Звездный оператор Ходжа

В математике , то звезда оператор Ходжи или Ходдж звезда является линейным отображением , определенным на внешних алгебрах конечного-мерной ориентированного векторного пространства , снабженное невырожденной симметрической билинейной формой . Применение оператора к элементу алгебры дает двойственную по Ходжу элементу. Эта карта была представлена WVD Hodge .

Например, в ориентированном трехмерном евклидовом пространстве ориентированная плоскость может быть представлена внешним произведением двух базисных векторов, а ее двойственный по Ходжу вектор - нормальный вектор, заданный их перекрестным произведением ; наоборот, любой вектор двойственен перпендикулярной ему ориентированной плоскости, наделенной подходящим бивектором. Обобщая это на n -мерное векторное пространство, звезда Ходжа является взаимно однозначным отображением k -векторов в ( n - k ) -векторы; размерности этих пространств являются биномиальными коэффициентами .${\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}} = {\ tbinom {n} {nk}}}$

Естественность звездных средств оператора он может играть определенную роль в дифференциальной геометрии, при применении к кокасательному пучку о наличии псевдориманова многообразия , и , следовательно, дифференциальная к -форме . Это позволяет определить кодифференциал как сопряженный по Ходжу внешней производной , что приводит к оператору Лапласа – де Рама . Это обобщает случай 3-мерного евклидова пространства, в котором дивергенция векторного поля может быть реализована как кодифференциал, противоположный оператору градиента , и оператор Лапласана функции - это дивергенция ее градиента. Важное приложение - разложение Ходжа дифференциальных форм на замкнутом римановом многообразии.

Формальное определение k -векторов [ править ]

Пусть V - n -мерное векторное пространство с невырожденной симметричной билинейной формой , называемое здесь скалярным произведением. Это индуцирует скалярное произведение на K -векторах , для , по определению его на разлагаемых K -векторах и равного определитель Грама ^{[1] : 14}${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ альфа, \ бета \ в {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! k} V}$${\ Displaystyle 0 \ Leq К \ Leq N}$${\ Displaystyle \ альфа = \ альфа _ {1} \ клин \ cdots \ клин \ альфа _ {к}}$${\ Displaystyle \ бета = \ бета _ {1} \ клин \ cdots \ клин \ бета _ {к}}$

${\ displaystyle \ langle \ alpha, \ beta \ rangle = \ det \ left (\ left \ langle \ alpha _ {i}, \ beta _ {j} \ right \ rangle _ {i, j = 1} ^ {k }\верно)}$

продлен до линейности.${\ Displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! k} V}$

Блок п -векторный определяются в терминах ориентированного ортонормированного базиса из V , как:${\ displaystyle \ omega \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! n} V}$ ${\ Displaystyle \ {е_ {1}, \ ldots, е_ {п} \}}$

${\displaystyle \omega \ :=\ e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}.}$

Звезда оператор Ходжи является линейным оператором на внешнюю алгебру из V , отображения K -векторов к ( п - к ) -векторам, для . Он имеет следующее свойство, которое полностью определяет его: ^{[1] : 15}${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

${\displaystyle \alpha \wedge ({\star }\beta )=\langle \alpha ,\beta \rangle \,\omega }$для каждой пары k -векторов${\displaystyle \alpha ,\beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V.}$

Двойственна, в пространстве из п -форм (чередование п -multilinear функций на ), двойственных к это форма объема , функция, значение которой на это определитель из матрицы , собранной из векторов - столбцов в -координатах.${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}V^{*}}$${\displaystyle V^{n}}$${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \det }$${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle e_{i}}$

Применяя к приведенному выше уравнению, получаем двойственное определение:${\displaystyle \det }$

${\displaystyle \det(\alpha \wedge {\star }\beta )=\langle \alpha ,\beta \rangle .}$

или , что эквивалентно, принимая , и :${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}}$${\displaystyle \beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}}$${\displaystyle \star \beta =\beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{n-k}^{\star }}$

${\displaystyle \det \left(\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\wedge \beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{n-k}^{\star }\right)\ =\ \det \left(\langle \alpha _{i},\beta _{j}\rangle \right).}$

Это означает , что, пишущий ортогональный базис K -векторов как по всем подмножеств из , Ходжа двойного является ( п - к ) -вектор , соответствующий дополнительного набора :${\displaystyle e_{I}\ =\ e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}}$${\displaystyle I=\{i_{1}<\cdots <i_{k}\}}$${\displaystyle [n]=\{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle {\bar {I}}=[n]\setminus I=\left\{{\bar {i}}_{1}<\cdots <{\bar {i}}_{n-k}\right\}}$

${\displaystyle {\star }e_{I}=(-1)^{\sigma (I)}e_{\bar {I}},}$

где - знак перестановки .${\displaystyle (-1)^{\sigma (I)}}$${\displaystyle \sigma (I)=i_{1}\cdots i_{k}{\bar {i}}_{1}\cdots {\bar {i}}_{n-k}}$

Поскольку звезда Ходжа переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис, это изометрия внешней алгебры .${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }V}$

Геометрическое объяснение [ править ]

Звезда Ходжа мотивирована соответствием между подпространством W в V и его ортогональным подпространством (относительно внутреннего продукта), где каждое пространство наделено ориентацией и числовым масштабным коэффициентом. В частности, ненулевой разложимый k -вектор соответствует вложению Плюккера в подпространство с ориентированным базисом , наделенное масштабным фактором, равным k -мерному объему параллелепипеда, натянутого на этот базис (равному грамиану , определителю матрица внутренних продуктов ). Звезду Ходжа, действующую на разложимый вектор, можно записать как разложимую (${\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\in \textstyle \bigwedge ^{\!k}V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{k}}$${\displaystyle \langle w_{i},w_{j}\rangle }$п - л ) -вектор:

${\displaystyle \star (w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k})\,=\,u_{1}\wedge \cdots \wedge u_{n-k},}$

где образуют ориентированный базис ортогонального пространства . Кроме того, ( п - к ) -VOLUME из -parallelopiped должна быть равна к -VOLUME из -parallelopiped, и должны образовывать ориентированный базис V .${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n-k}}$ ${\displaystyle U=W^{\perp }\!}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{k},u_{1},\ldots ,u_{n-k}}$

Общий k -вектор - это линейная комбинация разложимых k -векторов, и определение звезды Ходжа распространяется на общие k -векторы, определяя ее как линейную.

Примеры [ править ]

Два измерения [ править ]

В двух измерениях с нормализованной евклидовой метрикой и ориентацией, заданной порядком ( x , y ) , звезда Ходжа на k -формах задается формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,1&=dx\wedge dy\\{\star }\,dx&=dy\\{\star }\,dy&=-dx\\{\star }(dx\wedge dy)&=1.\end{aligned}}}$

На комплексной плоскости, рассматриваемой как вещественное векторное пространство со стандартной полуторалинейной формой в качестве метрики, звезда Ходжа обладает замечательным свойством инвариантности относительно голоморфных замен координат. Если z = x + iy - голоморфная функция от w = u + iv , то по уравнениям Коши – Римана имеем∂ x/∂ u знак равно ∂ y/∂ v и ∂ y/∂ u = -∂ x/∂ v. В новых координатах

${\displaystyle \alpha \ =\ p\,dx+q\,dy\ =\ \left(p{\frac {\partial x}{\partial u}}+q{\frac {\partial y}{\partial u}}\right)\,du+\left(p{\frac {\partial x}{\partial v}}+q{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)\,dv\ =\ p_{1}du+q_{1}\,dv,}$

так что

${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\alpha &=-q_{1}\,du+p_{1}\,dv\\[4pt]&=-\left(p{\frac {\partial x}{\partial v}}+q{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)du+\left(p{\frac {\partial x}{\partial u}}+q{\frac {\partial y}{\partial u}}\right)dv\\[4pt]&=-q\left({\frac {\partial x}{\partial u}}du+{\frac {\partial x}{\partial v}}dv\right)+p\left({\frac {\partial y}{\partial u}}du+{\frac {\partial y}{\partial v}}dv\right)\\[4pt]&=-q\,dx+p\,dy,\end{aligned}}}$

доказательство заявленной инвариантности.

Три измерения [ править ]

Типичным примером звездного оператора Ходжа является случай n = 3 , когда его можно рассматривать как соответствие между векторами и бивекторами. В частности, для евклидова R ³ с базисом из одного-форм часто используется в векторном исчислении , можно обнаружить , что${\displaystyle dx,dy,dz}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,dx&=dy\wedge dz\\{\star }\,dy&=dz\wedge dx\\{\star }\,dz&=dx\wedge dy.\end{aligned}}}$

Звезда Ходжа связывает внешний вид и кросс-произведение в трех измерениях: ^[2]

${\displaystyle {\star }(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )=\mathbf {u} \times \mathbf {v} \qquad {\star }(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} .}$

Применительно к трем измерениям звезда Ходжа обеспечивает изоморфизм между аксиальными векторами и бивекторами , поэтому каждый аксиальный вектор a связан с бивектором A и наоборот, то есть: ^[2] . Звезду Ходжа также можно интерпретировать как форму геометрического соответствия между осью и бесконечно малым вращением вокруг оси со скоростью, равной длине вектора оси. Внутреннее произведение на векторном пространстве дает изоморфизм, отождествляемый с его двойственным пространством , а пространство всех линейных операторов естественно изоморфно тензорному произведению . Таким образом, для${\displaystyle \mathbf {A} ={\star }\mathbf {a} ,\ \ \mathbf {a} ={\star }\mathbf {A} }$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\cong V^{*}\!}$${\displaystyle V}$${\displaystyle L:V\to V}$ ${\displaystyle V^{*}\!\!\otimes V\cong V\otimes V}$${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$звездное отображение переводит каждый вектор в бивектор , что соответствует линейному оператору . В частности, это кососимметричный оператор, который соответствует бесконечно малому вращению : то есть макроскопические вращения вокруг оси задаются матричной экспонентой . Что касается основы из , тензора соответствует координатной матрице с 1 в строке и колонке, и т.д., и клин является кососимметрической матрицей и т.д. То есть, мы можем интерпретировать оператор звезды , как:${\displaystyle \textstyle \star :V\to \bigwedge ^{\!2}\!V\subset V\otimes V}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \star \mathbf {v} \in V\otimes V}$${\displaystyle L_{\mathbf {v} }:V\to V}$${\displaystyle L_{\mathbf {v} }}$${\displaystyle \mathbb {v} }$ ${\displaystyle \exp(tL_{\mathbf {v} })}$${\displaystyle dx,dy,dz}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle dx\otimes dy}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle dx\wedge dy\,=\,dx\otimes dy-dy\otimes dx}$${\displaystyle \scriptscriptstyle \left[{\begin{array}{rrr}\,0\!\!&\!\!1&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,\!-1\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,0\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\end{array}}\!\!\!\right]}$

${\displaystyle \mathbf {v} =a\,dx+b\,dy+c\,dz\quad \longrightarrow \quad \star {\mathbf {v} }\ \cong \ L_{\mathbf {v} }\ =\left[{\begin{array}{rrr}0&c&-b\\-c&0&a\\b&-a&0\end{array}}\right].}$

В соответствии с этой переписки, перекрестное произведение векторов соответствует коммутатору скобки Ли линейных операторов: .${\displaystyle L_{\mathbf {u} \times \mathbf {v} }=L_{\mathbf {u} }L_{\mathbf {v} }-L_{\mathbf {v} }L_{\mathbf {u} }}$

Четыре измерения [ править ]

В случае n = 4 звезда Ходжа действует как эндоморфизм второй внешней степени (т.е. она отображает 2-формы в 2-формы, так как 4 - 2 = 2 ). Если сигнатура метрического тензора положительна, т. Е. На римановом многообразии , то звезда Ходжа является инволюцией ; если подпись смешанная, то приложение дважды вернет аргумент до знака - см. § Двойственность ниже. Например, в пространстве-времени Минковского, где n = 4 с метрической сигнатурой (+ - - -) и координатами ( t , x , y , z) где (используя ):${\displaystyle \varepsilon _{0123}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\star dt&=dx\wedge dy\wedge dz\\\star dx&=dt\wedge dy\wedge dz\\\star dy&=-dt\wedge dx\wedge dz\\\star dz&=dt\wedge dx\wedge dy\end{aligned}}}$

для одноформ, в то время как

${\displaystyle {\begin{aligned}\star (dt\wedge dx)&=-dy\wedge dz\\\star (dt\wedge dy)&=dx\wedge dz\\\star (dt\wedge dz)&=-dx\wedge dy\\\star (dx\wedge dy)&=dt\wedge dz\\\star (dx\wedge dz)&=-dt\wedge dy\\\star (dy\wedge dz)&=dt\wedge dx\end{aligned}}}$

для 2-х классов . Поскольку их детерминанты одинаковы в (+ - - -) и (- + + +) , знаки двойственных 2-форм пространства Минковского зависят только от выбранной ориентации. ^{[ требуется проверка ]}

Легко правило для запоминания выше операций Ходжа является то , что дается форма , ее Ходж двойной может быть получен путем записи компонент не участвуют в в таком порядке , что . ^{[ требуется проверка ]} Дополнительный знак минус будет вводиться только в том случае, если он не содержит . (Последнее соглашение проистекает из выбора (+ - - -) для метрической сигнатуры. Для (- + + +) знак минус ставится только в том случае, если это связано .)${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\star }\alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha \wedge (\star \alpha )=dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle dt}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle dt}$

Пример: производные в трех измерениях [ править ]

Комбинация оператора и внешней производной d порождает классические операторы grad , curl и div для векторных полей в трехмерном евклидовом пространстве. Это работает следующим образом: d принимает 0-форму (функцию) в 1-форму, 1-форму в 2-форму и 2-форму в 3-форму (и принимает 3-форму для нуль). Для 0-формы первый регистр, записанный в компонентах, дает:${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle f=f(x,y,z)}$

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,dz.}$

Внутренний продукт идентифицирует 1-формы с векторными полями как и т.д., так что это становится .${\displaystyle dx\mapsto (1,0,0)}$${\displaystyle df}$${\textstyle \operatorname {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)}$

Во втором случае векторное поле соответствует 1-форме , имеющей внешнюю производную:${\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}$${\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}$

${\displaystyle d\varphi =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)dy\wedge dz+\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)dx\wedge dy.}$

Применение звезды Ходжа дает 1-форму:

${\displaystyle \star d\varphi =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)\,dx-\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)\,dy+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)\,dz,}$

которое становится векторным полем .${\textstyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}},\,-{\frac {\partial C}{\partial x}}+{\frac {\partial A}{\partial z}},\,{\frac {\partial B}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)}$

В третьем случае снова соответствует . Снова применяя звезду Ходжа, внешнюю производную и звезду Ходжа:${\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}$${\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\star \varphi &=A\,dy\wedge dz-B\,dx\wedge dz+C\,dx\wedge dy,\\d{\star \varphi }&=\left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz,\\\star d{\star \varphi }&={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}=\operatorname {div} \mathbf {F} .\end{aligned}}}$

Одним из преимуществ этого выражения является то, что тождество d ² = 0 , которое верно во всех случаях, суммирует два других, а именно, что curl grad f = 0 и div curl F = 0 . В частности, уравнения Максвелла принимают особенно простой и элегантный вид, когда они выражаются через внешнюю производную и звезду Ходжа. Выражение называется кодифференциальным ; он определяется в общих чертах для любого измерения далее в статье ниже.${\displaystyle \star d\star }$

Можно также получить лапласиан Δ  f  = div grad  f в терминах вышеуказанных операций:

${\displaystyle \Delta f=\star d{\star df}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$

Лапласиан также можно рассматривать как частный случай более общего оператора Лапласа – де Рама, где - кодифференциал для -форм. Любая функция является 0-формой, и поэтому она сводится к обычному лапласиану. Для 1-формы, приведенной выше, кодифференциал есть, и после некоторой затыкания и затягивания получается лапласиан, действующий на .${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$${\displaystyle \delta =(-1)^{k}\star d\star }$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta f=0}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \delta =-\star d\star }$${\displaystyle \varphi }$

Двойственность [ править ]

Применение звезды Ходжа дважды оставляет неизменным k -вектор, за исключением его знака: так как в n -мерном пространстве V мы имеем${\displaystyle \eta \in {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$

${\displaystyle {\star }{\star }\eta =(-1)^{k(n-k)}s\eta ,}$

где s - четность сигнатуры скалярного произведения на V , то есть знак определителя матрицы скалярного произведения относительно любого базиса. Например, если n = 4 и подпись внутреннего продукта либо (+ - - -), или (- + + +), то s = −1 . Для римановых многообразий (включая евклидовы пространства) всегда s = 1 .

Из приведенного выше тождества следует, что обратное к можно представить как${\displaystyle \star }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }^{-1}:~{\textstyle \bigwedge }^{\!k}V&\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}V\\\eta &\mapsto (-1)^{k(n-k)}\!s{\star }\eta \end{aligned}}}$

Если n нечетно, то k ( n - k ) четно для любого k , тогда как если n четно, то k ( n - k ) имеет четность k . Следовательно:

${\displaystyle {\star }^{-1}={\begin{cases}s{\star }&n{\text{ is odd}}\\(-1)^{k}s{\star }&n{\text{ is even}}\end{cases}}}$

где k - степень воздействия на элемент.

На многообразиях [ править ]

Для п - мерного ориентированного псевдориманов многообразия М , применит конструкцию выше каждое кокасательному пространство и его внешние степени , и , следовательно , к дифференциальному к -формы , в глобальных сечения этого пучка . Метрика Риманина индуцирует внутреннее произведение на в каждой точке . Мы определяем двойственную по Ходжу k -форму , определяя как единственную ( n - k ) -форму, удовлетворяющую${\displaystyle {\text{T}}_{p}^{*}M}$${\displaystyle \wedge ^{k}{\text{T}}_{p}^{*}M}$ ${\displaystyle \zeta \in \Omega ^{k}(M)=\Gamma \left(\wedge ^{k}{\text{T}}^{*}\!M\right)}$ ${\displaystyle \wedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}\!M\to M}$${\displaystyle \wedge ^{k}{\text{T}}_{p}^{*}M}$${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle {\star }\zeta }$

${\displaystyle \eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \langle \eta ,\zeta \rangle \,\omega }$

для любой k -формы , где - действительная функция на , а форма объема индуцирована римановой метрикой. Интегрируя это уравнение по , правая часть становится ( интегрируемым с квадратом ) скалярным произведением на k -формах , и мы получаем:${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \langle \eta ,\zeta \rangle }$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle M}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \int _{M}\eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \langle \!\langle \eta ,\zeta \rangle \!\rangle .}$

В более общем смысле, если она неориентирована, то звезду Ходжа k -формы можно определить как ( n - k ) - псевдодифференциальную форму ; то есть дифференциальная форма со значениями в каноническом линейном расслоении .${\displaystyle M}$

Вычисление в индексной нотации [ править ]

Мы вычисляем в терминах обозначения тензорного индекса относительно базиса (не обязательно ортонормированного) в касательном пространстве и его дуальном базисе в , имеющем метрическую матрицу и обратную матрицу . Двойственной по Ходжу разложимой k -формы является:${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$${\displaystyle V=T_{p}M}$${\displaystyle \{dx_{1},\ldots ,dx_{n}\}}$${\displaystyle V^{*}=T_{p}^{*}M}$${\textstyle (g_{ij})\ =\ \left(\left\langle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right)}$${\displaystyle (g^{ij})\ =\ (\langle dx_{i},dx_{j}\rangle )}$

${\displaystyle \star \left(dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\right)\ =\ {\frac {\sqrt {|\det[g_{ab}]|}}{(n-k)!}}g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}dx^{j_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{j_{n}}.}$

Вот это символ Леви-Чивита с , и мы неявно взять сумму по всем значениям повторяющимся индексам . Факториал учитывает двойной счет и отсутствует, если индексы суммирования ограничены таким образом, чтобы . Абсолютное значение определителя необходимо, поскольку оно может быть отрицательным, как для касательных пространств к лоренцевым многообразиям .${\displaystyle \varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}}$${\displaystyle \varepsilon _{1\dots n}=1}$${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{n}}$${\displaystyle (n-k)!}$${\displaystyle j_{k+1}<\dots <j_{n}}$

Произвольную дифференциальную форму можно записать:

${\displaystyle \alpha \ =\ {\frac {1}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\ =\ \sum _{i_{1}<\dots <i_{k}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}.}$

Факториал снова включен для учета двойного счета, когда мы разрешаем нерастущие индексы. Мы хотели бы определить двойственную компоненту так, чтобы двойственная по Ходжу форма задавалась формулой${\displaystyle k!}$${\displaystyle \alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}}$

${\displaystyle \star \alpha ={\frac {1}{(n-k)!}}(\star \alpha )_{i_{k+1},\dots ,i_{n}}dx^{i_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{n}}.}$

Используя приведенное выше выражение для двойственного по Ходжу , находим: ^[3]${\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}}$

${\displaystyle (\star \alpha )_{i_{k+1},\dots ,i_{n}}={\frac {\sqrt {|\det[g_{ab}]|}}{k!}}\alpha ^{i_{1},\dots ,i_{k}}\,\,\varepsilon _{i_{1},\dots ,i_{n}}.}$

Хотя это выражение можно применить к любому тензору , результат будет антисимметричным, так как сокращение с полностью антисимметричным символом Леви-Чивиты отменяет все, кроме полностью антисимметричной части тензора. Таким образом, это эквивалентно антисимметризации с последующим применением звезды Ходжа.${\displaystyle \alpha }$

Форма единицы объема определяется как:${\displaystyle \omega =\star 1\in \wedge ^{n}V^{*}}$

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}\;dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.}$

Кодифференциальный [ править ]

Наиболее важное применение звезды Ходжа на многообразиях - определение кодифференциала на k -формах. Позволять${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \delta =(-1)^{n(k-1)+1}s\ {\star }d{\star }=(-1)^{k}\,{\star }^{-1}d{\star }}$

где - внешняя производная или дифференциал, а для римановых многообразий. потом${\displaystyle d}$${\displaystyle s=1}$

${\displaystyle d:\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)}$

пока

${\displaystyle \delta :\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k-1}(M).}$

Кодифференциал не является antiderivation на внешней алгебре, в отличие от внешней производной.

Кодифференциал является сопряженным к внешней производной относительно интегрируемого с квадратом внутреннего произведения:

${\displaystyle \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle \ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle ,}$

где это ( к + 1) -форма и к -форма. Это тождество следует из теоремы Стокса для гладких форм:${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle 0\ =\ \int _{M}d(\eta \wedge {\star }\zeta )\ =\ \int _{M}\left(d\eta \wedge {\star }\zeta -\eta \wedge {\star }(-1)^{k+1}\,{\star }^{-1}d{\star }\zeta \right)\ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle -\langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle ,}$

при условии, что M имеет пустую границу или нулевые граничные значения. (Правильное определение вышеизложенного требует указания топологического векторного пространства, которое является замкнутым и полным на пространстве гладких форм. Обычно используется пространство Соболева ; оно позволяет менять местами сходящуюся последовательность форм (as ) с комбинированными дифференциальные и интегральные операции, так что и для последовательностей, сходящихся к .)${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \star \zeta }$${\displaystyle \zeta _{i}\to \zeta }$${\displaystyle i\to \infty }$${\displaystyle \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta _{i}\rangle \!\rangle \to \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle }$${\displaystyle \eta }$

Поскольку дифференциал удовлетворяет , кодифференциал обладает соответствующим свойством${\displaystyle d^{2}=0}$

${\displaystyle \delta ^{2}=s^{2}{\star }d{\star }{\star }d{\star }=(-1)^{k(n-k)}s^{3}{\star }d^{2}{\star }=0.}$

Оператор Лапласа – деРама задается формулой

${\displaystyle \Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta }$

и лежит в основе теории Ходжа . Он симметричен:

${\displaystyle \langle \!\langle \Delta \zeta ,\eta \rangle \!\rangle =\langle \!\langle \zeta ,\Delta \eta \rangle \!\rangle }$

и неотрицательный:

${\displaystyle \langle \!\langle \Delta \eta ,\eta \rangle \!\rangle \geq 0.}$

Звезда Ходжа передает гармонические формы гармоническим формам. Как следствие теории Ходжа , то когомологий де Рама естественно изоморфно пространству гармонических К -формы, и поэтому звезда индуцирует Ходжа изоморфизм групп когомологий

${\displaystyle {\star }:H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),}$

что в свою очередь дает канонические отождествления через двойственности Пуанкаре из H ^к ( М ) с его двойственным пространством .

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дэвид Бликер (1981) Теория калибровки и вариационные принципы . Эддисон-Уэсли Паблишинг. ISBN 0-201-10096-7 . Гл. 0 содержит сжатый обзор неримановой дифференциальной геометрии. 
• Юрген Йост (2002) Риманова геометрия и геометрический анализ . Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2 . Подробное изложение, начиная с основных принципов; не рассматривает псевдориманов случай. 
• Чарльз В. Миснер , Кип С. Торн , Джон Арчибальд Уиллер (1970) Гравитация . WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0 . Базовый обзор дифференциальной геометрии в частном случае четырехмерного пространства - времени . 
• Стивен Розенберг (1997) Лапласиан на римановом многообразии . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-46831-0 . Введение в уравнение теплопроводности и теорему Атьи – Зингера . 
• Тевиан Дрей (1999) Двойственный оператор Ходжа . Подробный обзор определения и свойств звездного оператора Ходжа.