Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . ( октябрь 2015 г. ) |
Часть цикла статей о |
Исчисление |
---|
Многопараметрическое исчисление (также известное как многомерное исчисление ) - это расширение исчисления с одной переменной до исчисления с функциями нескольких переменных : дифференцирование и интегрирование функций, включающих несколько переменных, а не только одну. [1]
Типовые операции [ править ]
Пределы и преемственность [ править ]
Изучение пределов и непрерывности в исчислении многих переменных дает множество противоречивых результатов, которые не демонстрируются функциями одной переменной. [1] : 19–22 Например, есть скалярные функции двух переменных с точками в их области определения, которые дают разные пределы при приближении по разным путям. Например, функция
стремится к нулю всякий раз, когда приближается к точке по линиям, проходящим через начало координат ( ). Однако при приближении к началу координат по параболе значение функции имеет предел . Поскольку разные пути к одной и той же точке дают разные предельные значения, общего предела здесь не существует.
Непрерывность в каждом аргументе, недостаточная для многомерной непрерывности, также можно увидеть из следующего примера. [1] : 17–19 В частности, для вещественнозначной функции с двумя действительными параметрами , непрерывность in для фиксированного и непрерывность in для фиксированного не означает непрерывности .
Учитывать
Легко проверить, что эта функция по определению равна нулю на границе и вне четырехугольника . Кроме того, функция , определенная для постоянная и и пути
- и
непрерывны. Конкретно,
- для всех x и y .
Однако последовательность (для естественного ) сходится к , делая функцию прерывистой в . Приближение к началу координат не параллельно осям - и - обнаруживает этот разрыв.
Непрерывность составной функции: если непрерывна в точке и является непрерывной функцией одной переменной в точке, то составная функция, определяемая с помощью, является непрерывной в точке .
Например: ,
Свойства непрерывной функции:
Если и оба непрерывны в точке , то
(i) непрерывны в точке .
(ii) непрерывна в точке .
(iii) непрерывна в точке .
(iv) непрерывно в точке , если не равно .
(v) непрерывна в точке .
Частичная дифференциация [ править ]
Частная производная обобщает понятие производной на более высокие измерения. Частная производная функции многих переменных - это производная по одной переменной, при этом все остальные переменные остаются постоянными. [1] : 26ff
Частные производные можно комбинировать интересными способами для создания более сложных выражений производной. В векторном исчислении , то дель оператор ( ) используется для определения понятия градиента , дивергенции и ротора в терминах частных производных. Матрица частных производных, матрица Якоби , может использоваться для представления производной функции между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом, производную можно понимать как линейное преобразование, которое напрямую изменяется от точки к точке в области определения функции.
Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные, называются уравнениями в частных производных или PDE. Эти уравнения, как правило, труднее решить, чем обыкновенные дифференциальные уравнения , которые содержат производные только по одной переменной. [1] : 654ff
Множественная интеграция [ править ]
Кратный интеграл расширяет понятие интеграла до функций любого числа переменных. Двойные и тройные интегралы могут использоваться для вычисления площадей и объемов областей на плоскости и в пространстве. Теорема Фубини гарантирует, что кратный интеграл может быть оценен как повторяющийся интеграл или повторяющийся интеграл, если подынтегральное выражение непрерывно во всей области интегрирования. [1] : 367ff
Интегральная поверхность и интегральная линия используются для интеграции более изогнутые коллекторов , таких как поверхности и кривые .
Основная теорема многомерного исчисления [ править ]
В исчислении с одной переменной основная теорема исчисления устанавливает связь между производной и интегралом. Связь между производной и интегралом в исчислении многих переменных воплощена в интегральных теоремах векторного исчисления: [1] : 543ff
- Теорема о градиенте
- Теорема Стокса
- Теорема расходимости
- Теорема Грина .
При более продвинутом исследовании многомерного исчисления видно, что эти четыре теоремы являются конкретными воплощениями более общей теоремы, обобщенной теоремы Стокса , которая применяется к интегрированию дифференциальных форм по многообразиям . [2]
Приложения и способы использования [ править ]
Методы многомерного исчисления используются для изучения многих интересных объектов материального мира. Особенно,
Тип функций | Применимые методы | ||
---|---|---|---|
Кривые | за | Длины кривых, линейные интегралы и кривизна . | |
Поверхности | за | Площади поверхностей, поверхностные интегралы , поток через поверхности и кривизна. | |
Скалярные поля | Максимумы и минимумы, множители Лагранжа , производные по направлениям , множества уровней . | ||
Векторные поля | Любые операции векторного исчисления, включая градиент , дивергенцию и завиток . |
Многовариантное исчисление может применяться для анализа детерминированных систем , имеющих несколько степеней свободы . Функции с независимыми переменными, соответствующими каждой из степеней свободы, часто используются для моделирования этих систем, а многомерное исчисление предоставляет инструменты для описания динамики системы .
Многофакторное исчисление используются в контроле оптимального из непрерывного времени динамических систем . Он используется в регрессионном анализе для вывода формул для оценки взаимосвязей между различными наборами эмпирических данных .
Многовариантное исчисление используется во многих областях естественных и социальных наук и инженерии для моделирования и изучения многомерных систем, которые демонстрируют детерминированное поведение. В экономике , например, выбор потребителя в отношении множества товаров и выбор производителя в отношении различных ресурсов для использования и результатов для производства моделируются с помощью многомерного исчисления. Количественные аналитики в области финансов также часто используют многомерный расчет для прогнозирования будущих тенденций на фондовом рынке .
Недетерминированные или стохастические системы можно изучать с помощью другого вида математики, например, стохастического исчисления .
См. Также [ править ]
Викискладе есть медиафайлы по многомерному исчислению . |
- Список тем многомерного исчисления
- Многовариантная статистика
Ссылки [ править ]
- ^ a b c d e f г Ричард Курант; Фриц Джон (14 декабря 1999 г.). Введение в исчисление и анализ Том II / 2 . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-66570-0.
- ^ Спивак, Майкл (1965). Исчисление на многообразиях . Нью-Йорк: WA Benjamin, Inc. ISBN 9780805390216.
Внешние ссылки [ править ]
- Видеолекции Калифорнийского университета в Беркли по многомерному исчислению, осень 2009 г., профессор Эдвард Френкель
- Видеолекции Массачусетского технологического института по многомерному исчислению, осень 2007 г.
- Многовариантное исчисление : бесплатный онлайн-учебник Джорджа Кейна и Джеймса Ирода
- Многопараметрическое исчисление в Интернете : бесплатный онлайн-учебник Джеффа Книсли
- Многовариантное исчисление - очень быстрый обзор , профессор Блэр Перо, Массачусетский университет, Амхерст
- Многопараметрическое исчисление , онлайн-текст доктора Джерри Шурмана