В математике , норма является функцией от действительного или комплексного векторного пространства на неотрицательных действительных чисел, ведет себя определенным образом , как расстояние от происхождения : оно коммутирует с масштабированием, подчиняется форму неравенства треугольника и равен нулю только при Происхождение. В частности, евклидово расстояние вектора от начала координат является нормой, называемой евклидовой нормой , или 2-нормой , которую также можно определить как квадратный корень из внутреннего произведения вектора на себя.
Псевдонорм или полунорм удовлетворяет первое два свойства нормы, но может быть равно нулю для других векторов , чем происхождение. [1] Векторное пространство с указанной нормой называется нормированным векторным пространством . Аналогичным образом векторное пространство с полунормой называется полунормированным векторным пространством .
Определение
Учитывая векторное пространство над подполем F комплексных чисел, норма на V - это вещественная функция со следующими свойствами, где обозначает обычное абсолютное значение скаляра: [2]
- Субаддитивность / неравенство треугольника : для всех .
- Абсолютная однородность : для всех и все скаляры .
- Положительная определенность / Разделение точек : для всех, если тогда .
- Поскольку свойство (2) влечет , некоторые авторы заменяют свойство (3) эквивалентным условием: для всех, если и только если .
Полунорма на это функция который обладает свойствами (1) и (2) [3], так что, в частности, каждая норма также является полунормой (и, следовательно, также сублинейным функционалом ). Однако существуют полунормы, которые не являются нормой. Из свойств (1) и (2) следует, что если норма (или, в более общем смысле, полунорма), то и это также обладает следующим свойством:
- Неотрицательность : для всех .
Некоторые авторы включают неотрицательность как часть определения «нормы», хотя в этом нет необходимости.
Эквивалентные нормы
Предположим , что р и д являются две нормы (или полунормы) на векторном пространстве V . Тогда р и д называются эквивалентны , если существуют два действительных константы С и С с С > 0 такое , что для любого вектора V ∈ V ,
Нормы р и д эквивалентны тогда и только тогда , когда они индуцируют ту же топологию на V . [4] Любые две нормы в конечномерном пространстве эквивалентны, но это не распространяется на бесконечномерные пространства. [4]
Обозначение
Если норма задается на векторном пространстве X , то норму вектора v ∈ X обычно обозначают заключением его в двойные вертикальные прямые:. Такие обозначения также иногда используются, если p - всего лишь полунорма. Для длины вектора в евклидовом пространстве (который является примером нормы, как объяснено ниже ) обозначение | v | с одиночными вертикальными линиями также широко распространено.
В LaTeX и родственных языках разметки двойная полоса обозначения нормы вводится с макросом \|
, который отображается как. Двойная вертикальная линия, используемая для обозначения параллельных линий , параллельного оператора и параллельного сложения , вводится с помощью \parallel
и отображается как. Несмотря на то, что эти два макроса выглядят похожими, их не следует путать, поскольку они \|
обозначают скобку и \parallel
оператор. Следовательно, их размер и пространство вокруг них не вычисляются одинаково. Точно так же одиночная вертикальная полоса кодируется как |
при использовании в качестве скобки, так и как \mid
при использовании в качестве оператора.
В Unicode кодовая точка символа «двойной вертикальной линии» ‖ - U + 2016. Символ «двойной вертикальной линии» не следует путать с символом «параллельно», Unicode U + 2225 (∥), который предназначен для обозначения параллельных линий и параллельных операторов. Двойную вертикальную линию также не следует путать с Unicode U + 01C1 (ǁ), предназначенным для обозначения боковых щелчков в лингвистике.
Единая вертикальная линия | называется «вертикальной линией» в Юникоде, а его кодовая точка - U + 007C.
Примеры
Каждое (действительное или комплексное) векторное пространство допускает норму: если x • = ( x i ) i ∈ I является базисом Гамеля для векторного пространства X, то действительное отображение, которое переводит x = ∑ i ∈ I s i x i ∈ X (где все скаляры s i , кроме конечного числа, равны 0) в ∑ i ∈ I | s i | является нормой на X . [5] Существует также большое количество норм, которые обладают дополнительными свойствами, которые делают их полезными для решения конкретных задач.
Абсолютная норма
- норма на одномерных векторных пространствах, образованных действительными или комплексными числами . [6]
Любая норма p в одномерном векторном пространстве X эквивалентна (с точностью до масштабирования) абсолютной норме значения, что означает, что существует сохраняющий норму изоморфизм векторных пространств, где либо или же , а соблюдение нормы означает, что. Этот изоморфизм задается отправкойк вектору нормы 1 , который существует, поскольку такой вектор получается умножением любого ненулевого вектора на обратный к его норме.
Евклидова норма
О n- мерном евклидовом пространстве , интуитивное понятие длины вектора x = ( x 1 , x 2 ,…, x n ) улавливается формулой [7]
Это евклидова норма, которая дает обычное расстояние от начала координат до точки X - следствие теоремы Пифагора . Эта операция также может называться «SRSS», что является аббревиатурой от слова s quare r oot of the s um of s quares. [8]
Евклидова норма на сегодняшний день является наиболее часто используемой нормой , [7], но на этом векторном пространстве есть другие нормы, как будет показано ниже. Однако все эти нормы эквивалентны в том смысле, что все они определяют одну и ту же топологию.
Скалярное произведение двух векторов евклидова векторного пространства является скалярным произведением их координатных векторов над ортонормированным . Следовательно, евклидова норма может быть записана безкоординатным образом как
Евклидова норма также называют L 2 нормой , [9] ℓ 2 нормой , 2-норма или квадратной нормой ; см. пространство L p . Она определяет функцию расстояния называется евклидова длина , L 2 расстояние , или л 2 расстояния .
Набор векторов в евклидова норма которого является заданной положительной константой, образует n- сферу .
Евклидова норма комплексных чисел
Евклидова норма комплексного числа - это его абсолютное значение (также называемое модулем ), если комплексная плоскость отождествляется с евклидовой плоскостью. . Эта идентификация комплексного числа x + i y как вектора на евклидовой плоскости делает величину (как впервые было предложено Эйлером) евклидова норма, связанная с комплексным числом.
Кватернионы и октонионы
Есть ровно четыре евклидовых алгебры Гурвица над действительными числами . Это настоящие числа, комплексные числа , кватернионы , и, наконец, октонионы , где размеры этих пространств над действительными числами равны 1 , 2 , 4 и 8 соответственно. Канонические нормы на а также являются их функциями абсолютного значения , как обсуждалось ранее.
Каноническая норма на из кватернионов определяется
для каждого кватерниона в . Это то же самое, что и евклидова норма на рассматривается как векторное пространство . Точно так же каноническая норма на октонионах является справедливой евклидовой нормой на октонионах..
- Конечномерные комплексные нормированные пространства
На n- мерном комплексном пространстве , наиболее распространенной нормой является
В этом случае норма может быть выражена как квадратный корень из внутреннего произведения вектора и самого себя:
где представлен как вектор-столбец ([ x 1 ; x 2 ;…; x n ]), иобозначает его сопряженное транспонирование .
Эта формула действительна для любого внутреннего пространства продукта , включая евклидовы и сложные пространства. Для сложных пространств внутренний продукт эквивалентен сложному скалярному произведению . Следовательно, формулу в этом случае также можно записать в следующих обозначениях:
Норма такси или норма Манхэттена
Название относится к расстоянию, которое такси должно проехать по прямоугольной сетке улиц, чтобы добраться от начала координат до точки x .
Набор векторов, 1-норма заданный постоянная образует поверхность поперечного многогранника размерность , эквивалентную нормы минус 1. нормы таксомотора также называют ℓ 1 нормой . Расстояние , полученное от этой нормы называется Манхэттен расстоянием или ℓ 1 расстояние .
1-норма - это просто сумма абсолютных значений столбцов.
В отличие,
не является нормой, поскольку может дать отрицательный результат.
p -норма
Пусть p ≥ 1 действительное число. Р -норм (называемый также-норма) вектора это [7]
Для р = 1 , мы получим норму таксомотора , [6] для р = 2 , мы получаем евклидову норму , а также р стремится к ∞ р -норма приближается к бесконечности нормы или максимальную норму :
Р -норма относится к обобщенной средней или средней мощности.
Это определение все еще представляет интерес для 0 < p <1 , но полученная функция не определяет норму [10], потому что она нарушает неравенство треугольника . Что верно для этого случая 0 < p <1 , даже в измеримом аналоге, так это то, что соответствующий класс L p является векторным пространством, и также верно, что функция
(без корня p- й степени) определяет расстояние, которое превращает L p ( X ) в полное метрическое топологическое векторное пространство . Эти пространства представляют большой интерес для функционального анализа , теории вероятностей и гармонического анализа . Однако, за исключением тривиальных случаев, это топологическое векторное пространство не является локально выпуклым и не имеет непрерывных ненулевых линейных форм. Таким образом, топологическое двойственное пространство содержит только нулевой функционал.
Частная производная p -нормы дается формулой
Следовательно, производная по x равна
где ∘ обозначает произведение Адамара, а используется для абсолютного значения каждого компонента вектора.
Для частного случая p = 2 это становится
или же
Максимальная норма (частный случай: бесконечная норма, равномерная норма или супремум)
Если такой вектор, что , затем:
Набор векторов, бесконечная норма которых является заданной константой c , образует поверхность гиперкуба с длиной ребра 2 c .
Нулевая норма
В вероятностном и функциональном анализе нулевая норма индуцирует полную метрическую топологию для пространства измеримых функций и для F-пространства последовательностей с F-нормой.. [11] Здесь под F-нормой мы понимаем некоторую вещественнозначную функциюна F-пространстве с расстоянием d , такое что. F -норма , описанный выше, не является нормой в обычном смысле этого слова , потому что ему не хватает требуемого свойством однородности.
Расстояние Хэмминга вектора от нуля
В метрической геометрии , то дискретная метрика принимает значение один для различных точек и ноль в противном случае. При применении координатно к элементам векторного пространства дискретное расстояние определяет расстояние Хэмминга , которое важно в теории кодирования и информации . В области действительных или комплексных чисел расстояние дискретной метрики от нуля неоднородно в ненулевой точке; действительно, расстояние от нуля остается единичным, поскольку его ненулевой аргумент приближается к нулю. Однако дискретное расстояние числа от нуля действительно удовлетворяет другим свойствам нормы, а именно неравенству треугольника и положительной определенности. При покомпонентном применении к векторам дискретное расстояние от нуля ведет себя как неоднородная «норма», которая подсчитывает количество ненулевых компонентов в своем векторном аргументе; опять же, эта неоднородная «норма» является разрывной.
В обработке сигналов и статистики , Дэвид Donoho сослался на ноль « норма » с кавычками. Согласно обозначениям Донохо, нулевая «норма» x - это просто количество ненулевых координат x или расстояние Хэмминга вектора от нуля. Когда эта «норма» локализована в ограниченном множестве, это предел p -норм, когда p стремится к 0. Конечно, нулевая «норма» не является истинной нормой, потому что она не является положительно однородной . В самом деле, это даже не F-норма в описанном выше смысле, поскольку она разрывна, совместно и по отдельности, по отношению к скалярному аргументу при умножении скаляр-вектор и по отношению к его векторному аргументу. Злоупотребляя терминологией , некоторые инженеры [ кто? ] Кавычки опускают Donoho в и ненадо называют число-ненулевые функционируют L 0 нормы, вторя обозначение для пространства Лебега от измеримых функций .
Бесконечные измерения
Обобщение вышеуказанных норм на бесконечное число компонентов приводит к пространствам ℓ p и L p с нормами
для комплекснозначных последовательностей и функций на соответственно, которые можно обобщить (см. меру Хаара ).
Любой внутренний продукт естественным образом индуцирует норму.
Другие примеры бесконечномерных нормированных векторных пространств можно найти в статье о банаховых пространствах .
Составные нормы
Прочие нормы по могут быть построены путем объединения вышеперечисленного; Например
это норма на .
Для любой нормы и любого инъективного линейного преобразования A мы можем определить новую норму x , равную
В 2D, с поворотом A на 45 ° и подходящим масштабированием, это изменяет норму такси на максимальную норму. Каждый A, примененный к норме такси, вплоть до инверсии и перестановки осей, дает другой единичный шар: параллелограмм определенной формы, размера и ориентации.
В 3D это похоже, но отличается для 1-нормы ( октаэдры ) и максимальной нормы ( призмы с основанием параллелограмма).
Есть примеры норм, которые не определяются «пошаговыми» формулами. Например, функционал Минковского центрально-симметричного выпуклого тела в (с центром в нуле) определяет норму на (см. § Классификация полунорм: абсолютно выпуклые поглощающие множества ниже).
Все приведенные выше формулы также дают нормы на без модификации.
Существуют также нормы на пространствах матриц (с действительными или комплексными элементами), так называемые матричные нормы .
В абстрактной алгебре
Пусть Е является конечным расширением из поля к в неразрывной степени р ц , и пусть к есть алгебраическое замыкание K . Если отдельные вложения из Й являются { σ J } J , то Галуа теоретико-нормой элемента альфа ∈ E является значением. Поскольку эта функция однородна степени [ E : k ] , норма теории Галуа не является нормой в смысле этой статьи. Однако [ E : k ] -й корень нормы (при условии, что это понятие имеет смысл) является нормой. [12]
Композиционные алгебры
Понятие нормы в составе алгебре вовсе не разделяют обычные свойства норм , как это может быть отрицательной или равно нулю для г ≠ 0. Композиция алгебры ( , *, Н ) состоит из алгебры над полем А , в инволюции * и квадратичной форма N ( z ) знак равно z z * {\ Displaystyle N (z) = zz ^ {*}} , что называется «нормой».
Характерной чертой композиционных алгебр является свойство гомоморфизма N : для произведения wz двух элементов w и z композиционной алгебры его норма удовлетворяет. Для, , , а O норма композиционной алгебры - это квадрат нормы, рассмотренной выше. В этих случаях норма - это определенная квадратичная форма . В других композиционных алгебрах норма - изотропная квадратичная форма .
Характеристики
Для любой нормы р на векторном пространстве V , то обратное неравенство треугольника имеет место для всех ¯u и об ∈ V ,
- p ( u ± v ) ≥ | p ( u ) - p ( v ) |
Если у : X → Y является непрерывным линейным отображение между нормированным пространством, то норма ц и норма транспонированным из U равна. [13]
Для норм L p справедливо неравенство Гёльдера [14]
Частным случаем этого является неравенство Коши – Шварца : [14]
Эквивалентность
Понятие единичной окружности (совокупность всех векторов нормы 1) различается в разных нормах: для 1-нормы единичная окружность - это квадрат , для 2-нормы (евклидова норма) - это хорошо известная единичный круг , в то время как для нормы бесконечности это другой квадрат. Для любой p -нормы это суперэллипс с конгруэнтными осями (см. Прилагаемую иллюстрацию). Согласно определению нормы единичный круг должен быть выпуклым и центрально-симметричным (поэтому, например, единичный шар может быть прямоугольником, но не может быть треугольником, идля p -нормы).
В терминах векторного пространства полунорма определяет топологию на пространстве, и это топология Хаусдорфа именно тогда, когда полунорма может различать различные векторы, что снова эквивалентно тому, что полунорма является нормой. Определенная таким образом топология (либо нормой, либо полунормой) может быть понята либо в терминах последовательностей, либо в терминах открытых множеств. Последовательность векторовпо норме сходится к, если в виде . Эквивалентно топология состоит из всех множеств, которые можно представить как объединение открытых шаров . Если ( X , || ⋅ ||) - нормированное пространство, то || х - у || = || х - г || + || z - y || для всех х , у , г ∈ X . [15]
Две нормы ‖ • ‖ α и ‖ • ‖ β на векторном пространстве V называютсяэквивалентны, если они индуцируют одну и ту же топологию [4], что происходит тогда и только тогда, когда существуют положительные действительные числа C и D такие, что для всех x в V
Например, если p > r ≥ 1 на, то
- [16]
В частности,
Это,
Если векторное пространство является конечномерным вещественным или комплексным, все нормы эквивалентны. С другой стороны, в случае бесконечномерных векторных пространств не все нормы эквивалентны.
Эквивалентные нормы определяют одни и те же понятия преемственности и конвергенции, и для многих целей нет необходимости различать их. Точнее, равномерная структура, определяемая эквивалентными нормами на векторном пространстве, равномерно изоморфна .
Классификация полунорм: абсолютно выпуклые поглощающие множества
Все полувормно на векторном пространстве V можно классифицировать в терминах абсолютно выпуклые поглощающие подмножества А из V . Для того, чтобы каждое такое подмножество соответствует полунорму р А называется калибровочной из A , определяются как
- p A ( x ): = inf { α : α > 0, x ∈ αA }
где inf - точная нижняя грань , обладающая тем свойством, что
- { x : p A ( x ) <1} ⊆ A ⊆ { x : p A ( x ) ≤ 1}.
Наоборот:
Любое локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет локальный базис, состоящий из абсолютно выпуклых множеств. Распространенным методом построения такого базиса является использование семейства ( p ) полунорм p, которое разделяет точки : совокупность всех конечных пересечений множеств { p <1 / n } превращает пространство в локально выпуклое топологическое векторное пространство, так что каждый p непрерывен .
Такой метод используется для разработки слабых и слабых * топологий .
нормальный случай:
- Предположим теперь, что ( p ) содержит единственный p : поскольку ( p ) разделяет , p - норма, а A = { p <1} - его открытый единичный шар . Тогда A - абсолютно выпуклая ограниченная окрестность точки 0 и p = p A непрерывна.
- Обратное принадлежит Андрею Колмогорову : любое локально выпуклое и локально ограниченное топологическое векторное пространство нормируемо . Точно:
- Если V - абсолютно выпуклая ограниченная окрестность 0, калибровка g V (так что V = { g V <1} ) является нормой.
Смотрите также
- Асимметричная норма - Обобщение понятия нормы
- F-полунорм
- Норма Гауэрса
- Расстояние Махаланобиса
- Величина (математика)
- Матричная норма - Норма в векторном пространстве матриц
- Функционал Минковского
- Норма оператора
- Паранорм
- Связь норм и показателей
- Семинорм
- Сублинейная функция
Рекомендации
- Перейти ↑ Knapp, AW (2005). Базовый реальный анализ . Birkhäuser. п. [1] . ISBN 978-0-817-63250-2.
- ^ Пью, CC (2015). Реальный математический анализ . Springer. п. стр.28 . ISBN 978-3-319-17770-0.Пруговечки, Э. (1981). Квантовая механика в гильбертовом пространстве . п. стр.20 .
- ^ Рудин, В. (1991). Функциональный анализ . п. 25.
- ^ а б в Конрад, Кит. «Эквивалентность норм» (PDF) . kconrad.math.uconn.edu . Проверено 7 сентября 2020 года .
- ^ Wilansky 2013 , стр. 20-21.
- ^ а б «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 24 августа 2020 .
- ^ а б в Вайсштейн, Эрик В. «Векторная норма» . mathworld.wolfram.com . Проверено 24 августа 2020 .
- ^ Чопра, Анил (2012). Динамика конструкций. 4-е изд . Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-285803-8.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Норма» . mathworld.wolfram.com . Проверено 24 августа 2020 .
- ^ За исключением, где она совпадает с евклидовой нормой, и , где это тривиально.
- ^ Ролевич, Стефан (1987), Функциональный анализ и теория управления: линейные системы , математика и ее приложения (восточноевропейские серии), 29 (Перевод с польского под ред. Эвы Беднарчук), Дордрехт; Варшава: D. Reidel Publishing Co .; PWN - Польские научные издательства, стр. Xvi, 524, doi : 10.1007 / 978-94-015-7758-8 , ISBN 90-277-2186-6, Руководство по ремонту 0920371 , OCLC 13064804
- ^ Ланг, Серж (2002) [1993]. Алгебра (переработанное 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 284. ISBN 0-387-95385-X.
- ^ Trèves 2006 , стр. 242-243.
- ^ а б Голуб, Гена ; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996). Матричные вычисления (Третье изд.). Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. п. 53. ISBN 0-8018-5413-X.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 107-113.
- ^ «Связь между p-нормами» .
Библиография
- Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . 936 . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .