Решетка Браве

В геометрии и кристаллографии , А решетка Бравы , названная в честь Огюста Бравы ( 1850 ), ^[1] бесконечное множество дискретных точек , генерируемых с помощью набора дискретных перевода операций , описанных в трехмерном пространстве с помощью:

{\ displaystyle \ mathbf {R} = n_ {1} \ mathbf {a} _ {1} + n_ {2} \ mathbf {a} _ {2} + n_ {3} \ mathbf {a} _ {3} }

(1)

где n _i - любые целые числа, а a _i - примитивные векторы, которые лежат в разных направлениях (не обязательно взаимно перпендикулярно) и охватывают решетку. Выбор примитивных векторов для данной решетки Браве не уникален. Фундаментальный аспект любой решетки Браве состоит в том, что при любом выборе направления решетка будет выглядеть точно такой же из каждой дискретной точки решетки, если смотреть в этом выбранном направлении.

Концепция решетки Браве используется для формального определения кристаллической структуры и ее (конечных) границ. Кристалл состоит из периодического расположения одного или более атомов ( базисных или мотив ) в каждой точке решетки. Основа может состоять из атомов , молекул или полимерных цепочек твердого вещества .

Две решетки Браве часто считаются эквивалентными, если они имеют изоморфные группы симметрии. В этом смысле существует 14 возможных решеток Браве в трехмерном пространстве. 14 возможных групп симметрии решеток Браве - это 14 из 230 пространственных групп . В контексте классификации пространственных групп решетки Браве также называются классами Браве, арифметическими классами Браве или стаями Браве. ^[2]

Элементарная ячейка [ править ]

В кристаллографии концепция решетки Браве о бесконечном массиве дискретных точек расширяется с использованием концепции элементарной ячейки, которая включает пространство между дискретными точками решетки, а также любые атомы в этом пространстве. Есть два основных типа элементарных ячеек: примитивные ячейки и обычные ячейки.

Примитивная элементарная ячейка для данной решетки Браве может быть выбрана более чем одним способом (каждый способ имеет разную форму), но каждый способ будет иметь одинаковый объем, и каждый способ будет обладать тем свойством, что взаимно однозначное соответствие может между примитивными элементарными ячейками и точками дискретной решетки. Очевидная примитивная клетка, которую нужно связать с определенным выбором примитивных векторов, - это сформированный ими параллелепипед. ^[3] То есть множество всех точек r вида:

{\ displaystyle \ mathbf {r} = x_ {1} \ mathbf {a} _ {1} + x_ {2} \ mathbf {a} _ {2} + x_ {3} \ mathbf {a} _ {3} \ qquad {\ text {где}} 0 \ leq x_ {i} <1}

(2)

Недостатком использования параллелепипеда, определяемого примитивными векторами, в качестве элементарной ячейки в некоторых случаях является нечеткое выявление полной симметрии решетки. Решением этой проблемы является использование обычной ячейки, которая действительно отображает полную симметрию решетки. Обычный объем ячейки будет целым числом, кратным объему примитивной элементарной ячейки.

В двух измерениях [ править ]

В двумерном пространстве имеется 5 решеток Браве ^[4], сгруппированных в четыре кристаллических семейства .

Примечание. На схемах элементарных ячеек в следующей таблице точки решетки изображены с помощью черных кружков, а элементарные ячейки - с помощью параллелограммов (которые могут быть квадратами или прямоугольниками), обведенными черным контуром. Хотя каждый из четырех углов каждого параллелограмма соединяется с точкой решетки, технически только одна из четырех точек решетки принадлежит данной элементарной ячейке, а каждая из трех других точек решетки принадлежит одной из соседних элементарных ячеек. Это можно увидеть, представив перемещение параллелограмма элементарной ячейки немного влево и немного вниз, при этом все черные кружки точек решетки остаются неподвижными.

Кристальная семья	Точечная группа ( обозначение Шенфлиса )	5 решеток Браве
Кристальная семья	Точечная группа ( обозначение Шенфлиса )	Примитивный (p)	По центру (c)
Моноклиника (м)	C ₂	Косая (мп)
Орторомбический (о)	D ₂	Прямоугольный (op)	Прямоугольник по центру (oc)
Тетрагональный (т)	D ₄	Квадрат (тп)
Шестиугольный (h)	D ₆	Шестиугольный (л.с.)

Элементарные ячейки задаются в соответствии с относительной длиной краев ячеек ( a и b ) и углом между ними ( θ ). Площадь элементарной ячейки можно рассчитать, оценив норму || a × b || , где a и b - векторы решетки. Свойства кристаллических семейств приведены ниже:

Кристальная семья	Область	Осевые расстояния (длины кромок)	Осевой угол
Моноклиника	${\ displaystyle ab \, \ sin \ theta}$	а ≠ б	θ ≠ 90 °
Орторомбический	${\ displaystyle ab}$	а ≠ б	θ = 90 °
Тетрагональный	${\ displaystyle a ^ {2}}$	а = б	θ = 90 °
Шестиугольный	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \, a ^ {2}}$	а = б	θ = 120 °

В 3-х измерениях [ править ]

2 × 2 × 2 элементарные ячейки алмазной кубической решетки

В трехмерном пространстве есть 14 решеток Браве. Они получаются путем объединения одной из семи систем решеток с одним из типов центрирования. Типы центрирования определяют расположение узлов решетки в элементарной ячейке следующим образом:

Примитивный (P): точки решетки только на углах ячейки (иногда называемые простыми)
По центру основания (A, B или C): точки решетки на углах ячейки с одной дополнительной точкой в центре каждой грани одной пары параллельных граней ячейки (иногда называемые центрированными по концам)
По центру тела (I): точки решетки по углам ячейки, с одной дополнительной точкой в центре ячейки.
По центру грани (F): точки решетки на углах ячейки, с одной дополнительной точкой в центре каждой из граней ячейки.

Не все комбинации систем решеток и типов центрирования необходимы для описания всех возможных решеток, поскольку можно показать, что некоторые из них фактически эквивалентны друг другу. Например, моноклинная I-решетка может быть описана моноклинной C-решеткой путем различного выбора осей кристалла. Точно так же все A- или B-центрированные решетки можно описать либо C-, либо P-центрированием. Это сокращает количество комбинаций до 14 обычных решеток Браве, показанных в таблице ниже. ^[5] Под каждой диаграммой находится символ Пирсона для этой решетки Браве.

Примечание. На схемах элементарной ячейки в следующей таблице показаны все точки решетки на границе ячейки (углы и грани); однако технически не все эти точки решетки принадлежат данной элементарной ячейке. Это можно увидеть, представив, что элементарная ячейка слегка перемещается в отрицательном направлении каждой оси, сохраняя при этом узлы решетки фиксированными. Грубо говоря, это можно представить как перемещение элементарной ячейки немного влево, немного вниз и немного за пределы экрана. Это показывает, что только одна из восьми угловых точек решетки (а именно передняя, левая и нижняя) принадлежит данной элементарной ячейке (остальные семь точек решетки принадлежат соседним элементарным ячейкам). Кроме того, только одна из двух точек решетки, показанных на верхней и нижней грани в центрированном по основаниюстолбец принадлежит данной элементарной ячейке. Наконец, только три из шести точек решетки на гранях в столбце Face-centertered принадлежат данной элементарной ячейке.

Кристальная семья	Решетчатая система	Точечная группа ( обозначение Шенфлиса )	14 решеток Браве
Кристальная семья	Решетчатая система	Точечная группа ( обозначение Шенфлиса )	Примитивный (P)	По центру основания (S)	По центру тела (I)	По центру лица (F)
Триклиник (а)		C _i	AP
Моноклиника (м)		C _{2 ч}	mP	РС
Орторомбический (о)		Д _2ч	oP	Операционные системы	oI	из
Тетрагональный (т)		Д _4ч	tP		tI
Шестиугольный (h)	Ромбоэдрический	D _3d	час
Шестиугольный (h)	Шестиугольный	Д _6ч	л.с.
Кубический (c)		О _ч	cP		cI	cF

Элементарные ячейки задаются в соответствии с шестью параметрами решетки, которые представляют собой относительные длины краев ячейки ( a , b , c ) и углы между ними ( α , β , γ ). Объем элементарной ячейки можно вычислить, оценив тройное произведение a · ( b × c ) , где a , b и c - векторы решетки. Свойства решетчатых систем приведены ниже:

Кристальная семья	Решетчатая система	Объем	Осевые расстояния (длины кромок) ^[6]	Осевые углы ^[6]	Соответствующие примеры
Триклиник		${\ displaystyle abc {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ alpha - \ cos ^ {2} \ beta - \ cos ^ {2} \ gamma +2 \ cos \ alpha \ cos \ beta \ cos \ gamma }}}$	(Все остальные случаи)		K 2 Cr 2 O 7 , CuSO 4 · 5H 2 O , H 3 BO 3
Моноклиника		$abc\,\sin \beta$	а ≠ с	α = γ = 90 °, β ≠ 90 °	Моноклинная сера , Na 2 SO 4 · 10H 2 O , PbCrO 3
Орторомбический		$abc$	а ≠ б ≠ с	α = β = γ = 90 °	Ромбическая сера , KNO 3 , BaSO 4
Тетрагональный		$a^{2}c$	а = Ь ≠ с	α = β = γ = 90 °	Белое олово , SnO 2 , TiO 2 , CaSO 4
Шестиугольный	Ромбоэдрический	$a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\alpha +2\cos ^{3}\alpha }}$	а = б = с	α = β = γ ≠ 90 °	Кальцит (CaCO ₃ ), киноварь (HgS)
Шестиугольный	Шестиугольный	${\frac {\sqrt {3}}{2}}\,a^{2}c$	а = б	α = β = 90 °, γ = 120 °	Графит , ZnO , CdS
Кубический		$a^{3}$	а = б = с	α = β = γ = 90 °	NaCl , цинковая обманка , металлическая медь , KCl , алмаз , серебро

В четырех измерениях [ править ]

В четырех измерениях есть 64 решетки Браве. Из них 23 примитивные и 41 центрированные. Десять решеток Браве разбиваются на энантиоморфные пары. ^[7]

См. Также [ править ]

Хрустальная привычка
Кристаллическая система
Индекс Миллера
Оператор трансляции (квантовая механика)
Поступательная симметрия
Ось зоны

Ссылки [ править ]

^ Aroyo, Мойс I .; Мюллер, Ульрих; Вондрачек, Ганс (2006). «Историческое введение» . Международные таблицы для кристаллографии . A1 (1.1): 2–5. CiteSeerX 10.1.1.471.4170 . DOI : 10.1107 / 97809553602060000537 . Архивировано из оригинала на 2013-07-04 . Проверено 21 апреля 2008 .
^ "Браве класс" . Интернет-словарь кристаллографии . IUCr . Проверено 8 августа 2019 .
Перейти ↑ Ashcroft, Neil W. (1976). "Глава 4". Физика твердого тела . Компания WB Saunders. п. 72. ISBN 0-03-083993-9.
^ Киттель, Чарльз (1996) [1953]. «Глава 1» . Введение в физику твердого тела (седьмое изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. п. 10. ISBN 978-0-471-11181-8. Проверено 21 апреля 2008 .
^ Основываясь на списке обычных клеток, найденном в Hahn (2002) , стр. 744
^ a b Hahn (2002) , стр. 758
^ Браун, Гарольд; Бюлов, Рольф; Нойбюзер, Иоахим; Вондрачек, Ганс; Цассенхаус, Ганс (1978), Кристаллографические группы четырехмерного пространства , Нью-Йорк: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], ISBN 978-0-471-03095-9, MR 0484179

Дальнейшее чтение [ править ]

Браве, А. (1850). «Воспоминания о системах, формируемых по принципу распределения точек, регулирующего распределение по плану или в пространстве» [Воспоминания о системах, образованных точками, равномерно распределенными на плоскости или в пространстве]. J. École Polytech . 19 : 1–128. (Английский язык: Memoir 1, Crystallographic Society of America, 1949.)
Хан, Тео, изд. (2002). Международные таблицы для кристаллографии, Том A: Симметрия пространственных групп . Международные таблицы для кристаллографии. А (5-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . DOI : 10.1107 / 97809553602060000100 . ISBN 978-0-7923-6590-7.

Внешние ссылки [ править ]

Каталог решеток (Небе и Слоан)
Смит, Уолтер Фокс (2002). "Песня о решетках Браве" .

[1] Aroyo, Мойс I .; Мюллер, Ульрих; Вондрачек, Ганс (2006). «Историческое введение» . Международные таблицы для кристаллографии . A1 (1.1): 2–5. CiteSeerX 10.1.1.471.4170 . DOI : 10.1107 / 97809553602060000537 . Архивировано из оригинала на 2013-07-04 . Проверено 21 апреля 2008 .

[2] "Браве класс" . Интернет-словарь кристаллографии . IUCr . Проверено 8 августа 2019 .

[3] Перейти ↑ Ashcroft, Neil W. (1976). "Глава 4". Физика твердого тела . Компания WB Saunders. п. 72. ISBN 0-03-083993-9.

[4] Киттель, Чарльз (1996) [1953]. «Глава 1» . Введение в физику твердого тела (седьмое изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. п. 10. ISBN 978-0-471-11181-8. Проверено 21 апреля 2008 .

[5] Основываясь на списке обычных клеток, найденном в Hahn (2002) , стр. 744

[axial_dimensions-6] Hahn (2002) , стр. 758

[7] Браун, Гарольд; Бюлов, Рольф; Нойбюзер, Иоахим; Вондрачек, Ганс; Цассенхаус, Ганс (1978), Кристаллографические группы четырехмерного пространства , Нью-Йорк: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], ISBN 978-0-471-03095-9, MR 0484179

[1]