Полилинейная алгебра

Тон или стиль этой статьи могут не отражать энциклопедический тон, используемый в Википедии . См. Рекомендации в руководстве Википедии по написанию лучших статей . ( Июнь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , полилинейная алгебра расширяет методы линейной алгебры . Подобно тому, как линейная алгебра построена на концепции вектора и развивает теорию векторных пространств , полилинейная алгебра основывается на понятиях p -векторов и мультивекторов с алгеброй Грассмана .

Происхождение [ править ]

В векторном пространстве размерности n обычно рассматриваются только векторы. Согласно Герману Грассманну и другим, это предположение упускает из виду сложность рассмотрения структур пар, троек и общих мультивекторов . Поскольку существует несколько комбинаторных возможностей, оказывается, что пространство мультивекторов имеет 2 ⁿ измерений. Абстрактная формулировка определителя является наиболее непосредственным применением. Полилинейная алгебра также находит применение в механическом исследовании реакции материалов на напряжения и деформации с различными модулями упругости. Эта практическая ссылка привела к использованию слова тензордля описания элементов полилинейного пространства. Дополнительная структура в полилинейном пространстве привела к тому, что оно играет важную роль в различных исследованиях по высшей математике. Хотя Грассманн начал эту тему в 1844 году со своей книги «Ausdehnungslehre» и переиздан в 1862 году, его работа медленно нашла признание, поскольку обычная линейная алгебра давала достаточно проблем для понимания.

Тема полилинейной алгебры применяется в некоторых исследованиях многомерного исчисления и многообразий, где используется матрица Якоби . В бесконечно малых дифференциалов одной переменной исчисления становятся дифференциальные формы в многомерном исчислении, и их обработка осуществляется с помощью внешней алгебры .

После Грассмана разработки в области полилинейной алгебры были сделаны в 1872 году Виктором Шлегелем, когда он опубликовал первую часть своей System der Raumlehre , и Элвином Бруно Кристоффелем . Большой прогресс в полилинейной алгебре произошел в работах Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита (см. Ссылки). Это была форма абсолютного дифференциального исчисления полилинейной алгебры, которую Марсель Гроссманн и Мишель Бессо представили Альберту Эйнштейну . Публикация Эйнштейном в 1915 году общей теории относительности, объясняющей прецессию перигелия Меркурия., установил полилинейную алгебру и тензоры как физически важную математику.

Использование в алгебраической топологии [ править ]

Примерно в середине 20 века изучение тензоров было переформулировано более абстрактно. В Бурбаках трактата группы Полилинейная Алгебра было особенно влиятельной в самом деле термин алгебра полилинейной вероятно придумана там. ^{[ необходима цитата ]}

Одной из причин в то время была новая область применения - гомологическая алгебра . Развитие алгебраической топологии в 1940-х годах дало дополнительный стимул к развитию чисто алгебраической трактовки тензорного произведения . Вычисление групп гомологии в продукте двух топологических пространств включает тензорное произведение; но только в простейших случаях, таких как тор , он вычисляется таким образом напрямую (см. теорему Кюннета ). Топологические явления были достаточно тонкими, чтобы требовать более основательных концепций; технически говоря, необходимо было определить функторы Tor .

Материал для систематизации был довольно обширным, включая идеи, восходящие к Герману Грассману , идеи теории дифференциальных форм , которые привели к когомологиям де Рама , а также более элементарные идеи, такие как произведение клина, которое обобщает перекрестное произведение .

В результате довольно жесткое описание темы (Бурбаки) полностью отвергло один подход в векторном исчислении ( кватернионный маршрут, то есть, в общем случае, связь с группами Ли ). Вместо этого они применили новый подход, используя теорию категорий , с подходом группы Ли, рассматриваемым как отдельный вопрос. Поскольку это приводит к гораздо более чистому обращению, вероятно, не было возврата назад в чисто математических терминах. (Строго говоря, был задействован подход универсального свойства ; он несколько более общий, чем теория категорий, и в то же время выяснялась взаимосвязь между ними как альтернативными способами.)

В самом деле, то, что было сделано, почти точно объясняет, что тензорные пространства - это конструкции, необходимые для сведения полилинейных задач к линейным задачам. Эта чисто алгебраическая атака не дает геометрической интуиции.

Его преимущество в том, что переформулируя проблемы в терминах полилинейной алгебры, можно получить ясное и четко определенное «лучшее решение»: ограничения, которые налагает решение, являются именно теми, которые вам нужны на практике. В общем, нет необходимости использовать какие-либо специальные конструкции, геометрические идеи или прибегать к системам координат. На теоретико-категориальном жаргоне все совершенно естественно .

Заключение по абстрактному подходу [ править ]

В принципе абстрактный подход может восстановить все, что было сделано традиционным подходом. На практике это может показаться не таким простым. С другой стороны, понятие естественности согласуется с общим принципом ковариантности общей теории относительности . Последний имеет дело с тензорными полями (тензорами, меняющимися от точки к точке на многообразии ), но ковариантность утверждает, что язык тензоров существенен для правильной формулировки общей теории относительности.

Спустя несколько десятилетий довольно абстрактный взгляд, исходящий из теории категорий, был связан с подходом, разработанным в 1930-х годах Германом Вейлем ^{[ как? ]} (работая через общую теорию относительности с помощью абстрактного тензорного анализа и дополнительно в своей книге «Классические группы» ). В некотором смысле это замкнуло полный круг теории, еще раз соединив содержание старых и новых точек зрения.

Темы полилинейной алгебры [ править ]

Тематика полилинейной алгебры за эти годы изменилась меньше, чем ее изложение. Вот и другие страницы, относящиеся к нему:

• билинейный оператор
• безкомпонентная обработка тензоров
• Правило Крамера
• двойное пространство
• Обозначения Эйнштейна
• внешняя алгебра
• внешняя производная
• внутренний продукт
• Дельта Кронекера
• Символ Леви-Чивита
• метрический тензор
• смешанный тензор
• многолинейная карта
• полилинейная форма
• симметрическая алгебра , симметрическая степень
• симметричный тензор
• тензор
• тензорная алгебра , свободная алгебра
• тензорное сжатие

Есть также словарь тензорной теории .

Приложения [ править ]

Некоторые способы применения концепций полилинейной алгебры:

• классическая трактовка тензоров
• диадический тензор
• обозначение бюстгальтера
• геометрическая алгебра
• Алгебра Клиффорда
• псевдоскалярный
• псевдовектор
• спинор
• внешний продукт
• гиперкомплексное число
• мультилинейное подпространственное обучение

Ссылки [ править ]

• Герман Грассманн (2000) Теория расширений , Американское математическое общество . Перевод Ллойда Канненберга из Ausdehnungslehre 1862 года .
• Венделл Х. Флеминг (1965) Функции нескольких переменных , Аддисон-Уэсли .

Второе издание (1977) Springer ISBN  3-540-90206-6 .

Глава: Внешняя алгебра и дифференциальное исчисление № 6 в 1-м изд., № 7 во 2-м изд.

• Риччи-Курбастро, Грегорио ; Леви-Чивита, Туллио (1900), "Méthodes де Расчитать différentiel Absolu и др Leurs приложения" , Mathematische Annalen , 54 (1): 125-201, DOI : 10.1007 / BF01454201 , ISSN  1432-1807
• Рональд Шоу (1983) «Полилинейная алгебра и представления групп», том 2 линейной алгебры и представлений групп , Academic Press ISBN 0-12-639202-1 .