Уравнения поля Эйнштейна

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Одновременность Относительность одновременности Относительное движение Мероприятие Точка зрения Инерциальная система отсчета Масса Инертная масса Рама отдыха Рамка центра импульса Кривизна Геодезический Принцип эквивалентности Масса в общей теории относительности Эквивалентность массы и энергии Инвариантный Инвариантная масса Симметрии пространства-времени Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Скорость света Производная по времени Подходящее время Правильная длина Уменьшение длины Действия на расстоянии Принцип локальности Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синее смещение Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Стрела времени Световой конус Мировая линия Трехмерное пространство Четырехмерное пространство Космос Время Многообразие Гладкий коллектор Риманово многообразие Гильбертово пространство Евклидово пространство Топологическое пространство Топологический дефект Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Скаляр Лоренца Замкнутая временная кривая (CTC) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Преобразование Лоренца Лоренцево многообразие Глобально гиперболическое многообразие Условия причинности Причинная структура Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Бранса – Дике Гипотеза космической цензуры Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Релятивистский диск Шварцшильд ( интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Бардин Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие
v т е

В общей теории относительности в уравнении поля Эйнштейна ( EFe ; также известное как уравнения Эйнштейна ) относится к геометрии пространства - времени с распределением вещества в нем. ^[1]

Уравнения были впервые опубликованы Эйнштейном в 1915 году в форме тензорного уравнения ^[2], связывающего локальныекривизна пространства-времени (выраженная тензором Эйнштейна ) с локальной энергией, импульсом и напряжением в пределах этого пространства-времени (выраженная тензором энергии-импульса ). ^[3]

Аналогично тому, как электромагнитные поля связаны с распределением зарядов и токов через уравнения Максвелла , EFE связывают геометрию пространства-времени с распределением массы-энергии, импульса и напряжения, то есть они определяют метрический тензор пространства-времени для данное расположение напряжения-энергии-импульса в пространстве-времени. Связь между метрическим тензором и тензором Эйнштейна позволяет записать EFE в виде набора нелинейных уравнений в частных производных при использовании таким образом. Решения УЭФ являются компонентами метрического тензора. инерционныйтраектории частиц и излучения ( геодезические ) в результирующей геометрии затем вычисляются с использованием уравнения геодезических .

Помимо локального сохранения энергии-импульса, EFE сводятся к закону тяготения Ньютона в пределе слабого гравитационного поля и скоростей, которые намного меньше скорости света . ^[4]

Точные решения для EFE можно найти только при упрощающих предположениях, таких как симметрия . Чаще всего изучаются специальные классы точных решений , поскольку они моделируют многие гравитационные явления, такие как вращающиеся черные дыры и расширяющаяся Вселенная . Дальнейшее упрощение достигается при аппроксимации пространства-времени как имеющего лишь небольшие отклонения от плоского пространства-времени , что приводит к линеаризованному EFE . Эти уравнения используются для изучения таких явлений, как гравитационные волны .

Математическая форма [ править ]

Уравнения поля Эйнштейна (EFE) можно записать в виде: ^{[5] [1]}

где G _μν - тензор Эйнштейна , g _μν - метрический тензор , T _μν - тензор энергии-импульса , Λ - космологическая постоянная и κ - гравитационная постоянная Эйнштейна.

Тензор Эйнштейна определяется как

${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} = R _ {\ mu \ nu} - {\ tfrac {1} {2}} Rg _ {\ mu \ nu},}$

где R _μν - тензор кривизны Риччи , а R - скалярная кривизна . Это симметричный тензор второй степени, который зависит только от метрического тензора и его первой и второй производных.

Постоянная тяготения Эйнштейна определяется как ^{[6] [7]}

${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ приблизительно 2,077 \ times 10 ^ {- 43} N ^ {- 1},}$

где G - ньютоновская постоянная гравитации, а c - скорость света в вакууме.

Таким образом, EFE также можно записать как

${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ tfrac {1} {2}} Rg _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = \ kappa T _ {\ mu \ nu}.}$

В стандартных единицах измерения каждый член слева имеет единицы измерения 1 / длина ² .

Выражение слева представляет кривизну пространства-времени, определяемую метрикой; выражение справа представляет собой материально-энергетическое содержание пространства-времени. EFE можно интерпретировать как набор уравнений, определяющих, как материя-энергия определяет кривизну пространства-времени.

Эти уравнения, вместе с геодезическим уравнением , ^[8] , который определяет , как движется свободно падающей материи через пространства - времени, формируют ядро математической формулировки из ОТО .

EFE - это тензорное уравнение, связывающее набор симметричных тензоров 4 × 4 . Каждый тензор имеет 10 независимых компонент. Четыре тождества Бианки сокращают количество независимых уравнений с 10 до 6, оставляя метрику с четырьмя степенями свободы , фиксирующими калибровку , которые соответствуют свободе выбора системы координат.

Хотя уравнения поля Эйнштейна изначально были сформулированы в контексте четырехмерной теории, некоторые теоретики исследовали их последствия в n измерениях. ^[9] Уравнения в контексте вне общей теории относительности все еще называются уравнениями поля Эйнштейна. Уравнения вакуумного поля (получаемые, когда T _μν всюду равна нулю) определяют многообразия Эйнштейна .

Уравнения сложнее, чем кажется. При заданном распределении вещества и энергии в форме тензора энергии-импульса EFE понимаются как уравнения для метрического тензора g _µν , поскольку и тензор Риччи, и скалярная кривизна зависят от метрики сложным нелинейным образом. Полностью записанные EFE представляют собой систему из десяти связанных, нелинейных, гиперболо-эллиптических уравнений в частных производных . ^[10]

Соглашение о подписи [ править ]

Приведенная выше форма EFE является стандартом, установленным Мизнером, Торном и Уилером . ^[11] Авторы проанализировали существующие условности и классифицировали их по трем признакам (S1, S2, S3):

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right)\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times \kappa T_{\mu \nu }\end{aligned}}}$

Третий знак выше связан с выбором соглашения для тензора Риччи:

${\displaystyle R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }}$

С помощью этих определений Мизнер, Торн и Уиллер классифицируют себя как (+ + +) , тогда как Вайнберг (1972) ^[12] - это (+ - -) , Пиблз (1980) ^[13] и Efstathiou et al. (1990) ^[14] являются (- + +) , Rindler (1977) ^{[ необходима ссылка ]} , Atwater (1974) ^{[ необходима цитата ]} , Collins Martin & Squires (1989) ^[15] и Peacock (1999) ^[16] являются (- + -) .

Авторы, включая Эйнштейна, использовали другой знак в своем определении тензора Риччи, в результате чего знак константы в правой части был отрицательным:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }.}$

Знак космологического члена изменился бы в обеих этих версиях, если бы использовалось соглашение о знаках метрики (+ - - -), а не принятое здесь соглашение о знаках метрики MTW (- + + +) .

Эквивалентные формулировки [ править ]

Взяв след по метрике обеих сторон EFE, мы получаем

${\displaystyle R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda =\kappa T,}$

где D - размерность пространства-времени. Решая для R и подставляя его в исходный EFE, мы получаем следующую эквивалентную форму с обратным следом:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {2}{D-2}}\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\right).}$

В D = 4 измерениях это сводится к

${\displaystyle R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).}$

Повторное обращение трассировки восстановит исходный EFE. Форма с обращением следа может быть более удобной в некоторых случаях (например, когда кто-то интересуется пределом слабого поля и может заменить g _μν в выражении справа на метрику Минковского без значительной потери точности).

Космологическая постоянная [ править ]

В уравнениях поля Эйнштейна

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,}$

член, содержащий космологическую постоянную Λ, отсутствовал в версии, в которой он их первоначально опубликовал. Затем Эйнштейн включил термин с космологической постоянной, чтобы учесть, что Вселенная не расширяется и не сжимается . Эта попытка не увенчалась успехом, потому что:

• любое желаемое стационарное решение, описываемое этим уравнением, неустойчиво, и
• наблюдения Эдвина Хаббла показали, что наша Вселенная расширяется .

Затем Эйнштейн отказался от Λ , заметив Джорджу Гамову, «что введение космологического термина было самой большой ошибкой в ​​его жизни». ^[17]

Включение этого термина не создает противоречий. В течение многих лет космологическая постоянная почти повсеместно полагалась равной нулю. Более поздние астрономические наблюдения показали ускоряющееся расширение Вселенной , и для объяснения этого необходимо положительное значение Λ . ^{[18] [19]} Космологическая постоянная пренебрежимо мала в масштабе галактики или меньше.

Эйнштейн считал космологическую постоянную независимым параметром, но его член в уравнении поля можно также алгебраически переместить в другую сторону и включить как часть тензора энергии-импульса:

${\displaystyle T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda }{\kappa }}g_{\mu \nu }\,.}$

Этот тензор описывает вакуумное состояние с плотностью энергии ρ _vac и изотропным давлением p _vac, которые являются фиксированными константами и задаются выражением

${\displaystyle \rho _{\mathrm {vac} }=-p_{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{\kappa }},}$

где предполагается, что Λ имеет единицу СИ м ^−2, а κ определено, как указано выше.

Таким образом, существование космологической постоянной эквивалентно существованию энергии вакуума и давления противоположного знака. Это привело к тому, что термины «космологическая постоянная» и «энергия вакуума» стали взаимозаменяемыми в общей теории относительности.

Особенности [ править ]

Сохранение энергии и импульса [ править ]

Общая теория относительности согласуется с локальным законом сохранения энергии и импульса, выраженным как

${\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0}$.

Вывод локального закона сохранения энергии-импульса.

Сужение дифференциального тождества Бианки ${\displaystyle R_{\alpha \beta [\gamma \delta ;\varepsilon ]}=0}$ с g αβ дает, используя тот факт, что метрический тензор ковариантно постоянен, т.е. g αβ ; γ = 0 , ${\displaystyle {R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }+{R^{\gamma }}_{\beta \varepsilon \gamma ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=\,0}$ Антисимметрия тензора Римана позволяет переписать второй член в приведенном выше выражении: ${\displaystyle {R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }-{R^{\gamma }}_{\beta \gamma \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}$ что эквивалентно ${\displaystyle R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}$ используя определение тензора Риччи . Затем снова сверните с метрикой ${\displaystyle g^{\beta \delta }\left(R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }\right)=0}$ получить ${\displaystyle {R^{\delta }}_{\delta ;\varepsilon }-{R^{\delta }}_{\varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma \delta }}_{\delta \varepsilon ;\gamma }=0}$ Затем определения тензора кривизны Риччи и скалярной кривизны показывают, что ${\displaystyle R_{;\varepsilon }-2{R^{\gamma }}_{\varepsilon ;\gamma }=0}$ который можно переписать как ${\displaystyle \left({R^{\gamma }}_{\varepsilon }-{\tfrac {1}{2}}{g^{\gamma }}_{\varepsilon }R\right)_{;\gamma }=0}$ Окончательное сжатие с g εδ дает ${\displaystyle \left(R^{\gamma \delta }-{\tfrac {1}{2}}g^{\gamma \delta }R\right)_{;\gamma }=0}$ что в силу симметрии заключенного в квадратные скобки члена и определения тензора Эйнштейна дает после переименования индексов ${\displaystyle {G^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0}$ Используя EFE, это сразу дает: ${\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0}$

что выражает локальное сохранение напряжения-энергии. Этот закон сохранения является физическим требованием. Своими уравнениями поля Эйнштейн убедился, что общая теория относительности согласуется с этим условием сохранения.

Нелинейность [ править ]

Нелинейность EFE отличает общую теорию относительности от многих других фундаментальных физических теорий. Так , например, уравнение Максвелла из электромагнетизма является линейным в электрических и магнитных полей , а также заряд и распределение токов (т.е. сумма двух решений также является решением); Другой пример является уравнением Шредингера в квантовой механике , которая является линейной в волновой функции .

Принцип соответствия [ править ]

EFE сводится к закону тяготения Ньютона , используя как приближение слабого поля и приближение замедленного . Фактически, постоянная G, появляющаяся в EFE, определяется этими двумя приближениями.

Вывод закона всемирного тяготения Ньютона

Ньютонову гравитацию можно записать как теорию скалярного поля Φ , которое представляет собой гравитационный потенциал в джоулях на килограмм гравитационного поля g = −∇Φ , см . Закон Гаусса для гравитации ${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi \left({\vec {x}},t\right)=4\pi G\rho \left({\vec {x}},t\right)}$ где ρ - массовая плотность. Орбита свободно падающей частицы удовлетворяет ${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}(t)={\vec {g}}=-\nabla \Phi \left({\vec {x}}(t),t\right)\,.}$ В тензорных обозначениях они становятся ${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{,ii}&=4\pi G\rho \\{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}&=-\Phi _{,i}\,.\end{aligned}}}$ В общей теории относительности эти уравнения заменены уравнениями поля Эйнштейна в обращенной следом форме ${\displaystyle R_{\mu \nu }=K\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Tg_{\mu \nu }\right)}$ для некоторой постоянной K и уравнения геодезических ${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.}$ Чтобы увидеть, как последнее сводится к первому, предположим, что скорость пробной частицы приблизительно равна нулю. ${\displaystyle {\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx \left({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0\right)}$ и поэтому ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0}$ и что метрика и ее производные приблизительно статичны, а квадраты отклонений от метрики Минковского пренебрежимо малы. Применение этих упрощающих предположений к пространственным компонентам уравнения геодезических дает ${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}}$ где два фактора dt/dτбыли разделены. Это сведется к его ньютоновскому аналогу, если ${\displaystyle \Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={\tfrac {1}{2}}g^{i\alpha }\left(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha }\right)\,.}$ Наши предположения приводят к тому, что α = i и производные по времени (0) равны нулю. Так что это упрощает ${\displaystyle 2\Phi _{,i}\approx g^{ij}\left(-g_{00,j}\right)\approx -g_{00,i}\,}$ который удовлетворяется, позволяя ${\displaystyle g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.}$ Переходя к уравнениям Эйнштейна, нам понадобится только временная составляющая ${\displaystyle R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)}$ предположения о низкой скорости и статическом поле подразумевают, что ${\displaystyle T_{\mu \nu }\approx \mathrm {diag} \left(T_{00},0,0,0\right)\approx \mathrm {diag} \left(\rho c^{4},0,0,0\right)\,.}$ Так ${\displaystyle T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx -{\frac {1}{c^{2}}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,}$ и поэтому ${\displaystyle K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx K\left(\rho c^{4}-{\tfrac {1}{2}}\left(-\rho c^{2}\right)\left(-c^{2}\right)\right)={\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}\,.}$ Из определения тензора Риччи ${\displaystyle R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.}$ Наши упрощающие предположения заставляют исчезнуть квадраты кривой Γ вместе с производными по времени ${\displaystyle R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.}$ Объединение приведенных выше уравнений вместе ${\displaystyle \Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}}$ которое сводится к уравнению поля Ньютона при условии ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}=4\pi G\rho \,}$ что произойдет, если ${\displaystyle K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.}$

Уравнения вакуумного поля [ править ]

Если тензор энергии-импульса T _µν в рассматриваемой области равен нулю, то уравнения поля также называют уравнениями поля вакуума . Установив T _μν = 0 в следовом Обращенных уравнениях поля , вакуумные уравнения могут быть записаны в виде

${\displaystyle R_{\mu \nu }=0\,.}$

В случае ненулевой космологической постоянной уравнения имеют вид

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}g_{\mu \nu }\,.}$

Решения уравнений вакуумного поля называются вакуумными решениями . Плоское пространство Минковского - простейший пример вакуумного решения. Нетривиальные примеры включают решение Шварцшильда и решение Керра .

Многообразия с исчезающим тензором Риччи , R _µν = 0 , называются Риччи-плоскими многообразиями, а многообразия с тензором Риччи, пропорциональным метрике, - многообразиями Эйнштейна .

Уравнения Эйнштейна – Максвелла [ править ]

Если тензор энергии-импульса T _μν - это тензор электромагнитного поля в свободном пространстве , т. Е. Если электромагнитный тензор напряжения-энергии

${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)}$

, то уравнения поля Эйнштейна называются уравнениями Эйнштейна – Максвелла (с космологической постоянной Λ , принимаемой равной нулю в традиционной теории относительности):

${\displaystyle G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {\kappa }{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).}$

Кроме того, ковариантные уравнения Максвелла также применимы в свободном пространстве:

${\displaystyle {\begin{aligned}{F^{\alpha \beta }}_{;\beta }&=0\\F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}&={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0.\end{aligned}}}$

где точка с запятой представляет ковариантную производную , а скобки обозначают антисимметризацию . Первое уравнение утверждает , что 4- расхождение в 2-формы F равна нулю, а вторая , что его внешняя производная равна нулю. Из последнего по лемме Пуанкаре следует, что в координатной карте можно ввести потенциал электромагнитного поля A _α такой, что

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }}$

в котором запятая обозначает частную производную. Это часто рассматривается как эквивалент ковариантного уравнения Максвелла, из которого оно получено. ^[20] Однако существуют глобальные решения уравнения, которые могут не обладать глобально определенным потенциалом. ^[21]

Решения [ править ]

Решения полевых уравнений Эйнштейна являются метриками из пространства - времени . Эти метрики описывают структуру пространства-времени, включая инерционное движение объектов в пространстве-времени. Поскольку уравнения поля нелинейны, они не всегда могут быть решены полностью (т.е. без приближения). Например, не существует известного полного решения для пространства-времени с двумя массивными телами в нем (которое, например, является теоретической моделью двойной звездной системы). Однако в этих случаях обычно делаются приближения. Их обычно называют постньютоновскими приближениями . Тем не менее, есть несколько случаев, когда уравнения поля были решены полностью, и они называются точными решениями . ^[9]

Изучение точных решений уравнений поля Эйнштейна - одно из направлений деятельности космологии . Это приводит к предсказанию черных дыр и к различным моделям эволюции Вселенной .

Можно также найти новые решения уравнений поля Эйнштейна с помощью метода ортонормированных систем отсчета, впервые предложенного Эллисом и МакКаллумом. ^[22] В этом подходе уравнения поля Эйнштейна сводятся к набору связанных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Как обсуждали Хсу и Уэйнрайт ^[23], автомодельные решения уравнений поля Эйнштейна являются неподвижными точками полученной динамической системы . Новые решения были открыты с помощью этих методов ЛеБланом ^[24], Коли и Хасламом. ^[25]

Линеаризованный EFE [ править ]

Нелинейность EFE затрудняет поиск точных решений. Один из способов решения уравнений поля состоит в том, чтобы сделать приближение, а именно, что вдали от источника (источников) гравитирующей материи гравитационное поле очень слабое, а пространство-время приближается к пространству Минковского . Затем метрика записывается как сумма метрики Минковского и члена, представляющего отклонение истинной метрики от метрики Минковского , игнорируя члены более высокой степени. Эта процедура линеаризации может использоваться для исследования явлений гравитационного излучения .

Полиномиальная форма [ править ]

Несмотря на то, что EFE, как написано, содержит инверсию метрического тензора, они могут быть организованы в форме, которая содержит метрический тензор в полиномиальной форме и без его инверсии. Во-первых, определитель метрики в 4-х измерениях можно записать

${\displaystyle \det(g)={\tfrac {1}{24}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}$

с использованием символа Леви-Чивита ; а значение, обратное метрике в четырех измерениях, можно записать как:

${\displaystyle g^{\alpha \kappa }={\frac {{\tfrac {1}{6}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}{\det(g)}}\,.}$

Подстановка этого определения обратной метрики в уравнения, а затем умножение обеих частей на подходящую степень det ( g ), чтобы исключить ее из знаменателя, приводит к полиномиальным уравнениям для метрического тензора и его первой и второй производных. Действие, из которого выводятся уравнения, также может быть записано в полиномиальной форме путем подходящего переопределения полей. ^[26]

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

См. Ресурсы по общей теории относительности .

• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman . ISBN 978-0-7167-0344-0.
• Вайнберг, Стивен (1972). Гравитация и космология . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-92567-5.
• Павлин, Джон А. (1999). Космологическая физика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521410724.

Внешние ссылки [ править ]

В Викиучебнике есть книга по теме: Общая теория относительности.

В Викиверситете есть учебные ресурсы по общей теории относительности

• "Уравнения Эйнштейна" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Caltech Tutorial on Relativity - Простое введение в уравнения поля Эйнштейна.
• Значение уравнения Эйнштейна - объяснение уравнения поля Эйнштейна, его вывод и некоторые из его следствий
• Видео лекции по Уравнения поля Эйнштейна по MIT физики профессор Эдмунд Бертшингер.
• Арка и каркас: как Эйнштейн нашел свои уравнения поля Physics Today ноябрь 2015, История развития уравнений поля
• Уравнение поля Эйнштейна на стене музея Бурхааве в центре Лейдена