Основное состояние

Уровни энергии в течение электрона в качестве атома : основное состояния и возбужденных состояний . После поглощения энергии электрон может перейти из основного состояния в возбужденное состояние с более высокой энергией.

Основное состояние из квантово-механической системы является ее lowest- энергии состояния ; энергия основного состояния известна как энергия нулевой точки системы. Возбужденное состояние любое состояние с энергией больше , чем состояние. В квантовой теории поля основное состояние обычно называют вакуумным состоянием или вакуумом .

Если существует более одного основного состояния, они называются вырожденными . Многие системы имеют вырожденные основные состояния. Вырождение происходит, когда существует унитарный оператор, который нетривиально действует на основном состоянии и коммутирует с гамильтонианом системы.

Согласно третьему закону термодинамики , система при абсолютной нулевой температуре существует в основном состоянии; таким образом, его энтропия определяется вырожденностью основного состояния. Многие системы, такие как идеальная кристаллическая решетка , имеют уникальное основное состояние и, следовательно, имеют нулевую энтропию при абсолютном нуле. Также возможно, что высшее возбужденное состояние имеет абсолютный ноль температуры для систем с отрицательной температурой .

Отсутствие узлов в одном измерении [ править ]

В одном измерении можно доказать , что основное состояние уравнения Шредингера не имеет узлов . ^[1]

Вывод [ править ]

Рассмотрим среднюю энергию состояния с узлом при x  = 0; т.е. ψ (0)  = 0. Средняя энергия в этом состоянии была бы

${\ Displaystyle \ langle \ psi | H | \ psi \ rangle = \ int dx \, \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ psi ^ {*} {\ frac {d ^ {2} \ psi} {dx ^ {2}}} + V (x) | \ psi (x) | ^ {2} \ right),}$

где V ( x ) - потенциал.

При интеграции по частям :${\displaystyle \int _{a}^{b}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}dx\,=\left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}{\frac {d\psi ^{*}}{dx}}{\frac {d\psi }{dx}}dx\,=\left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}dx\,}$

Следовательно, в случае, если он равен нулю , получаем:${\displaystyle \left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{-\infty }^{\infty }=\lim _{b\to \infty }\psi ^{*}(b){\frac {d\psi }{dx}}(b)-\lim _{a\to -\infty }\psi ^{*}(a){\frac {d\psi }{dx}}(a)}$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}dx\,={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}dx\,}$

Теперь рассмотрим небольшой интервал вокруг ; то есть . Возьмем новую (деформированную) волновую функцию ψ ' ( x ), определяемую как , при ; и для ; и константа для . Если достаточно мало, это всегда возможно, так что ψ ' ( x ) непрерывна.${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x\in [-\epsilon ,\epsilon ]}$${\displaystyle \psi '(x)=\psi (x)}$${\displaystyle x<-\epsilon }$${\displaystyle \psi '(x)=-\psi (x)}$${\displaystyle x>\epsilon }$${\displaystyle x\in [-\epsilon ,\epsilon ]}$${\displaystyle \epsilon }$

Предполагая , что вокруг , можно написать${\displaystyle \psi (x)\approx -cx}$${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle \psi '(x)=N{\begin{cases}|\psi (x)|,&|x|>\epsilon ,\\c\epsilon ,&|x|\leq \epsilon ,\end{cases}}}$

где норма.${\displaystyle N={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\epsilon ^{3}}}}}$

Обратите внимание, что плотности кинетической энергии сохраняются везде из-за нормировки. Что еще более важно, средняя кинетическая энергия уменьшается из-за деформации до ψ ' .${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|{\frac {d\psi '}{dx}}\right|^{2}<{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}}$${\displaystyle O(\epsilon )}$

Теперь рассмотрим потенциальную энергию. Для определенности выберем . Тогда ясно, что вне интервала плотность потенциальной энергии меньше для ψ ', потому что там.${\displaystyle V(x)\geq 0}$${\displaystyle x\in [-\epsilon ,\epsilon ]}$${\displaystyle |\psi '|<|\psi |}$

С другой стороны, в интервале имеем${\displaystyle x\in [-\epsilon ,\epsilon ]}$

${\displaystyle {V_{\text{avg}}^{\epsilon }}'=\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)|\psi '|^{2}={\frac {\epsilon ^{2}|c|^{2}}{1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\epsilon ^{3}}}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)\simeq 2\epsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}$

что по порядку .${\displaystyle \epsilon ^{3}}$

Однако вклад в потенциальную энергию от этой области для состояния ψ с узлом равен

${\displaystyle V_{\text{avg}}^{\epsilon }=\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)|\psi |^{2}=|c|^{2}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,x^{2}V(x)\simeq {\frac {2}{3}}\epsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}$

ниже, но все же того же низшего порядка, что и для деформированного состояния ψ ' , и субдоминантно понижению средней кинетической энергии. Следовательно, потенциальная энергия остается неизменной на порядок , если мы деформируем состояние с узлом в состояние ψ ' без узла, и изменение можно не учитывать.${\displaystyle O(\epsilon ^{3})}$${\displaystyle \epsilon ^{2}}$${\displaystyle \psi }$

Таким образом, мы можем удалить все узлы и уменьшить энергию на , что означает, что ψ ' не может быть основным состоянием. Таким образом, волновая функция основного состояния не может иметь узла. Это завершает доказательство. (Средняя энергия может быть дополнительно снижена за счет устранения волнистости до вариационного абсолютного минимума.)${\displaystyle O(\epsilon )}$

Последствия [ править ]

Поскольку основное состояние не имеет узлов, оно является пространственно невырожденным, то есть не существует двух стационарных квантовых состояний с собственным значением энергии основного состояния (назовем его ) и одним и тем же спиновым состоянием, и поэтому они будут различаться только в их пространственном положении. волновые функции . ^[1]${\displaystyle E_{g}}$

Рассуждения идут от противоречия : если бы основное состояние было вырожденным, тогда было бы два ортонормированных ^[2] стационарных состояния и - позже представленные их комплекснозначными волновыми функциями пространственного положения и - и любая суперпозиция с комплексными числами, выполняющими условие также было бы таким состоянием, т.е. имело бы такое же собственное значение энергии и такое же спин-состояние.${\displaystyle \left|\psi _{1}\right\rangle }$${\displaystyle \left|\psi _{2}\right\rangle }$${\displaystyle \psi _{1}(x,t)=\psi _{1}(x,0)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }}$${\displaystyle \psi _{2}(x,t)=\psi _{2}(x,0)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }}$ ${\displaystyle \left|\psi _{3}\right\rangle :=c_{1}\left|\psi _{1}\right\rangle +c_{2}\left|\psi _{2}\right\rangle }$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}$${\displaystyle E_{g}}$

Теперь позвольте быть некоторой случайной точкой (где определены обе волновые функции) и установите:${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle c_{1}={\frac {\psi _{2}(x_{0},0)}{a}}\,}$ и с (по посылке без узлов )${\displaystyle c_{2}={\frac {-\psi _{1}(x_{0},0)}{a}}\,}$${\displaystyle a={\sqrt {|\psi _{1}(x_{0},0)|^{2}+|\psi _{2}(x_{0},0)|^{2}}}>0\,}$

Следовательно, волновая функция пространственного положения равна${\displaystyle \left|\psi _{3}\right\rangle }$${\displaystyle \psi _{3}(x,t)=c_{1}\psi _{1}(x,t)+c_{2}\psi _{2}(x,t)={\frac {1}{a}}\left(\psi _{2}(x_{0},0)\cdot \psi _{1}(x,0)-\psi _{1}(x_{0},0)\cdot \psi _{2}(x,0)\right)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }}$

Следовательно, для всех${\displaystyle \psi _{3}(x_{0},t)={\frac {1}{a}}\left(\psi _{2}(x_{0},0)\cdot \psi _{1}(x_{0},0)-\psi _{1}(x_{0},0)\cdot \psi _{2}(x_{0},0)\right)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }=0\,}$${\displaystyle t}$

Но то есть является узлом волновой функции основного состояния, а это противоречит предположению, что эта волновая функция не может иметь узла.${\displaystyle \left\langle \psi _{3}|\psi _{3}\right\rangle =|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}$${\displaystyle x_{0}}$

Обратите внимание, что основное состояние может быть вырожденным из-за разных спиновых состояний, таких как и при наличии одной и той же волновой функции в пространственно-позиционном пространстве: любая суперпозиция этих состояний создаст смешанное спиновое состояние, но оставит пространственную часть (как общий фактор обоих) неизменной. .${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$

Примеры [ править ]

• Волновая функция основного состояния частицы в одномерном поле является полупериод синусоидальной волной , которая стремится к нулю на два краях скважины. Энергия частицы определяется выражением , где h - постоянная Планка , m - масса частицы, n - энергетическое состояние ( n = 1 соответствует энергии основного состояния), а L - ширина ямы. .${\displaystyle {\frac {h^{2}n^{2}}{8mL^{2}}}}$
• Волновая функция основного состояния атома водорода представляет собой сферически-симметричное распределение с центром в ядре , которое является наибольшим в центре и экспоненциально уменьшается на больших расстояниях. Электроны , скорее всего , можно найти на расстоянии от ядра равно к радиусу Боры . Эта функция известна как атомная орбиталь 1s . Для водорода (H) электрон в основном состоянии имеет энергию−13,6 эВ относительно порога ионизации . Другими словами, 13,6 эВ - это энергия, необходимая для того, чтобы электрон больше не был связан с атомом.
• Точное определение одной секунды от времени с 1997 годом продолжительностью9 192 631 770 периодов излучения, соответствующих переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия -133 в состоянии покоя при температуре 0 К. ^[3]

Примечания [ править ]

Библиография [ править ]

• Фейнман, Ричард ; Лейтон, Роберт; Пески, Мэтью (1965). «уровни энергии см. в разделе 2-5, а для атома водорода - 19» . Лекции Фейнмана по физике . 3 .