Матрица грамиана

В линейной алгебре , то матрица Грама (или Определитель Грам , Gramian ) из набора векторов в качестве внутреннего пространства продукта является эрмитовой матрицей из внутренних произведений , чьи записи задаются . ^[1] Если векторы являются действительными и столбцы матрицы , то матрица Грама является .${\ displaystyle v_ {1}, \ dots, v_ {n}}$${\ displaystyle G_ {ij} = \ left \ langle v_ {i}, v_ {j} \ right \ rangle}$${\ displaystyle v_ {1}, \ dots, v_ {n}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X ^ {\ top} X}$

Важным приложением является вычисление линейной независимости : набор векторов линейно независим тогда и только тогда, когда определитель Грама ( определитель матрицы Грама) отличен от нуля.

Он назван в честь Йоргена Педерсена Грама .

Примеры [ править ]

Для конечномерных вещественных векторов с обычным евклидовым скалярным произведением матрица Грама имеет вид просто , где - матрица, столбцы которой являются векторами . Для комплексных векторов , где это сопряженное транспонирование из .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle G = V ^ {\ top} V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle v_ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$${\ Displaystyle G = V ^ {*} V}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ displaystyle V}$

Для заданных суммируемых с квадратом функций на интервале матрица Грама имеет вид:${\ Displaystyle \ {\ ell _ {я} (\ cdot), \, я = 1, \ точки, п \}}$${\ displaystyle \ left [t_ {0}, t_ {f} \ right]}$${\ Displaystyle G = \ влево [G_ {ij} \ right]}$

${\ displaystyle G_ {ij} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {f}} \ ell _ {i} (\ tau) \ ell _ {j} ^ {*} (\ tau) \, д \ тау.}$

Для любой билинейной формы в конечномерном векторном пространстве над любым полем мы можем определить матрицу Грама, присоединенную к набору векторов с помощью . Матрица будет симметричной, если билинейная форма симметрична.${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle v_ {1}, \ dots, v_ {n}}$${\ Displaystyle G_ {ij} = B \ left (v_ {i}, v_ {j} \ right)}$${\ displaystyle B}$

Приложения [ править ]

Свойства [ править ]

Позитивная полуопределенность [ править ]

Матрица Грама симметрична в том случае, если реальный продукт является вещественным; он эрмитов в общем, сложном случае по определению внутреннего продукта .

Матрица Грама является положительно полуопределенной матрицей , и каждая положительно полуопределенная матрица является матрицей Грама для некоторого набора векторов. Тот факт, что матрица Грамиана является положительно-полуопределенной, можно увидеть из следующего простого вывода:

${\displaystyle x^{\textsf {T}}\mathbf {G} x=\sum _{i,j}x_{i}x_{j}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\sum _{i,j}\left\langle x_{i}v_{i},x_{j}v_{j}\right\rangle =\left\langle \sum _{i}x_{i}v_{i},\sum _{j}x_{j}v_{j}\right\rangle =\left\|\sum _{i}x_{i}v_{i}\right\|^{2}\geq 0.}$

Первое равенство следует из определения умножения матриц, второе и третье - из билинейности скалярного произведения , а последнее - из положительной определенности скалярного произведения. Обратите внимание, что это также показывает, что матрица Грамиана положительно определена тогда и только тогда, когда векторы линейно независимы (то есть для всех ). ^[1]${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle \textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\neq 0}$${\displaystyle x}$

Нахождение векторной реализации [ править ]

Для любой положительно полуопределенной матрицы ее можно разложить как:${\displaystyle M}$

${\displaystyle M=B^{*}B}$,

где это сопряженное транспонирование из (или в реальном случае).${\displaystyle B^{*}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle M=B^{\textsf {T}}B}$

Вот это матрица, где есть ранг из . Различные способы получить такое разложение включают вычисление разложения Холецкого или извлечение неотрицательного квадратного корня из .${\displaystyle B}$${\displaystyle k\times n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Колонны из можно рассматривать как п векторов (или K - мерное евклидово пространство , в реальном случае). потом${\displaystyle b^{(1)},\dots ,b^{(n)}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

${\displaystyle M_{ij}=b^{(i)}\cdot b^{(j)}}$

где скалярное произведение - это обычный внутренний продукт на .${\displaystyle a\cdot b=\sum _{\ell =1}^{k}a_{\ell }^{*}b_{\ell }}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$

Таким образом, эрмитова матрица является положительно полуопределенной тогда и только тогда, когда она является матрицей Грама некоторых векторов . Такие векторы называют реализацию вектора из . Бесконечномерный аналог этого утверждения - теорема Мерсера .${\displaystyle M}$${\displaystyle b^{(1)},\dots ,b^{(n)}}$${\displaystyle M}$

Уникальность векторных реализаций [ править ]

Если - матрица Грама векторов в , то применение любого поворота или отражения (любого ортогонального преобразования , то есть любой евклидовой изометрии, сохраняющей 0) к последовательности векторов приводит к той же матрице Грама. То есть для любой ортогональной матрицы матрица Грама также равна .${\displaystyle M}$${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle Q}$${\displaystyle Qv_{1},\dots ,Qv_{n}}$${\displaystyle M}$

Это единственный способ, которым две реальные реализации векторов могут различаться: векторы уникальны с точностью до ортогональных преобразований . Другими словами, скалярные произведения и равны тогда и только тогда, когда какое-то жесткое преобразование преобразует векторы в и 0 в 0.${\displaystyle M}$${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$${\displaystyle v_{i}\cdot v_{j}}$${\displaystyle w_{i}\cdot w_{j}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n}}$

То же самое и в комплексном случае с унитарными преобразованиями вместо ортогональных. То есть, если матрица Грама векторов равна матрице Грама векторов в , то существует унитарная матрица (значение ) такая, что для . ^[3]${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$ ${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{*}U=I}$${\displaystyle v_{i}=Uw_{i}}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

Другие свойства [ править ]

• Матрица Грама любого ортонормированного базиса является единичной матрицей.
• Ранг матрицы векторов Грама в или равен размерности пространства, натянутого на эти векторы. ^[1]${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$

Определитель грамма [ править ]

Определитель Грама или Gramian определитель матрицы Грама:

${\displaystyle G(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}\langle x_{1},x_{1}\rangle &\langle x_{1},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{1},x_{n}\rangle \\\langle x_{2},x_{1}\rangle &\langle x_{2},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{2},x_{n}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle x_{n},x_{1}\rangle &\langle x_{n},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{n},x_{n}\rangle \end{vmatrix}}.}$

Если - векторы in , то это квадрат n- мерного объема параллелоэдра, образованного векторами. В частности, векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда параллелоэдр имеет ненулевой n -мерный объем, тогда и только тогда, когда определитель Грама отличен от нуля, тогда и только тогда, когда матрица Грама невырождена . Когда m = n, это сводится к стандартной теореме о том, что определитель n n-мерных векторов является n-мерным объемом.${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Определитель Грама также может быть выражен через внешнее произведение векторов следующим образом:

${\displaystyle G(x_{1},\dots ,x_{n})=\|x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n}\|^{2}.}$

См. Также [ править ]

• Грамиан управляемости
• Грамиан наблюдаемости

Ссылки [ править ]

• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-54823-6.

Внешние ссылки [ править ]

• "Матрица Грама" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Объемы параллелограммов Фрэнка Джонса