Матричная механика

Квантовая механика
Часть серии по
${\ Displaystyle я \ HBAR {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} \| \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} \| \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Пространство фока
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген Космологический де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

Матричная механика - это формулировка квантовой механики, созданная Вернером Гейзенбергом , Максом Борном и Паскуалем Джорданом в 1925 году. Это была первая концептуально автономная и логически последовательная формулировка квантовой механики. Его счет квантовых скачков вытеснили модели Бора «сек электронные орбиты . Это было сделано путем интерпретации физических свойств частиц как матриц , эволюционирующих во времени. Это эквивалентно формулировке волнового Шредингера квантовой механики, так как проявляется в дираковской «с Бра и кет .

В некотором отличие от волновой формулировки, он создает спектры (в основном энергетических) операторов чисто алгебраическими методами лестничных операторов . ^[1] Опираясь на эти методы, Вольфганг Паули получил спектр атома водорода в 1926 году ^[2] до появления волновой механики.

Развитие матричной механики [ править ]

В 1925 году Вернер Гейзенберг , Макс Борн и Паскуаль Джордан сформулировали матричное представление квантовой механики.

Богоявление на Гельголанде [ править ]

В 1925 году Вернер Гейзенберг работал в Геттингене по проблеме вычисления спектральных линий от водорода . К маю 1925 года он начал попытки описывать атомные системы только с помощью наблюдаемых . 7 июня, чтобы избежать последствий тяжелого приступа сенной лихорадки , Гейзенберг уехал на свободный от пыльцы остров Гельголанд в Северном море . Находясь там, в перерывах между лазанием и заучиванием стихов из « West-östlicher Diwan» Гете , он продолжал размышлять над призрачной проблемой и, в конце концов, понял, что использование наблюдаемых вне дома может решить эту проблему. Позже он писал:

Было около трех часов ночи, когда передо мной предстал окончательный результат расчета. Сначала я был глубоко потрясен. Я был так взволнован, что не мог даже думать о сне. Я вышел из дома и стал ждать восхода солнца на вершине скалы. ^[3]

Три фундаментальных статьи [ править ]

После того, как Гейзенберг вернулся в Геттинген, он показал Вольфгангу Паули свои расчеты, комментируя в одном месте:

Мне все еще неясно и непонятно, но похоже, что электроны больше не будут двигаться по орбитам. ^[4]

9 июля Гейзенберг передал ту же самую статью своих расчетов Максу Борну, заявив, что «он написал сумасшедшую статью и не осмелился отправить ее для публикации, и что Борну следует прочитать ее и дать ему совет» перед публикацией. Затем Гейзенберг на время уехал, предоставив Борну проанализировать газету. ^[5]

В статье Гейзенберг сформулировал квантовую теорию без резких электронных орбит. Хендрик Крамерс ранее рассчитал относительные интенсивности спектральных линий в модели Зоммерфельда , интерпретируя коэффициенты Фурье орбит как интенсивности. Но его ответ, как и все другие вычисления в старой квантовой теории , был верен только для больших орбит .

Гейзенберг после сотрудничества с Крамерсом ^[6] начал понимать, что вероятности переходов не были вполне классическими величинами, потому что единственные частоты, которые появляются в рядах Фурье, должны быть те, которые наблюдаются в квантовых скачках, а не вымышленные, которые происходят из фурье-анализирующих острых классических орбит. Он заменил классический ряд Фурье матрицей коэффициентов, нечетким квантовым аналогом ряда Фурье. Классически коэффициенты Фурье определяют интенсивность испускаемого излучения , поэтому в квантовой механике величина матричных элементов оператора положения- интенсивность излучения в спектре ярких линий. Величины в формулировке Гейзенберга были классическими положением и импульсом, но теперь они больше не были четко определены. Каждая величина была представлена набором коэффициентов Фурье с двумя индексами, соответствующими начальному и конечному состояниям. ^[7]

Когда Born прочитал бумагу, он признал формулировку , как тот , который может быть расшифрован и распространяется на систематическом язык матриц , ^[8] , которые он узнал от своего исследования под Джакоб Розансом ^[9] в Бреслау университете . Борн с помощью своего помощника и бывшего ученика Паскуаля Джордана немедленно приступил к транскрипции и расширению, и они представили свои результаты для публикации; Статья поступила в печать всего через 60 дней после статьи Гейзенберга. ^[10]

До конца года все три автора представили для публикации следующий документ. ^[11] (Краткий обзор роли Борна в разработке формулировки матричной механики квантовой механики вместе с обсуждением ключевой формулы, включающей некоммутивность амплитуд вероятностей, можно найти в статье Джереми Бернстайна . ^{[12] ]} Подробный исторический и технический отчет можно найти в книге Мехры и Рехенберга « Историческое развитие квантовой теории. Том 3. Формулировка матричной механики и ее модификации 1925–1926». ^[13] )

Три фундаментальных документа:

W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und Mechanischer Beziehungen , Zeitschrift für Physik , 33 , 879-893, 1925 (получено 29 июля 1925 г.). [Английский перевод на: BL van der Waerden, редактор, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (английское название: Квантовая теоретическая переинтерпретация кинематических и механических отношений ).]
М. Борн и П. Йордан, Zur Quantenmechanik , Zeitschrift für Physik , 34 , 858-888, 1925 (получено 27 сентября 1925 г.). [Английский перевод на: BL van der Waerden, редактор, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (английское название: On Quantum Mechanics ).]
M. Born, W. Heisenberg и P. Jordan, Zur Quantenmechanik II , Zeitschrift für Physik , 35 , 557-615, 1926 (получено 16 ноября 1925 г.). [Английский перевод на: BL van der Waerden, редактор, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (английское название: On Quantum Mechanics II ).]

До этого времени матрицы редко использовались физиками; они считались принадлежащими к области чистой математики. Густав Ми использовал их в своей статье по электродинамике в 1912 году, а Борн использовал их в своей работе по решеточной теории кристаллов в 1921 году. Хотя в этих случаях использовались матрицы, алгебра матриц с их умножением не входила в картину как они сделали это в матричной формулировке квантовой механики. ^[14]

Борн, однако, изучил матричную алгебру у Розана, как уже отмечалось, но Борн также изучил теорию интегральных уравнений и квадратичных форм Гильберта для бесконечного числа переменных, как видно из цитаты Борна из работы Гильберта Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen, опубликованный в 1912 году. ^[15]^[16]

Джордан тоже был хорошо подготовлен для этой задачи. В течение ряда лет он был помощником Ричарда Куранта в Геттингене при подготовке книги Куранта и Дэвида Гильберта « Methoden der Mathematischen Physik I» , которая была опубликована в 1924 году. ^[17] Эта книга, к счастью, содержала большой многие математические инструменты, необходимые для дальнейшего развития квантовой механики.

В 1926 году Джон фон Нейман стал помощником Дэвида Гильберта, и он ввел термин « гильбертово пространство» для описания алгебры и анализа, которые использовались при развитии квантовой механики. ^[18]^[19]

Важнейший вклад в эту формулировку был достигнут в работе Дирака 1925 года, посвященной переосмыслению / синтезу, ^{[20], в} которой были изобретены язык и структура, обычно используемые сегодня, в полном отображении некоммутативной структуры всей конструкции.

Рассуждения Гейзенберга [ править ]

До матричной механики старая квантовая теория описывала движение частицы по классической орбите с четко определенными положением и импульсом X ( t ), P ( t ) с ограничением, что интеграл по времени за один период T импульса, умноженный на скорость должна быть положительным целым числом, кратным постоянной Планка.

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} P \; {dX \ over dt} \; dt = \ int _ {0} ^ {T} P \; dX = nh}

.

Хотя это ограничение правильно выбирает орбиты с более или менее правильными значениями энергии E _n , старый квантово-механический формализм не описывал зависящие от времени процессы, такие как испускание или поглощение излучения.

Когда классическая частица слабо связана с полем излучения, так что радиационным затуханием можно пренебречь, она будет испускать излучение по схеме, которая повторяется каждый период обращения . Частоты , которые составляют расходящуюся волну затем целым кратным орбитальной частоты, и это отражает тот факт , что Х ( т ) является периодическим, так что его представление Фурье имеет частоты 2л п / T только.

{\ displaystyle X (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {2 \ pi int / T} X_ {n}}

.

Коэффициенты X _n - комплексные числа . Те с отрицательными частотами должны быть комплексно сопряженными с теми, с положительными частотами, так что X ( t ) всегда будет действительным,

X_{n}=X_{-n}^{*}

.

С другой стороны, квантово-механическая частица не может излучать непрерывно, она может испускать только фотоны. Если предположить, что квантовая частица стартовала с орбиты номер n , испустила фотон, а затем оказалась на орбите номер m , энергия фотона равна $E n - E m$ , что означает, что его частота равна $(E n - E m) / h$ .

При большом п и м , но с п - т относительно небольшого, эти классические частоты по Бору «с принципом соответствия

E_{n}-E_{m}\approx h(n-m)/T

.

В приведенной выше формуле T - классический период либо орбиты n, либо орбиты m , поскольку разница между ними более высокого порядка по h . Но для малых n и m или для больших n - m частоты не являются целыми кратными какой-либо одной частоте.

Поскольку частоты, которые излучает частица, совпадают с частотами в описании Фурье ее движения, это предполагает, что что- то в зависимом от времени описании частицы колеблется с частотой $(E n - E m) / h$ . Гейзенберг назвал эту величину X _nm и потребовал, чтобы она сводилась к классическим коэффициентам Фурье в классическом пределе. Для больших значений n , m, но при относительно малых n - m , X _nm представляет собой $(n - m)$ th коэффициент Фурье классического движения на орбите n . Поскольку X _nm имеет частоту, противоположную X _mn , условиедействительности X становится

X_{nm}=X_{mn}^{*}

.

По определению, X _nm имеет только частоту $(E n - E m) / h$ , поэтому его эволюция во времени проста:

X_{nm}(t)=e^{2\pi i(E_{n}-E_{m})t/h}X_{nm}(0)

.

Это первоначальная форма уравнения движения Гейзенберга.

Имея два массива X _nm и P _nm, описывающие две физические величины, Гейзенберг мог сформировать новый массив того же типа, объединив члены X _nk P _km , которые также колеблются с правильной частотой. Поскольку коэффициенты Фурье произведения двух величин представляют собой свертку коэффициентов Фурье каждой из них в отдельности, соответствие рядам Фурье позволило Гейзенбергу вывести правило, по которому массивы должны быть умножены:

(XP)_{mn}=\sum _{k=0}^{\infty }X_{mk}P_{kn}

.

Борн указал, что это закон умножения матриц , так что положение, импульс, энергия, все наблюдаемые величины в теории интерпретируются как матрицы. Согласно этому правилу умножения, произведение зависит от порядка: XP отличается от PX .

Х матрица представляет собой полное описание движения квантовой механики частицы. Поскольку частоты в квантовом движении не кратны общей частоте, матричные элементы нельзя интерпретировать как коэффициенты Фурье резкой классической траектории . Тем не менее, как матрицы, X ( t ) и P ( t ) удовлетворяют классическим уравнениям движения; также см. теорему Эренфеста ниже.

Основы работы с матрицами [ править ]

Когда она была представлена Вернером Гейзенбергом, Максом Борном и Паскуалем Джорданом в 1925 году, матричная механика не была сразу принята и поначалу вызвала споры. Позднее Шредингер ввел волновую механику .

Отчасти причина заключалась в том, что формулировка Гейзенберга была на странном для того времени математическим языком, в то время как формулировка Шредингера была основана на знакомых волновых уравнениях. Но была и более глубокая социологическая причина. Квантовая механика развивалась двумя путями: один во главе с Эйнштейном, который подчеркивал дуальность волна-частица, которую он предложил для фотонов, а другой во главе с Бором, который подчеркивал дискретные энергетические состояния и квантовые скачки, открытые Бором. Де Бройль воспроизвел дискретные энергетические состояния в рамках Эйнштейна - квантовое условие - это условие стоячей волны, и это дало надежду представителям школы Эйнштейна, что все дискретные аспекты квантовой механики будут включены в механику непрерывных волн.

Матричная механика, с другой стороны, пришла из школы Бора, которая занималась дискретными состояниями энергии и квантовыми скачками. Последователи Бора не ценили физические модели, которые изображали электроны как волны или что-то еще. Они предпочитали сосредотачиваться на количествах, непосредственно связанных с экспериментами.

В атомной физике спектроскопия дала данные наблюдений за атомными переходами, возникающими при взаимодействии атомов с квантами света . Школа Бора требовала, чтобы в теории фигурировали только те величины, которые в принципе можно измерить с помощью спектроскопии. Эти величины включают уровни энергии и их интенсивности, но они не включают точное местоположение частицы на ее боровской орбите. Очень трудно представить эксперимент, который мог бы определить, находится ли электрон в основном состоянии атома водорода справа или слева от ядра. Было глубокое убеждение, что на такие вопросы нет ответа.

Формулировка матрицы была построена на предпосылке, что все физические наблюдаемые представлены матрицами, элементы которых индексируются двумя различными уровнями энергии. Набор собственных значений матрицы в конечном итоге понимался как набор всех возможных значений, которые может иметь наблюдаемое. Поскольку матрицы Гейзенберга эрмитовы , собственные значения действительны.

Если наблюдаемое измеряется и результатом является определенное собственное значение, соответствующий собственный вектор - это состояние системы сразу после измерения. Акт измерения в матричной механике «разрушает» состояние системы. Если измерить две наблюдаемые одновременно, состояние системы коллапсирует до общего собственного вектора двух наблюдаемых. Поскольку большинство матриц не имеют общих собственных векторов, большинство наблюдаемых невозможно измерить точно в одно и то же время. Это принцип неопределенности .

Если две матрицы имеют общие собственные векторы, их можно диагонализовать одновременно. В базисе, где они обе диагональны, ясно, что их произведение не зависит от их порядка, потому что умножение диагональных матриц - это просто умножение чисел. Принцип неопределенности, напротив, является выражением того факта, что часто две матрицы A и B не всегда коммутируют, т. Е. Что AB - BA не обязательно равно 0. Фундаментальное соотношение коммутации матричной механики,

\sum _{k}(X_{nk}P_{km}-P_{nk}X_{km})={ih \over 2\pi }~\delta _{nm}

означает, что не существует состояний, которые одновременно имеют определенное положение и импульс .

Этот принцип неопределенности справедлив и для многих других пар наблюдаемых. Например, энергия также не коммутируется с положением, поэтому невозможно точно определить положение и энергию электрона в атоме.

Нобелевская премия [ править ]

В 1928 году Альберт Эйнштейн выдвинул Гейзенберга, Борна и Джордана на Нобелевскую премию по физике . ^[21] Объявление о присуждении Нобелевской премии по физике за 1932 г. было отложено до ноября 1933 г. ^[22] Именно тогда было объявлено, что Гейзенберг получил премию 1932 г. «за создание квантовой механики, применение которой привел, среди прочего, к открытию аллотропных форм водорода » ^[23], а Эрвин Шредингер и Пол Адриен Морис Дирак разделили премию 1933 года« за открытие новых продуктивных форм атомной теории ». ^[23]

Вполне можно спросить, почему Борн не был удостоен премии в 1932 году вместе с Гейзенбергом, и Бернштейн высказывает предположения по этому поводу. Один из них касается того, что Джордан вступил в нацистскую партию 1 мая 1933 года и стал штурмовиком . ^[24] Принадлежность Джордана к партии и связи Джордана с Борном вполне могли повлиять на шансы Борна на получение Премии в то время. Бернстайн также отмечает, что когда Борн наконец получил премию в 1954 году, Джордан был еще жив, в то время как премия была присуждена за статистическую интерпретацию квантовой механики, приписываемой одному Борну. ^[25]

Реакция Гейзенберга на Борна, получившего премию за Гейзенберга в 1932 году, и на Борна, получившего премию в 1954 году, также поучительна при оценке того, должен ли Борн разделить Премию с Гейзенбергом. 25 ноября 1933 года Борн получил письмо от Гейзенберга, в котором он сказал, что его письмо задержалось из-за «нечистой совести», что он один получил премию «за совместную работу в Геттингене - вы, Джордан и я. . " Далее Гейзенберг сказал, что вклад Борна и Джордана в квантовую механику не может быть изменен «неправильным решением извне». ^[26]

В 1954 году Гейзенберг написал статью в честь Макса Планка за его проницательность в 1900 году. В этой статье Гейзенберг приписал Борну и Джордану окончательную математическую формулировку матричной механики, а Гейзенберг подчеркнул, насколько велик их вклад в квантовую механику, которая не "должным образом признан в глазах общественности". ^[27]

Математическое развитие [ править ]

После того, как Гейзенберг ввел матрицы для X и P , он мог находить их матричные элементы в особых случаях путем предположений, руководствуясь принципом соответствия . Поскольку матричные элементы являются квантово-механическими аналогами коэффициентов Фурье классических орбит, простейшим случаем является гармонический осциллятор , где классические положение и импульс, X ( t ) и P ( t ), синусоидальны.

Гармонический осциллятор [ править ]

В единицах, где масса и частота осциллятора равны единице (см. Обезразмеривание ), энергия осциллятора равна

H={1 \over 2}(P^{2}+X^{2})~.

В множестве уровней из $Н$ являются орбитами по часовой стрелке, и они являются вложенными кругами в фазовом пространстве. Классическая орбита с энергией $E$ равна

X(t)={\sqrt {2E}}\cos(t),\qquad P(t)=-{\sqrt {2E}}\sin(t)~.

Старое квантовое условие диктует, что интеграл от $P dX$ по орбите, которая представляет собой площадь круга в фазовом пространстве, должен быть целым кратным постоянной Планка . Площадь круга радиуса $\sqrt 2 E$ равна $2 πE$ . Так

E={nh \over 2\pi }~,

или, в натуральных единицах, где $ħ = 1$ , энергия является целым числом.

Эти компоненты Фурье из $X (т)$ и $Р (т)$ являются простыми, и тем более, если они объединены в количествах ,

A(t)=X(t)+iP(t)={\sqrt {2E}}\,e^{-it},\quad A^{\dagger }(t)=X(t)-iP(t)={\sqrt {2E}}\,e^{it}

.

И $A,$ и $A †$ имеют только одну частоту, а X и P можно восстановить из их суммы и разности.

Поскольку $A (t)$ имеет классический ряд Фурье только с самой низкой частотой, а матричный элемент $A mn$ является $(m - n)$ -м коэффициентом Фурье классической орбиты, матрица для $A$ отлична от нуля только на линии чуть выше диагональ, где она равна $\sqrt 2 E n$ . Матрица для $A †$ также отлична от нуля только на линии под диагональю с теми же элементами.

Таким образом, из A и A † реконструкция дает

{\sqrt {2}}X(0)={\sqrt {\frac {h}{2\pi }}}\;{\begin{bmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&0&\cdots \\{\sqrt {1}}&0&{\sqrt {2}}&0&0&\cdots \\0&{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {3}}&0&\cdots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&{\sqrt {4}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix}},

и

{\sqrt {2}}P(0)={\sqrt {\frac {h}{2\pi }}}\;{\begin{bmatrix}0&-i{\sqrt {1}}&0&0&0&\cdots \\i{\sqrt {1}}&0&-i{\sqrt {2}}&0&0&\cdots \\0&i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {3}}&0&\cdots \\0&0&i{\sqrt {3}}&0&-i{\sqrt {4}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix}},

которые с точностью до выбора единиц представляют собой матрицы Гейзенберга для гармонического осциллятора. Обе матрицы эрмитовы , так как они построены из коэффициентов Фурье действительных величин.

Нахождение $X (t)$ и $P (t)$ является прямым, поскольку они являются квантовыми коэффициентами Фурье, поэтому они просто эволюционируют со временем,

X_{mn}(t)=X_{mn}(0)e^{i(E_{m}-E_{n})t},\quad P_{mn}(t)=P_{mn}(0)e^{i(E_{m}-E_{n})t}~.

Матричное произведение $X$ и $P$ не эрмитово, но имеет действительную и мнимую части. Действительная часть равна половине симметричного выражения $XP + PX$ , а мнимая часть пропорциональна коммутатору

[X,P]=(XP-PX)

.

Несложно явно проверить, что $XP - PX$ в случае гармонического осциллятора - это $iħ$ , умноженное на единицу .

Также несложно проверить, что матрица

H={1 \over 2}(X^{2}+P^{2})

- диагональная матрица с собственными значениями $E i$ .

Сохранение энергии [ править ]

Гармонический осциллятор - важный случай. Найти матрицы проще, чем определить общие условия из этих специальных форм. По этой причине Гейзенберг исследовал ангармонический осциллятор с гамильтонианом

H={1 \over 2}P^{2}+{1 \over 2}X^{2}+\epsilon X^{3}~.

В этом случае матрицы $X$ и $P$ больше не являются простыми недиагональными матрицами, поскольку соответствующие классические орбиты слегка сжаты и смещены, так что они имеют коэффициенты Фурье на каждой классической частоте. Для определения матричных элементов Гейзенберг потребовал, чтобы классические уравнения движения выполнялись как матричные уравнения:

{dX \over dt}=P\quad {dP \over dt}=-X-3\epsilon X^{2}~.

Он заметил, что если это можно сделать, то $H$ , рассматриваемая как матричная функция от $X$ и $P$ , будет иметь нулевую производную по времени.

{dH \over dt}=P*{dP \over dt}+(X+3\epsilon X^{2})*{dX \over dt}=0~,

где $A * B$ - антикоммутатор ,

A*B={1 \over 2}(AB+BA)~

.

Учитывая, что все недиагональные элементы имеют ненулевую частоту; $Постоянство H$ означает, что $H$ диагональна. Гейзенбергу было ясно, что в этой системе энергия может точно сохраняться в произвольной квантовой системе, и это очень обнадеживающий знак.

Процесс испускания и поглощения фотонов, казалось, требовал сохранения энергии в лучшем случае в среднем. Если волна, содержащая ровно один фотон, проходит над некоторыми атомами, и один из них поглощает его, этот атом должен сообщить другим, что они больше не могут поглощать фотон. Но если атомы находятся далеко друг от друга, любой сигнал не может достичь других атомов вовремя, и они могут в конечном итоге поглотить тот же фотон и рассеять энергию в окружающую среду. Когда сигнал достигнет их, другие атомы должны будут каким-то образом вспомнить эту энергию. Этот парадокс привел Бора, Крамерса и Слейтераотказаться от точного сохранения энергии. Формализм Гейзенберга, когда он был расширен, чтобы включить электромагнитное поле, очевидно собирался обойти эту проблему, намек на то, что интерпретация теории будет включать коллапс волновой функции .

Уловка дифференцирования - канонические коммутационные соотношения [ править ]

Требование сохранения классических уравнений движения не является достаточно сильным условием для определения матричных элементов. Постоянная Планка не появляется в классических уравнениях, так что матрицы могут быть построены для различных значений $ħ$ и по- прежнему удовлетворяют уравнениям движения, но с различными энергетическими уровнями.

Итак, чтобы реализовать свою программу, Гейзенбергу нужно было использовать старое квантовое условие для фиксации уровней энергии, затем заполнить матрицы коэффициентами Фурье классических уравнений, затем слегка изменить матричные коэффициенты и уровни энергии, чтобы убедиться, что классические уравнения выполнены. Это явно не удовлетворительно. Старые квантовые условия относятся к области, ограниченной острыми классическими орбитами, которые не существуют в новом формализме.

Самое важное, что открыл Гейзенберг, - это как перевести старое квантовое условие в простую формулировку матричной механики.

Для этого он исследовал интеграл действия как матричную величину,

\int _{0}^{T}\sum _{k}P_{mk}(t){dX_{kn} \over dt}dt\,\,{\stackrel {\scriptstyle ?}{\approx }}\,\,J_{mn}~.

С этим интегралом связано несколько проблем, все из которых связаны с несовместимостью матричного формализма со старой картиной орбит. Какой период T следует использовать? Полуклассический , он должен быть либо м или п , но разница порядка $ħ$ , и ответ на заказ $ħ$ ищется. Квантовое условие говорит нам , что J _млн является 2π п по диагонали, поэтому тот факт , что J классически константа говорит нам , что недиагональные элементы равны нулю.

Его решающее открытие заключалось в том, чтобы дифференцировать квантовое условие по n . Эта идея имеет полный смысл только в классическом пределе, где n - не целое число, а переменная непрерывного действия J , но Гейзенберг проделал аналогичные манипуляции с матрицами, где промежуточные выражения иногда представляют собой дискретные разности, а иногда - производные.

В нижеследующем обсуждении, для ясности, дифференцирование будет выполнено по классическим переменным, а затем будет произведен переход к матричной механике, руководствуясь принципом соответствия.

В классическом контексте производная - это производная по J интеграла, определяющего J , поэтому она тавтологически равна 1.

{d \over dJ}\int _{0}^{T}PdX=1

=\int _{0}^{T}dt\left({dP \over dJ}{dX \over dt}+P{d \over dJ}{dX \over dt}\right)=\int _{0}^{T}dt\left({dP \over dJ}{dX \over dt}-{dP \over dt}{dX \over dJ}\right)\,

где производные dP / dJ и dX / dJ следует интерпретировать как разности относительно J в соответствующие моменты времени на близлежащих орбитах, именно то, что было бы получено, если бы коэффициенты Фурье орбитального движения были дифференцированы. (Эти производные симплектически ортогональны в фазовом пространстве производным по времени dP / dt и dX / dt ).

Окончательное выражение поясняется введением переменной, канонически сопряженной с J , которая называется угловой переменной θ : производная по времени является производной по θ с точностью до множителя 2π T ,

{2\pi \over T}\int _{0}^{T}dt\left({dp \over dJ}{dX \over d\theta }-{dP \over d\theta }{dX \over dJ}\right)=1\,.

Таким образом, квантовое состояние интеграл среднего значения в течение одного цикла скобки Пуассона из X и P .

Аналогичное дифференцирование ряда Фурье P dX показывает, что все недиагональные элементы скобки Пуассона равны нулю. Скобка Пуассона двух канонически сопряженных переменных, таких как X и P , представляет собой постоянное значение 1, поэтому этот интеграл на самом деле является средним значением 1; так что это 1, как мы знали с самого начала, потому что в конце концов это dJ / dJ . Но Гейзенберг, Борн и Джордан, в отличие от Дирака, не были знакомы с теорией скобок Пуассона, поэтому для них дифференцирование эффективно вычисляло { X, P } в координатах J, θ .

Скобка Пуассона, в отличие от интеграла действия, имеет простой перевод в матричную механику - обычно она соответствует мнимой части произведения двух переменных, коммутатору .

Чтобы убедиться в этом, исследуйте (антисимметричное) произведение двух матриц A и B в пределе соответствия, где матричные элементы являются медленно меняющимися функциями индекса, имея в виду, что ответ классически равен нулю.

В пределе соответствия, когда индексы m , n большие и близкие, а k , r малы, скорость изменения матричных элементов в диагональном направлении является матричным элементом J- производной соответствующей классической величины. Таким образом, можно сдвинуть любой элемент матрицы по диагонали через соответствие,

A_{(m+r)(n+r)}-A_{mn}\approx r\;\left({dA \over dJ}\right)_{mn}\,

где правая часть на самом деле является только ( m - n ) -й компонентой Фурье dA / dJ на орбите около m к этому полуклассическому порядку, а не полностью четко определенной матрицей.

Полуклассическая производная по времени матричного элемента получается с точностью до множителя i путем умножения на расстояние от диагонали,

ikA_{m(m+k)}\approx \left({T \over 2\pi }{dA \over dt}\right)_{m(m+k)}=\left({dA \over d\theta }\right)_{m(m+k)}\,.

поскольку коэффициент A _{m (m + k)} квазиклассически является k -м коэффициентом Фурье m -й классической орбиты.

Мнимую часть произведения A и B можно вычислить, сдвигая элементы матрицы, чтобы воспроизвести классический ответ, равный нулю.

Тогда ведущий ненулевой остаток полностью определяется сдвигом. Поскольку все элементы матрицы находятся в индексах, которые находятся на небольшом расстоянии от позиции большого индекса ( m, m ), полезно ввести два временных обозначения: $A$ $[$ $r, k$ $] =$ $A$ $(m + r) (m + k)$ для матриц и $($ $dA / dJ$ $) [$ $r$ $]$ для $r$ -ых компонент Фурье классических величин,

(AB-BA)[0,k]=\sum _{r=-\infty }^{\infty }\left(A[0,r]B[r,k]-A[r,k]B[0,r]\right)

=\sum _{r}\left(\;A[-r+k,k]+(r-k){dA \over dJ}[r]\;\right)\left(\;B[0,k-r]+r{dB \over dJ}[r-k]\;\right)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]\,.

Перемещая переменную суммирования в первой сумме с $r$ на r ' = k - r , матричный элемент принимает вид

\sum _{r'}(\;A[r',k]-r'{dA \over dJ}[k-r']\;)\left(\;B[0,r']+(k-r'){dB \over dJ}[r']\;\right)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]\,

и ясно, что основная (классическая) часть сокращается.

Тогда ведущая квантовая часть без учета произведения производных высшего порядка в остаточном выражении равна

знак равно

\sum _{r'}\left(\;{dB \over dJ}[r'](k-r')A[r',k]-{dA \over dJ}[k-r']r'B[0,r']\right)

так что, наконец,

(AB-BA)[0,k]=\sum _{r'}\left(\;{dB \over dJ}[r']i{dA \over d\theta }[k-r']-{dA \over dJ}[k-r']i{dB \over d\theta }[r']\right)\,

которое можно отождествить с $i,$ умноженным на $k$ -ю классическую компоненту Фурье скобки Пуассона.

Первоначальный трюк Гейзенберга с дифференцированием в сотрудничестве с Борном и Джорданом был в конечном итоге расширен до полного полуклассического вывода квантового условия. Как только они смогли установить, что

{\frac {ih}{2\pi }}\{X,P\}_{\mathrm {PB} }\qquad \qquad \longmapsto \qquad \qquad [X,P]\equiv XP-PX={\frac {ih}{2\pi }}\,

,

это условие заменило и расширило старое правило квантования, позволяя определять матричные элементы P и X для произвольной системы просто из формы гамильтониана.

Новое правило квантования считалось универсальным , хотя вывод из старой квантовой теории требовал полуклассических рассуждений. (Однако полная квантовая трактовка более сложных аргументов в пользу скобок в 1940-х годах была оценена как расширение скобок Пуассона до скобок Мойала .)

Векторы состояния и уравнение Гейзенберга [ править ]

Для перехода к стандартной квантовой механике наиболее важным дополнением был вектор квантового состояния , который теперь записывается как | г | ⟩, который является вектором , что матрицы действуют на. Без вектора состояния непонятно, какое именно движение описывают матрицы Гейзенберга, поскольку они где-то включают все движения.

Интерпретация вектора состояния, компоненты которого записываются $ψ m$ , была предоставлена Борном. Эта интерпретация является статистической: результат измерения физической величины, соответствующей матрице $A,$ является случайным, со средним значением, равным

\sum _{mn}\psi _{m}^{*}A_{mn}\psi _{n}~.

В качестве альтернативы, что эквивалентно, вектор состояния дает амплитуду вероятности $ψ n$ для квантовой системы находиться в энергетическом состоянии $n$ .

Как только вектор состояния был введен, матричная механика могла быть повернута к любому базису , где матрица $H$ больше не должна быть диагональной. Уравнение движения Гейзенберга в его исходной форме утверждает, что $A mn$ эволюционирует во времени как фурье-компонента,

A_{mn}(t)=e^{i(E_{m}-E_{n})t}A_{mn}(0)~,

который можно преобразовать в дифференциальную форму

{dA_{mn} \over dt}=i(E_{m}-E_{n})A_{mn}~,

и его можно переформулировать так, чтобы оно было истинным в произвольном базисе, отметив, что матрица $H$ диагональна с диагональными значениями $E m$ ,

{dA \over dt}=i(HA-AH)~.

Теперь это матричное уравнение, поэтому оно справедливо в любом базисе. Это современная форма уравнения движения Гейзенберга.

Его формальное решение:

\,A(t)=e^{iHt}A(0)e^{-iHt}~.

Все эти формы приведенного выше уравнения движения говорят об одном и том же, что $A (t)$ эквивалентно $A (0)$ посредством базисного поворота на унитарную матрицу $e iHt$ , систематическая картина, разъясненная Дираком в его обозначениях на скобках. .

И наоборот, поворачивая базис вектора состояния в каждый момент времени на $e iHt$ , временная зависимость в матрицах может быть отменена. Теперь матрицы не зависят от времени, но вектор состояния вращается,

|\psi (t)\rangle =e^{-iHt}|\psi (0)\rangle ,\;\;\;\;{d|\psi \rangle \over dt}=-iH|\psi \rangle ~.

Это уравнение Шредингера для вектора состояния, и это зависящее от времени изменение базиса сводится к преобразованию в картину Шредингера с with x | г | ⟩ = г | (х) .

В квантовой механике в Гейзенберге картины в векторе состояния , | г | ⟩ не изменяется с течением времени, в то время как наблюдаемые А , удовлетворяет уравнению Гейзенберга движения ,

${\frac {dA}{dt}}={i \over \hbar }[H,A]+{\frac {\partial A}{\partial t}}~.$

Дополнительный термин предназначен для таких операторов, как

A=(X+t^{2}P)

которые имеют явную временную зависимость в дополнение к временной зависимости от обсуждаемой унитарной эволюции.

Картина Гейзенберга не отделяет время от пространства, поэтому она лучше подходит для релятивистских теорий, чем уравнение Шредингера. Более того, сходство с классической физикой более очевидно: гамильтоновы уравнения движения для классической механики восстанавливаются заменой коммутатора наверху скобкой Пуассона (см. Также ниже). По теореме Стоуна – фон Неймана картина Гейзенберга и картина Шредингера должны быть унитарно эквивалентными, как подробно описано ниже.

Дальнейшие результаты [ править ]

Матричная механика быстро превратилась в современную квантовую механику и дала интересные физические результаты по спектрам атомов.

Волновая механика [ править ]

Джордан отметил, что коммутационные соотношения гарантируют, что P действует как дифференциальный оператор .

Личность оператора

[a,bc]=abc-bca=abc-bac+bac-bca=[a,b]c+b[a,c]\,

позволяет вычислить коммутатор P с любой степенью X , и это означает, что

[P,X^{n}]=-in~X^{n-1}\,

которые вместе с линейности, следует , что P -commutator эффективно дифференцирует любую аналитическую матрицу - функцию X .

Предполагая, что пределы определены разумно, это распространяется на произвольные функции - но это расширение не нужно делать явным, пока не потребуется определенная степень математической строгости,

$[P,f(X)]=-if'(X)\,.$

Поскольку X - эрмитова матрица, она должна быть диагонализуемой, и из окончательной формы P будет ясно, что каждое действительное число может быть собственным значением. Это делает математику более тонкой, поскольку для каждой точки в пространстве существует отдельный собственный вектор.

В базисе с диагональным X произвольное состояние можно записать как суперпозицию состояний с собственными значениями x ,

|\psi \rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle \,

,

так что ψ ( х ) = ⟨ х | г | ⟩, и оператор X умножает каждый собственных векторов по х ,

X|\psi \rangle =\int _{x}x\psi (x)|x\rangle ~.

Определим линейный оператор D, дифференцирующий $ψ$ ,

D\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}\psi '(x)|x\rangle \,

,

и обратите внимание, что

(DX-XD)|\psi \rangle =\int _{x}\left[\left(x\psi (x)\right)'-x\psi '(x)\right]|x\rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle =|\psi \rangle \,

,

так что оператор - Ид подчиняется тому же коммутационное соотношение как P . Таким образом, разница между P и - iD должна коммутировать с X ,

[P+iD,X]=0\,

,

так что его можно одновременно диагонализовать с X : его значение, действующее на любое собственное состояние X, является некоторой функцией f собственного значения x .

Эта функция должна быть реальной, потому что и P, и - iD эрмитовы,

(P+iD)|x\rangle =f(x)|x\rangle \,

,

вращая каждое состояние на фазу $f$ $($ $x$ $)$ , то есть переопределяя фазу волновой функции: $|x\rangle$

\psi (x)\rightarrow e^{-if(x)}\psi (x)\,

.

Оператор iD переопределяется на сумму:

iD\rightarrow iD+f(X)\,

,

что означает, что в повернутом базисе P равно - iD .

Следовательно, всегда существует основа для собственных значений X, где действие P на любую волновую функцию известно:

P\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}-i\psi '(x)|x\rangle \,

,

а гамильтониан в этом базисе является линейным дифференциальным оператором на компонентах вектора состояния:

\left[{P^{2} \over 2m}+V(X)\right]\int _{x}\psi _{x}|x\rangle =\int _{x}\left[-{1 \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+V(x)\right]\psi _{x}|x\rangle

Таким образом, уравнение движения для вектора состояния - это всего лишь знаменитое дифференциальное уравнение,

$i{\partial \over \partial t}\psi _{t}(x)=\left[-{1 \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+V(x)\right]\psi _{t}(x)\,.$

Поскольку D является дифференциальным оператором, для его разумного определения должны быть собственные значения X, которые соседствуют с каждым заданным значением. Это предполагает, что единственная возможность состоит в том, что пространство всех собственных значений X - это все действительные числа, и что P - это iD, с точностью до поворота фазы .

Чтобы сделать это строгое, требуется разумное обсуждение предельного пространства функций, и в этом пространстве это теорема Стоуна – фон Неймана : любые операторы X и P, которые подчиняются коммутационным соотношениям, могут действовать в пространстве волновых функций, при этом P - производный оператор. Это означает, что изображение Шредингера всегда доступно.

Матричная механика естественным образом легко расширяется до многих степеней свободы. Каждая степень свободы имеет отдельный X- оператор и отдельный эффективный дифференциальный оператор P , а волновая функция является функцией всех возможных собственных значений независимых коммутирующих X- переменных.

[X_{i},X_{j}]=0\,

[P_{i},P_{j}]=0\,

[X_{i},P_{j}]=i\delta _{ij}\,.

В частности, это означает , что система N взаимодействующих частицы в 3 -х измерениях описываются одним вектором, компоненты которого в базисе , где все Х диагональны является математической функцией 3 Н - мерного пространства , описывающие все их возможных позиции , эффективно много больший набор значений, чем простой набор N трехмерных волновых функций в одном физическом пространстве. Шредингер независимо пришел к такому же выводу и в конце концов доказал эквивалентность своего собственного формализма и формализма Гейзенберга.

Поскольку волновая функция является свойством всей системы, а не какой-либо ее части, описание в квантовой механике не является полностью локальным. Описание нескольких квантовых частиц коррелировало или запутывало их . Эта запутанность приводит к странным корреляциям между удаленными частицами, которые нарушают классическое неравенство Белла .

Даже если частицы могут находиться только в двух положениях, волновая функция для N частиц требует 2 ^N комплексных чисел, по одному на каждую общую конфигурацию положений. Это экспоненциально много чисел в N , поэтому моделирование квантовой механики на компьютере требует экспоненциальных ресурсов. И наоборот, это говорит о том, что можно было бы найти квантовые системы размера N, которые физически вычисляют ответы на проблемы, для решения которых обычно требуется 2 ^N бит. Это стремление к квантовым вычислениям .

Теорема Эренфеста [ править ]

Для зависящих от времени операторов X и P , $\partial / \partial т = 0$ , так что уравнение Гейзенберга выше сводится к: ^[28]

i\hbar {dA \over dt}=[A,H]=AH-HA

,

где квадратные скобки [,] обозначают коммутатор. Для гамильтониана, который есть , операторы X и P удовлетворяют: $p^{2}/2m+V(x)$

{dX \over dt}={P \over m},\quad {dP \over dt}=-\nabla V

,

где первая классическая скорость , а вторая классическая сила или градиент потенциала . Они воспроизводят форму Гамильтона законов движения Ньютона . В картине Гейзенберга операторы X и P удовлетворяют классическим уравнениям движения. Вы можете взять математическое ожидание обеих сторон уравнения, чтобы увидеть, что в любом состоянии | г | ⟩:

{\frac {d}{dt}}\langle X\rangle ={\frac {d}{dt}}\langle \psi |X|\psi \rangle ={\frac {1}{m}}\langle \psi |P|\psi \rangle ={\frac {1}{m}}\langle P\rangle

{\frac {d}{dt}}\langle P\rangle ={\frac {d}{dt}}\langle \psi |P|\psi \rangle =\langle \psi |(-\nabla V)|\psi \rangle =-\langle \nabla V\rangle \,.

Таким образом, законы Ньютона точно подчиняются ожидаемым значениям операторов в любом данном состоянии. Это теорема Эренфеста , которая является очевидным следствием уравнений движения Гейзенберга, но менее тривиальна в картине Шредингера, где ее открыл Эренфест.

Теория трансформации [ править ]

В классической механике каноническое преобразование координат фазового пространства - это преобразование, которое сохраняет структуру скобок Пуассона. Новые переменные $x ', p'$ имеют такие же скобки Пуассона друг с другом, что и исходные переменные $x, p$ . Временная эволюция - это каноническое преобразование, поскольку фазовое пространство в любой момент времени является таким же хорошим выбором переменных, как и фазовое пространство в любое другое время.

Гамильтонов поток - это каноническое преобразование :

x\rightarrow x+dx=x+{\partial H \over \partial p}dt

p\rightarrow p+dp=p-{\partial H \over \partial x}dt~.

Поскольку гамильтониан может быть произвольной функцией от x и p , существуют такие бесконечно малые канонические преобразования, соответствующие каждой классической величине $G$ , где $G$ служит гамильтонианом для создания потока точек в фазовом пространстве для приращения времени s ,

dx={\partial G \over \partial p}ds=\{G,X\}ds\,

dp=-{\partial G \over \partial x}ds=\{G,P\}ds\,.

Для общей функции $A (x, p)$ на фазовом пространстве ее бесконечно малое изменение на каждом шаге ds при этом отображении равно

dA={\partial A \over \partial x}dx+{\partial A \over \partial p}dp=\{A,G\}ds\,.

Величина $G$ называется инфинитезимальным генератором канонического преобразования.

В квантовой механике квантовый аналог $G$ теперь представляет собой эрмитову матрицу, а уравнения движения задаются коммутаторами:

dA=i[G,A]ds\,.

Бесконечно малые канонические движения могут быть формально интегрированы так же, как уравнение движения Гейзенберга:

A'=U^{\dagger }AU\,

где $U = е IGS$ и $ев$ произвольный параметр.

Таким образом, определение квантового канонического преобразования - это произвольное унитарное изменение базиса в пространстве всех векторов состояния. $U$ - произвольная унитарная матрица, комплексное вращение в фазовом пространстве,

U^{\dagger }=U^{-1}\,.

Эти преобразования оставляют неизменной сумму абсолютных квадратов компонентов волновой функции , в то время как они переводят состояния, кратные друг другу (включая состояния, которые являются мнимыми кратными друг другу), в состояния, которые являются одинаковыми кратными друг другу.

Интерпретация матриц заключается в том, что они действуют как генераторы движений в пространстве состояний .

Например, движение, создаваемое P, можно найти, решив уравнение движения Гейзенберга, используя P в качестве гамильтониана,

dX=i[X,P]ds=ds\,

dP=i[P,P]ds=0\,.

Это переводы матрицы X на кратное единичной матрице,

X\rightarrow X+sI~.

Это интерпретация оператора производной D : $e iPs = e D$ , экспонента оператора производной является переносом (таким образом, оператор сдвига Лагранжа ).

Х оператор аналогичным образом генерирует переводы в P . Гамильтониан генерирует сдвиги во времени , угловой момент генерирует вращения в физическом пространстве , а оператор $X 2 + P 2$ генерирует вращения в фазовом пространстве .

Когда преобразование, подобное вращению в физическом пространстве, коммутирует с гамильтонианом, преобразование называется симметрией (за вырождением) гамильтониана - гамильтониан, выраженный через повернутые координаты, совпадает с исходным гамильтонианом. Это означает, что изменение гамильтониана при генераторе инфинитезимальной симметрии L обращается в нуль:

{dH \over ds}=i[L,H]=0\,.

Отсюда следует, что изменение генератора при переводе времени также исчезает,

{dL \over dt}=i[H,L]=0\,

так что матрица L постоянна во времени: она сохраняется.

Взаимно однозначная связь генераторов бесконечно малых симметрий и законов сохранения была открыта Эмми Нётер для классической механики, где коммутаторы представляют собой скобки Пуассона , но квантово-механические рассуждения идентичны. В квантовой механике любое преобразование унитарной симметрии дает закон сохранения, поскольку если матрица U обладает свойством, что

U^{-1}HU=H\,

из этого следует, что

UH=HU

и что производная по времени от U равна нулю - она сохраняется.

Собственные значения унитарных матриц являются чистыми фазами, так что значение унитарной сохраняющейся величины является комплексным числом единичной величины, а не действительным числом. Другими словами, унитарная матрица - это экспонента от i, умноженная на эрмитову матрицу, так что аддитивная сохраняющаяся действительная величина, фаза, хорошо определена только до целого числа, кратного 2π . Только когда унитарная матрица симметрии является частью семейства, которое сколь угодно близко подходит к единице, сохраняемые действительные величины являются однозначными, и тогда требование их сохранения становится гораздо более жестким ограничением.

Симметрии, которые могут быть непрерывно связаны с идентичностью, называются непрерывными , а смещения, вращения и повышения являются примерами. Симметрии, которые не могут быть непрерывно связаны с тождеством, являются дискретными , а операция пространственной инверсии или четности и зарядового сопряжения являются примерами.

Интерпретация матриц как генераторов канонических преобразований принадлежит Полю Дираку . ^[29] Соответствие между симметриями и матрицами было показано Юджином Вигнером как полное, если включены антиунитарные матрицы, которые описывают симметрии, которые включают обращение времени.

Правила отбора [ править ]

Гейзенбергу было физически ясно, что абсолютные квадраты матричных элементов $X$ , которые являются коэффициентами Фурье колебания, дадут скорость испускания электромагнитного излучения.

В классическом пределе больших орбит, если заряд с положением $X (t)$ и зарядом $q$ колеблется рядом с равным и противоположным зарядом в положении 0, мгновенный дипольный момент равен $q X (t)$ , а изменение во времени этого момент переводится непосредственно в пространственно-временное изменение векторного потенциала, которое дает вложенные исходящие сферические волны.

Для атомов длина волны испускаемого света примерно в 10 000 раз больше атомного радиуса, и дипольный момент является единственным вкладом в радиационное поле, в то время как все другие детали распределения атомных зарядов можно игнорировать.

Пренебрегая обратной реакцией, мощность, излучаемая в каждом исходящем режиме, представляет собой сумму отдельных вкладов квадрата каждой независимой временной моды Фурье для $d$ ,

P(\omega )={2 \over 3}{\omega ^{4}}|d_{i}|^{2}~.

Теперь, в представлении Гейзенберга, коэффициенты Фурье дипольного момента матричные элементы $X$ . Это соответствие позволило Гейзенбергу установить правило для интенсивностей переходов - долю времени, в течение которой, начиная с начального состояния $i$ , излучается фотон и атом переходит в конечное состояние $j$ ,

P_{ij}={2 \over 3}(E_{i}-E_{j})^{4}|X_{ij}|^{2}\,.

Затем это позволило статистически интерпретировать величину матричных элементов: они дают интенсивность спектральных линий, вероятность квантовых скачков от испускания дипольного излучения .

Поскольку скорости переходов задаются матричными элементами $X$ , везде, где $X ij$ равно нулю, соответствующий переход должен отсутствовать. Они назывались правилами выбора и были загадкой до появления матричной механики.

Произвольное состояние атома водорода без учета спина обозначено | n ; ℓ, m⟩, где значение ℓ является мерой полного орбитального углового момента, а $m$ - его $z$ -компонента, которая определяет ориентацию орбиты. Компоненты псевдовектора углового момента равны

L_{i}=\epsilon _{ijk}X^{j}P^{k}\,

где продукты в этом выражении не зависят от порядка и действительны, потому что разные компоненты X и P коммутируют.

Коммутационные соотношения L со всеми тремя координатными матрицами X, Y, Z (или с любым вектором) легко найти:

[L_{i},X_{j}]=i\epsilon _{ijk}X_{k}\,

,

который подтверждает , что оператор L генерирует повороты между тремя компонентами вектора координат матрицы X .

Отсюда можно считать коммутатор L _z и координатные матрицы X, Y, Z :

[L_{z},X]=iY\,

,

[L_{z},Y]=-iX\,

.

Это означает, что величины $X$ $+$ $iY$ $,$ $X$ $-$ $iY$ имеют простое правило коммутации:

[L_{z},X+iY]=(X+iY)\,

,

[L_{z},X-iY]=-(X-iY)\,

.

Подобно матричным элементам X + iP и X - iP для гамильтониана гармонического осциллятора, этот закон коммутации подразумевает, что эти операторы имеют только определенные недиагональные матричные элементы в состояниях с определенным m ,

L_{z}((X+iY)|m\rangle )=(X+iY)L_{z}|m\rangle +(X+iY)|m\rangle =(m+1)(X+iY)|m\rangle \,

это означает, что матрица $(X + iY)$ переводит собственный вектор $L z$ с собственным значением $m$ в собственный вектор с собственным значением $m$ + 1. Точно так же $(X - iY)$ уменьшает $m$ на одну единицу, в то время как $Z$ не изменяет значение $m$ .

Итак, в основе | ℓ, m⟩ состояния, в которых $L 2$ и $L z$ имеют определенные значения, матричные элементы любого из трех компонентов позиции равны нулю, за исключением случаев, когда $m$ одинаковое или изменяется на единицу.

Это накладывает ограничение на изменение полного углового момента. Любое состояние можно повернуть так, чтобы его угловой момент был в максимально возможной степени в $z-$ направлении, где m = ℓ. Матричный элемент позиции, действующий на | ℓ, m⟩ может производить только значения m, которые больше на одну единицу, так что если координаты повернуты так, что конечное состояние будет | ℓ ', ℓ'⟩, значение ℓ 'может быть не более чем на единицу больше, чем наибольшее значение ℓ, которое встречается в начальном состоянии. Таким образом, 'не превосходит + 1.

Матричные элементы обращаются в нуль при '> ℓ + 1, а обратный матричный элемент определяется эрмитичностью, поэтому они исчезают также, когда' <ℓ - 1: дипольные переходы запрещены при изменении углового момента более чем на одну единицу.

Правила суммирования [ править ]

Уравнение Гейзенберга движения определяет матричные элементы Р в базисе Гейзенберга из матричных элементов X .

P_{ij}=m{d \over dt}X_{ij}=im(E_{i}-E_{j})X_{ij}\,

,

что превращает диагональную часть коммутационного соотношения в правило сумм для величин матричных элементов:

\sum _{j}P_{ij}x_{ji}-X_{ij}p_{ji}=i\sum _{j}2m(E_{i}-E_{j})|X_{ij}|^{2}=i\,

.

Это дает соотношение для суммы спектроскопических интенсивностей в любое данное состояние и из него, хотя, чтобы быть абсолютно правильным, вклады от вероятности радиационного захвата для состояний несвязанного рассеяния должны быть включены в сумму:

\sum _{j}2m(E_{i}-E_{j})|X_{ij}|^{2}=1\,

.

См. Также [ править ]

Картинка взаимодействия
Обозначение бюстгальтера
Введение в квантовую механику
Путь Гейзенберга к матричной механике

Ссылки [ править ]

^ Герберт С. Грин (1965). Матричная механика (P. Noordhoff Ltd, Гронинген, Нидерланды) ASIN: B0006BMIP8.
^ Паули, Вт (1926). "Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik . 36 (5): 336–363. Bibcode : 1926ZPhy ... 36..336P . DOI : 10.1007 / BF01450175 .
^ В. Гейзенберг, "Der Teil und das Ganze", Piper, Мюнхен, (1969) Рождение квантовой механики .
^ "Международная ассоциация квантовых структур IQSA" . www.vub.be . Проверено 13 ноября 2020 .
^ W. Heisenberg, Uber quantentheoretische Umdeutung kinematischer und Mechanischer Beziehungen , Zeitschrift für Physik , 33 , 879-893, 1925 (получено 29 июля 1925 г.). [Английский перевод на: BL van der Waerden, редактор, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (английское название: «Квантовая теоретическая переинтерпретация кинематических и механических соотношений»).]
^ HA Kramers und W. Heisenberg, Uber die Streuung von Strahlung durch Atome , Zeitschrift für Physik 31 , 681-708 (1925).
^ Эмилио Сегре, от рентгеновских лучей на Кварки: Современные физики и их открытия (WH Freeman и Company, 1980) ISBN 0-7167-1147-8 , стр 153-157.
^ Abraham Pais, времена Нильса Бора в физике, философии и политии (Clarendon Press, 1991) ISBN 0-19-852049-2 , стр 275-279.
↑ Макс Борн - Нобелевская лекция (1954)
↑ M. Born и P. Jordan, Zur Quantenmechanik , Zeitschrift für Physik , 34 , 858-888, 1925 (получено 27 сентября 1925 г.). [Английский перевод на: BL van der Waerden, редактор, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 ]
^ М. Борн, В. Гейзенберг и П. Йордан, Zur Quantenmechanik II , Zeitschrift für Physik , 35 , 557-615, 1925 (получено 16 ноября 1925 г.). [Английский перевод на: BL van der Waerden, редактор, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 ]
^ Джереми Бернштейн Макс Борн и квантовая теория , Am. J. Phys. 73 (11) 999-1008 (2005)
^ Мехра, том 3 (Springer, 2001)
^ Jammer, 1966, стр. 206-207.
↑ van der Waerden, 1968, p. 51.
^ Цитата Борна была в статье Борна и Джордана, второй статье в трилогии, которая положила начало формулировке матричной механики. См. Van der Waerden, 1968, стр. 351.
^ Констанс Рид Курант (Springer, 1996) стр. 93.
^ Джон фон Нейман Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren , Mathematische Annalen 102 49–131 (1929)
↑ Когда фон Нейман покинул Гёттинген в 1932 году, его книга о математических основах квантовой механики, основанная на математике Гильберта, была опубликована под названием Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . См .: Норман Макрэ, Джон фон Нейман: научный гений, первопроходец современного компьютера, теории игр, ядерного сдерживания и многого другого (перепечатано Американским математическим обществом, 1999 г.) и Констанс Рид, Гильберт (Springer-Verlag, 1996) ISBN 0-387-94674-8 .
^ PAM Dirac, "Основные уравнения квантовой механики", Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Содержащие статьи математического и физического характера , 109 (752), 642-653 (1925), [ https://www.jstor.org/stable/94441 онлайн]
Перейти ↑ Bernstein, 2004, p. 1004.
Перейти ↑ Greenspan, 2005, p. 190.
^ a b Нобелевская премия по физике и 1933 - выступление с презентацией Нобелевской премии.
Перейти ↑ Bernstein, 2005, p. 1004.
Перейти ↑ Bernstein, 2005, p. 1006.
Перейти ↑ Greenspan, 2005, p. 191.
Перейти ↑ Greenspan, 2005, pp. 285-286.
^ Квантовая механика, Е. Абер, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
Перейти ↑ Dirac, PAM (1981). Принципы квантовой механики (4-е пересмотренное изд.). Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-852011-5.

Дальнейшее чтение [ править ]

Джереми Бернштейн Макс Борн и квантовая теория , Am. J. Phys. 73 (11) 999-1008 (2005), DOI : 10.1119 / 1,2060717 .
Макс Борн Статистическая интерпретация квантовой механики . Нобелевская лекция - 11 декабря 1954 г.
Нэнси Торндайк Гринспен, « Конец определенного мира: жизнь и наука Макса Борна » (Basic Books, 2005) ISBN 0-7382-0693-8 . Также опубликовано в Германии: Max Born - Baumeister der Quantenwelt. Биография Эйне ( Spektrum Akademischer Verlag , 2005), ISBN 3-8274-1640-X .
Макс Джаммер «Концептуальное развитие квантовой механики» (McGraw-Hill, 1966)
Джагдиш Мехра и Гельмут Рехенберг Историческое развитие квантовой теории. Том 3. Постановка матричной механики и ее модификации 1925–1926 гг. (Springer, 2001) ISBN 0-387-95177-6
Б.Л. ван дер Варден, редактор, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1
Ян Дж. Р. Айтчисона, Дэвид А. Макманус, Томас М. Снайдер, «Понимание« волшебной »статьи Гейзенберга от июля 1925 г .: новый взгляд на детали вычислений» , American Journal of Physics , 72 , (11), 1370–1379 (2004), DOI : 10.1119 / 1,1775243 .
Томас Ф. Джордан, Квантовая механика в простой матричной форме , (публикации Dover, 2005) ISBN 978-0486445304
Мерцбахер, Э (1968). «Матричные методы в квантовой механике». Являюсь. J. Phys . 36 : 814–821. DOI : 10.1119 / 1.1975154 .

Внешние ссылки [ править ]

Обзор матричной механики
Матричные методы в квантовой механике
Квантовая механика Гейзенберга (Истоки теории и ее историческое развитие 1925-1927)
Вернер Гейзенберг, 1970, интервью на радио CBC
Вернер Карл Гейзенберг Соучредитель квантовой механики
О матричной механике в MathPages
Ян Дж. Р. Эйчисон, Дэвид А. Макманус, Томас М. Снайдер. Понимание "волшебной" статьи Гейзенберга от июля 1925 г .: новый взгляд на детали вычислений , American Journal of Physics , 72 (11) 1370–1379 (2004). DOI : 10.1119 / 1.1775243 .

[1] Герберт С. Грин (1965). Матричная механика (P. Noordhoff Ltd, Гронинген, Нидерланды) ASIN: B0006BMIP8.

[pauli_1926-2] Паули, Вт (1926). "Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik . 36 (5): 336–363. Bibcode : 1926ZPhy ... 36..336P . DOI : 10.1007 / BF01450175 .

[3] В. Гейзенберг, "Der Teil und das Ganze", Piper, Мюнхен, (1969) Рождение квантовой механики .

[4] "Международная ассоциация квантовых структур IQSA" . www.vub.be . Проверено 13 ноября 2020 .

[5] W. Heisenberg, Uber quantentheoretische Umdeutung kinematischer und Mechanischer Beziehungen , Zeitschrift für Physik , 33 , 879-893, 1925 (получено 29 июля 1925 г.). [Английский перевод на: BL van der Waerden, редактор, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (английское название: «Квантовая теоретическая переинтерпретация кинематических и механических соотношений»).]

[6] HA Kramers und W. Heisenberg, Uber die Streuung von Strahlung durch Atome , Zeitschrift für Physik 31 , 681-708 (1925).

[7] Эмилио Сегре, от рентгеновских лучей на Кварки: Современные физики и их открытия (WH Freeman и Company, 1980) ISBN 0-7167-1147-8 , стр 153-157.

[8] Abraham Pais, времена Нильса Бора в физике, философии и политии (Clarendon Press, 1991) ISBN 0-19-852049-2 , стр 275-279.

[9] Макс Борн - Нобелевская лекция (1954)

[10] M. Born и P. Jordan, Zur Quantenmechanik , Zeitschrift für Physik , 34 , 858-888, 1925 (получено 27 сентября 1925 г.). [Английский перевод на: BL van der Waerden, редактор, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 ]

[11] М. Борн, В. Гейзенберг и П. Йордан, Zur Quantenmechanik II , Zeitschrift für Physik , 35 , 557-615, 1925 (получено 16 ноября 1925 г.). [Английский перевод на: BL van der Waerden, редактор, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 ]

[12] Джереми Бернштейн Макс Борн и квантовая теория , Am. J. Phys. 73 (11) 999-1008 (2005)

[13] Мехра, том 3 (Springer, 2001)

[14] Jammer, 1966, стр. 206-207.

[15] van der Waerden, 1968, p. 51.

[16] Цитата Борна была в статье Борна и Джордана, второй статье в трилогии, которая положила начало формулировке матричной механики. См. Van der Waerden, 1968, стр. 351.

[17] Констанс Рид Курант (Springer, 1996) стр. 93.

[18] Джон фон Нейман Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren , Mathematische Annalen 102 49–131 (1929)

[19] Когда фон Нейман покинул Гёттинген в 1932 году, его книга о математических основах квантовой механики, основанная на математике Гильберта, была опубликована под названием Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . См .: Норман Макрэ, Джон фон Нейман: научный гений, первопроходец современного компьютера, теории игр, ядерного сдерживания и многого другого (перепечатано Американским математическим обществом, 1999 г.) и Констанс Рид, Гильберт (Springer-Verlag, 1996) ISBN 0-387-94674-8 .

[20] PAM Dirac, "Основные уравнения квантовой механики", Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Содержащие статьи математического и физического характера , 109 (752), 642-653 (1925), [ https://www.jstor.org/stable/94441 онлайн]

[21] Перейти ↑ Bernstein, 2004, p. 1004.

[22] Перейти ↑ Greenspan, 2005, p. 190.

[nobelprize.org-23] Нобелевская премия по физике и 1933 - выступление с презентацией Нобелевской премии.

[24] Перейти ↑ Bernstein, 2005, p. 1004.

[25] Перейти ↑ Bernstein, 2005, p. 1006.

[26] Перейти ↑ Greenspan, 2005, p. 191.

[27] Перейти ↑ Greenspan, 2005, pp. 285-286.

[28] Квантовая механика, Е. Абер, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0

[29] Перейти ↑ Dirac, PAM (1981). Принципы квантовой механики (4-е пересмотренное изд.). Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-852011-5.