Вигнер вращение

Часть серии по
Пространство-время
Специальная теория относительности Общая теория относительности
Концепции пространства-времени Пространственно-временное многообразие Принцип эквивалентности Преобразования Лоренца Пространство Минковского
Общая теория относительности Введение в общую теорию относительности Математика общей теории относительности Уравнения поля Эйнштейна
Классическая гравитация Введение в гравитацию Закон всемирного тяготения Ньютона
Соответствующая математика Четыре вектора Выводы теории относительности Диаграммы пространства-времени Дифференциальная геометрия Искривленное пространство-время Математика общей теории относительности Топология пространства-времени
v т е

Юджин Вигнер (1902–1995)

В теоретической физике комбинация двух неколлинеарных бустов Лоренца приводит к преобразованию Лоренца , которое не является чистым бустом, а является комбинацией буста и вращения. Это вращение называется вращение Томас , вращение Томас-Вигнера или вращение Вигнера . Вращение было обнаружено Ллевеллином Томасом в 1926 году ^[1] и получено Вигнером в 1939 году. ^[2] Если последовательность неколлинеарных ускорений возвращает объект к его начальной скорости, то последовательность вращений Вигнера может объединиться, чтобы произвести чистое вращение называется прецессией Томаса . ^[3]

Все еще продолжаются дискуссии о правильной форме уравнений для вращения Томаса в различных системах отсчета с противоречивыми результатами. ^[4] Гольдштейн : ^[5]

Пространственное вращение, возникающее в результате последовательного применения двух неколлинеарных преобразований Лоренца, было объявлено столь же парадоксальным, как и более часто обсуждаемые очевидные нарушения здравого смысла, такие как парадокс близнецов .

Принцип Эйнштейна взаимности скоростей (EPVR) гласит ^[6]

Мы постулируем, что связь между координатами двух систем линейна. Тогда обратное преобразование также будет линейным, и полное нежелание той или иной системы требует, чтобы преобразование было идентичным исходному, за исключением замены v на −v

При менее тщательной интерпретации EPVR, по-видимому, нарушается в некоторых моделях. ^[7] Конечно, настоящего парадокса нет.

Настройка кадров и относительных скоростей между ними [ править ]

Два общих повышения [ править ]

При изучении вращения Томаса на фундаментальном уровне обычно используется установка с тремя системами координат, Σ, Σ ′ Σ ′ ′ . Рама Σ ' имеет скорость у относительно рамы Е и рамы Е' ' имеет скорость v относительно рамы Х' .

Оси по конструкции ориентированы следующим образом. Если смотреть со стороны Σ ′ , оси Σ ′ и Σ параллельны (то же самое верно и для пары кадров, если смотреть со стороны Σ ). Также при просмотре со стороны Σ ′ пространственные оси Σ ′ и Σ ′ ′ параллельны (и то же самое верно и для пары кадров, если смотреть со стороны Σ ′ ′ .) ^[8] Это приложение EVPR: если u - скорость Σ ′ относительно Σ , то u ′ = - u - скорость Σ относительно Σ ′. 3- вектор скорости u имеет одинаковые углы по отношению к осям координат как в системе со штрихом, так и в системе без штриха. Это не представляет собой моментальный снимок, сделанный в любом из двух кадров объединенной системы в какой-либо конкретный момент времени, как должно быть ясно из подробного описания, приведенного ниже.

Это возможно, так как повышение, скажем, положительный г -направление , сохраняет ортогональность осей координат. Общее повышение B ( w ) может быть выражено как L = R ⁻¹ ( e _z , w ) B _z ( w ) R ( e _z , w ) , где R ( e _z , w ) - это вращение, принимающее z - ось в направлении w и B_z - это усиление в новом z- направлении. ^{[9] [10] [11]} Каждое вращение сохраняет свойство ортогональности осей пространственных координат. Усиление растянет (промежуточную)ось z на коэффициентγ, при этомпромежуточныеоси x и y останутсяна месте. ^[12] Тот факт, что оси координат не параллельны в этой конструкции последвухпоследовательных неколлинеарных повышений, является точным выражением явления вращения Томаса. ^{[nb 1]}

Скорость Σ ′ ′, как видно на Σ , обозначается w _d = u ⊕ v , где ⊕ относится к релятивистскому сложению скорости (а не обычному векторному сложению ), заданному формулой ^[13].

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v} = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}} }} \ left [\ left (1 + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {\ mathbf {u}}} {1+ \ gamma _ {\ mathbf {u) }}}} \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ mathbf {u} + {\ frac {1} {\ gamma _ {\ mathbf {u}}}} \ mathbf {v} \ верно],}$

( ВА 2 )

а также

${\ displaystyle \ gamma _ {\ mathbf {u}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {| \ mathbf {u} | ^ {2}} {c ^ {2}}} }}}}$

- фактор Лоренца скорости u (вертикальные черты | u | указывают величину вектора ). Скорость u можно представить как скорость системы отсчета Σ ′ относительно системы отсчета Σ , а v - это скорость объекта, скажем частицы или другой системы отсчета Σ ′ ′ относительно Σ ′ . В данном контексте все скорости лучше всего рассматривать как относительные скорости кадров, если не указано иное. Результат w = u ⊕ v - это относительная скорость системы отсчета Σ ′ ′относительно шкалы Σ .

Хотя сложения скоростей являются нелинейным , не- ассоциативной и не- коммутативного , результат операции правильно получает скорость с величиной меньше , чем с . Если бы использовалось обычное сложение векторов, можно было бы получить скорость с величиной больше c . Лоренц - фактор γ оба составных скоростей равен,

${\displaystyle \gamma =\gamma _{\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} }=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} }=\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }\left(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,,}$

а нормы равны при перестановке векторов скорости

${\displaystyle |\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |=|\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |={\frac {c}{\gamma }}{\sqrt {\gamma ^{2}-1}}\,.}$

Поскольку две возможные составные скорости имеют одинаковую величину, но разные направления, одна должна быть повернутой копией другой. Более подробную информацию и другие свойства, не имеющие прямого отношения к этому вопросу, можно найти в основной статье.

Обратная конфигурация [ править ]

Рассмотрим обратную конфигурацию, а именно: система Σ движется со скоростью - u относительно системы координат Σ ′ , а система координат Σ ′ , в свою очередь, движется со скоростью - v относительно системы координат Σ ′ ′ . Короче говоря, u → - u и v → - v по EPVR. Тогда скорость Σ относительно Σ ′ ′ равна (- v ) ⊕ (- u ) ≡ - v ⊕ u . Согласно EPVR, скорость Σ ′ ′ относительно Σ тогда равна w_я = v ⊕ u . (А)

Находит w _d ≠ w _i . Хотя они равны по величине, между ними есть угол. Для однократного разгона между двумя инерциальными системами отсчета имеется только одна однозначная относительная скорость (или ее отрицательная величина). Для двух ускорений характерный результат двух неэквивалентных относительных скоростей вместо одной кажется противоречащим симметрии относительного движения между любыми двумя кадрами. Какая правильная скорость Σ ′ ′ относительно Σ ? Поскольку это неравенство может быть несколько неожиданным и потенциально нарушить EPVR, этот вопрос оправдан. ^{[nb 2]}

Формулировка в терминах преобразований Лоренца [ править ]

Два повышения равны усилению и вращению [ править ]

Ответ на вопрос заключается в вращении Томаса, и нужно быть осторожным при определении того, какая система координат задействована на каждом шаге. При осмотре Е , оси координат Е и Е ' являются не параллельны друг другу. Хотя это может быть трудно представить, поскольку обе пары (Σ, Σ ′) и (Σ ′, Σ ′ ′) имеют параллельные оси координат, это легко объяснить математически.

Сложение скорости не дает полного описания взаимосвязи между кадрами. Необходимо сформулировать полное описание в терминах преобразований Лоренца, соответствующих скоростям. Повышение Лоренца с любой скоростью v (величина меньше c ) символически задается следующим образом:

${\displaystyle X'=B(\mathbf {v} )X}$

где координаты и матрица преобразования компактно выражены в блочно-матричной форме

${\displaystyle X'={\begin{bmatrix}ct'\\\mathbf {r} '\end{bmatrix}}\quad B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma _{\mathbf {v} }&-{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }}{c}}\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\\-{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }}{c}}\mathbf {v} &\mathbf {I} +{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}{\dfrac {\mathbf {vv} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\\\end{bmatrix}}\quad X={\begin{bmatrix}ct\\\mathbf {r} \end{bmatrix}}}$

и, в свою очередь, r , r ', v являются векторами-столбцами ( матрица, транспонированная к ним, является векторами-строками), а γ _v - фактор Лоренца скорости v . Матрица повышения - это симметричная матрица . Обратное преобразование дается формулой

${\displaystyle B(\mathbf {v} )^{-1}=B(-\mathbf {v} )\quad \Rightarrow \quad X=B(-\mathbf {v} )X'}$

Ясно, что каждой допустимой скорости v соответствует чистый лоренцевский буст:

${\displaystyle \mathbf {v} \leftrightarrow B(\mathbf {v} ).}$

Добавление скорости u ⊕ v соответствует композиции повышений B ( v ) B ( u ) в этом порядке. B ( U ) действует на X , а затем B ( v ) действует на B ( U ) Х . Обратите внимание, что последующие операторы действуют слева в любой композиции операторов, поэтому B ( v ) B ( u ) следует интерпретировать как повышение со скоростями uтогда v , а не v, тогда u . Выполнение преобразований Лоренца путем блочного умножения матриц,

${\displaystyle X''=B(\mathbf {v} )X'\,,\quad X'=B(\mathbf {u} )X\quad \Rightarrow \quad X''=\Lambda X}$

составная матрица преобразования ^[14]

${\displaystyle \Lambda =B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}}$

и, в свою очередь

${\displaystyle \gamma =\gamma _{\mathbf {v} }\gamma _{\mathbf {u} }\left(1+{\frac {\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\gamma }{c}}\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} \,,\quad \mathbf {b} ={\frac {\gamma }{c}}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} }$

${\displaystyle \mathbf {M} =\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }{\frac {\mathbf {vu} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}+\left(\mathbf {I} +{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}{\frac {\mathbf {vv} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\right)\left(\mathbf {I} +{\dfrac {\gamma _{\mathbf {u} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}{\frac {\mathbf {uu} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\right)}$

Здесь γ - составной фактор Лоренца, а a и b - векторы-столбцы 3 × 1, пропорциональные составным скоростям. Матрица M 3 × 3 будет иметь геометрическое значение.

Обратные преобразования:

${\displaystyle X=B(-\mathbf {u} )X'\,,\quad X'=B(-\mathbf {v} )X''\quad \Rightarrow \quad X=\Lambda ^{-1}X''}$

и композиция сводится к отрицанию и обмену скоростями,

${\displaystyle \Lambda ^{-1}=B(-\mathbf {u} )B(-\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}}$

Если поменять местами относительные скорости, глядя на блоки Λ , можно заметить, что составное преобразование является матрицей, транспонированной для Λ . Это не то же самое, что исходная матрица, поэтому составная матрица преобразования Лоренца не является симметричной и, следовательно, не имеет единственного повышения. Это, в свою очередь, символически означает неполноту скоростной композиции в результате двух повышений;

${\displaystyle B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\neq B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )\,.}$

Чтобы описание было полным, необходимо ввести ротацию до или после повышения. Это вращение - вращение Томаса . Вращение дается

${\displaystyle X'=R({\boldsymbol {\theta }})X}$

где матрица вращения 4 × 4 равна

${\displaystyle R({\boldsymbol {\theta }})={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf {R} ({\boldsymbol {\theta }})\end{bmatrix}}}$

а R - матрица вращения 3 × 3 . ^{[nb 3]} В этой статье используется представление « ось-угол» , а θ = θ e - «вектор ось-угол», угол θ, умноженный на единичный вектор e, параллельный оси. Кроме того, используется правостороннее соглашение для пространственных координат (см. Ориентацию (векторное пространство) ), так что вращения положительны в направлении против часовой стрелки согласно правилу правой руки и отрицательны в направлении по часовой стрелке. С этими условностями; матрица вращения вращает любой трехмерный вектор вокруг оси eна угол θ против часовой стрелки ( активное преобразование ), которое имеет эквивалентный эффект поворота системы координат по часовой стрелке вокруг той же оси на тот же угол (пассивное преобразование).

Матрица вращения является ортогональной матрицей , ее транспонирование равно ее обратной, а отрицание угла или оси в матрице поворота соответствует повороту в противоположном смысле, поэтому обратное преобразование легко получить с помощью

${\displaystyle R({\boldsymbol {\theta }})^{-1}=R({\boldsymbol {\theta }})^{\mathrm {T} }=R(-{\boldsymbol {\theta }})\quad \Rightarrow \quad X=R(-{\boldsymbol {\theta }})X'\,.}$

Повышение, за которым следует или которому предшествует поворот, также является преобразованием Лоренца, поскольку эти операции оставляют интервал пространства-времени неизменным. То же преобразование Лоренца имеет два разложения для соответственно выбранных векторов скорости и ось-угол;

${\displaystyle \Lambda ({\boldsymbol {\theta }},\mathbf {u} )=R({\boldsymbol {\theta }})B(\mathbf {u} )}$

${\displaystyle \Lambda (\mathbf {v} ,{\boldsymbol {\theta }})=B(\mathbf {v} )R({\boldsymbol {\theta }})}$

и если это два разложения равны, два повышения связаны соотношением

${\displaystyle B(\mathbf {u} )=R(-{\boldsymbol {\theta }})B(\mathbf {v} )R({\boldsymbol {\theta }})}$

Таким образом, повышения связаны посредством преобразования матричного подобия .

Оказывается, равенство между двумя ускорениями и вращением, за которым следует или которому предшествует одно ускорение, является правильным: поворот кадров соответствует угловому разделению составных скоростей и объясняет, как одна составная скорость применяется к одному кадру, а другая - к повернутая рамка. Вращение также нарушает симметрию в общем преобразовании Лоренца, делая его несимметричным. Для этого конкретного вращения пусть угол будет ε, а ось определяется единичным вектором e , поэтому вектор ось-угол равен ε = ε e .

В сумме два разных порядка двух повышений означают, что есть два неэквивалентных преобразования. Каждый из них может быть разделен на усиление и вращение или вращение и усиление, удвоив количество неэквивалентных преобразований до четырех. Обратные преобразования не менее важны; они предоставляют информацию о том, что воспринимает другой наблюдатель. Всего необходимо рассмотреть восемь преобразований только для задачи о двух бустах Лоренца. Таким образом, с последующими операциями, выполняемыми слева, они

Два повышения ...	... разделить на ускорение, затем вращение ...	... или разделить на ротацию, а затем увеличить.
${\displaystyle \Lambda =B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \Lambda =R({\boldsymbol {\epsilon }})B(c\mathbf {a} /\gamma )}$	${\displaystyle \Lambda =B(c\mathbf {b} /\gamma )R({\boldsymbol {\epsilon }})}$
${\displaystyle \Lambda ^{-1}=B(-\mathbf {u} )B(-\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \Lambda ^{-1}=B(-c\mathbf {a} /\gamma )R(-{\boldsymbol {\epsilon }})}$	${\displaystyle \Lambda ^{-1}=R(-{\boldsymbol {\epsilon }})B(-c\mathbf {b} /\gamma )}$
${\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T} }=B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T} }=B(c\mathbf {a} /\gamma )R(-{\boldsymbol {\epsilon }})}$	${\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T} }=R(-{\boldsymbol {\epsilon }})B(c\mathbf {b} /\gamma )}$
${\displaystyle (\Lambda ^{\mathrm {T} })^{-1}=B(-\mathbf {v} )B(-\mathbf {u} )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}}$	${\displaystyle (\Lambda ^{\mathrm {T} })^{-1}=R({\boldsymbol {\epsilon }})B(-c\mathbf {a} /\gamma )}$	${\displaystyle (\Lambda ^{\mathrm {T} })^{-1}=B(-c\mathbf {b} /\gamma )R({\boldsymbol {\epsilon }})}$

Сопоставление вверх подталкивания с последующим поворотами, в первоначальной установке, наблюдатель в Е замечает , Е '' двигаться со скоростью U ⊕ v затем вращать по часовой стрелке (первая диаграмма), а также из - за вращения наблюдателя в Е '' замечает Е к двигаться со скоростью - v ⊕ u, затем повернуть против часовой стрелки (вторая диаграмма). Если поменять скорости, наблюдатель в Σ замечает, что Σ ′ ′ движется со скоростью v ⊕ u, затем вращается против часовой стрелки (третья диаграмма), и из-за вращения наблюдатель в Σ ′ ′ замечает Σдвигаться со скоростью - u ⊕ v, затем повернуть по часовой стрелке (четвертая диаграмма).

Случаи поворотов и подъемов аналогичны (диаграммы не показаны). Сопоставляя вращения с последующими ускорениями, в исходной настройке наблюдатель в Σ замечает, что Σ ′ ′ вращается по часовой стрелке, затем движется со скоростью v ⊕ u , и из-за вращения наблюдатель в Σ ′ ′ замечает, что Σ вращается против часовой стрелки, а затем перемещается со скоростью - u ⊕ v . Если поменять скорости, наблюдатель в Σ замечает, что Σ ′ ′ вращается против часовой стрелки, затем движется со скоростью u ⊕ v , и из-за вращения наблюдатель в Σ ′ ′замечает, что Σ вращается по часовой стрелке, а затем движется со скоростью - u ⊕ v .

Нахождение оси и угла вращения Томаса [ править ]

Приведенные выше формулы представляют собой релятивистское сложение скоростей и вращение Томаса в явном виде в общих преобразованиях Лоренца. В каждой композиции бустов и разложения на буст и ротацию важная формула

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {R} +{\frac {1}{\gamma +1}}\mathbf {ba} ^{\mathrm {T} }}$

выполняется, что позволяет полностью определить матрицу вращения в терминах относительных скоростей u и v . Угол матрицы вращения в представлении ось – угол может быть найден по следу матрицы вращения , общий результат для любой оси равен tr ( R ) = 1 + 2 cos ε . Взяв след уравнения, получаем ^{[15] [16] [17]}

${\displaystyle \cos \epsilon ={\frac {(1+\gamma +\gamma _{\mathbf {u} }+\gamma _{\mathbf {v} })^{2}}{(1+\gamma )(1+\gamma _{\mathbf {u} })(1+\gamma _{\mathbf {v} })}}-1}$

Угол ε между и Ь является не такой же , как угол & alpha ; между U и V .

В обеих системах отсчета Σ и Σ ′ ′ для каждой композиции и разложения используется еще одна важная формула

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {Ra} }$

держит. Векторы a и b действительно связаны вращением, фактически той же самой матрицей вращения R, которая вращает системы координат. Начиная с a , матрица R вращает это в b против часовой стрелки, она следует за их перекрестным произведением (в соглашении справа)

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\frac {\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }(\gamma ^{2}-1)(\gamma +\gamma _{\mathbf {v} }+\gamma _{\mathbf {u} }+1)}{c^{2}(\gamma _{\mathbf {v} }+1)(\gamma _{\mathbf {u} }+1)(\gamma +1)}}\mathbf {u} \times \mathbf {v} }$

правильно определяет ось, поэтому ось также параллельна u × v . Величина этого псевдовектора не интересна и не важна, важно только направление, поэтому ее можно нормировать в единичный вектор.

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {u} \times \mathbf {v} }{|\mathbf {u} \times \mathbf {v} |}}}$

который по-прежнему полностью определяет направление оси без потери информации.

Вращение - это просто «статическое» вращение, и между кадрами нет относительного вращательного движения , есть относительное поступательное движение в наддуве. Однако, если кадры ускоряются, то повернутый кадр вращается с угловой скоростью. Этот эффект известен как прецессия Томаса и возникает исключительно из кинематики последовательных повышений Лоренца.

Поиск вращения Томаса [ править ]

Процесс разложения, описанный (ниже), может быть выполнен на произведении двух чистых преобразований Лоренца, чтобы в явном виде получить поворот координатных осей в результате двух последовательных "повышений". В общем, задействованная алгебра совершенно запрещает, обычно более чем достаточно, чтобы препятствовать какой-либо реальной демонстрации матрицы вращения.

-  Гольдштейн (1980 , с. 286).

В принципе, это довольно просто. Поскольку каждое преобразование Лоренца является продуктом повышения и вращения, последовательное применение двух чистых повышений является чистым повышением, за которым следует или предшествует чистое вращение. Итак, предположим

${\displaystyle \Lambda =B(\mathbf {w} )R.}$

Задача состоит в том, чтобы извлечь из этого уравнения скорость разгона w и вращение R из элементов матрицы Λ . ^[18] Координаты событий связаны соотношением

${\displaystyle x'^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }.}$

Обращение этого отношения дает

${\displaystyle {(\Lambda ^{-1})^{\nu }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\rho }x^{\rho }={(\Lambda ^{-1})^{\nu }}_{\mu }x'^{\mu },}$

или же

${\displaystyle x^{\nu }={\Lambda _{\mu }}^{\nu }x'^{\mu }.}$

Установите x ′ = ( ct ′, 0, 0, 0). Тогда x ^ν будет записывать пространственно-временное положение начала координат штриховой системы,

${\displaystyle x^{\nu }={\Lambda _{0}}^{\nu }x'^{0},}$

или же

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}ct\\x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Lambda _{0}}^{0}ct'\\{\Lambda _{0}}^{1}ct'\\{\Lambda _{0}}^{2}ct'\\{\Lambda _{0}}^{3}ct'\end{pmatrix}}}$

Но

${\displaystyle \Lambda ^{-1}=(B(\mathbf {w} )R)^{-1}=R^{-1}B(-\mathbf {w} ),}$

Умножение этой матрицы на чистое вращение не повлияет на нулевые столбцы и строки, и

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}ct\\x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ct'\\\gamma \beta _{x}ct'\\\gamma \beta _{y}ct'\\\gamma \beta _{z}ct'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ct'\\\gamma w_{x}t'\\\gamma w_{y}t'\\\gamma w_{z}t'\end{pmatrix}}=\gamma {\begin{pmatrix}ct'\\w_{x}t'\\w_{y}t'\\w_{z}t'\end{pmatrix}},}$

что можно было ожидать из формулы для простого ускорения в x- направлении, и для вектора относительной скорости

${\displaystyle {\frac {1}{ct}}\mathbf {x} ={\frac {\mathbf {w} }{c}}={\boldsymbol {\beta }}={\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{ct}}\\{\frac {x_{2}}{ct}}\\{\frac {x_{3}}{ct}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\beta _{x}\\\beta _{y}\\\beta _{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Lambda _{0}}^{1}/{\Lambda _{0}}^{0}\\{\Lambda _{0}}^{2}/{\Lambda _{0}}^{0}\\{\Lambda _{0}}^{3}/{\Lambda _{0}}^{0}\end{pmatrix}}.}$

Таким образом, заданный с Λ , можно получить β и w немногим более, чем просмотром Λ ⁻¹ . (Конечно, w также можно найти с помощью сложения скоростей, как описано выше.) Из w построить B (- w ) . Решение для R тогда

${\displaystyle R=B(-\mathbf {w} )\Lambda .}$

С анзацем

${\displaystyle \Lambda =RB(\mathbf {w} ),}$

таким же образом можно найти

${\displaystyle R=\Lambda B(-\mathbf {w} ).}$

Нахождение формального решения в терминах параметров скорости u и v включает сначала формальное умножение B ( v ) B ( u ) , формальное инвертирование, затем считывание β _w из результата, формальное построение B (- w ) из результата, и, наконец, формально умножая B (- w ) B ( v ) B ( u ). Должно быть ясно, что это непростая задача, и ее сложно интерпретировать / идентифицировать результат как ротацию, хотя априори ясно, что это так. Именно к этим трудностям относится цитата Гольдштейна вверху. Проблема была тщательно изучена с учетом упрощающих предположений на протяжении многих лет.

Теоретическое происхождение группы [ править ]

Другой способ объяснить происхождение вращения - взглянуть на генераторы группы Лоренца .

Повышение скорости [ править ]

Переход от скорости к усилению осуществляется следующим образом. Произвольное усиление дается ^[19]

${\displaystyle e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} },}$

где ζ - тройка действительных чисел, служащих координатами на подпространстве бустов алгебры Ли, поэтому (3, 1), натянутое на матрицы

${\displaystyle (K_{1},K_{2},K_{3})=\left(\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right],\left[{\begin{smallmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right],\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{smallmatrix}}\right]\right).}$

Вектор

${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}={\frac {\boldsymbol {\beta }}{\beta }}\tanh ^{-1}\beta }$

называется параметром повышения или вектором повышения , а его нормой является скорость . Здесь β - параметр скорости , величина вектора β = u / c .

В то время как для ζ имеется 0 ≤ ζ <∞ , параметр β ограничен диапазоном 0 ≤ β <1 и, следовательно, 0 ≤ u < c . Таким образом

${\displaystyle e^{-(\tanh ^{-1}\beta ){\frac {\boldsymbol {\beta }}{\beta }}\cdot \mathbf {K} }=e^{-{\tanh ^{-1}\beta \over c\beta }\mathbf {u} \cdot \mathbf {K} }\equiv B(\mathbf {u} )~.}$

Набор скоростей , удовлетворяющий 0 ≤ U < C представляет собой открытый шар в ℝ ³ и называется пространство допустимых скоростей в литературе. Он наделен гиперболической геометрией, описанной в связанной статье. ^[20]

Коммутаторы [ править ]

В генераторах повышений, K 1 , K 2 , K 3 , в разных направлениях , не коммутируют. Это приводит к тому, что два последовательных повышения - это не чистый импульс в целом, а чередование, предшествующее усилению.

Рассмотрим последовательность повышений в направлении x, затем в направлении y, расширяя каждое повышение до первого порядка ^[21]

${\displaystyle e^{\zeta _{y}K_{y}}e^{\zeta _{x}K_{x}}=(I-\zeta _{y}K_{y}+\cdots )(I-\zeta _{x}K_{x}+\cdots )=I-\zeta _{x}K_{x}-\zeta _{y}K_{y}+\zeta _{x}\zeta _{y}K_{y}K_{x}+\cdots }$

тогда

${\displaystyle e^{-\zeta _{y}K_{y}}e^{-\zeta _{x}K_{x}}=I+\zeta _{x}K_{x}+\zeta _{y}K_{y}+\zeta _{x}\zeta _{y}K_{y}K_{x}+\cdots }$

и группа коммутатор является

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-\zeta _{y}K_{y}}e^{-\zeta _{x}K_{x}}e^{\zeta _{y}K_{y}}e^{\zeta _{x}K_{x}}=I&+\zeta _{x}\zeta _{y}[K_{y},K_{x}]-(\zeta _{x}K_{x})^{2}-(\zeta _{y}K_{y})^{2}\\&+\zeta _{x}^{2}\zeta _{y}[K_{x},K_{y}]K_{x}+\zeta _{x}\zeta _{y}^{2}K_{y}[K_{y},K_{x}]\\&+(\zeta _{x}\zeta _{y})^{2}K_{y}K_{x}K_{y}K_{x}+\cdots \end{aligned}}}$

Три коммутационных соотношения генераторов Лоренца следующие:

${\displaystyle [J_{x},J_{y}]=J_{z}}$

${\displaystyle [K_{x},K_{y}]=-J_{z}}$

${\displaystyle [J_{x},K_{y}]=K_{z}}$

где скобка [ A , B ] = AB - BA - это бинарная операция, известная как коммутатор , а другие соотношения можно найти, взяв циклические перестановки компонентов x, y, z (т.е. заменив x на y, y на z, и от z до x, повторить).

Возвращаясь к групповому коммутатору, коммутационные соотношения буст-генераторов подразумевают, что буст по осям x, затем y будет вращаться вокруг оси z. В терминах быстрот угол поворота θ определяется выражением

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}=\tanh {\frac {\zeta _{x}}{2}}\tanh {\frac {\zeta _{y}}{2}},}$

эквивалентно выражается как

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sinh {\zeta _{x}}~\sinh \zeta _{y}}{\cosh \zeta _{x}+\cosh \zeta _{y}}}~.}$

Диаграммы пространства-времени для неколлинеарных повышений [ править ]

Знакомое понятие сложения векторов для скоростей в евклидовой плоскости может быть выполнено в треугольной формации, или, поскольку сложение векторов является коммутативным, векторы в обоих порядках геометрически образуют параллелограмм (см. « Закон параллелограмма »). Это не относится к релятивистскому сложению скоростей; вместо этого возникает гиперболический треугольник , края которого связаны со скоростью повышения. Изменяя порядок скоростей наддува, нельзя найти совпадения результирующих скоростей наддува. ^[22]

См. Также [ править ]

• Уравнение Баргмана-Мишеля-Телегди
• Псевдовектор Паули – Любанского
• Формула сложения скорости # Гиперболическая геометрия

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

• Макфарлейн, AJ (1962). «Об ограниченной группе Лоренца и гомоморфно связанных с ней группах». Журнал математической физики . 3 (6): 1116–1129. Bibcode : 1962JMP ..... 3.1116M . DOI : 10.1063 / 1.1703854 . HDL : 2027 / mdp.39015095220474 .
• Упоминание Sexl Urbantke на стр. 39 Геометрию Лобачевского необходимо ввести в обычные пространственно- временные диаграммы Минковского для неколлинеарных скоростей.
• Вигнер, Е.П. (1939), «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца» , Annals of Mathematics , 40 (1): 149–204, Bibcode : 1939AnMat..40..149W , doi : 10.2307 / 1968551 , JSTOR  1968551 , Руководство по ремонту  1503456 , S2CID  121773411 CS1 maint: discouraged parameter (link).
• Бен-Менахем, А. (1985). «Повторение вращения Вигнера». Являюсь. J. Phys . 53 (1): 62–66. Bibcode : 1985AmJPh..53 ... 62B . DOI : 10.1119 / 1.13953 .
• Бен-Менахем, С. (1986). «Прецессия Томаса и кривизна скоростного пространства». J. Math. Phys . 27 (5): 1284–1286. Bibcode : 1986JMP .... 27.1284B . DOI : 10.1063 / 1.527132 .
• Кушинг, Дж. Т. (1967). «Векторные преобразования Лоренца». Являюсь. J. Phys . 35 (9): 858–862. Bibcode : 1967AmJPh..35..858C . DOI : 10.1119 / 1.1974267 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Ферраро, Р., Тибо, М. (1999). «Типовой состав бустов: элементарный вывод вращения Вигнера». Европейский физический журнал 20 (3): 143.
• Мокану, CI (1992). «О парадоксе релятивистского состава скоростей и вращении Томаса». Нашел. Phys. Lett . 5 (5): 443–456. Bibcode : 1992FoPhL ... 5..443M . DOI : 10.1007 / BF00690425 . ISSN  0894-9875 . S2CID  122472788 .
• Ребилас, К. (2013). «Комментарий к элементарному анализу специальной релятивистской комбинации скоростей, вращения Вигнера и прецессии Томаса». Евро. J. Phys . 34 (3): L55 – L61. Bibcode : 2013EJPh ... 34L..55R . DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 34/3 / L55 . (бесплатный доступ)
• Родос, штат Джерси; Семон, доктор медицины (2005). «Релятивистское пространство скоростей, вигнеровское вращение и прецессия Томаса». Являюсь. J. Phys . 72 (7): 943–960. arXiv : gr-qc / 0501070v1 . Bibcode : 2005APS..NES..R001S . DOI : 10.1119 / 1.1652040 . S2CID  14764378 .
• Томас, LH (1926). «Движение вращающегося электрона» . Природа . 117 (2945): 514. Bibcode : 1926Natur.117..514T . DOI : 10.1038 / 117514a0 . S2CID  4084303 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Унгар, AA (1988). «Вращение Томаса и параметризация группы Лоренца». Основы физики . 1 (1): 57–81. Bibcode : 1988FoPhL ... 1 ... 57U . DOI : 10.1007 / BF00661317 . ISSN  0894-9875 . S2CID  121240925 .
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей , 1 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55001-7 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Гольдштейн, Х. (1980) [1950]. «Глава 7». Классическая механика (2-е изд.). Читающий Массачусетс: Эддисон-Уэсли . ISBN 978-0-201-02918-5. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Джексон, JD (1999) [1962]. «Глава 11». Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 978-0-471-30932-1. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Джексон, JD (1975) [1962]. «Глава 11» . Классическая электродинамика (2-е изд.). Джон Вили и сыновья . С.  542–545 . ISBN 978-0-471-43132-9. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Ландау, ЛД ; Лифшиц, Е.М. (2002) [1939]. Классическая теория поля . Курс теоретической физики. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . п. 38. ISBN 0-7506-2768-9. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Райдер, LH (1996) [1985]. Квантовая теория поля (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521478144. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Сард, RD (1970). Релятивистская механика - специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: В. А. Бенджамин. ISBN 978-0805384918.
• RU Sexl, HK Urbantke (1992). Относительность, группы частиц. Специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и частиц . Springer. ISBN 978-3211834435.
• Гургулхон, Эрик (2013). Специальная теория относительности в общих рамках: от частиц до астрофизики . Springer. п. 213. ISBN 978-3-642-37276-6.
• Варичак, Владимир (1912). «Перевод: О неевклидовой интерпретации теории относительности» . С. 103–127.
• Томас Л. Х. Кинематика электрона с осью, Фил. Mag. 7, 1927 г. http://www.clifford.org/drbill/csueb/4250/topics/thomas_papers/Thomas1927.pdf

Дальнейшее чтение [ править ]

• Релятивистское пространство скоростей, вращение Вигнера и прецессия Томаса (2004) Джон А. Родс и Марк Д. Семон
• Гиперболическая теория специальной теории относительности (2006) Дж. Ф. Барретта