Производная по времени

Производная по времени - это производная функции по времени , обычно интерпретируемая как скорость изменения значения функции. ^[1] Переменная, обозначающая время, обычно записывается как .${\ Displaystyle т \,}$

Обозначение [ править ]

Для обозначения производной по времени используются различные обозначения. Помимо обычных ( Лейбниц ) обозначений,

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}}}$

Очень распространенное сокращенное обозначение, особенно в физике, - это «над точкой». IE

${\ displaystyle {\ dot {x}}}$

(Это называется обозначением Ньютона )

Также используются высшие производные по времени: вторая производная по времени записывается как

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}}}$

с соответствующим сокращением .${\ displaystyle {\ ddot {x}}}$

В качестве обобщения производная вектора по времени, скажем:

${\ Displaystyle {\ vec {V}} = \ left [v_ {1}, \ v_ {2}, \ v_ {3}, \ cdots \ right] \,}$

определяется как вектор, компоненты которого являются производными компонентов исходного вектора. То есть,

${\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {V}}} {dt}} = \ left [{\ frac {dv_ {1}} {dt}}, {\ frac {dv_ {2}} {dt} }, {\ frac {dv_ {3}} {dt}}, \ cdots \ right] \.}$

Использование в физике [ править ]

Производные по времени - ключевое понятие в физике . Например, для изменяющегося положения его производная по времени - это его скорость , а его вторая производная по времени - это его ускорение . Иногда также используются даже более высокие производные: третья производная положения по времени известна как рывок . См. Графики движения и производные .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ dot {x}}}$${\ displaystyle {\ ddot {x}}}$

Большое количество фундаментальных уравнений физики включает в себя первую или вторую производную от величин по времени. Многие другие фундаментальные величины в науке являются производными друг от друга по времени:

• сила - это производная по времени от импульса
• мощность - это производная от энергии по времени
• электрический ток - это производная от электрического заряда по времени

и так далее.

Обычное явление в физике - это производная по времени от вектора , такого как скорость или смещение. Имея дело с такой производной, как величина, так и ориентация могут зависеть от времени.

Пример: круговое движение [ править ]

Связь между декартовыми координатами ( x , y ) и полярными координатами ( r , θ ).

Например, рассмотрим частицу, движущуюся по круговой траектории. Его положение определяется вектором смещения , связанным с углом θ и радиальным расстоянием r , как показано на рисунке:${\ Displaystyle г = х {\ шляпа {\ imath}} + у {\ шляпа {\ jmath}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {выровнен} х & = г \ соз (\ тета) \\ у & = г \ грех (\ тета) \ конец {выровнено}}}$

В этом примере мы предполагаем, что θ = t . Следовательно, смещение (положение) в любой момент времени t определяется выражением

${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = r \ cos (t) {\ hat {\ imath}} + r \ sin (t) {\ hat {\ jmath}}}$

Эта форма показывает движение , описываемое г ( т ) находится в круге радиуса г , так как величина из г ( т ) задается

${\displaystyle |\mathbf {r} (t)|={\sqrt {\mathbf {r} (t)\cdot \mathbf {r} (t)}}={\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}=r\,{\sqrt {\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)}}=r}$

с использованием тригонометрического тождества sin ² ( t ) + cos ² ( t ) = 1, а где - обычное евклидово скалярное произведение.${\displaystyle \cdot }$

При такой форме перемещения теперь найдена скорость. Производная по времени от вектора смещения - это вектор скорости. В общем, производная вектора - это вектор, составленный из компонентов, каждая из которых является производной соответствующего компонента исходного вектора. Таким образом, в этом случае вектор скорости равен:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)={\frac {d\,\mathbf {r} (t)}{dt}}&=r\left[{\frac {d\,\cos(t)}{dt}},{\frac {d\,\sin(t)}{dt}}\right]\\&=r\ [-\sin(t),\ \cos(t)]\\&=[-y(t),x(t)].\end{aligned}}}$

Таким образом, скорость частицы отлична от нуля, даже если величина положения (то есть радиус пути) постоянна. Скорость направлена ​​перпендикулярно перемещению, что можно определить с помощью скалярного произведения :

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {r} =[-y,x]\cdot [x,y]=-yx+xy=0\,.}$

Таким образом, ускорение является производной от скорости по времени:

${\displaystyle \mathbf {a} (t)={\frac {d\,\mathbf {v} (t)}{dt}}=[-x(t),-y(t)]=-\mathbf {r} (t)\,.}$

Ускорение направлено внутрь, к оси вращения. Он указывает противоположно вектору положения и перпендикулярно вектору скорости. Это направленное внутрь ускорение называется центростремительным ускорением .

В дифференциальной геометрии [ править ]

В дифференциальной геометрии , величины часто выражаются по отношению к местной ковариантной основе , где я пробегает число измерений. Компоненты вектора, выраженные таким образом, преобразуются как контравариантный тензор , как показано в выражении , в соответствии с соглашением Эйнштейна о суммировании . Если мы хотим вычислить производные по времени этих компонентов вдоль траектории, чтобы иметь возможность , мы можем определить новый оператор, инвариантную производную , которая будет продолжать возвращать контравариантные тензоры: ^[2]${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {U} =U^{i}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {U} (t)=U^{i}(t)\mathbf {e} _{i}(t)}$${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}={\frac {dU^{i}}{dt}}+V^{j}\Gamma _{jk}^{i}U^{k}\\\end{aligned}}}$

где ( будучи j- й координатой) фиксирует компоненты скорости в локальном ковариантном базисе, а - символы Кристоффеля для системы координат. Обратите внимание, что явная зависимость от t была подавлена ​​в обозначениях. Затем мы можем написать:${\displaystyle V^{j}={\frac {dx^{j}}{dt}}}$${\displaystyle x^{j}}$${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {U} }{dt}}={\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}}$

а также:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {U} }{dt^{2}}}={\frac {\delta ^{2}U^{i}}{\delta t^{2}}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}}$

С точки зрения ковариантной производной , мы имеем:${\displaystyle \nabla _{j}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}=V^{j}\nabla _{j}U^{i}\\\end{aligned}}}$

Использование в экономике [ править ]

В экономике многие теоретические модели эволюции различных экономических переменных строятся в непрерывном времени и поэтому используют производные по времени. ^{[3] ( гл. 1-3 )} Одна ситуация связана с переменной запаса и ее производной по времени, переменной потока . Примеры включают:

• Поток чистых инвестиций в основной капитал является производной по времени от основного капитала .
• Поток инвестиций в запасы - это производная по времени от запаса запасов .
• Скорость роста денежной массы - это производная по времени денежной массы, деленная на саму денежную массу.

Иногда в модели может появиться производная по времени от переменной потока:

• Темп роста выпуска - это производная по времени потока выпуска, деленная на сам выпуск.
• Темпы роста рабочей силы - это производная по времени от деления рабочей силы на саму рабочую силу.

А иногда появляется производная по времени от переменной, которая, в отличие от приведенных выше примеров, не измеряется в денежных единицах:

• Может появиться производная от ключевой процентной ставки по времени .
• Уровень инфляции - это скорость роста уровня цен, то есть производная по времени от уровня цен, деленная на сам уровень цен.

См. Также [ править ]

• Дифференциальное исчисление
• Обозначения для дифференцирования
• Круговое движение
• Центростремительная сила
• Пространственная производная
• Временная ставка

Ссылки [ править ]