Введение в математику общей теории относительности

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Общая ковариация Одновременность Относительность одновременности Относительное движение Мероприятие Точка зрения Инерциальная система отсчета Масса Инертная масса Рама отдыха Кадр с центром импульса Кривизна Геодезический Геон Принцип эквивалентности Масса в общей теории относительности Эквивалентность массы и энергии Инвариантный Инвариантная масса Симметрии пространства-времени Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Скорость света Производная по времени Подходящее время Правильная длина Уменьшение длины Действия на расстоянии Принцип локальности Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синее смещение Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Стрела времени Световой конус Мировая линия Трехмерное пространство Четырехмерное пространство Космос Время Многообразие Гладкий коллектор Риманово многообразие Пространство конфигурации Государственное пространство Фазовое пространство Гильбертово пространство Евклидово пространство Топологическое пространство Топологический дефект Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Скаляр Лоренца Замкнутая времениподобная кривая (CTC) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Преобразование Лоренца Лоренцево многообразие Глобально гиперболическое многообразие Условия причинности Причинная структура Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Бранса – Дике Гипотеза космической цензуры Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Релятивистский диск Шварцшильд ( интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Bardeen Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие
v т е

Математики общей теории относительности является сложной. В теориях движения Ньютона длина объекта и скорость, с которой проходит время, остаются постоянными, пока объект ускоряется , а это означает, что многие проблемы в механике Ньютона могут быть решены с помощью одной только алгебры . Однако в теории относительности длина объекта и скорость, с которой проходит время, заметно меняются по мере приближения скорости объекта к скорости света , а это означает, что для расчета движения объекта требуется больше переменных и более сложная математика. В результате относительность требует использования таких понятий, как векторы , тензоры ,псевдотензоры и криволинейные координаты .

Для введения, основанного на примере частиц , движущихся по круговым орбитам вокруг большой массы, нерелятивистская и релятивистская трактовки даны соответственно в Ньютоновской мотивации для общей теории относительности и теоретической мотивации для общей теории относительности .

Векторы и тензоры [ править ]

Векторы [ править ]

В математике , физике и инженерии , А евклидова вектор (иногда называется геометрическим ^[1] или пространственный вектор , ^[2] или - как здесь - просто вектор) представляет собой геометрический объект , который имеет как величину (или длину ) и направление . Вектор - это то, что нужно, чтобы «перенести» точку A в точку B ; латинское слово « вектор» означает «тот, кто несет». ^[3] Величина вектора - это расстояние между двумя точками, а направление - это направление смещения от точки A.к Б . Многие алгебраические операции над действительными числами, такие как сложение , вычитание , умножение и отрицание, имеют близкие аналоги для векторов, операций, которые подчиняются знакомым алгебраическим законам коммутативности , ассоциативности и дистрибутивности .

Тензоры [ править ]

Тензор расширяет понятие вектора на дополнительные направления. скаляр, то есть простое число без направления, было бы показано на графике точкой, нульмерным объектом. Вектор, который имеет величину и направление, будет отображаться на графике в виде линии, которая является одномерным объектом. Вектор - это тензор первого порядка, так как он имеет одно направление. Тензор второго порядка имеет две величины и два направления и будет отображаться на графике в виде двух линий, похожих на стрелки часов. «Порядок» тензора - это количество направлений, содержащихся внутри, которое не зависит от размеров отдельных направлений. Тензор второго порядка в двух измерениях может быть математически представлен матрицей 2 на 2, а в трех измерениях - матрицей 3 на 3, но в обоих случаях матрица является «квадратной» для тензора второго порядка. . Тензор третьего порядка имеет три величины и направления:и будет представлен кубом чисел, 3 на 3 на 3 для направлений в трех измерениях и так далее.

Приложения [ править ]

Векторы имеют фундаментальное значение в физических науках. Их можно использовать для представления любой величины, имеющей как величину, так и направление, например скорости , величиной которой является скорость . Например, скорость вверх 5 метров в секунду может быть представлена ​​вектором (0, 5) (в двух измерениях с положительной осью Y как «вверх»). Другая величина, представленная вектором, - это сила , поскольку она имеет величину и направление. Векторы также описывают многие другие физические величины, такие как смещение , ускорение , импульс и угловой момент . Другие физические векторы, такие какэлектрическое и магнитное поля представлены как система векторов в каждой точке физического пространства; то есть векторное поле .

Тензоры также широко применяются в физике:

• Электромагнитный тензор (или тензор Фарадея) в электромагнетизме
• Тензоры конечных деформаций для описания деформаций и тензор деформаций для деформации в механике сплошных сред
• Диэлектрическая проницаемость и электрическая восприимчивость - тензоры в анизотропных средах.
• Тензор напряжения-энергии в общей теории относительности , используемый для представления потоков импульса
• Сферические тензорные операторы являются собственными функциями квантового оператора углового момента в сферических координатах
• Тензоры диффузии, основа визуализации тензоров диффузии , представляют собой скорости диффузии в биологической среде.

Размеры [ править ]

В общей теории относительности требуются четырехмерные векторы или четырехмерные векторы . Эти четыре измерения - длина, высота, ширина и время. «Точкой» в этом контексте будет событие, поскольку у нее есть и место, и время. Подобно векторам, тензоры в теории относительности требуют четырех измерений. Одним из примеров является тензор кривизны Римана .

Преобразование координат [ править ]

В физике, а также в математике вектор часто идентифицируется с кортежем или списком чисел, которые зависят от некоторой вспомогательной системы координат или системы отсчета . Когда координаты преобразуются, например, вращением или растяжением системы координат, то компоненты вектора также преобразуются. Сам вектор не изменился, но опорный кадр имеет, так что компоненты вектора (или измерения , сделанные по отношению к системе отсчета) должны измениться , чтобы компенсировать.

Вектор называется ковариантным или контравариантным в зависимости от того, как преобразование компонентов вектора связано с преобразованием координат.

• Контравариантные векторы имеют единицы расстояния (например, смещение) или расстояние, умноженное на некоторые другие единицы (например, скорость или ускорение), и преобразуются в обратном порядке, как система координат. Например, при изменении единиц измерения с метров на миллиметры единицы координат становятся меньше, но числа в векторе становятся больше: 1 м становится 1000 мм.
• Ковариантные векторы, с другой стороны, имеют единицы измерения расстояния, равные единице (например, градиент ), и преобразуются так же, как и система координат. Например, при переходе от метров к миллиметрам единицы координат становятся меньше, и число, измеряющее градиент, также становится меньше: 1  К / м становится 0,001 К / мм.

В нотации Эйнштейна контравариантные векторы и компоненты тензоров показаны с верхними индексами, например x ⁱ , а ковариантные векторы и компоненты тензоров с нижними индексами, например x _i . Индексы «повышаются» или «понижаются» путем умножения на соответствующую матрицу, часто на единичную матрицу.

Преобразование координат важно, потому что теория относительности утверждает, что во Вселенной нет одной точки отсчета (или перспективы), которая была бы более предпочтительной, чем другая. На Земле мы используем такие измерения, как север, восток и высота, которые используются по всей планете. Для космоса такой системы нет. Без четкой справочной сетки становится более точным описывать четыре измерения как «вперед / назад», «влево / вправо», вверх / вниз и прошлое / будущее. В качестве примера события предположим, что Земля - ​​неподвижный объект, и рассмотрим подписание Декларации независимости . Современному наблюдателю на горе Рейнирглядя на восток, событие впереди, вправо, внизу и в прошлом. Однако для наблюдателя в средневековой Англии, смотрящего на север, событие позади, слева, ни вверх, ни вниз, и в будущем. Само мероприятие не изменилось, местоположение наблюдателя изменилось.

Наклонные оси [ править ]

Наклонная система координат - это система, в которой оси не обязательно ортогональны друг другу; то есть они встречаются не под прямым углом , а под другими углами . При использовании преобразований координат, как описано выше, новая система координат часто будет иметь наклонные оси по сравнению со старой системой.

Нетензоры [ править ]

Нетензор - это величина, подобная тензору, которая ведет себя как тензор при повышении и понижении индексов, но не преобразуется, как тензор, при преобразовании координат. Например, символы Кристоффеля не могут быть тензорами сами по себе, если координаты не изменяются линейным образом.

В общей теории относительности нельзя описать энергию и импульс гравитационного поля тензором энергии-импульса. Вместо этого вводятся объекты, которые ведут себя как тензоры только в отношении ограниченных преобразований координат. Строго говоря, такие объекты вовсе не тензоры. Знаменитый пример такого псевдотензора - псевдотензор Ландау – Лифшица .

Криволинейные координаты и искривленное пространство-время [ править ]

Криволинейные координаты - это координаты, в которых углы между осями могут изменяться от точки к точке. Это означает, что вместо сетки прямых линий, сетка имеет кривизну.

Хороший тому пример - поверхность Земли. Хотя карты часто изображают север, юг, восток и запад в виде простой квадратной сетки, на самом деле это не так. Вместо этого линии долготы, идущие на север и юг, изогнуты и пересекаются на северном полюсе. Это потому, что Земля не плоская, а круглая.

В общей теории относительности энергия и масса влияют на кривизну четырех измерений Вселенной (= пространство-время). Эта кривизна порождает силу тяжести. Распространенная аналогия - размещение тяжелого предмета на растянутом листе резины, в результате чего лист изгибается вниз. Это изгибает систему координат вокруг объекта, так же как объект во Вселенной искривляет систему координат, в которой он находится. Математика здесь концептуально более сложна, чем на Земле, поскольку она приводит к четырем измерениям изогнутых координат вместо трех, как раньше. описывать изогнутую 2D-поверхность.

Параллельный транспорт [ править ]

Интервал в многомерном пространстве [ править ]

В евклидовом пространстве расстояние между двумя точками измеряется расстоянием между двумя точками. Расстояние чисто пространственное и всегда положительное. В пространстве-времени разделение между двумя событиями измеряется инвариантным интервалом между двумя событиями, который учитывает не только пространственное разделение между событиями, но и их разделение во времени. Интервал s ² между двумя событиями определяется как:

${\ displaystyle s ^ {2} = \ Delta r ^ {2} -c ^ {2} \ Delta t ^ {2} \,}$     (пространственно-временной интервал),

где c - скорость света, а Δ r и Δ t обозначают разности пространственных и временных координат, соответственно, между событиями. Выбор знаков для s ² выше соответствует соглашению о пробелах (- +++) . Обозначение типа Δ r ² означает (Δ r ) ² . Причина, по которой s ² называется интервалом, а не s, состоит в том, что s ² может быть положительным, нулевым или отрицательным.

Пространственно-временные интервалы можно разделить на три различных типа, в зависимости от того, больше ли временное разделение ( c ² Δ t ² ) или пространственное разделение ( Δ r ² ) двух событий: временное, светоподобное или пространственное. .

Определенные типы мировых линий называются геодезическими пространства-времени - прямыми линиями в случае плоского пространства-времени Минковского и их ближайшим эквивалентом в искривленном пространстве-времени общей теории относительности. В случае чисто временных путей геодезические - это (локально) пути наибольшего разделения (пространственно-временной интервал), измеряемые на пути между двумя событиями, тогда как в евклидовом пространстве и римановых многообразиях геодезические - это пути кратчайшего расстояния между двумя точками. . ^{[4] [5]} Концепция геодезических становится центральной в общей теории относительности , поскольку геодезическое движение можно рассматривать как «чистое движение» ( движение по инерции ) в пространстве-времени, то есть свободное от каких-либо внешних влияний.

Ковариантная производная [ править ]

Ковариантная производная - это обобщение производной по направлению из векторного исчисления. Как и в случае производной по направлению, ковариантная производная - это правило, которое принимает в качестве входных данных: (1) вектор u (по которому берется производная), определенный в точке P , и (2) векторное поле v , определенная в окрестности точки Р . Выход представляет собой вектор, а также в точке P . Основное отличие от обычной производной по направлению состоит в том, что ковариантная производная должна в определенном точном смысле быть независимой от того, как она выражается в системе координат.

Параллельный транспорт [ править ]

Учитывая ковариантной производной, можно определить параллельный перенос векторного V в точке Р вдоль кривой Г , начиная с P . Для каждой точки x из γ параллельный перенос v в x будет функцией x и может быть записан как v ( x ) , где v (0) = v . Функция v определяется требованием, чтобы ковариантная производная v ( x ) вдоль γ равен 0. Это похоже на тот факт, что постоянная функция - это функция, производная которой постоянно равна 0.

Символы Кристоффеля [ править ]

Уравнение для ковариантной производной можно записать в терминах символов Кристоффеля. Символы Кристоффеля часто используются в общей теории относительности Эйнштейна , где пространство-время представлено изогнутым 4-мерным лоренцевым многообразием со связностью Леви-Чивиты . В уравнения поля Эйнштейна - определяющие геометрию пространства - времени в присутствии материи - содержит тензор Риччи . Поскольку тензор Риччи является производным от тензора кривизны Римана, который может быть записан в терминах символов Кристоффеля, вычисление символов Кристоффеля является важным. После определения геометрии пути частиц и световых лучей рассчитываются следующим образом:решение геодезических уравнений, в которых явно присутствуют символы Кристоффеля.

Геодезические [ править ]

В общей теории относительности , геодезический обобщает понятие «прямой линии» с изогнутым пространства - времени . Важно отметить, что мировая линия частицы, свободная от всех внешних негравитационных сил, является особым типом геодезических. Другими словами, свободно движущаяся или падающая частица всегда движется по геодезической.

В общей теории относительности гравитацию можно рассматривать не как силу, а как следствие искривленной геометрии пространства-времени, где источником кривизны является тензор энергии-импульса (представляющий, например, материю). Таким образом, например, путь планеты, вращающейся вокруг звезды, является проекцией геодезической изогнутой геометрии четырехмерного пространства-времени вокруг звезды на трехмерное пространство.

Кривая является геодезической , если касательный вектор кривой в любой точке равна параллельным переносом на касательного вектора базовой точки.

Тензор кривизны [ править ]

Тензор кривизны Римана математически сообщает нам, сколько кривизны существует в той или иной области пространства. Сжатие тензора дает еще 2 математических объекта:

1. Тензор Римана кривизны : Р ^р _σμν , который дает наиболее полную информацию о кривизне пространства и происходит от производных метрического тензора . В плоском пространстве этот тензор равен нулю.
2. Тензор Риччи : R _σν , исходит из необходимости в теории Эйнштейна для тензора кривизны только с 2 индексами. Он получается путем усреднения некоторых частей тензора кривизны Римана.
3. Скалярная кривизна : R , самая простая мера кривизны, присваивает одно значение скалярного для каждой точки в пространстве. Он получается путем усреднения тензора Риччи.

Тензор кривизны Римана можно выразить через ковариантную производную.

Einstein тензор G является рангом-2 тензор определяется через псевдоримановых многообразий . В безиндексной записи он определяется как

${\ displaystyle \ mathbf {G} = \ mathbf {R} - {\ tfrac {1} {2}} \ mathbf {g} R,}$

где R - тензор Риччи , g - метрический тензор, а R - скалярная кривизна . Он используется в уравнениях поля Эйнштейна .

Тензор напряжения-энергии [ править ]

Тензор энергии- (иногда тензор энергии импульса или тензор энергии-импульса ) является тензорной величиной в физике , которая описывает плотность и поток от энергии и импульса в пространстве - времени , обобщающий тензор напряжений ньютоновской физики. Это атрибут материи , излучения и негравитационных силовых полей . Тензор энергии является источником гравитационного поля в поле Эйнштейна уравнений вобщая теория относительности , так же как плотность массы является источником такого поля в ньютоновской гравитации . Поскольку этот тензор имеет 2 индекса (см. Следующий раздел), тензор кривизны Римана должен быть сжат в тензор Риччи, также с двумя индексами.

Уравнение Эйнштейна [ править ]

В поле Эйнштейна уравнение ( EFe ) или уравнения Эйнштейна представляют собой набор из 10 уравнений в Альберте Эйнштейн общей теории относительности , которая описывает фундаментальное взаимодействие с гравитацией в результате пространства - времени быть изогнуты по вопросу и энергии . ^[6] Впервые опубликованный Эйнштейном в 1915 году ^[7] как тензорное уравнение , EFE приравнивает локальную кривизну пространства-времени (выраженную тензором Эйнштейна ) с локальной энергией иимпульс в этом пространстве-времени (выраженный тензором энергии-импульса ). ^[8]

Уравнения поля Эйнштейна можно записать как

${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu},}$

где G _μν - тензор Эйнштейна, а T _μν - тензор энергии-импульса .

Это означает, что кривизна пространства (представленная тензором Эйнштейна) напрямую связана с наличием материи и энергии (представленной тензором энергии-импульса).

Решение Шварцшильда и черные дыры [ править ]

В Эйнштейна теории «ы из ОТО , то метрика Шварцшильда (также Шварцшильд вакуума или решение Шварцшильда ), является решением для полевых уравнений Эйнштейна которых описывает гравитационное поле снаружи сферической массы, исходя из предположения , что электрический заряд массы, угловой момент массы, и универсальный космологический равны нулю. Решение представляет собой полезное приближение для описания медленно вращающихся астрономических объектов, таких как многие звезды и планеты., включая Землю и Солнце. Решение названо в честь Карла Шварцшильда , который впервые опубликовал решение в 1916 году, незадолго до своей смерти.

Согласно теореме Биркгофа , метрика Шварцшильда является наиболее общим сферически симметричным , вакуумное решение из уравнений поля Эйнштейна . Шварцшильд черная дыра или статическая черная дыра является черной дырой , которая не имеет заряда или угловой момента . Черная дыра Шварцшильда описывается метрикой Шварцшильда, и ее нельзя отличить от любой другой черной дыры Шварцшильда, кроме ее массы.

См. Также [ править ]

• Дифференцируемое многообразие
• Символ Кристоффеля
• Риманова геометрия
• Исчисление Риччи
• Дифференциальная геометрия и топология
• Список тем по дифференциальной геометрии
• Общая теория относительности
• Теория калибровочной гравитации
• Общие ковариантные преобразования
• Вывод преобразований Лоренца.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• П. А. Дирак (1996). Общая теория относительности . Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-01146-X.
• Миснер, Чарльз; Thorne, Kip S .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Ландау, ЛД; Лифшиц, Э.М. (1975). Классическая теория полей (четвертое пересмотренное английское издание). Оксфорд: Пергамон. ISBN 0-08-018176-7.
• Р.П. Фейнман; FB Moringo; WG Wagner (1995). Лекции Фейнмана по гравитации . Эддисон-Уэсли . ISBN 0-201-62734-5.
• Эйнштейн, А. (1961). Относительность: специальная и общая теория . Нью-Йорк: Корона. ISBN 0-517-02961-8.