Отрицательная температура

Шкала преобразования температуры / холода в SI : температуры по шкале Кельвина показаны синим (шкала Цельсия - зеленым, шкала Фаренгейта - красным), значения холода в гигабайтах на наноджоуль показаны черным. Бесконечная температура (ноль холода) показана вверху диаграммы; положительные значения холода / температуры находятся справа, отрицательные значения - слева.

Некоторые системы могут достигать отрицательной термодинамической температуры ; то есть их температура может быть выражена отрицательной величиной по шкале Кельвина или Ренкина . Это следует отличать от температур, выраженных в виде отрицательных чисел на нетермодинамических шкалах Цельсия или Фаренгейта , которые, тем не менее, выше абсолютного нуля .

Шкалу абсолютной температуры (Кельвина) можно условно понять как меру средней кинетической энергии. Обычно температура системы положительная. Однако в отдельных изолированных системах температура, определяемая с помощью энтропии Больцмана, может стать отрицательной.

Возможность отрицательных температур была впервые предсказана Ларсом Онсагером в 1949 году в его анализе классических точечных вихрей, ограниченных ограниченной площадью. ^[1] Ограниченные точечные вихрипредставляют собой систему с ограниченным фазовым пространством, поскольку их канонические импульсы не являются независимыми степенями свободы от их канонических координат положения. Ограниченное фазовое пространство является важным свойством, допускающим отрицательные температуры, и такие температуры могут иметь место как в классических, так и в квантовых системах. Как показал Онсагер, система с ограниченным фазовым пространством обязательно имеет пик энтропии при увеличении энергии. Для энергий, превышающих значение, в котором возникает пик, энтропия уменьшается с увеличением энергии, и состояния с высокой энергией обязательно имеют отрицательную температуру Больцмана.

Система с действительно отрицательной температурой по шкале Кельвина горячее, чем любая система с положительной температурой. Если система с отрицательной температурой и система с положительной температурой соприкасаются, тепло будет течь от системы с отрицательной температурой к системе с положительной температурой. ^[2]^[3] Стандартный пример такой системы - инверсия населенностей в лазерной физике .

Температура в общих чертах интерпретируется как средняя кинетическая энергия частиц системы. Существование отрицательной температуры, не говоря уже об отрицательной температуре, представляющей «более горячие» системы, чем положительная температура, может показаться парадоксальным в этой интерпретации. Парадокс разрешается путем рассмотрения более строгого определения термодинамической температуры как компромисса между внутренней энергией и энтропией, содержащейся в системе, с « холодностью », обратной величиной.температуры, являющейся более фундаментальной величиной. Системы с положительной температурой будут увеличивать энтропию по мере добавления энергии в систему, в то время как системы с отрицательной температурой будут уменьшаться в энтропии по мере добавления энергии в систему. ^[4]

Термодинамические системы с неограниченным фазовым пространством не могут достичь отрицательных температур: добавление тепла всегда увеличивает их энтропию . Возможность уменьшения энтропии с увеличением энергии требует, чтобы система «насыщалась» энтропией. Это возможно только в том случае, если количество состояний с высокой энергией ограничено. Для системы обычных (квантовых или классических) частиц, таких как атомы или пыль, количество состояний с высокой энергией неограниченно (импульсы частиц в принципе можно увеличивать до бесконечности). Однако некоторые системы (см. Примеры ниже) имеют максимальное количество энергии, которое они могут удерживать, и по мере приближения к этой максимальной энергии их энтропия фактически начинает уменьшаться. ^[5]Ограниченный диапазон состояний, доступных для системы с отрицательной температурой, означает, что отрицательная температура связана с возникающим упорядочением системы при высоких энергиях. Например, в анализе точечных вихрей Онзагера отрицательная температура связана с возникновением крупномасштабных скоплений вихрей. ^[1] Это спонтанное упорядочение в статистической механике равновесия идет вразрез с общепринятой физической интуицией, согласно которой увеличение энергии ведет к усилению беспорядка.

Определение температуры [ править ]

Определение термодинамической температуры $T$ является функцией изменения энтропии системы $S$ при обратимой теплопередаче $Q rev$ :

{\ displaystyle T = {\ frac {dQ _ {\ mathrm {rev}}} {dS}}.}

Поскольку энтропия является функцией состояния , интеграл $dS$ по любому циклическому процессу равен нулю. Для системы, в которой энтропия является исключительно функцией энергии системы $E$ , температуру можно определить как:

{\ displaystyle T = \ left ({\ frac {dS} {dE}} \ right) ^ {- 1}.}

Эквивалентно термодинамическая бета или «холодность» определяется как

{\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {kT}} = {\ frac {1} {k}} {\ frac {dS} {dE}},}

где $k$ - постоянная Больцмана .

Обратите внимание, что в классической термодинамике $S$ определяется в терминах температуры. Здесь все наоборот: $S$ - статистическая энтропия , функция возможных микросостояний системы, а температура передает информацию о распределении уровней энергии среди возможных микросостояний. Для систем со многими степенями свободы статистические и термодинамические определения энтропии обычно согласуются друг с другом.

Некоторые теоретики предложили использовать альтернативное определение энтропии как способ разрешения воспринимаемых несоответствий между статистической и термодинамической энтропией для небольших систем и систем, в которых количество состояний уменьшается с увеличением энергии, а температуры, полученные из этих энтропий, различны ^[6], хотя это новое определение привело бы к другим несоответствиям. ^[7]

Распределение тепла и молекулярной энергии [ править ]

Отрицательные температуры могут существовать только в системе с ограниченным числом энергетических состояний (см. Ниже). По мере увеличения температуры в такой системе частицы переходят в состояния с более высокой энергией, а с увеличением температуры количество частиц в состояниях с более низкой энергией и в состояниях с более высокой энергией приближается к равенству. (Это является следствием определения температуры в статистической механике для систем с ограниченными состояниями.) Вводя энергию в эти системы правильным образом, можно создать систему, в которой больше частиц в состояниях с более высокой энергией, чем в нижних. В этом случае систему можно охарактеризовать как имеющую отрицательную температуру.

Вещество с отрицательной температурой не холоднее абсолютного нуля , а горячее бесконечной температуры. Как пишут Киттель и Кремер (стр. 462),

Шкала температур от холодного до горячего хода:
+0 K,…, +300 K,…, + ∞ K, −∞ K,…, −300 K,…, −0 K.

Соответствующая обратная шкала температур для величины $β = 1 / kT$ (где $k$ - постоянная Больцмана ), непрерывно изменяется от низкой энергии к высокой как + ∞,…, 0,…, −∞. Потому что это позволяет избежать резкого скачка от + ∞ до -∞, $β$ считается более естественным , чем $Т$ . Хотя система может иметь несколько областей с отрицательной температурой и, следовательно, иметь разрывы от −∞ до + ∞.

Во многих известных физических системах температура связана с кинетической энергией атомов. Поскольку нет верхней границы импульса атома, нет верхней границы количества энергетических состояний, доступных при добавлении дополнительной энергии, и, следовательно, нет способа достичь отрицательной температуры. Однако в статистической механике температура может соответствовать другим степеням свободы, кроме кинетической энергии (см. Ниже).

Температура и беспорядок [ править ]

Распределение энергии между различными поступательными , колебательными , вращательными , электронными и ядерными модами системы определяет макроскопическую температуру. В «нормальной» системе происходит постоянный обмен тепловой энергией между различными режимами.

Однако в некоторых ситуациях можно выделить один или несколько режимов. На практике изолированные моды все еще обмениваются энергией с другими модами, но временной масштаб этого обмена намного медленнее, чем для обменов внутри изолированного режима. Одним из примеров является случай ядерных спинов в сильном внешнем магнитном поле . В этом случае энергия течет между спиновыми состояниями взаимодействующих атомов довольно быстро, но передача энергии между ядерными спинами и другими модами происходит относительно медленно. Поскольку поток энергии преимущественно находится внутри спиновой системы, имеет смысл думать о спиновой температуре, которая отличается от температуры, связанной с другими модами.

Определение температуры может быть основано на соотношении:

{\ displaystyle T = {\ frac {dq _ {\ mathrm {rev}}} {dS}}}

Отношения предполагают , что положительные температуры соответствуют условию , где энтропия , $S$ , возрастает по мере тепловую энергию, $д оборот$ , добавляется к системе. Это «нормальное» состояние в макроскопическом мире, и всегда так для поступательных, колебательных, вращательных и не связанных со спином электронных и ядерных мод. Причина этого в том, что существует бесконечное количество этих типов режимов, и добавление большего количества тепла в систему увеличивает количество режимов, которые являются энергетически доступными, и, таким образом, увеличивает энтропию.

Примеры [ править ]

Невзаимодействующие двухуровневые частицы [ править ]

Энтропия, термодинамическое бета и температура как функция энергии для системы из

N

невзаимодействующих двухуровневых частиц.

Простейший пример, хотя и довольно нефизический, - это рассмотреть систему из $N$ частиц, каждая из которых может принимать энергию $+ ε$ или $- ε,$ но в остальном не взаимодействует. Это можно понимать как предел модели Изинга, в котором член взаимодействия становится незначительным. Полная энергия системы

{\ displaystyle E = \ varepsilon \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ sigma _ {i} = \ varepsilon j}

где $σ i$ - знак $i-$ й частицы, а $j$ - количество частиц с положительной энергией минус количество частиц с отрицательной энергией . Из элементарной комбинаторики общее количество микросостояний с таким количеством энергии является биномиальным коэффициентом :

{\ displaystyle \ Omega _ {E} = {\ binom {N} {\ frac {N + j} {2}}} = {\ frac {N!} {\ left ({\ frac {N + j} { 2}} \ right)! \ Left ({\ frac {Nj} {2}} \ right)!}}.}

По фундаментальному предположению статистической механики энтропия этого микроканонического ансамбля равна

{\ Displaystyle S = к _ {\ текст {B}} \ ln \ Omega _ {E}}

Мы можем решить термодинамическую бета ( $β = 1 / k B T$ ), рассматривая его как центральное различие, не принимая континуальный предел:

{\begin{aligned}\beta &={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }}}{\frac {\delta _{2\varepsilon }[S]}{2\varepsilon }}\\[3pt]&={\frac {1}{2\varepsilon }}\left(\ln \Omega _{E+\varepsilon }-\ln \Omega _{E-\varepsilon }\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2\varepsilon }}\ln \left({\frac {\left({\frac {N+j-1}{2}}\right)!\left({\frac {N-j+1}{2}}\right)!}{\left({\frac {N+j+1}{2}}\right)!\left({\frac {N-j-1}{2}}\right)!}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2\varepsilon }}\ln \left({\frac {N-j+1}{N+j+1}}\right).\end{aligned}}

следовательно, температура

T(E)={\frac {2\varepsilon }{k_{\text{B}}}}\left[\ln \left({\frac {(N+1)\varepsilon -E}{(N+1)\varepsilon +E}}\right)\right]^{-1}.

Все это доказательство предполагает микроканонический ансамбль с фиксированной энергией и эмерджентным свойством температуры. В каноническом ансамбле температура фиксирована, а энергия является эмерджентным свойством. Это приводит к ( $ε$ относится к микросостояниям):

{\begin{aligned}Z(T)&=\sum _{i=1}^{N}e^{-\varepsilon _{i}\beta }\\[6pt]E(T)&={\frac {1}{Z}}\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}e^{-\varepsilon _{i}\beta }\\[6pt]S(T)&=k_{\text{B}}\ln(Z)+{\frac {E}{T}}\end{aligned}}

Следуя предыдущему примеру, мы выбираем состояние с двумя уровнями и двумя частицами. Это приводит к микросостоянию $ε 1 = 0$ , $ε 2 = 1$ , $ε 3 = 1$ и $ε 4 = 2$ .

{\begin{aligned}Z(T)&=e^{-0\beta }+2e^{-1\beta }+e^{-2\beta }\\[3pt]&=1+2e^{-\beta }+e^{-2\beta }\\[6pt]E(T)&={\frac {0e^{-0\beta }+2\times 1e^{-1\beta }+2e^{-2\beta }}{Z}}\\[3pt]&={\frac {2e^{-\beta }+2e^{-2\beta }}{Z}}\\[3pt]&={\frac {2e^{-\beta }+2e^{-2\beta }}{1+2e^{-\beta }+e^{-2\beta }}}\\[6pt]S(T)&=k_{\text{B}}\ln \left(1+2e^{-\beta }+e^{-2\beta }\right)+{\frac {2e^{-\beta }+2e^{-2\beta }}{\left(1+2e^{-\beta }+e^{-2\beta }\right)T}}\end{aligned}}

Результирующие значения для $S$ , $E$ и $Z$ увеличиваются с увеличением $T$ и никогда не должны переходить в режим отрицательной температуры.

Ядерные спины [ править ]

Предыдущий пример приближенно реализуется системой ядерных спинов во внешнем магнитном поле. ^[8]^[9] Это позволяет проводить эксперимент как разновидность спектроскопии ядерного магнитного резонанса . В случае электронных и ядерных спиновых систем доступно лишь конечное число мод, часто всего две, соответствующих спину вверх и спину вниз . В отсутствие магнитного поля эти спиновые состояния вырождены , что означает, что они соответствуют одной и той же энергии. При приложении внешнего магнитного поля уровни энергии расщепляются, поскольку те спиновые состояния, которые выровнены с магнитным полем, будут иметь энергию, отличную от тех, которые антипараллельны ему.

В отсутствие магнитного поля такая двухспиновая система будет иметь максимальную энтропию, когда половина атомов находится в состоянии со спином вверх, а половина - в состоянии со спином вниз, и поэтому можно было бы ожидать найти систему с близким к равному распределению спинов. При приложении магнитного поля некоторые из атомов будут стремиться выровняться, чтобы минимизировать энергию системы, таким образом, немного больше атомов должно находиться в состоянии с более низкой энергией (для целей этого примера мы будем предполагать спин состояние down - это состояние с более низкой энергией). Можно добавить энергии к спиновой системе, используя радиочастотные методы. ^[10] Это заставляет атомы переключаться от вращения вниз к вращению вверх.

Поскольку мы начали с более чем половиной атомов в состоянии замедленного вращения, это сначала приводит систему к смеси 50/50, поэтому энтропия увеличивается, что соответствует положительной температуре. Однако в какой-то момент более половины спинов находятся в позиции раскрутки. ^[11] В этом случае добавление дополнительной энергии снижает энтропию, так как это перемещает систему дальше от смеси 50/50. Это уменьшение энтропии с добавлением энергии соответствует отрицательной температуре. ^[12]В ЯМР-спектроскопии это соответствует импульсам с шириной импульса более 180 ° (для данного спина). Хотя в твердых телах релаксация происходит быстро, в растворах она может длиться несколько секунд, а в газах и ультрахолодных системах - даже дольше; несколько часов были зарегистрированы для серебра и родия при пикокельвиновых температурах. ^[12] По-прежнему важно понимать, что температура отрицательна только по отношению к ядерным спинам. Другие степени свободы, такие как молекулярные колебательные, электронные и спиновые уровни электронов, имеют положительную температуру, поэтому объект по-прежнему имеет положительное физическое тепло. На самом деле релаксация происходит за счет обмена энергией между состояниями ядерного спина и другими состояниями (например, посредством ядерного эффекта Оверхаузера с другими спинами).

Лазеры [ править ]

Это явление также можно наблюдать во многих лазерных системах, в которых большая часть атомов системы (для химических и газовых лазеров) или электронов (в полупроводниковых лазерах) находится в возбужденных состояниях. Это называется инверсией населения .

Гамильтонова для одного режима поля люминесцентного излучения на частоте $v$ , является

H=(h\nu -\mu )a^{\dagger }a.

Оператор плотности в большом каноническом ансамбле есть

\rho ={\frac {e^{-\beta H}}{\operatorname {Tr} \left(e^{-\beta H}\right)}}.

Чтобы система имела основное состояние, след сходился, а оператор плотности $имел$ общий смысл, $βH$ должен быть положительно полуопределенным. Таким образом, если $hν < μ$ , а $H$ - отрицательное полуопределенное значение, то само $β$ должно быть отрицательным, что означает отрицательную температуру. ^[13]

Движущиеся степени свободы [ править ]

Отрицательные температуры достигнуты также в двигательных степенях свободы . С помощью оптической решетки были установлены верхние границы кинетической энергии, энергии взаимодействия и потенциальной энергии холодных атомов калия-39 . Это было сделано путем настройки взаимодействия атомов с отталкивающего на притягивающее с использованием резонанса Фешбаха и изменения общего гармонического потенциала с захвата на анти-захват, таким образом преобразовав гамильтониан Бозе-Хаббарда с $Ĥ \to - Ĥ$ . Выполнение этого преобразования адиабатически при сохранении атомов в изоляторе МоттаВ этом режиме можно перейти из состояния с низкой энтропией с положительной температурой в состояние с низкой энтропией с отрицательной температурой. В состоянии с отрицательной температурой атомы макроскопически занимают состояние решетки с максимальным импульсом. Ансамбли с отрицательной температурой уравновешиваются и показывают большие времена жизни в гармоническом потенциале, препятствующем захвату. ^[14]

Двумерное вихревое движение [ править ]

Двумерные системы вихрей, ограниченные конечной областью, могут образовывать состояния теплового равновесия при состояниях с отрицательной температурой ^[15]^[16], и действительно, состояния с отрицательной температурой были впервые предсказаны Онзагером в его анализе классических точечных вихрей. ^[1] Предсказание Онзагера было подтверждено экспериментально для системы квантовых вихрей в конденсате Бозе-Эйнштейна в 2019 году. ^[17]^[18]

См. Также [ править ]

Абсолютно горячий
Отрицательное сопротивление

Ссылки [ править ]

^ a b c Онсагер, Л. (1949). «Статистическая гидродинамика». Il Nuovo Cimento . Nuovo Cim. 6 (Дополнение 2) (2): 279–287. Bibcode : 1949NCim .... 6S.279O . DOI : 10.1007 / BF02780991 . ISSN 1827-6121 . S2CID 186224016 .
^ Рэмси, Норман (1956-07-01). «Термодинамика и статистическая механика при отрицательных абсолютных температурах». Физический обзор . 103 (1): 20–28. Полномочный код : 1956PhRv..103 ... 20R . DOI : 10.1103 / PhysRev.103.20 .
^ Трамбле, Андре-Мари (1975-11-18). «Комментарий к: Отрицательные температуры по Кельвину: некоторые аномалии и предположения» (PDF) . Американский журнал физики . 44 (10): 994–995. Bibcode : 1976AmJPh..44..994T . DOI : 10.1119 / 1.10248 .
↑ Аткинс, Питер У. (25 марта 2010 г.). Законы термодинамики: очень краткое введение . Издательство Оксфордского университета. С. 10–14. ISBN 978-0-19-957219-9. OCLC 467748903 .
↑ Аткинс, Питер У. (25 марта 2010 г.). Законы термодинамики: очень краткое введение . Издательство Оксфордского университета. С. 89–95. ISBN 978-0-19-957219-9. OCLC 467748903 .
^ Дункель, Йорн; Гильберт, Стефан (2013). «Последовательная термостатистика запрещает отрицательные абсолютные температуры». Физика природы . 10 (1): 67. arXiv : 1304.2066 . Bibcode : 2014NatPh..10 ... 67D . DOI : 10.1038 / nphys2815 . S2CID 16757018 .
^ Френкель, Даан; Уоррен, Патрик Б. (01.02.2015). «Гиббс, Больцман и отрицательные температуры». Американский журнал физики . 83 (2): 163–170. arXiv : 1403,4299 . Bibcode : 2015AmJPh..83..163F . DOI : 10.1119 / 1.4895828 . ISSN 0002-9505 . S2CID 119179342 .
^ Перселл, EM ; Паунд, Р.В. (1951-01-15). «Ядерная спиновая система при отрицательной температуре». Физический обзор . 81 (2): 279–280. Полномочный код : 1951PhRv ... 81..279P . DOI : 10.1103 / PhysRev.81.279 .
^ Варга, Питер (1998). «Минимаксные игры, спиновые очки и иерархия классов сложности с полиномиальным временем». Physical Review E . 57 (6): 6487–6492. arXiv : cond-mat / 9604030 . Bibcode : 1998PhRvE..57.6487V . CiteSeerX 10.1.1.306.470 . DOI : 10.1103 / PhysRevE.57.6487 . S2CID 10964509 .
^ Рэмси, Норман Ф. (1998). Спектроскопия с когерентным излучением: избранные статьи Нормана Ф. Рэмси с комментариями . Всемирная научная серия по физике 20 века, т. 21. Сингапур; Ривер Эдж, штат Нью-Джерси: World Scientific. п. 417. ISBN 9789810232504. OCLC 38753008 .
^ Левитт, Малкольм Х. (2008). Спиновая динамика: основы ядерного магнитного резонанса . Западный Суссекс, Англия: John Wiley & Sons Ltd. стр. 273. ISBN. 978-0-470-51117-6.
^ a b «Положительные и отрицательные пикокельвиновые температуры» .
^ Hsu, W .; Баракат, Р. (1992). «Статистика и термодинамика люминесцентного излучения». Physical Review B . 46 (11): 6760–6767. Bibcode : 1992PhRvB..46.6760H . DOI : 10.1103 / PhysRevB.46.6760 . PMID 10002377 .
^ Браун, S .; Ronzheimer, JP; Schreiber, M .; Ходжман, СС; Rom, T .; Bloch, I .; Шнайдер, У. (2013). «Отрицательная абсолютная температура для двигательных степеней свободы» . Наука . 339 (6115): 52–55. arXiv : 1211.0545 . Bibcode : 2013Sci ... 339 ... 52B . DOI : 10.1126 / science.1227831 . PMID 23288533 . S2CID 8207974 .
Перейти ↑ Montgomery, DC (1972). «Двумерное вихревое движение и« отрицательные температуры » ». Физика Буквы A . 39 (1): 7–8. Bibcode : 1972PhLA ... 39 .... 7M . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (72) 90302-7 .
^ Эдвардс, SF ; Тейлор, Дж. Б. (1974). «Отрицательные температурные состояния двумерной плазмы и вихревой жидкости». Труды Королевского общества Лондона . 336 (1606): 257–271. Bibcode : 1974RSPSA.336..257E . DOI : 10,1098 / rspa.1974.0018 . JSTOR 78450 . S2CID 120771020 .
^ Готье, G .; Ривз, MT; Yu, X .; Брэдли, AS; Бейкер, Массачусетс; Белл, TA; Rubinsztein-Dunlop, H .; Дэвис, MJ; Нили, TW (2019). «Гигантские вихревые скопления в двумерной квантовой жидкости». Наука . 364 (6447): 1264–1267. arXiv : 1801.06951 . Bibcode : 2019Sci ... 364.1264G . DOI : 10.1126 / science.aat5718 . PMID 31249054 . S2CID 195750381 .
^ Джонстон, SP; Грошек, AJ; Старки, PT; Биллинтон, CJ; Simula, TP; Хелмерсон, К. (2019). «Эволюция крупномасштабного потока из турбулентности в двумерной сверхтекучей жидкости». Наука . 365 (6447): 1267–1271. arXiv : 1801.06952 . Bibcode : 2019Sci ... 364.1267J . DOI : 10.1126 / science.aat5793 . PMID 31249055 . S2CID 4948239 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Киттель, К .; Кремер, Х. (1980). Теплофизика (2-е изд.). WH Freeman . ISBN 978-0-7167-1088-2.
Castle, J .; Emmerich, W .; Heikes, R .; Miller, R .; Рейн, Дж. (1965). Наука по степеням: Температура от нуля до нуля . Уокер и компания . LCCN 64023985 .
Braun, S .; Ronzheimer, JP; Schreiber, M .; Ходжман, СС; Rom, T .; Bloch, I .; Шнайдер, У. (2013). «Отрицательная абсолютная температура для двигательных степеней свободы» . Наука . 339 (6115): 52–5. arXiv : 1211.0545 . Bibcode : 2013Sci ... 339 ... 52B . DOI : 10.1126 / science.1227831 . PMID 23288533 . S2CID 8207974 .
Parihar, V .; Widom, A .; Шривастава Ю. (2006). «Температурные шкалы времени в цветном стеклянном конденсате». Physical Review C . 73 (17901): 017901. arXiv : hep-ph / 0505199 . Bibcode : 2006PhRvC..73a7901P . DOI : 10.1103 / PhysRevC.73.017901 . S2CID 119090586 .
Моск, А. (2005). «Атомарные газы при отрицательной кинетической температуре». Письма с физическим обзором . 95 (4): 040403. arXiv : cond-mat / 0501344 . Bibcode : 2005PhRvL..95d0403M . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.95.040403 . PMID 16090784 . S2CID 1156732 .
Шмидт, Гарри; Малер, Гюнтер (2005). «Управление локальным релаксационным поведением в замкнутых двудольных квантовых системах». Physical Review E . 72 (7): 016117. Arxiv : колич-фот / 0502181 . Bibcode : 2005PhRvE..72a6117S . DOI : 10.1103 / PhysRevE.72.016117 . PMID 16090046 . S2CID 17987338 .
Шен, Цзянь-Ци (2003). «Эффект защиты от экранирования и отрицательная температура в мгновенно инвертированных электрических полях и левосторонних средах». Physica Scripta . 68 (1): 87–97. arXiv : cond-mat / 0302351 . Bibcode : 2003PhyS ... 68 ... 87S . DOI : 10.1238 / Physica.Regular.068a00087 . S2CID 118894011 .
Кеттерле, Вольфганг (22 сентября 2010 г.). К квантовому магнетизму с ультрахолодными атомами (фильм) . Коллоквиум по физике в Цюрихе . ETH Zurich, ITS-MMS; Швейцария . Дата обращения 1 января 2016 . Отрицательная температура, около 48 мин. 53сек.
Карр, Линкольн Д. (4 января 2013 г.). «Отрицательные температуры?». Наука . 339 (6115): 42–43. Bibcode : 2013Sci ... 339 ... 42C . DOI : 10.1126 / science.1232558 . PMID 23288530 . S2CID 124095369 .

Внешние ссылки [ править ]

Мориарти, Филипп. «−K: отрицательные температуры» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .

[Ons1949-1] Онсагер, Л. (1949). «Статистическая гидродинамика». Il Nuovo Cimento . Nuovo Cim. 6 (Дополнение 2) (2): 279–287. Bibcode : 1949NCim .... 6S.279O . DOI : 10.1007 / BF02780991 . ISSN 1827-6121 . S2CID 186224016 .

[2] Рэмси, Норман (1956-07-01). «Термодинамика и статистическая механика при отрицательных абсолютных температурах». Физический обзор . 103 (1): 20–28. Полномочный код : 1956PhRv..103 ... 20R . DOI : 10.1103 / PhysRev.103.20 .

[3] Трамбле, Андре-Мари (1975-11-18). «Комментарий к: Отрицательные температуры по Кельвину: некоторые аномалии и предположения» (PDF) . Американский журнал физики . 44 (10): 994–995. Bibcode : 1976AmJPh..44..994T . DOI : 10.1119 / 1.10248 .

[4] Аткинс, Питер У. (25 марта 2010 г.). Законы термодинамики: очень краткое введение . Издательство Оксфордского университета. С. 10–14. ISBN 978-0-19-957219-9. OCLC 467748903 .

[5] Аткинс, Питер У. (25 марта 2010 г.). Законы термодинамики: очень краткое введение . Издательство Оксфордского университета. С. 89–95. ISBN 978-0-19-957219-9. OCLC 467748903 .

[DunkelHilbert-6] Дункель, Йорн; Гильберт, Стефан (2013). «Последовательная термостатистика запрещает отрицательные абсолютные температуры». Физика природы . 10 (1): 67. arXiv : 1304.2066 . Bibcode : 2014NatPh..10 ... 67D . DOI : 10.1038 / nphys2815 . S2CID 16757018 .

[7] Френкель, Даан; Уоррен, Патрик Б. (01.02.2015). «Гиббс, Больцман и отрицательные температуры». Американский журнал физики . 83 (2): 163–170. arXiv : 1403,4299 . Bibcode : 2015AmJPh..83..163F . DOI : 10.1119 / 1.4895828 . ISSN 0002-9505 . S2CID 119179342 .

[8] Перселл, EM ; Паунд, Р.В. (1951-01-15). «Ядерная спиновая система при отрицательной температуре». Физический обзор . 81 (2): 279–280. Полномочный код : 1951PhRv ... 81..279P . DOI : 10.1103 / PhysRev.81.279 .

[9] Варга, Питер (1998). «Минимаксные игры, спиновые очки и иерархия классов сложности с полиномиальным временем». Physical Review E . 57 (6): 6487–6492. arXiv : cond-mat / 9604030 . Bibcode : 1998PhRvE..57.6487V . CiteSeerX 10.1.1.306.470 . DOI : 10.1103 / PhysRevE.57.6487 . S2CID 10964509 .

[10] Рэмси, Норман Ф. (1998). Спектроскопия с когерентным излучением: избранные статьи Нормана Ф. Рэмси с комментариями . Всемирная научная серия по физике 20 века, т. 21. Сингапур; Ривер Эдж, штат Нью-Джерси: World Scientific. п. 417. ISBN 9789810232504. OCLC 38753008 .

[11] Левитт, Малкольм Х. (2008). Спиновая динамика: основы ядерного магнитного резонанса . Западный Суссекс, Англия: John Wiley & Sons Ltd. стр. 273. ISBN. 978-0-470-51117-6.

[kylma-12] «Положительные и отрицательные пикокельвиновые температуры» .

[13] Hsu, W .; Баракат, Р. (1992). «Статистика и термодинамика люминесцентного излучения». Physical Review B . 46 (11): 6760–6767. Bibcode : 1992PhRvB..46.6760H . DOI : 10.1103 / PhysRevB.46.6760 . PMID 10002377 .

[14] Браун, S .; Ronzheimer, JP; Schreiber, M .; Ходжман, СС; Rom, T .; Bloch, I .; Шнайдер, У. (2013). «Отрицательная абсолютная температура для двигательных степеней свободы» . Наука . 339 (6115): 52–55. arXiv : 1211.0545 . Bibcode : 2013Sci ... 339 ... 52B . DOI : 10.1126 / science.1227831 . PMID 23288533 . S2CID 8207974 .

[15] Перейти ↑ Montgomery, DC (1972). «Двумерное вихревое движение и« отрицательные температуры » ». Физика Буквы A . 39 (1): 7–8. Bibcode : 1972PhLA ... 39 .... 7M . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (72) 90302-7 .

[16] Эдвардс, SF ; Тейлор, Дж. Б. (1974). «Отрицательные температурные состояния двумерной плазмы и вихревой жидкости». Труды Королевского общества Лондона . 336 (1606): 257–271. Bibcode : 1974RSPSA.336..257E . DOI : 10,1098 / rspa.1974.0018 . JSTOR 78450 . S2CID 120771020 .

[Gau19-17] Готье, G .; Ривз, MT; Yu, X .; Брэдли, AS; Бейкер, Массачусетс; Белл, TA; Rubinsztein-Dunlop, H .; Дэвис, MJ; Нили, TW (2019). «Гигантские вихревые скопления в двумерной квантовой жидкости». Наука . 364 (6447): 1264–1267. arXiv : 1801.06951 . Bibcode : 2019Sci ... 364.1264G . DOI : 10.1126 / science.aat5718 . PMID 31249054 . S2CID 195750381 .

[18] Джонстон, SP; Грошек, AJ; Старки, PT; Биллинтон, CJ; Simula, TP; Хелмерсон, К. (2019). «Эволюция крупномасштабного потока из турбулентности в двумерной сверхтекучей жидкости». Наука . 365 (6447): 1267–1271. arXiv : 1801.06952 . Bibcode : 2019Sci ... 364.1267J . DOI : 10.1126 / science.aat5793 . PMID 31249055 . S2CID 4948239 .

[1]