Угловая скорость

Угловая скорость
Общие символы	ω
В базовых единицах СИ	с −1
Обширный ?	да
Интенсивный ?	да (только для твердого тела)
Сохранился ?	нет
Поведение при преобразовании координат	псевдовектор
Производные от других величин	ω = d θ / d t
Измерение	${\ displaystyle {\ mathsf {T}} ^ {- 1}}$

Часть серии по
Классическая механика
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (м {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная  / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / перемещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

В физике , угловая скорость ( или ), также известный как вектора угловой частоты , ^[1] представляет собой вектор мера скорости вращения, которая относится к как быстро объект вращается или вращается относительно другой точки, т.е. насколько быстро угловое положение или ориентацию объекта меняется со временем. ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$${\ displaystyle {\ vec {\ Omega}}}$

Есть два типа угловой скорости. Орбитальная угловая скорость относится к тому, насколько быстро точечный объект вращается вокруг фиксированного начала координат, то есть скорость изменения его углового положения относительно начала координат во времени. Угловая скорость вращения относится к тому, насколько быстро твердое тело вращается относительно своего центра вращения, и не зависит от выбора начала координат, в отличие от орбитальной угловой скорости.

В общем, угловая скорость имеет размерность угла в единицу времени (угол заменяет расстояние от линейной скорости на время в общем). СИ единица угловой скорости является радианом в секунду , ^[2] с радианным быть величиной безразмерной , таким образом , единицы СИ угловой скорости может быть указана как с ^-1 . Угловая скорость обычно обозначается символом омега ( ω , иногда Ω ). По соглашению, положительная угловая скорость означает вращение против часовой стрелки, а отрицательная - по часовой стрелке.

Например, геостационарный спутник совершает один оборот в день над экватором, или 360 градусов за 24 часа, и имеет угловую скорость ω = (360 °) / (24 ч) = 15 ° / ч, или (2π рад) / ( 24 ч) ≈ 0,26 рад / ч. Если угол измеряется в радианах , линейная скорость равна радиусу, умноженному на угловую скорость . Таким образом, с радиусом орбиты 42000 км от центра Земли скорость спутника в космосе составляет v = 42000 км × 0,26 / ч ≈ 11000 км / ч. Угловая скорость положительна, поскольку спутник движется на восток вместе с вращением Земли (против часовой стрелки от северного полюса).${\ displaystyle v = r \ omega}$

Угловая скорость - это псевдовектор , величина которого измеряет угловую скорость , скорость , с которой объект вращается или вращается, и его направление, указывающее перпендикулярно к мгновенной плоскости вращения или углового смещения. Ориентация угловой скорости условно задается правилом правой руки . ^[3]

Точечной частицы [ править ]

Частица в двух измерениях [ править ]

В простейшем случае кругового движения в радиусе , с позицией , заданной угловым смещением от оси х, орбитальная угловая скорость представляет собой скорость изменения угла по времени: . Если измеряется в радианах , длина дуги от положительной оси x вокруг круга до частицы равна , а линейная скорость равна , так что . ${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle \ phi (т)}$${\ displaystyle \ omega = {\ tfrac {d \ phi} {dt}}}$${\ displaystyle \ phi}$${\displaystyle \ell =r\phi }$${\displaystyle v(t)={\tfrac {d\ell }{dt}}=r\omega (t)}$${\displaystyle \omega ={\tfrac {v}{r}}}$

В общем случае частицы, движущейся в плоскости, орбитальная угловая скорость - это скорость, с которой вектор положения относительно выбранного начала координат «выметает» угол. На диаграмме показан вектор положения от начала координат до частицы с ее полярными координатами . (Все переменные являются функциями времени .) Частица имеет линейное разделение скорости как , причем радиальная составляющая параллельна радиусу, а поперечно-радиальная (или тангенциальная) составляющая${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle O}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (r,\phi )}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\|}+\mathbf {v} _{\perp }}$${\displaystyle \mathbf {v} _{\|}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$перпендикулярно радиусу. Когда радиальная составляющая отсутствует, частица движется вокруг начала координат по окружности; но когда нет поперечно-радиального компонента, он движется по прямой от начала координат. Поскольку при радиальном движении угол остается неизменным, только поперечно-радиальная составляющая линейной скорости вносит вклад в угловую скорость.

Угловая скорость ω - это скорость изменения углового положения во времени, которая может быть вычислена из поперечной радиальной скорости как:

ω = d ϕ d t = v ⊥ r . {\displaystyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}={\frac {v_{\perp }}{r}}.}

Здесь поперечная радиальная скорость - это величина со знаком , положительная для движения против часовой стрелки, отрицательная для движения по часовой стрелке. Принятие полярных координат в качестве линейной скорости дает величину (линейную скорость) и угол относительно радиус-вектора; в этих условиях , так что ${\displaystyle v_{\perp }}$${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle v}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}$

ω = v sin ⁡ ( θ ) r . {\displaystyle \omega ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}.}

Эти формулы могут быть получены из , и вместе с формулой проекции , где .${\displaystyle \mathbf {r} =(x(t),y(t))}$${\displaystyle \mathbf {v} =(x'(t),y'(t))}$${\displaystyle \phi =\arctan(y(t)/x(t))}$${\displaystyle v_{\perp }={\tfrac {\mathbf {r} ^{\perp }\!\!}{r}}\cdot \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {r} ^{\perp }=(-y,x)}$

В двух измерениях угловая скорость - это число со знаком плюс или минус, указывающее ориентацию, но не указывающее в направлении. Знак условно считается положительным, если радиус-вектор вращается против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке. Тогда угловая скорость может быть названа псевдоскалярной , числовой величиной, которая меняет знак при инверсии четности , такой как инвертирование одной оси или переключение двух осей.

Частица в трех измерениях [ править ]

В трехмерном пространстве у нас снова есть вектор положения r движущейся частицы. Здесь орбитальная угловая скорость представляет собой псевдовектор , величина которого представляет собой скорость, с которой r смещает угол, и направление которого перпендикулярно мгновенной плоскости, в которой r смещает угол (т. Е. Плоскости, охватываемой r и v ). Однако, поскольку есть два направления, перпендикулярных любой плоскости, необходимо дополнительное условие, чтобы однозначно указать направление угловой скорости; условно используется правило правой руки .

Пусть псевдовектор будет единичным вектором, перпендикулярным плоскости, натянутой на r и v , так что выполняется правило правой руки (т.е. мгновенное направление углового смещения направлено против часовой стрелки, если смотреть сверху ). Взяв полярные координаты в этой плоскости, как в двумерном случае выше, можно определить вектор орбитальной угловой скорости как: ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle (r,\phi )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {u} ={\frac {d\phi }{dt}}\mathbf {u} ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}\mathbf {u} ,}$

где θ - угол между r и v . С точки зрения перекрестного произведения это:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}.}$

Из приведенного выше уравнения можно восстановить тангенциальную скорость как:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$

Обратите внимание, что приведенное выше выражение для действительно только в том случае, если оно находится в той же плоскости, что и движение.${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$

Добавление векторов угловой скорости [ править ]

Если точка вращается с орбитальной угловой скоростью вокруг своего центра вращения в системе координат, которая сама вращается с угловой скоростью вращения относительно внешней системы координат , мы можем определить составной вектор орбитальной угловой скорости точки вокруг ее центра. вращение относительно . Эта операция совпадает с обычным сложением векторов и дает угловой скорости алгебраическую структуру истинного вектора , а не просто псевдовектора.${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}}$${\displaystyle F_{2}}$

Единственное неочевидное свойство указанного сложения - коммутативность . Это может быть доказано тем фактом, что тензор скорости W (см. Ниже) является кососимметричным, так что это матрица вращения, которую можно разложить как . Композиция поворотов не коммутативна, но коммутативна до первого порядка, а значит .${\displaystyle R=e^{W\cdot dt}}$${\displaystyle R=I+W\cdot dt+{\tfrac {1}{2}}(W\cdot dt)^{2}+\ldots }$${\displaystyle (I+W_{1}\cdot dt)(I+W_{2}\cdot dt)=(I+W_{2}\cdot dt)(I+W_{1}\cdot dt)}$${\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=\omega _{2}+\omega _{1}}$

Обратите внимание, что это также определяет вычитание как добавление отрицательного вектора.

Для твердого тела или системы отсчета [ править ]

Учитывая вращающуюся систему координат из трех единичных векторов координат, все три должны иметь одинаковую угловую скорость в каждый момент времени. В такой системе отсчета каждый вектор можно рассматривать как движущуюся частицу с постоянным скалярным радиусом.

Вращающаяся рамка появляется в контексте твердых тел , и для нее были разработаны специальные инструменты: угловая скорость вращения может быть описана как вектор или, что эквивалентно, как тензор .

В соответствии с общим определением, угловая скорость вращения кадра определяется как орбитальная угловая скорость любого из трех векторов (одинаковых для всех) относительно его собственного центра вращения. Добавление векторов угловой скорости для кадров также определяется обычным сложением векторов (композиция линейных перемещений) и может быть полезно для разложения вращения, как в карданном подвесе . Все компоненты вектора могут быть вычислены как производные параметров, определяющих подвижные системы отсчета (углы Эйлера или матрицы вращения). Как и в общем случае, добавление коммутативности: .${\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=\omega _{2}+\omega _{1}}$

Согласно теореме Эйлера о вращении , любая вращающаяся система отсчета обладает мгновенной осью вращения , которая является направлением вектора угловой скорости, и величина угловой скорости согласуется с двумерным случаем.

Если мы выберем опорную точку, закрепленную в твердом теле, скорость любой точки в теле будет равна${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}}$

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}={\dot {\boldsymbol {R}}}+({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}})\times {\boldsymbol {\omega }}}$

Компоненты из базисных векторов каркаса с фиксированным телом [ править ]

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг фиксированной точки O. Постройте систему отсчета в теле, состоящую из ортонормированного набора векторов, прикрепленных к телу, с их общим началом в O. Тогда вектор угловой скорости системы и тела вокруг точки O равен${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2})\mathbf {e} _{3}+({\dot {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3})\mathbf {e} _{1}+({\dot {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1})\mathbf {e} _{2},}$

Здесь

${\displaystyle {\dot {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {d\mathbf {e} _{i}}{dt}}}$- это скорость изменения вектора кадра из-за вращения.${\displaystyle \mathbf {e} _{i},i=1,2,3,}$

Обратите внимание, что эта формула несовместима с выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}.}$

поскольку эта формула определяет только угловую скорость единственной точки относительно O, а формула в этом разделе применяется к раме или твердому телу. В случае жесткого теле одного имеет для учета движения всех частиц в теле.${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Компоненты под углом Эйлера [ править ]

Компоненты псевдовектора спиновой угловой скорости были впервые вычислены Леонардом Эйлером с использованием его углов Эйлера и использования промежуточной системы отсчета:

• Одна ось системы отсчета (ось прецессии)
• Линия узлов подвижной системы отсчета относительно системы отсчета (ось нутации)
• Одна ось подвижной рамы (собственная ось вращения)

Эйлер доказал, что проекции псевдовектора угловой скорости на каждую из этих трех осей являются производной соответствующего угла (что эквивалентно разложению мгновенного вращения на три мгновенных вращения Эйлера ). Следовательно: ^[4]

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\alpha }}\mathbf {u} _{1}+{\dot {\beta }}\mathbf {u} _{2}+{\dot {\gamma }}\mathbf {u} _{3}}$

Этот базис не ортонормирован и его сложно использовать, но теперь вектор скорости можно изменить на фиксированную систему отсчета или на подвижную систему отсчета, просто изменив основы. Например, переход на мобильный фрейм:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma )\mathbf {i} +({\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma )\mathbf {j} +({\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }})\mathbf {k} }$

где - орты для системы отсчета, закрепленной в движущемся теле. Этот пример был сделан с использованием соглашения ZXZ для углов Эйлера. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$

Тензор [ редактировать ]

Вектор угловой скорости, определенный выше, может быть эквивалентно выражен как тензор угловой скорости , матрица (или линейное отображение) W = W ( t ), определяемая как:${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$

${\displaystyle W={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{pmatrix}}}$

Это бесконечно малая матрица вращения . Линейное отображение W действует как :${\displaystyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} =W\cdot \mathbf {r} .}$

Расчет по матрице ориентации [ править ]

Вектор, совершающий равномерное круговое движение вокруг фиксированной оси, удовлетворяет:${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} =W\cdot \mathbf {r} }$

Учитывая матрицу ориентации A ( t ) системы отсчета, столбцы которой являются движущимися ортонормированными векторами координат , мы можем получить ее тензор угловой скорости W ( t ) следующим образом. Угловая скорость должна быть одинаковой для трех векторов , поэтому, располагая три векторных уравнения в столбцах матрицы, мы имеем:${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=W\cdot A.}$

(Это верно, даже если A ( t ) не вращается равномерно.) Следовательно, тензор угловой скорости равен:

${\displaystyle W={\frac {dA}{dt}}\cdot A^{-1}={\frac {dA}{dt}}\cdot A^{\mathrm {T} },}$

так как инверсией ортогональной матрицы является ее транспонирование .${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$

Свойства [ править ]

В общем случае угловая скорость в n- мерном пространстве является производной по времени тензора углового смещения, который является кососимметричным тензором второго ранга .

Этот тензор W будет иметь п ( п - 1) / 2 независимых компонент, который является размерность алгебры Ли из группы Ли из вращений в качестве п - мерного внутреннего пространства продукта. ^[5]

Двойственность по отношению к вектору скорости [ править ]

В трех измерениях угловая скорость может быть представлена ​​псевдовектором, поскольку тензоры второго ранга двойственны псевдовекторам в трех измерениях. Поскольку тензор угловой скорости W = W ( t ) является кососимметричной матрицей :

${\displaystyle W={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{pmatrix}},}$

его дуальный по Ходжу вектор - это в точности предыдущий вектор угловой скорости .${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=[\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}]}$

Экспонента от W [ править ]

Если мы знаем начальную систему отсчета A (0) и нам дан тензор постоянной угловой скорости W , мы можем получить A ( t ) для любого заданного t . Напомним матричное дифференциальное уравнение:

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=W\cdot A.}$

Это уравнение можно проинтегрировать, чтобы получить:

${\displaystyle A(t)=e^{Wt}A(0),}$

что показывает связь с группой вращений Ли .

W кососимметричный [ править ]

Доказано, что тензор угловой скорости кососимметричен , т.е. удовлетворяет .${\displaystyle W={\frac {dA(t)}{dt}}\cdot A^{\text{T}}}$${\displaystyle W^{\text{T}}=-W}$

Матрица вращения A ортогональна, обратна ее транспонированию, поэтому мы имеем . Для матрицы кадра взятие производной уравнения по времени дает:${\displaystyle I=A\cdot A^{\text{T}}}$${\displaystyle A=A(t)}$

${\displaystyle 0={\frac {dA}{dt}}A^{\text{T}}+A{\frac {dA^{\text{T}}}{dt}}}$

Применяя формулу ,${\displaystyle (AB)^{\text{T}}=B^{\text{T}}A^{\text{T}}}$

${\displaystyle 0={\frac {dA}{dt}}A^{\text{T}}+\left({\frac {dA}{dt}}A^{\text{T}}\right)^{\text{T}}=W+W^{\text{T}}}$

Таким образом, W является отрицанием своего транспонирования, что означает, что он кососимметричен.

Описание без координат [ править ]

В любой момент тензор угловой скорости представляет собой линейную карту между вектором положения и векторами скорости точки твердого тела, вращающейся вокруг начала координат:${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {v} =W\mathbf {r} .}$

Связь между этой линейной картой и псевдовектором угловой скорости следующая.${\displaystyle \omega }$

Поскольку W - производная ортогонального преобразования , билинейная форма

${\displaystyle B(\mathbf {r} ,\mathbf {s} )=(W\mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} }$

является кососимметрично . Таким образом, мы можем применить тот факт внешней алгебры, что существует единственная линейная форма на этой${\displaystyle L}$${\displaystyle \Lambda ^{2}V}$

${\displaystyle L(\mathbf {r} \wedge \mathbf {s} )=B(\mathbf {r} ,\mathbf {s} )}$

где есть внешнее произведение из и .${\displaystyle \mathbf {r} \wedge \mathbf {s} \in \Lambda ^{2}V}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {s} }$

Взяв резкое L ^♯ для L, получаем

${\displaystyle (W\mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} =L^{\sharp }\cdot (\mathbf {r} \wedge \mathbf {s} )}$

Представляя , как Звезда Ходжа из L ^♯ , и применяя определение ходжевой двойной дважды предполагая , что предпочтительный блок 3-вектор является${\displaystyle \omega :={\star }(L^{\sharp })}$${\displaystyle \star 1}$

${\displaystyle (W\mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} ={\star }({\star }(L^{\sharp })\wedge \mathbf {r} \wedge \mathbf {s} )={\star }(\omega \wedge \mathbf {r} \wedge \mathbf {s} )={\star }(\omega \wedge \mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} =(\omega \times \mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} ,}$

куда

${\displaystyle \omega \times \mathbf {r} :={\star }(\omega \wedge \mathbf {r} )}$

по определению.

Поскольку - произвольный вектор, из невырожденности скалярного произведения следует${\displaystyle \mathbf {s} }$

${\displaystyle W\mathbf {r} =\omega \times \mathbf {r} }$

Угловая скорость как векторное поле [ править ]

Поскольку тензор угловой скорости вращения твердого тела (в его системе покоя) представляет собой линейное преобразование, которое отображает положения в скорости (внутри твердого тела), его можно рассматривать как постоянное векторное поле . В частности, угловая скорость спина является векторным полем Киллинга, принадлежащим элементу алгебры Ли SO (3) 3-мерной группы вращений SO (3) .

Кроме того, можно показать, что векторное поле спиновой угловой скорости составляет ровно половину ротора линейного векторного поля скорости v ( r ) твердого тела. В символах

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} }$

Соображения о жестких телах [ править ]

Те же уравнения для угловой скорости можно получить, рассуждая о вращающемся твердом теле . Здесь не предполагается, что твердое тело вращается вокруг начала координат. Вместо этого можно предположить, что он вращается вокруг произвольной точки, которая движется с линейной скоростью V ( t ) в каждый момент времени.

Чтобы получить уравнения, удобно представить твердое тело, прикрепленное к каркасам, и рассмотреть систему координат, фиксированную относительно твердого тела. Затем мы изучим преобразования координат между этой координатой и фиксированной «лабораторной» системой.

Как показано на рисунке справа, происхождение лаборатории системы находится в точке O , жесткая система тела координат находится в O ' и вектор от O до O ' является R . Частица ( i ) в твердом теле расположена в точке P, и положение вектора этой частицы равно R _i в лабораторной системе отсчета и в позиции r _i в рамке тела. Видно, что положение частицы можно записать:

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}}$

Определяющей характеристикой твердого тела является то, что расстояние между любыми двумя точками твердого тела не меняется во времени. Это означает, что длина вектора неизменна. Согласно теореме Эйлера о вращении , мы можем заменить вектор на где - матрица вращения 3 × 3 и - положение частицы в некоторый фиксированный момент времени, скажем, t = 0 . Эта замена полезна, потому что теперь во времени изменяется только матрица вращения , а не опорный вектор , поскольку твердое тело вращается вокруг точки O ' . Кроме того, поскольку три столбца матрицы вращения представляют три варианта${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{io}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{io}}$системы отсчета, вращающейся вместе с твердым телом, теперь становится видимым любое вращение вокруг любой оси, в то время как вектор не вращался бы, если бы ось вращения была параллельна ему, и, следовательно, он описывал бы только вращение вокруг оси, перпендикулярной ему ( т. е. он не будет видеть компонент псевдовектора угловой скорости, параллельный ему, и позволит только вычислить компонент, перпендикулярный ему). Положение частицы теперь записывается как:${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +{\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}$

Взяв производную по времени, получаем скорость частицы:

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}\mathbf {r} _{io}}$

где V _i - скорость частицы (в лабораторной системе отсчета), а V - скорость O ′ (начало системы отсчета твердого тела). Поскольку это матрица вращения, ее инверсией является ее транспонирование. Итак, подставляем :${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}={\mathcal {R}}^{\text{T}}{\mathcal {R}}}$

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {I}}\mathbf {r} _{io}}$

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}{\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}$

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}\mathbf {r} _{i}}$

или же

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +W\mathbf {r} _{i}}$

где - предыдущий тензор угловой скорости .${\displaystyle W={\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}}$

Можно доказать, что это кососимметричная матрица , поэтому мы можем взять ее двойственную, чтобы получить трехмерный псевдовектор, который является в точности предыдущим вектором угловой скорости :${\displaystyle {\vec {\omega }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=[\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}]}$

Подставляя ω для W в приведенном выше выражении скорости, и заменяя матричное умножение на эквивалентное векторное произведение:

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{i}}$

Можно видеть , что скорость точки в твердом теле может быть разделена на две точку - скорость опорной точки , установленной в твердом теле плюс сроке поперечного продукта , связанный с орбитальной скоростью частицы относительно ссылки точка. Эта угловая скорость , что физики называют «спина угловой скоростью» твердого тела, в отличии от орбитальной угловой скорости опорной точки O ' о происхождении O .

Последовательность [ править ]

Мы предположили, что твердое тело вращается вокруг произвольной точки. Мы должны доказать, что ранее определенная угловая скорость вращения не зависит от выбора начала отсчета, а это означает, что угловая скорость вращения является внутренним свойством вращающегося твердого тела. (Обратите внимание на заметный контраст этого с орбитальной угловой скоростью точечной частицы, которая, безусловно , зависит от выбора начала координат.)

См. График справа: начало лабораторной рамы - O , а O ₁ и O ₂ - две неподвижные точки на твердом теле, скорость которых равна и соответственно. Предположим, что угловая скорость относительно O ₁ и O ₂ равна и соответственно. Поскольку точки P и O ₂ имеют только одну скорость,${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{2}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+{\boldsymbol {\omega }}_{1}\times \mathbf {r} _{1}=\mathbf {v} _{2}+{\boldsymbol {\omega }}_{2}\times \mathbf {r} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}+{\boldsymbol {\omega }}_{1}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{1}+{\boldsymbol {\omega }}_{1}\times (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$

Приведенные выше два результата дают

${\displaystyle ({\boldsymbol {\omega }}_{2}-{\boldsymbol {\omega }}_{1})\times \mathbf {r} _{2}=0}$

Поскольку точка P (а значит, и ) произвольна, отсюда следует, что${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{1}={\boldsymbol {\omega }}_{2}}$

Если опорная точка является мгновенной осью вращения выражения скорости точки в твердом теле будет иметь только термин угловой скорости. Это потому, что скорость мгновенной оси вращения равна нулю. Пример мгновенной оси вращения - петля двери. Другой пример - точка контакта чисто катящегося сферического (или, в более общем смысле, выпуклого) твердого тела.

См. Также [ править ]

• Угловое ускорение
• Угловая частота
• Угловой момент
• Ареальная скорость
• Изометрия
• Ортогональная группа
• Динамика жесткого тела
• Завихренность

Ссылки [ править ]

• Саймон, Кейт (1971). Механика . Аддисон-Уэсли, Рединг, Массачусетс. ISBN 978-0-201-07392-8.
• Ландау, ЛД ; Лифшиц Е.М. (1997). Механика . Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0-7506-2896-9.

Внешние ссылки [ править ]

Посмотрите угловую скорость в Викисловаре, бесплатном словаре.

Викискладе есть медиафайлы по теме угловой скорости .

• Учебник физики для колледжа Артур Лалан Кимбалл ( Угловая скорость частицы )
• Пикеринг, Стив (2009). «ω Скорость вращения [угловая скорость]» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .