Искривленное пространство

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Поиск источников:  «Изогнутое пространство»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Часть серии по
Пространство-время
Специальная теория относительности Общая теория относительности
Концепции пространства-времени Пространственно-временное многообразие Принцип эквивалентности Преобразования Лоренца Пространство Минковского
Общая теория относительности Введение в общую теорию относительности Математика общей теории относительности Уравнения поля Эйнштейна
Классическая гравитация Введение в гравитацию Закон всемирного тяготения Ньютона
Соответствующая математика Четыре вектора Выводы теории относительности Диаграммы пространства-времени Дифференциальная геометрия Искривленное пространство-время Математика общей теории относительности Топология пространства-времени
v т е

Искривленное пространство часто относится к пространственной геометрии, которая не является «плоской», где плоское пространство описывается евклидовой геометрией . Криволинейные пространства обычно описываются римановой геометрией, хотя некоторые простые случаи могут быть описаны другими способами. Изогнутые пространства играют важную роль в общей теории относительности , где гравитация часто визуализируется как искривленное пространство. Вселенная Фридмана представляет собой изогнутую метрику , которая формирует основу для текущего описания расширения пространства и формы Вселенной .

Простой двухмерный пример [ править ]

Очень знакомый пример искривленного пространства - поверхность сферы. Хотя на наш знакомый взгляд сфера выглядит трехмерной, если объект вынужден лежать на поверхности, он имеет только два измерения, в которых он может двигаться. Поверхность сферы может быть полностью описана двумя измерениями, поскольку независимо от того, как поверхность может показаться шероховатой, но это всего лишь поверхность, которая является двухмерной внешней границей объема. Даже поверхность Земли, которая является фрактальной по сложности, по-прежнему представляет собой только двумерную границу по внешней стороне объема.

Встраивание [ править ]

Одна из определяющих характеристик искривленного пространства - это его отход от теоремы Пифагора . В искривленном пространстве

${\ displaystyle dx ^ {2} + dy ^ {2} \ neq dl ^ {2}}$.

Пифагорейские отношения часто можно восстановить, описав пространство дополнительным измерением. Предположим, у нас есть неевклидово трехмерное пространство с координатами . Потому что это не плоский ${\ Displaystyle \ влево (х ', у', г '\ вправо)}$

${\ displaystyle dx '^ {2} + dy' ^ {2} + dz '^ {2} \ neq dl' ^ {2} \,}$.

Но если мы теперь описываем трехмерное пространство четырьмя измерениями ( ), мы можем выбрать такие координаты, что ${\displaystyle x,y,z,w}$

${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dw^{2}=dl^{2}\,}$.

Обратите внимание , что координата является не такой же , как координата .${\displaystyle x}$${\displaystyle x'}$

Для выбора 4D-координат в качестве действительных дескрипторов исходного 3D-пространства оно должно иметь такое же количество степеней свободы . Поскольку четыре координаты имеют четыре степени свободы, на них должно быть наложено ограничение. Мы можем выбрать такое ограничение, чтобы теорема Пифагора выполнялась в новом четырехмерном пространстве. Это

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}={\textrm {constant}}\,}$.

Константа может быть положительной или отрицательной. Для удобства мы можем выбрать константу равной

${\displaystyle \kappa ^{-1}R^{2}}$где теперь положительно и .${\displaystyle R^{2}\,}$${\displaystyle \kappa \equiv \pm 1}$

Теперь мы можем использовать это ограничение, чтобы исключить искусственную четвертую координату . Дифференциал ограничивающего уравнения равен ${\displaystyle w}$

${\displaystyle xdx+ydy+zdz+wdw=0\,}$ведущий к .${\displaystyle dw=-w^{-1}(xdx+ydy+zdz)\,}$

Подстановка в исходное уравнение дает${\displaystyle dw}$

${\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+{\frac {(xdx+ydy+zdz)^{2}}{\kappa ^{-1}R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}}$.

Эта форма, как правило , не особенно привлекательная и поэтому преобразования координат часто применяется: , , . С этим преобразованием координат${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi }$${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi }$${\displaystyle z=r\cos \theta }$

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

Без встраивания [ править ]

Геометрия n-мерного пространства также может быть описана с помощью римановой геометрии . Изотропное и однородное пространство может быть описано с помощью метрики:

${\displaystyle dl^{2}=e^{-\lambda (r)}{dr^{2}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}$.

Это сводится к евклидову пространству, когда . Но пространство можно назвать « плоским », если все компоненты тензора Вейля равны нулю. В трех измерениях это условие выполняется, когда тензор Риччи ( ) равен метрике, умноженной на скаляр Риччи ( не путать с R из предыдущего раздела). То есть . Вычисление этих компонентов по метрике дает ${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle R_{ab}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{ab}=g_{ab}R}$

${\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-kr^{2}\right)}$где .${\displaystyle k\equiv {\frac {R}{2}}}$

Это дает метрику:

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-k{r^{2}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

где может быть нулем, положительным или отрицательным и не ограничивается ± 1.${\displaystyle k}$

Открытый, плоский, закрытый [ править ]

Изотропное и однородное пространство может быть описано с помощью метрики:

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

В пределе, когда константа кривизны ( ) становится бесконечно большой, возвращается плоское евклидово пространство . По сути, это то же самое, что и установка на ноль. Если не равен нулю, пространство не евклидово. Когда пространство называют замкнутым или эллиптическим . Когда пространство называют открытым или гиперболическим .${\displaystyle R}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa =+1}$${\displaystyle \kappa =-1}$

Сумма углов треугольников, лежащих на поверхности открытого пространства, меньше 180 °. Сумма углов треугольников, лежащих на поверхности замкнутого пространства, превышает 180 °. Объема, однако, нет .${\displaystyle (4/3)\pi r^{3}}$

См. Также [ править ]

• CAT ( k ) пробел
• Неположительная кривизна

Дальнейшее чтение [ править ]

• Папаставридис, Джон Г. (1999). «Общие n -мерные (римановы) поверхности» . Тензорное исчисление и аналитическая динамика . Бока-Ратон: CRC Press. С. 211–218. ISBN 0-8493-8514-8.

Внешние ссылки [ править ]

• Curved Spaces , симулятор многосвязных вселенных, разработанный Джеффри Уикс