Эрмитова матрица

В математике , А эрмитова матрица (или самосопряженная матрица ) представляет собой комплекс квадратная матрица , которая равна его собственному сопряженное транспонирование , то есть, элемент в я -й строке и J -го столбца равно комплексно сопряженное из элемент в j -й строке и i -м столбце для всех индексов i и j :

или в матричной форме:

${\ displaystyle A {\ text {Hermitian}} \ quad \ iff \ quad A = {\ overline {A ^ {\ mathsf {T}}}}.}.$

Эрмитовы матрицы можно понимать как комплексное расширение вещественных симметричных матриц .

Если сопряженное транспонирование матрицы обозначено как , то эрмитово свойство можно кратко записать как${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle А ^ {\ mathsf {H}}}$

Эрмитовы матрицы названы в честь Чарльза Эрмита , который продемонстрировал в 1855 году, что матрицы этой формы обладают общим свойством с реальными симметричными матрицами - всегда иметь действительные собственные значения . Другие, эквивалентные обозначения общего пользования являются , хотя к сведению , что в квантовой механике , как правило , означает комплексное сопряжение только и не сопряженное транспонирование .${\displaystyle A^{\mathsf {H}}=A^{\dagger }=A^{\ast }}$${\displaystyle A^{\ast }}$

Альтернативные характеристики [ править ]

Эрмитовы матрицы можно охарактеризовать несколькими эквивалентными способами, некоторые из которых перечислены ниже:

Равенство с присоединенным [ править ]

Квадратная матрица эрмитова тогда и только тогда, когда она равна своему сопряженному , то есть удовлетворяет${\displaystyle A}$

для любой пары векторов , где обозначает операцию скалярного произведения .${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Таким же образом определяется более общее понятие самосопряженного оператора .

Реальность квадратичных форм [ править ]

Квадратная матрица эрмитова тогда и только тогда, когда${\displaystyle A}$

Спектральные свойства [ править ]

Квадратная матрица эрмитова тогда и только тогда, когда она унитарно диагонализуема с действительными собственными значениями .${\displaystyle A}$

Приложения [ править ]

Эрмитовы матрицы лежат в основе квантовой теории матричной механики, созданной Вернером Гейзенбергом , Максом Борном и Паскуалем Джорданом в 1925 году.

Примеры [ править ]

В этом разделе сопряженная транспонированная матрица обозначается как , транспонированная матрица обозначается как, а сопряженная матрица обозначается как .${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\mathsf {H}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\overline {A}}}$

См. Следующий пример:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&a-ib&c-id\\a+ib&1&m-in\\c+id&m+in&2\end{bmatrix}}}$

Диагональные элементы должны быть действительными , поскольку они должны быть комплексно сопряженными.

Хорошо известные семейства эрмитовых матриц включают матрицы Паули , на матрицы Гелл-Манна и их обобщения. В теоретической физике такие эрмитовы матрицы часто умножаются на мнимые коэффициенты ^{[1] [2],} что приводит к косоэрмитовым матрицам .

Здесь мы предлагаем еще одну полезную эрмитову матрицу на абстрактном примере. Если квадратная матрица равна умножению матрицы и ее сопряженного транспонирования, то есть , то является эрмитовой положительно полуопределенной матрицей . Кроме того, если строка полноранговая, то положительно определенная.${\displaystyle A}$${\displaystyle A=BB^{\mathsf {H}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

Свойства [ править ]

Этот раздел необходимо дополнить : Подтверждением запрошенных свойств. Вы можете помочь, добавив к нему . ( Февраль 2018 г. )

• Элементы на главной диагонали (сверху слева направо снизу) любой эрмитовой матрицы действительны .

Доказательство: по определению эрмитовой матрицы

${\displaystyle H_{ij}={\overline {H}}_{ji}}$

поэтому для i = j следует следующее.

Только записи по главной диагонали обязательно являются настоящими; Эрмитовы матрицы могут иметь произвольные комплексные элементы в их недиагональных элементах , если диагонально противоположные элементы являются комплексно сопряженными.

• Матрица, которая имеет только действительные элементы, является эрмитовой тогда и только тогда, когда она симметрична . Действительная и симметричная матрица - это просто частный случай эрмитовой матрицы.

Доказательство: по определению. Таким образом (матричная симметрия) тогда и только тогда, когда ( реально).${\displaystyle H_{ij}={\overline {H}}_{ji}}$${\displaystyle H_{ij}=H_{ji}}$${\displaystyle H_{ij}={\overline {H}}_{ij}}$${\displaystyle H_{ij}}$

Итак, если реальная антисимметричная матрица умножается на множитель мнимой единицы , то она становится эрмитовой.${\displaystyle i}$

• Каждая эрмитова матрица является нормальной матрицей . То есть .${\displaystyle AA^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}A}$

Доказательство: так .${\displaystyle A=A^{\mathsf {H}}}$${\displaystyle AA^{\mathsf {H}}=AA=A^{\mathsf {H}}A}$

• Конечномерная спектральная теорема утверждает , что любая эрмитова матрица может быть диагонализована на унитарной матрицу , и что в результате диагональная матрица имеет только вещественные элементы. Это означает, что все собственные значения эрмитовой матрицы A размерности n действительны и что A имеет n линейно независимых собственных векторов . Более того, эрмитова матрица имеет ортогональные собственные векторы для различных собственных значений. Даже если есть вырожденные собственные значения, то всегда можно найти ортогональный базис из ℂ ^п , состоящие из пСобственные векторы А .

• Сумма любых двух эрмитовых матриц эрмитова.

Доказательство: как заявлено.${\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}={\overline {A}}_{ji}+{\overline {B}}_{ji}={\overline {(A+B)}}_{ji},}$

• Обратное обратимой эрмитовой матрица эрмиты , а также.

Доказательство: если , то так, как заявлено.${\displaystyle A^{-1}A=I}$${\displaystyle I=I^{\mathsf {H}}=\left(A^{-1}A\right)^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}=A\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}}$${\displaystyle A^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}}$

• Продукт из двух эрмитовых матриц A и B эрмитов тогда и только тогда , когда АВ = ВА .

Доказательство: обратите внимание, что таким образом тогда и только тогда, когда .${\displaystyle (AB)^{\mathsf {H}}={\overline {(AB)^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}}}\ {\overline {A^{\mathsf {T}}}}=B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=BA.}$${\displaystyle (AB)^{\mathsf {H}}=AB}$ ${\displaystyle AB=BA}$

Таким образом, A ⁿ эрмитово, если A эрмитово, а n - целое число.

• Если A и B эрмитовы, то ABA также эрмитовы.
• Для произвольного комплекснозначного вектора v произведение является вещественным из-за . Это особенно важно в квантовой физике, где эрмитовы матрицы - это операторы, которые измеряют свойства системы, например полный спин, который должен быть действительным.${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} =\left(\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} \right)^{\mathsf {H}}}$

• Эрмитова комплекса N матрицу с размерностью п матрицы не образуют векторное пространство над комплексными числами , ℂ , так как единичной матрицы I _п эрмитов, но я  я _п нет. Однако сложные эрмитовых матрицы делают образуют векторное пространство над вещественными числами ℝ . В 2 л ² - мерное векторного пространства комплексного п  х  п матриц над ℝ , комплексные эрмитовы матрицы образуют подпространство размерности п ^-. Если Е _JK обозначает в н матрице с размерностью п матрицы с 1 в J , K позиции и нули в других местах, базис (ортонормированный относительно фробениусовый внутренний продукт) может быть описана следующим образом :

${\displaystyle E_{jj}{\text{ for }}1\leq j\leq n\quad (n{\text{ matrices}})}$

вместе с набором матриц вида

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}+E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right)}$

и матрицы

${\displaystyle {\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}-E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right)}$

где обозначает комплексное число , называемое мнимой единицей .${\displaystyle i}$${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

• Если п ортонормальные собственные векторы эрмитова матрицы выбираются и записываются в качестве столбцов матрицы U , то один eigendecomposition из А является , где и , следовательно ,${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$${\displaystyle A=U\Lambda U^{\mathsf {H}}}$${\displaystyle UU^{\mathsf {H}}=I=U^{\mathsf {H}}U}$

${\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}\mathbf {u} _{j}\mathbf {u} _{j}^{\mathsf {H}},}$

где - собственные значения на диагонали диагональной матрицы .${\displaystyle \lambda _{j}}$${\displaystyle \Lambda }$

• Определитель эрмитовой матрицы действительный:

Доказательство: ${\displaystyle \det(A)=\det \left(A^{\mathsf {T}}\right)\quad \Rightarrow \quad \det \left(A^{\mathsf {H}}\right)={\overline {\det(A)}}}$

Следовательно, если .${\displaystyle A=A^{\mathsf {H}}\quad \Rightarrow \quad \det(A)={\overline {\det(A)}}}$

(В качестве альтернативы определитель является произведением собственных значений матрицы, и, как упоминалось ранее, собственные значения эрмитовой матрицы действительны.)

Разложение на эрмитово и косоэрмитово [ править ]

Дополнительные факты, относящиеся к эрмитовым матрицам, включают:

• Сумма квадратной матрицы и сопряженной к ней транспонированной эрмитовой матрицы .${\displaystyle \left(A+A^{\mathsf {H}}\right)}$

• Разница между квадратной матрицей и ее сопряженным транспонированием является косоэрмитовой (также называемой антиэрмитовой). Отсюда следует, что коммутатор двух эрмитовых матриц косоэрмитов.${\displaystyle \left(A-A^{\mathsf {H}}\right)}$

• Произвольная квадратная матрица С может быть записана в виде суммы эрмитовой матрицы А и косоэрмитов матрицы B . Это известно как разложение Теплицы из C . ^{[3] : с. 7}

${\displaystyle C=A+B\quad {\mbox{with}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\mbox{and}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(C-C^{\mathsf {H}}\right)}$

Коэффициент Рэлея [ править ]

В математике для данной комплексной эрмитовой матрицы M и ненулевого вектора x фактор Рэлея ^[4] определяется как: ^{[3] : p. 234 [5]}${\displaystyle R(M,\mathbf {x} )}$

${\displaystyle R(M,\mathbf {x} ):={\frac {\mathbf {x} ^{\mathsf {H}}M\mathbf {x} }{\mathbf {x} ^{\mathsf {H}}\mathbf {x} }}.}$

Для вещественных матриц и векторов условие эрмитовости сводится к тому, чтобы быть симметричным, а сопряженное транспонирование к обычному транспонированию . Обратите внимание, что для любого ненулевого действительного скаляра . Также напомним, что эрмитова (или вещественная симметричная) матрица имеет действительные собственные значения.${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {H}}}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle R(M,c\mathbf {x} )=R(M,\mathbf {x} )}$${\displaystyle c}$

Можно показать ^{[ необходима цитата ],} что для данной матрицы коэффициент Рэлея достигает своего минимального значения (наименьшее собственное значение M), когда is (соответствующий собственный вектор). Аналогично и .${\displaystyle \lambda _{\min }}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {v} _{\min }}$${\displaystyle R(M,\mathbf {x} )\leq \lambda _{\max }}$${\displaystyle R(M,\mathbf {v} _{\max })=\lambda _{\max }}$

Фактор Рэлея используется в теореме min-max для получения точных значений всех собственных значений. Он также используется в алгоритмах собственных значений для получения приближения собственного значения из приближения собственного вектора. В частности, это основа для итерации фактора Рэлея.

Диапазон отношения Рэлея (для матрицы, которая не обязательно является эрмитовой) называется числовым диапазоном (или спектром в функциональном анализе). Когда матрица эрмитова, числовой диапазон равен спектральной норме. Еще в функциональном анализе он известен как спектральный радиус. В контексте C * -алгебр или алгебраической квантовой механики функция, которая связывает с M фактор Рэлея R ( M , x ) для фиксированного x и M, изменяющегося через алгебру, будет называться «векторным состоянием» алгебры .${\displaystyle \lambda _{\max }}$

См. Также [ править ]

• Векторное пространство
• Косоэрмитова матрица (антиэрмитова матрица)
• Формула инерционной аддитивности Хейнсворта
• Эрмитова форма
• Самосопряженный оператор
• Унитарная матрица
• Нормальная матрица

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Эрмитова матрица" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Визуализация эрмитовой матрицы в виде эллипса с доктором Гео» , написанная Чао-Куэем Хунгом из Университета Чаоян, дает более геометрическое объяснение.
• «Эрмитовы матрицы» . MathPages.com .