В полилинейной алгебре , А поливектор , которую иногда называют Клиффорд числом , [1] является элементом внешней алгебры Л ( V ) из векторного пространства V . Эта алгебра градуированный , ассоциативна и переменный , и состоит из линейных комбинаций из простых K -векторов [2] (также известные как разлагаемые K -векторы [3] или к -blades ) вида
где в V .
К -векторных такая линейная комбинация , которая является однородной степени к (все термины к -blades для того же самого к ). В зависимости от авторов, «мультивектор» может быть либо k -вектором, либо любым элементом внешней алгебры (любая линейная комбинация k- лезвий с потенциально различными значениями k ). [4]
В дифференциальной геометрии , A к -векторному представляет собой вектор во внешней алгебре касательного вектора пространства ; то есть, это антисимметрическая тензор получается взятие линейных комбинаций внешнего произведения из к касательным векторам , для некоторых целого числа к ≥ 0 . Дифференциала к -форма является к -векторному во внешней алгебре двойных касательного пространства, что также является двойственной внешней алгеброй касательного пространства.
Для к = 0, 1, 2 и 3 , K -векторам часто называют соответственно скаляры , векторы , бивекторы и тривекторы ; они соответственно двойственны 0-формам, 1-формам, 2-формам и 3-формам . [5] [6]
Внешний продукт
Внешний продукт (также называемый продуктом клина), используемый для построения мультивекторов, является полилинейным (линейным на каждом входе), ассоциативным и чередующимся. Это означает, что для векторов u , v и w в векторном пространстве V и для скаляров α , β внешнее произведение имеет следующие свойства:
- Линейный вход:
- Ассоциативный:
- Чередование:
Внешнее произведение k векторов или сумма таких произведений (для одного k ) называется многовектором степени k или k -вектором. Максимальная степень поливектора размерность векторного пространства V .
Линейность на любом входе вместе с изменяющимся свойством подразумевает линейность на другом входе. Полилинейности из внешнего продукта позволяет поливектору быть выражена в виде линейной комбинации внешних произведений базисных векторов V . Внешнее произведение k базисных векторов V является стандартным способом построения каждого базисного элемента для пространства k -векторов, имеющего размерность (п
к) во внешней алгебре n -мерного векторного пространства. [2]
Площадь и объем
К -векторных получается из внешнего произведения K отдельных векторов в п - мерном пространстве имеет компоненты , которые определяют проецируемого ( K - 1) -volumes из к - параллелоэдр , натянутое на векторы. Квадратный корень из суммы квадратов этих составляющих определяет объем k -параллелоэдра. [2] [7]
Следующие примеры показывают, что бивектор в двух измерениях измеряет площадь параллелограмма, а величина бивектора в трех измерениях также измеряет площадь параллелограмма. Точно так же трехмерный вектор в трех измерениях измеряет объем параллелепипеда.
Легко проверить, что величина трехвектора в четырех измерениях измеряет объем параллелепипеда, охватываемого этими векторами.
Мультивекторы в R 2
Свойства мультивекторов можно увидеть, рассматривая двумерное векторное пространство V = R 2 . Пусть базисные векторы равны e 1 и e 2 , поэтому u и v задаются формулами
а многовектор u ∧ v , также называемый бивектором, вычисляется как
Вертикальные черты обозначают определитель матрицы, который представляет собой площадь параллелограмма, натянутого на векторы u и v . Величина u ∧ v - это площадь этого параллелограмма. Обратите внимание , что , поскольку V имеет размерность два базис бивектор е 1 ∧ е 2 является единственным многовекторными в Л V .
Связь между величиной многовектора и площадью или объемом, охватываемым векторами, является важной характеристикой во всех измерениях. Кроме того, линейная функциональная версия многовектора, вычисляющего этот объем, известна как дифференциальная форма.
Мультивекторы в R 3
Дополнительные особенности мультивекторов можно увидеть, рассматривая трехмерное векторное пространство V = R 3 . В этом случае пусть базисными векторами будут e 1 , e 2 и e 3 , поэтому u , v и w задаются формулами
а бивектор u ∧ v вычисляется как
Компоненты этого бивектора такие же, как и компоненты перекрестного произведения. Величина этого бивектора - это квадратный корень из суммы квадратов его компонентов.
Это показывает , что величина бивектора у ∧ об является площадь параллелограмма , натянутого на векторы ¯u и V , как она лежит в трехмерном пространстве V . Компоненты бивектора - это площади параллелограмма, спроецированные на каждую из трех координатных плоскостей.
Обратите внимание, что, поскольку V имеет размерность три, в Λ V есть один базисный трехвектор . Вычислить трехвекторный
Это показывает, что величина трехвектора u ∧ v ∧ w - это объем параллелепипеда, натянутого на три вектора u , v и w .
В многомерных пространствах составляющие трехмерных векторов являются проекциями объема параллелепипеда на координатные трехмерные пространства, а величина трехмерного вектора - это объем параллелепипеда, находящегося в многомерном пространстве.
Координаты Грассмана
В этом разделе мы рассматриваем мультивекторы на проективном пространстве P n , которые обеспечивают удобный набор координат для прямых, плоскостей и гиперплоскостей, обладающих свойствами, аналогичными однородным координатам точек, называемым координатами Грассмана . [8]
Точки в реальном проективном пространстве P n определяются как прямые, проходящие через начало координат векторного пространства R n +1 . Например, проективная плоскость P 2 - это множество прямых, проходящих через начало координат R 3 . Таким образом, мультивекторы, определенные на R n +1, можно рассматривать как многовекторы на P n .
Удобный способ просмотра поливектора на Р п является рассмотрение его в аффинном компоненте из Р п , которая является пересечением линий через начало координат R п +- с выбранной гиперплоскостью, такие как H: х п +1 = 1 . Прямые, проходящие через начало координат R 3, пересекают плоскость E: z = 1, чтобы определить аффинную версию проективной плоскости, в которой отсутствуют только точки, для которых z = 0 , называемые точками на бесконечности.
Мультивекторы на P 2
Точки аффинной компоненты E: z = 1 проективной плоскости имеют координаты x = ( x , y , 1) . Линейная комбинация двух точек p = ( p 1 , p 2 , 1) и q = ( q 1 , q 2 , 1) определяет плоскость в R 3, которая пересекает E на прямой, соединяющей p и q . Мультивектор p ∧ q определяет параллелограмм в R 3, задаваемый формулой
Обратите внимание на то, что замещение α р + β д для р умножает это поливектор константой. Следовательно, компоненты p ∧ q являются однородными координатами плоскости, проходящей через начало координат R 3 .
Множество точек x = ( x , y , 1) на прямой, проходящей через p и q, является пересечением плоскости, определенной как p ∧ q, с плоскостью E: z = 1 . Эти точки удовлетворяют x ∧ p ∧ q = 0 , т. Е.
что упрощается до уравнения линии
Этому уравнению удовлетворяют точки x = α p + β q для действительных значений α и β.
Три компонента p ∧ q , определяющие прямую λ , называются грассмановыми координатами прямой. Поскольку три однородные координаты определяют как точку, так и линию, геометрия точек называется двойственной геометрии прямых на проективной плоскости. Это называется принципом двойственности .
Мультивекторы на P 3
Трехмерное проективное пространство P 3 состоит из всех прямых, проходящих через начало координат R 4 . Пусть трехмерная гиперплоскость H: w = 1 является аффинной компонентой проективного пространства, определяемой точками x = ( x , y , z , 1) . Мультивектор p ∧ q ∧ r определяет параллелепипед в R 4, задаваемый формулой
Обратите внимание на то, что замещение α р + β д + γ г для р умножает это поливектор константой. Следовательно, компоненты p ∧ q ∧ r являются однородными координатами для 3-мерного пространства, проходящего через начало R 4 .
Плоскость в аффинной компоненте H: w = 1 - это множество точек x = ( x , y , z , 1) в пересечении H с 3-пространством, определяемым формулой p ∧ q ∧ r . Эти точки удовлетворяют x ∧ p ∧ q ∧ r = 0 , то есть
что упрощается до уравнения плоскости
Этому уравнению удовлетворяют точки x = α p + β q + γ r для действительных значений α , β и γ .
Четыре компонента p ∧ q ∧ r , определяющие плоскость λ , называются грассмановыми координатами плоскости. Поскольку четыре однородные координаты определяют как точку, так и плоскость в проективном пространстве, геометрия точек двойственна геометрии плоскостей.
Прямая как соединение двух точек: в проективном пространстве прямую λ, проходящую через две точки p и q, можно рассматривать как пересечение аффинного пространства H: w = 1 с плоскостью x = α p + β q в R 4 . Мультивектор p ∧ q обеспечивает однородные координаты прямой
Они известны как координаты Плюккера линии, хотя они также являются примером координат Грассмана.
Прямая как пересечение двух плоскостей: прямую μ в проективном пространстве также можно определить как набор точек x, которые образуют пересечение двух плоскостей π и ρ, определенных мультивекторами третьего уровня, поэтому точки x являются решениями линейные уравнения
Чтобы получить координаты Плюккера прямой µ , сопоставьте многовекторы π и ρ с их координатами двойных точек, используя звездный оператор Ходжа , [2]
тогда
Итак, координаты Плюккера прямой μ равны
Поскольку шесть однородных координат прямой могут быть получены из соединения двух точек или пересечения двух плоскостей, прямая называется самодуальной в проективном пространстве.
Клиффорд продукт
WK Clifford объединил мультивекторы со скалярным произведением, определенным в векторном пространстве, чтобы получить общую конструкцию гиперкомплексных чисел, которая включает обычные комплексные числа и кватернионы Гамильтона . [9] [10]
Продукт Clifford между двумя векторами ˙U и V билинеен и ассоциативный как внешнее произведением, и обладает дополнительным свойством , что многовекторность уф соединен с внутренним произведением U ⋅ v соотношением Клиффорд,
Отношение Клиффорда сохраняет свойство антикоммутации для перпендикулярных векторов. Это можно увидеть из взаимно ортогональных единичных векторов e i , i = 1, ..., n в R n : соотношение Клиффорда дает
что показывает, что базисные векторы взаимно антикоммутируют,
В отличие от внешнего продукта, произведение Клиффорда вектора на себя не равно нулю. Чтобы убедиться в этом, вычислите произведение
который дает
Набор мультивекторов, построенный с использованием произведения Клиффорда, дает ассоциативную алгебру, известную как алгебра Клиффорда . Внутренние произведения с разными свойствами могут использоваться для построения различных алгебр Клиффорда. [11] [12]
Геометрическая алгебра
Термин k-лезвие использовался в книге « От алгебры Клиффорда к геометрическому исчислению» (1984) [13].
Мультивекторы играют центральную роль в математической формулировке физики, известной как геометрическая алгебра. По словам Дэвида Хестенеса ,
- [Нескалярные] k -векторы иногда называют k-лезвиями или просто лезвиями , чтобы подчеркнуть тот факт, что, в отличие от 0-векторов (скаляров), они обладают «свойствами направленности». [14]
В 2003 г. термин « лезвие» для многовектора, который может быть записан как внешнее произведение [скаляра и] набора векторов, был использован К. Дораном и А. Ласенби. Здесь, согласно утверждению «Любой многовектор может быть выражен как сумма лезвий», скаляры неявно определяются как 0-лезвия. [15]
В геометрической алгебре многовектор определяется как сумма k- лезвий разного уровня , например, суммирование скаляра , вектора и 2-вектора. [16] Сумма только k- степенных компонент называется k -вектором [17] или однородным многовектором. [18]
Элемент высшего класса в пространстве называется псевдоскалярным .
Если данный элемент однороден степени k , то это k -вектор, но не обязательно k- лезвие. Таким элементом является k- лезвие, если его можно выразить как внешнее произведение k векторов. Геометрическая алгебра, сгенерированная 4-мерным векторным пространством, иллюстрирует точку на примере: сумма любых двух лопастей, одна из которых берется из плоскости XY, а другая - из плоскости ZW, образует 2-вектор, который не является 2-лопастной. В геометрической алгебре, порожденной векторным пространством размерности 2 или 3, все суммы 2-лопастей могут быть записаны как единственные 2-лопасти.
Примеры
- 0-векторы - скаляры;
- 1-векторы - это векторы;
- 2-векторы являются бивекторами ;
- ( n - 1) -векторы являются псевдовекторами ;
- n -векторы являются псевдоскалярами .
При наличии формы объема (такой как заданный внутренний продукт и ориентация) псевдовекторы и псевдоскаляры могут быть идентифицированы с помощью векторов и скаляров, что является обычным делом в векторном исчислении , но без формы объема это невозможно сделать без произвольного выбор.
В алгебре физического пространства (геометрическая алгебра евклидова 3-пространства, используемая как модель (3 + 1) -пространства-времени) сумма скаляра и вектора называется паравектором и представляет точку в пространстве-времени ( вектор - пространство, скаляр - время).
Бивекторы
Бивектор является элементом антисимметричного тензорного продукта в виде касательного пространства с самими собой.
В геометрической алгебре , Кроме того , бивектор является класс 2 элемента (2-вектор) в результате клина продукта из двух векторов, и таким образом это геометрический ориентированное область , в том же образом вектор представляет собой ориентированный отрезок. Если a и b - два вектора, бивектор a ∧ b имеет
- норма , которая является его площадь, задаваемый
- направление: плоскость, на которой расположена эта область, т. е. плоскость, определяемая элементами a и b , при условии, что они линейно независимы;
- ориентация (из двух), определяемая порядком умножения исходных векторов.
Бивекторы связаны с псевдовекторами и используются для представления вращений в геометрической алгебре.
Поскольку бивекторы являются элементами векторного пространства Λ 2 V (где V - конечномерное векторное пространство с dim V = n ), имеет смысл определить скалярное произведение на этом векторном пространстве следующим образом. Сначала запишем любой элемент F ∈ Λ 2 V в терминах базиса ( e i ∧ e j ) 1 ≤ i < j ≤ n алгебры Λ 2 V в виде
где используется соглашение Эйнштейна о суммировании .
Теперь определим отображение G: Λ 2 V × Λ 2 V → R , настаивая на том, что
где представляют собой набор чисел.
Приложения
Бивекторы играют много важных ролей в физике, например, при классификации электромагнитных полей .
Смотрите также
- Лезвие (геометрия)
- Паравектор
Рекомендации
- ^ Джон Снигг (2012), Новый подход к дифференциальной геометрии с использованием геометрической алгебры Клиффорда , Биркхойзер, стр. 5 §2.12
- ^ a b c d Харли Фландерс (1989) [1963] Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам , § 2.1 Пространство p -векторов, страницы 5–7, Dover Books
- ^ Венделл Флеминг (1977) [1965] Функции нескольких переменных , раздел 7.5 Мультивекторы, стр. 295, ISBN 978-1-4684-9461-7
- ^ Эли Картан, Теория спиноров , стр. 16 , рассматривает только однородные векторы, особенно простые, называя их «многовекторами» (в совокупности) или p -векторами (в частности).
- ^ Уильям М. Пеццалья младший (1992). "Вывод алгебры Клиффорда характеристических гиперповерхностей уравнений Максвелла". В Юлиане Лавриновиче (ред.). Деформации математических структур II . Springer. п. 131 сл . ISBN 0-7923-2576-1.
Следовательно, в 3D мы связываем альтернативные члены псевдовектора для бивектора и псевдоскаляра для тривектора
- ^ Бейлис (1994). Теоретические методы в физических науках: введение в решении проблем с использованием Maple V . Birkhäuser. п. 234, см. Сноску. ISBN 0-8176-3715-X.
- ^ Г. Е. Шилов, Линейная алгебра , (пер. Р. Сильверман), Dover Publications, 1977.
- ^ Ходж и Д. Пидо, Методы алгебраической геометрии, Vol. 1, Кембриджский унив. Пресса, 1947 г.
- ^ WK Клиффорд, "Предварительный набросок би-кватернионов", Proc. Лондонская математика. Soc. Vol. 4 (1873) стр. 381–395
- ↑ WK Clifford, Mathematical Papers , (ed. R. Tucker), Лондон: Macmillan, 1882.
- ^ JM McCarthy, Введение в теоретическую кинематику , стр. 62–5, MIT Press 1990.
- ^ О. Боттема и Б. Рот, Теоретическая кинематика , North Holland Publ. Co., 1979 г.
- ^ Дэвид Хестенес и Гаррет Собчик (1984) Алгебра Клиффорда в геометрическое исчисление , стр. 4, Д. Рейдел ISBN 90-277-1673-0
- ^ Дэвид Хестенса (1999) [1986] Новые основания для классической механики , стр 34, D. ReidelISBN 90-277-2090-8
- ^ С. Доран и А. Lasenby (2003) Геометрическая алгебра для физиков , страница 87, Cambridge University PressISBN 9780511807497
- ^ Маркос А. Родригес (2000). «§1.2 Геометрическая алгебра: набросок». Инварианты для распознавания образов и классификации . World Scientific. п. 3 сл . ISBN 981-02-4278-6.
- ^ Р. Уэрхэм, Дж. Кэмерон и Дж. Ласенби (2005). «Приложения конформной геометрической алгебры в компьютерном зрении и графике». В Хунбо Ли; Питер Дж. Олвер ; Джеральд Соммер (ред.). Компьютерная алгебра и геометрическая алгебра с приложениями . Springer. п. 330. ISBN 3-540-26296-2.
- ^ Эдуардо Байро-Коррочано (2004). «Геометрическая алгебра Клиффорда: многообещающая основа для компьютерного зрения, робототехники и обучения». В Альберто Санфелиу; Хосе Франсиско Мартинес Тринидад; Хесус Ариэль Карраско Очоа (ред.). Прогресс в распознавании образов, анализе изображений и приложениях . Springer. п. 25. ISBN 3-540-23527-2.
- ^ Р. Пенроуз (2007). Дорога в реальность . Винтажные книги. ISBN 0-679-77631-1.
- ^ Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. стр. 83. ISBN 0-7167-0344-0.