Семинорм

В математике , особенно в функциональном анализе , полунорма - это норма векторного пространства, которая не обязательно должна быть положительно определенной . Полунормы тесно связаны с выпуклыми множествами : каждая полунорма является функционалом Минковского некоторого поглощающего диска и, наоборот, функционал Минковского любого такого множества является полунормой.

Топологическое векторное пространство локально выпукло тогда и только тогда , когда его топология индуцируется семейством полунорм.

Определение [ править ]

Позвольте быть векторным пространством над действительными числами или комплексными числами . Действительнозначная функция называется полунормой, если она удовлетворяет следующим двум условиям:${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ ${\ displaystyle p: X \ to \ mathbb {R}}$

1. Субаддитивность / неравенство треугольника : для всех${\ Displaystyle р (х + у) \ Leq р (х) + р (у)}$${\ displaystyle x, y \ in X.}$
2. Абсолютная однородность : для всех и всех скаляров${\ Displaystyle p (sx) = | s | p (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle s.}$

Из этих двух условий следует ^{[доказательство 1]} , что каждая полунорма также обладает следующим свойством:${\ displaystyle p (0) = 0}$${\ displaystyle p}$

3. Неотрицательность : для всех${\ Displaystyle р (х) \ geq 0}$${\ displaystyle x \ in X.}$

Некоторые авторы включают неотрицательность как часть определения «полунормы» (а иногда и «нормы»), хотя в этом нет необходимости.

По определению, норма на - это полунорма, которая также разделяет точки, что означает, что она обладает следующим дополнительным свойством:${\ displaystyle X}$

4. Положительно определенный / Разделение точек : для всех, если то${\ displaystyle x \ in X,}$${\ displaystyle p (x) = 0}$${\ displaystyle x = 0.}$

Полунормированное пространство пар с учетом векторного пространства и полунорме на Если Полунорм р также является норма , то мы называем полунормированное пространство в нормированное пространстве${\ displaystyle (X, p)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle (X, p)}$

Поскольку абсолютная однородность подразумевает положительную однородность, каждая полунорма является типом функции, называемой сублинейной функцией . Карта называется сублинейной функцией, если она субаддитивна (т.е. условие 1 выше) и положительно однородна (т.е. условие 5 выше). В отличие от полунормы, сублинейная функция не обязательно неотрицательна. Сублинейные функции часто встречаются в контексте теоремы Хана-Банаха .${\ displaystyle p: X \ to \ mathbb {R}}$

Псевдометрика и индуцированная топология [ править ]

Полунорма p на X индуцирует топологию через трансляционно-инвариантную псевдометрику d _p  : X × X → ℝ ; d _p ( x , y ) = p ( x - y ) . Эта топология хаусдорфова тогда и только тогда, когда d _p является метрикой, которая возникает тогда и только тогда, когда p является нормой. ^[1]

Эквивалентно, каждое векторное пространство V с полунормой p индуцирует факторное векторное пространство V / W , где W - подпространство в V, состоящее из всех векторов v ∈ V с p ( v ) = 0 . V / W имеет норму, определяемую формулой p ( v + W ) = p ( v ) . Результирующая топология, возвращенная к V , в точности является топологией, индуцированной p.

Любая индуцированная полунормой топология делает X локально выпуклым следующим образом. Если p - полунорма на X, а r - действительное число, назовем множество { x ∈ X  : p ( x ) < r } открытым шаром радиуса r вокруг начала координат; аналогично замкнутый шар радиуса r равен { x ∈ X  : p ( x ) ≤ r }. Множество всех открытых (соответственно замкнутых) p -шаров в нуле образует базис окрестностей выпуклых сбалансированные наборы, которые открыты (соответственно. замкнутые) в р -топологией на X .

Более сильные, более слабые и эквивалентные полунормы [ править ]

Понятия более сильной и более слабой полунорм сродни понятиям более сильной и более слабой нормы . Если р и д является полунормой на X , то мы говорим , что д является сильнее , чем р и что р является слабее , чем ц , если любой из следующих эквивалентных условий:

1. Топология на X, индуцированная q , тоньше топологии, индуцированной p .
2. Если ( x _i )^∞
   _{я = 1}последовательность в X , то из q ( x _i ) → 0 следует p ( x _i ) → 0 . ^[1]
3. Если ( x _i ) _{i ∈ I} - сеть в X , то из q ( x _i ) → 0 следует p ( x _i ) → 0 .
4. p ограничено на { x ∈ X  : q ( x ) <1  }. ^[1]
5. Если inf { q ( x ): p ( x ) = 1, x ∈ X } = 0 , то p (x) = 0 для всех x . ^[1]
6. Там существует реальная K > 0 такое , что р ≤ Кд на X . ^[1]

р и д являются эквивалентны , если они оба слабее (или оба сильнее) , чем друг с другом. Это происходит, если они удовлетворяют любому из следующих условий:

1. Топология на X, индуцированная q, такая же, как топология, индуцированная p .
2. q сильнее p и p сильнее q . ^[1]
3. Если ( x _i )^∞
   _{я = 1}является последовательностью в X, то q ( x _i ) → 0 тогда и только тогда, когда p ( x _i ) → 0 .
4. Существуют положительные действительные числа r > 0 и R> 0 такие, что rq ≤ p ≤ Rq .

Непрерывность [ править ]

Непрерывность полунорм

Если p - полунорма на топологическом векторном пространстве X , то следующие утверждения эквивалентны: ^[2]

1. p непрерывен.
2. p непрерывен в 0; ^[3]
3. ${\ Displaystyle \ {х \ в Икс: п (х) <1 \}}$открыт в X ; ^[3]
4. ${\ Displaystyle \ {х \ в Икс: п (х) \ Leq 1 \}}$замкнутая окрестность 0 в X ; ^[3]
5. p равномерно непрерывно на X ; ^[3]
6. Там существует непрерывная полунорма д на X такой , что р ≤ д . ^[3]

В частности, если ( X , p ) - полунормированное пространство, то полунорма q на X непрерывна тогда и только тогда, когда q доминирует положительное скалярное кратное p . ^[3]

Если X - вещественная TVS, f - линейный функционал на X , а p - непрерывная полунорма (или, в более общем смысле, сублинейная функция) на X , то f ≤ p на X влечет, что f непрерывна. ^[4]

Непрерывность линейных отображений

Если F  : ( X , p ) → ( Y , q ) - отображение между полунормированными пространствами, то пусть

|| F || _{p , q}  : = sup { q ( F ( x )): p ( x ) ≤ 1   }. ^[5]

Если F  : ( X , p ) → ( Y , q ) - линейное отображение между полунормированными пространствами, то следующие утверждения эквивалентны:

1. F непрерывно;
2. || F || _{p , q} <∞ ; ^[5]
3. Существует вещественное K ≥ 0 такое, что p ≤ Kq ; ^[5]
   • В этом случае || F || _{р , д} ≤ К .

Если F непрерывно, то q ( F ( x )) ≤ || F || _{р , д} р ( х ) для всех х ∈ Х . ^[5]

Пространство всех непрерывных линейных отображений F  : ( X , p ) → ( Y , q ) между полунормированными пространствами само является полунормированным пространством относительно полунормы || F || _{п , д} . Эта полунорма является нормой, если q - норма. ^[5]

Топологические свойства [ править ]

• Если X - TVS и p - непрерывная полунорма на X , то замыкание { x ∈ X  : p ( x ) < r } в X равно { x ∈ X  : p ( x ) ≤ r }. ^[3]
• Замыкание {0  } в локально выпуклом пространстве X , топология которого определяется семейством непрерывных полунорм 𝒫 , равно∩p ∈ 𝒫 p  ⁻¹ (0) . ^[6]
• Подмножество S в полунормированных пространстве ( X , р ) является ограниченным тогда и только тогда , когда р ( S ) ограничена. ^[7]
• Если ( X , p ) - полунормированное пространство, то локально выпуклая топология, которую p индуцирует на X, превращает X в псевдометризуемую TVS с канонической псевдометрикой, задаваемой формулой d ( x , y ): = p ( x - y ) для всех x , у ∈ X . ^[8]

• Замыкание {0  } в локально выпуклом пространстве X , топология которого определяется семейством непрерывных полунорм 𝒫 , равно∩p ∈ 𝒫 p  ⁻¹ (0) . ^[6]
• Подмножество S в полунормированном пространстве ( X , p ) является ограниченным (по фон Нейману) тогда и только тогда, когда p ( S ) ограничено. ^[7]
• Произведение бесконечного числа полунормируемых пространств снова является полунормируемым тогда и только тогда, когда все, кроме конечного числа этих пространств, тривиальны (т. Е. 0-мерны). ^[9]

Нормируемость [ править ]

Нормируемость топологических векторных пространств характеризуется критерием нормируемости Колмогорова .

Если X - хаусдорфова локально выпуклая ТВП, то следующие утверждения эквивалентны:

1. X нормируем.
2. X имеет ограниченную окрестность начала координат.
3. сильное сопряженное из X является нормируемым. ^[10]${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$
4. сильное сопряженное из X является метризуемым . ^[10]${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$

Кроме того, X конечномерно тогда и только тогда, когда оно нормируемо (здесь обозначает наделенный слабой * топологией ).${\ Displaystyle X _ {\ sigma} ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle X _ {\ sigma} ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$

Произведение бесконечного числа полунормируемых пространств снова является полунормируемым тогда и только тогда, когда все эти пространства, кроме конечного числа, тривиальны (т. Е. 0-мерны). ^[9]

Функционалы и полунормы Минковского [ править ]

Полунормы в векторном пространстве X через функционалы Минковского тесно связаны с подмножествами X, которые являются выпуклыми , сбалансированными и поглощающими . Для такого подмножества D в X функционал Минковского в D является полунормой. Наоборот, для полунормы p на X множества { x ∈ X  : p ( x ) <1 } и { x ∈ X  : p ( x ) ≤ 1} являются выпуклыми, сбалансированными и поглощающими, и, кроме того, функционал Минковского этих двух множеств (а также любого множества, лежащего «между ними») равен p . ^[11]

Примеры [ править ]

• Тривиальное полнормы на Й ( р ( х ) = 0 для всех х ∈ Х ) индуцирует антидискретную топологию на X .
• Каждая линейная форма f в векторном пространстве определяет полунорму посредством x → | f ( x ) | .
• Каждая вещественнозначная сублинейная функция f на X определяет полунорму p ( x ) = max { f ( x ), f (- x ) }. ^[12]
• Всякая конечная сумма полунорм - полунорма.
• Если p и q - полунормы на X, то так и ( p ∨ q ) ( x ) = max { p ( x ), q ( x ) }. ^[3]
• Если р и д являются полунормы на X , то так ( р ∧ д ) ( х ): = {инф р ( у ) + д ( г ): х = у + г с у , г ∈ X  }.
• p ∧ q ≤ p и p ∧ q ≤ q . ^[1]
• Более того, пространство полунорм на X является дистрибутивной решеткой относительно указанных выше операций.

Алгебраические свойства [ править ]

Пусть X векторное пространство над 𝔽 где 𝔽 либо реальные или комплексные числа.

Свойства полунорм, поскольку они являются сублинейными функциями

Поскольку каждая полунорма является сублинейной функцией, полунормы обладают всеми следующими свойствами:

Если p  : X → [0, ∞) - вещественная сублинейная функция на X, то:

• Полунормы удовлетворяют обратному неравенству треугольника : | p ( x ) - p ( y ) | ≤ р ( х - у ) для всех х , у ∈ X . ^{[13] [4]}
• Для любого х ∈ X и г > 0 , ^[14] х + { у ∈ X  : р ( у ) < г } = { у ∈ X  : р ( х - у ) < г }.
• Поскольку каждая полунорма является сублинейной функцией, каждая полунорма p на X является выпуклой функцией . Кроме того, для всех г > 0 , { х ∈ Х  : р ( х ) < г  } является поглощающая диска в X . ^[3]
• Каждая сублинейная функция является выпуклым функционалом .
• р (0) = 0 .
• 0 ≤ тах { р ( х ), р (- х ) } и р ( х ) - р ( у ) ≤ р ( х - у ) для всех х , у ∈ X . ^{[13] [4]}
• Если p - сублинейная функция на вещественном векторном пространстве X, то существует линейный функционал f на X такой, что f ≤ p . ^[4]
• Если X - вещественное векторное пространство, f - линейный функционал на X , а p - сублинейная функция на X , то f ≤ p на X тогда и только тогда, когда f  ⁻¹ (1) ∩ { x ∈ X  : p ( x ) <1} = ∅ . ^[4]

Другие свойства полунорм

Если p  : X → [0, ∞) - полунорма на X, то:

• p является нормой на X тогда и только тогда, когда { x ∈ X  : p ( x ) <1 } не содержит нетривиального векторного подпространства.
• р  ^-1 (0) является векторным подпространством X .
• Для любого г > 0 , ^[3]

  r { x ∈ X  : p ( x ) <1} = { x ∈ X  : p ( x ) <r} = { x ∈ X  :1/рр ( х ) <1 }.

• Если D является множество , удовлетворяющее { х ∈ Х  : р ( х ) <1} ⊆ D ⊆ { х ∈ Х  : р ( х ) ≤ 1 } , то D является поглощающим в X и р = р _D , где р _Д является Функционал Минковского, связанный с D (т.е. калибровка D ). ^[2]
  • В частности, если D такое же, как указано выше, а q - любая полунорма на X , то q = p тогда и только тогда, когда { x ∈ X  : q ( x ) <1} ⊆ D ⊆ { x ∈ X  : q ( x ) ≤ 1 }. ^[2]

• Если ( X , || ⋅ ||) - нормированное пространство, то || х - у || = || х - г || + || z - y || для всех х , у , г ∈ X . ^[15]
• Каждая норма является выпуклой функцией, и, следовательно, найти глобальный максимум целевой функции, основанной на норме, иногда легко.

Теорема Хана-Банаха для полунорм [ править ]

Семинормы предлагают особенно чистую формулировку теоремы Хана-Банаха :

Если M - векторное подпространство полунормированного пространства ( X , p ) и если f - непрерывный линейный функционал на M , то f может быть расширен до непрерывного линейного функционала F на X , имеющего ту же норму, что и f . ^[5]

Аналогичное свойство продолжения имеет место и для полунорм:

Неравенства, связанные с полунормами [ править ]

Если p  : X → [0, ∞) - полунорма на X, то:

• Если f - линейный функционал на вещественном или комплексном векторном пространстве X и если p - полунорма на X , то | f | ≤ p на X тогда и только тогда, когда Re f ≤ p на X (см. Сноску для доказательства). ^{[19] [20]}
• Если q - полунорма на X , то p ≤ q тогда и только тогда, когда из q ( x ) ≤ 1 следует p ( x ) ≤ 1 . ^[21]
• Если д является полунормом на X и в > 0 и б > 0 таково , что р ( х ) < означает д ( х ) ≤ б , а затем водный раствор ( х ) ≤ п.н. ( х ) для всех х ∈ Х . ^[18]
• Если f - линейный функционал на X , то f ≤ p на X тогда и только тогда, когда f  ⁻¹ (1) ∩ { x ∈ X  : p ( x ) <1} = ∅ . ^{[4] [21]}
• Если f - линейный функционал на X и a > 0 и b > 0 таковы, что p ( x ) < a влечет f ( x ) ≠ b , то a | f ( x ) | ≤ п.н. ( х ) для всех х ∈ Х . ^[18]
• Если X - векторное пространство над вещественными числами и f - ненулевой линейный функционал на X , то f ≤ p тогда и только тогда, когда ∅ = f  ⁻¹ (1) ∩ { x ∈ X  : p ( x ) <1  } . ^[21]
• Пусть и Ь положительные действительные числа и д , р ₁ , ..., р _п является полунормой на X . Если для каждого х ∈ Х , р _я ( х ) < означает д ( х ) < Ь для всех I , то водн ≤ б Е ^п
  _{я = 1} р _я . ^[22]

Отношение к другим нормальным концепциям [ править ]

Топологическое векторное пространство полунормируемо тогда и только тогда, когда оно имеет выпуклую ограниченную окрестность начала координат. ^[23] Таким образом, локально выпуклая TVS полунормируема тогда и только тогда, когда она имеет непустое ограниченное открытое множество. ^[24]

Пусть p  : X → ℝ - неотрицательная функция. Следующие варианты эквивалентны:

1. p - полунорма.
2. p - выпуклая F -полунорма .
3. p - выпуклая уравновешенная G -полунорма . ^[25]

Если любое из вышеперечисленных условий выполнено, то следующие условия эквивалентны:

1. p - норма;
2. { x ∈ X  : p ( x ) <1  } не содержит нетривиального векторного подпространства. ^[22]
3. Там существует норма на X , в отношении которых, { х ∈ Х  : р ( х ) <1  } ограничена.

Если p - сублинейная функция в вещественном векторном пространстве X, то следующие утверждения эквивалентны: ^[4]

1. p - линейный функционал ;
2. для каждого х ∈ X , р ( х ) + р (- х ) ≤ 0 ;
3. для каждого х ∈ X , р ( х ) + р (- х ) = 0 ;

Обобщения [ править ]

Понятие нормы в составе алгебрах вовсе не разделяет обычные свойства нормы.

Композиционная алгебра ( A , *, N ) состоит из алгебры над полем A , инволюции * и квадратичной формы N , которая называется «нормой». В некоторых случаях N является изотропной квадратичной формой, так что A имеет хотя бы один нулевой вектор , в отличие от разделения точек, требуемого для обычной нормы, обсуждаемой в этой статье.

Ultraseminorm или неархимедов полнормы является полунормой р  : Х → ℝ , что также удовлетворяет условие р ( х + у ) ≤ тах { р ( х ), р ( у ) } для всех х , у ∈ X .

Ослабление субаддитивности: квазиполунормы [ править ]

Отображение p  : X → ℝ называется квазиполунормой, если оно (абсолютно) однородно и существует такое b ≤ 1 , что

р ( х + у ) ≤ б ( р ( х ) + р ( у )) для всех х , у ∈ X .

Наименьшее значение b, для которого это верно, называется множителем p .

Квази-Полунорм , что разделяет точку называется квази-норма на X .

Ослабление однородности: k -пеминормы [ править ]

Отображение p  : X → ℝ называется k -полунормой, если оно субаддитивно и существует k такое, что 0 < k ≤ 1 и для всех x ∈ X и скаляров s ,

p ( sx ) = | s | ^k p ( x )

К -seminorm , что разделяет точка называется K -норм на X .

Между квазиполунормами и k -полунормами существует следующая связь:

Предположим, что q - квазиполунорма на векторном пространстве X с множителем b . Если 0 < √ k <log ₂ b, то существует k -полунорма p на X, эквивалентная q .

См. Также [ править ]

• Асимметричная норма  - Обобщение понятия нормы
• Банахово пространство  - полное нормированное векторное пространство
• Теорема Хана-Банаха
• Норма Гауэрса
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Расстояние Махаланобиса
• Матричная норма  - Норма в векторном пространстве матриц
• Метризуемое топологическое векторное пространство  - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена с помощью метрики.
• Функционал Минковского
• Норма (математика)  - Длина в векторном пространстве
• Нормированное векторное пространство  - Векторное пространство, на котором определено расстояние.
• Связь норм и показателей
• Сублинейная функция
• Топологическое векторное пространство  - Векторное пространство с понятием близости.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. 639 . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003 .
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для выпускников по математике. 15 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401 .
• Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC  17499190 .
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике . 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . 936 . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
• Кете, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту  0248498 . OCLC  840293704 .
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Пруговечки, Эдуард (1981). Квантовая механика в гильбертовом пространстве (2-е изд.). Академическая пресса. п. 20. ISBN 0-12-566060-X.
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .

Внешние ссылки [ править ]

• Сублинейные функции
• Теорема о сэндвиче для сублинейных и суперлинейных функционалов