837M . DOI : 10.1070 / PU2006v049n08ABEH005870 .
Мокану, CI (1992). «О парадоксе релятивистского состава скоростей и вращении Томаса». Найденный. Phys. Lett . 5 (5): 443–456. Bibcode : 1992FoPhL ... 5..443M . DOI : 10.1007 / BF00690425 . ISSN 0894-9875 . S2CID 122472788 .
Ребилас, К. (2013). «Комментарий к элементарному анализу особой релятивистской комбинации скоростей, вращения Вигнера и прецессии Томаса». Евро. J. Phys . 34 (3): L55 – L61. Bibcode : 2013EJPh ... 34L..55R . DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 34/3 / L55 . (бесплатный доступ)
Родос, штат Джерси; Семон, доктор медицины (2005). «Релятивистское пространство скоростей, вигнеровское вращение и прецессия Томаса». Являюсь. J. Phys . 72 (7): 943–960. arXiv : gr-qc / 0501070 . Bibcode : 2005APS..NES..R001S . DOI : 10.1119 / 1.1652040 . S2CID 14764378 .
Зильберштейн, Л. (1914). Теория относительности . Лондон: Macmillan Publishers .
Томас, LH (1926). «Движение вращающегося электрона». Природа . 117 (2945): 514. Bibcode : 1926Natur.117..514T . DOI : 10.1038 / 117514a0 . S2CID 4084303 .
Унгар, AA (1988). «Вращение Томаса и параметризация группы Лоренца». Основы физики . 1 (1): 57–81. Bibcode : 1988FoPhL ... 1 ... 57U . DOI : 10.1007 / BF00661317 . ISSN 0894-9875 . S2CID 121240925 .
Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей , 1 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55001-7
Вигнер, Е.П. (1939), "Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца" , Анналы математики , 40 (1): 149–204, Bibcode : 1939AnMat..40..149W , doi : 10.2307 / 1968551 , JSTOR 1968551 , Руководство по ремонту 1503456 , S2CID 121773411.

Учебники [ править ]

Гольдштейн, Х. (1980) [1950]. «Глава 7». Классическая механика (2-е изд.). Читающий MA: Addison-Wesley . ISBN 978-0-201-02918-5.
Джексон, JD (1999) [1962]. «Глава 11». Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 978-0-471-30932-1.
Джексон, JD (1975) [1962]. «Глава 11» . Классическая электродинамика (2-е изд.). Джон Вили и сыновья . С. 542–545 . ISBN 978-0-471-43132-9.
Ландау, ЛД ; Лифшиц, Е.М. (2002) [1939]. Классическая теория поля . Курс теоретической физики. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . п. 38. ISBN 0-7506-2768-9.
Риндлер, В. (2006) [2001]. «Глава 9». Специальная, общая и космологическая теория относительности (2-е изд.). Даллас: Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-856732-5.
Райдер, LH (1996) [1985]. Квантовая теория поля (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521478144.
Сард, RD (1970). Релятивистская механика - специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: В. А. Бенджамин. ISBN 978-0805384918.
RU Sexl, HK Urbantke (2001) [1992]. Относительность, группы частиц. Специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и частиц . Springer. С. 38–43. ISBN 978-3211834435.

Внешние ссылки [ править ]

Статья в Mathpages о Прецессии Томаса
Альтернативный, подробный вывод Прецессии Томаса (Роберт Литтлджон)
Краткий вывод прецессии Томаса

[10] Явно, использование проекции вектора и отклонения относительно направления $β$ дает
$\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }={\frac {\Delta {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}\,,\quad \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }=\Delta {\boldsymbol {\beta }}-{\frac {\Delta {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}$
но проще использовать параллельно-перпендикулярные компоненты.

[11] Матрицы вращения и повышения (каждая бесконечно малая) задаются
$R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})=I-\Delta {\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \,,\quad B(\Delta \mathbf {b} )=I-\Delta \mathbf {b} \cdot \mathbf {K} \,,$
На бесконечно малом уровне они коммутируют друг с другом.
$\Lambda =B(\Delta \mathbf {b} )R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})=R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})B(\Delta \mathbf {b} )$
потому что произведениями $(Δ θ \cdot J) (Δ b \cdot K)$ и $(Δ b \cdot K) (Δ θ \cdot J)$ можно пренебречь. Полный наддув и повороты вообще не работают .

[1] Малыкин 2006

[2] Зильберштейн 1914 , стр. 169

[3] Эддингтон 1924

[4] Гольдштейн 1980

[5] Бен-Менахем 1986

[6] Перейти ↑ Jackson 1975 , p. 543–546

[7] Перейти ↑ Goldstein 1980 , p. 288

[8] Сард 1970 , стр. 280

[9] Sexl & Urbantke 1992 , стр. 42

[12] Мизнер, Торн и Уиллер, Гравитация, с. 165, с. 175-176.

[13] Криворученко 2009