Волна материи

Квантовая механика
Часть серии по
${\ Displaystyle я \ HBAR {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} \| \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} \| \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Пространство фока
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген Космологический де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

Волны материи являются центральной частью теории квантовой механики , являясь примером дуальности волна-частица . Всякая материя проявляет волнообразное поведение. Например, пучок электронов может дифрагировать, как луч света или волна на воде. Однако в большинстве случаев длина волны слишком мала, чтобы оказывать практическое влияние на повседневную деятельность. Следовательно, в нашей повседневной жизни с объектами размером с теннисный мяч и людьми волны материи не имеют значения.

Понятие, независимо от того , ведет себя как волна была предложена французский физик Луи де Бройль ( / д ə б г ɔɪ / ) в 1924 году, также упоминается как дебройлевская гипотеза . ^[1] Волны материи называются волнами де Бройля .

Длина волны де Бройля является длина волны , $λ$ , связанная с массивной частицы (т.е. частицы с массой, в отличие от безмассовой частицы) и связана с его импульсом , $р$ , через постоянную Планка , $ч$ :

λ знак равно час п знак равно час м v . {\ displaystyle \ lambda = {\ frac {h} {p}} = {\ frac {h} {mv}}.}

Волнообразное поведение материи было впервые экспериментально продемонстрировано Джорджем Пэджетом Томсоном в эксперименте по дифракции на тонких металлах ^[2] и независимо в эксперименте Дэвиссона-Гермера , оба с использованием электронов; и это также было подтверждено для других элементарных частиц , нейтральных атомов и даже молекул .

Исторический контекст [ править ]

В конце 19 века считалось, что свет состоит из волн электромагнитных полей, которые распространяются в соответствии с уравнениями Максвелла , в то время как материя, как полагали, состоит из локализованных частиц (см. Историю дуальности волн и частиц ). В 1900 году это разделение было подвергнуто сомнению, когда Макс Планк , исследуя теорию излучения черного тела , предположил, что свет излучается дискретными квантами энергии. Это было основательно оспорено в 1905 году. Расширяя исследования Планка несколькими способами, включая их связь с фотоэлектрическим эффектом , Альберт Эйнштейн предположил, что свет также распространяется и поглощается квантами; теперь называемые фотонами. Эти кванты будут иметь энергию, определяемую соотношением Планка – Эйнштейна :

E знак равно час ν {\ Displaystyle Е = ч \ ню}

и импульс

п знак равно E c знак равно час λ {\ displaystyle p = {\ frac {E} {c}} = {\ frac {h} {\ lambda}}}

где $ν$ (строчная греческая буква ню ) и $λ$ (строчная греческая буква лямбда ) обозначают частоту и длину волны света, $c$ - скорость света, а $h$ - постоянную Планка . ^[3] В современном понимании частота обозначается буквой f, как это делается в остальной части этой статьи. Постулат Эйнштейна был экспериментально подтвержден Робертом Милликеном и Артуром Комптоном в течение следующих двух десятилетий.

Гипотеза де Бройля [ править ]

Распространение волн де Бройля в 1d - действительная часть комплексной амплитуды синего цвета, мнимая часть зеленого цвета. Вероятность (показанная как непрозрачность цвета ) нахождения частицы в данной точке x распределяется как форма волны; нет определенного положения частицы. По мере увеличения амплитуды выше нуля наклон уменьшается, поэтому амплитуда снова уменьшается, и наоборот. Результат - переменная амплитуда: волна. Вверху: плоская волна . Внизу: волновой пакет .

Де Бройль в своей докторской диссертации 1924 года предположил, что, подобно тому, как свет обладает как волнообразными свойствами, так и свойствами частиц, электроны также обладают волновыми свойствами. Путем перестановки уравнение количества движения указано выше в разделе, мы находим зависимость между длиной волны , $Х$ , связанный с электрона и его импульс , $р$ , через постоянную Планка , $ч$ : ^[4]

λ знак равно час п . {\ displaystyle \ lambda = {\ frac {h} {p}}.}

Теперь известно, что это соотношение справедливо для всех типов материи: вся материя проявляет свойства как частиц, так и волн.

Когда я сформулировал первые основные идеи волновой механики в 1923–1924 годах, я руководствовался целью осуществить реальный физический синтез, действительный для всех частиц, сосуществования волны и корпускулярных аспектов, которые Эйнштейн ввел для фотонов. в своей теории световых квантов в 1905 г.
- де Бройль ^[5]

В 1926 году Эрвин Шредингер опубликовал уравнение , описывающее , как материя волна должна развиваться - дело в волновой аналог уравнений Максвелла - и использовать его для получения энергетического спектра из водорода .

Экспериментальное подтверждение [ править ]

Демонстрация материальной волны при дифракции электронов

Волны материи были впервые экспериментально подтверждены в эксперименте Джорджа Пэджета Томсона по дифракции катодных лучей ^[2] и в эксперименте Дэвиссона-Гермера для электронов, а гипотеза де Бройля была подтверждена для других элементарных частиц. Кроме того, было показано, что нейтральные атомы и даже молекулы похожи на волны.

Электроны [ править ]

В 1927 году в Bell Labs Клинтон Дэвиссон и Лестер Джермер выпустили медленно движущиеся электроны по мишени из кристаллического никеля . Была измерена угловая зависимость интенсивности дифрагированных электронов, и было определено, что она имеет ту же дифракционную картину, что и предсказанные Брэггом для рентгеновских лучей . В то же время Джордж Пэджет Томсон из Университета Абердина независимо стрелял электронами по очень тонкой металлической фольге, чтобы продемонстрировать тот же эффект. ^[2] До принятия гипотезы де Бройля дифракция была свойством, которое, как считалось, проявлялось только волнами. Поэтому наличие любыхэффекты дифракции на веществе продемонстрировали волнообразную природу вещества. Когда длина волны де Бройля была введена в условие Брэгга , предсказанная дифракционная картина наблюдалась, тем самым экспериментально подтверждая гипотезу де Бройля для электронов. ^[6]

Это был поворотный результат в развитии квантовой механики . Подобно тому, как фотоэлектрический эффект продемонстрировал корпускулярную природу света, эксперимент Дэвиссона-Гермера показал волновую природу материи и завершил теорию дуальности волна-частица . Для физиков эта идея была важна, потому что она означала, что не только любая частица может проявлять волновые характеристики, но и что можно использовать волновые уравнения для описания явлений в материи, если использовать длину волны де Бройля.

Нейтральные атомы [ править ]

Эксперименты с дифракцией Френеля ^[7] и атомным зеркалом для зеркального отражения ^[8]^[9] нейтральных атомов подтверждают применение гипотезы де Бройля к атомам, т.е. существование атомных волн, которые претерпевают дифракцию , интерференцию и допускают квантовое отражение от хвосты привлекательного потенциала. ^[10] Достижения в области лазерного охлаждения позволили охлаждать нейтральные атомы до температур нанокельвина. При этих температурах тепловые длины волн де Бройля достигают микрометрового диапазона. Использование дифракции Брэггаатомов и методом интерферометрии Рамсея, длина волны де Бройля холодных атомов натрия была точно измерена и оказалась совместимой с температурой, измеренной другим методом. ^[11]

Этот эффект был использован для демонстрации атомной голографии , и он может позволить построить систему визуализации атомного зонда с нанометровым разрешением. ^[12]^[13] Описание этих явлений основано на волновых свойствах нейтральных атомов, что подтверждает гипотезу де Бройля.

Эффект также использовался для объяснения пространственной версии квантового эффекта Зенона , в котором нестабильный объект может быть стабилизирован с помощью быстро повторяющихся наблюдений. ^[9]

Молекулы [ править ]

Недавние эксперименты даже подтверждают соотношения для молекул и даже макромолекул, которые в противном случае могли бы считаться слишком большими, чтобы подвергаться квантово-механическим эффектам. В 1999 году группа исследователей в Вене продемонстрировала дифракцию на молекулах размером с фуллерены . ^[14] Исследователи рассчитали длину волны Де Бройля наиболее вероятной скорости C ₆₀ как 2,5 пм . Более поздние эксперименты доказывают квантовую природу молекул, состоящих из 810 атомов и массой 10,123 u . ^[15] По состоянию на 2019 год, это количество составляло 25000 единиц. ^[16]

Еще на один шаг дальше, чем Луи де Бройля, идут теории, которые в квантовой механике исключают концепцию точечной классической частицы и объясняют наблюдаемые факты только с помощью волновых пакетов материальных волн. ^[17]^[18]^[19]^[20]

Отношения де Бройля [ править ]

Уравнения де Бройля связать длину волны $Л$ к импульса $р$ и частоты $п$ к полной энергии $Е$ в виде свободной частицы : ^[21]

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ lambda = h / p \\ & f = E / h \ end {align}}}$

где h - постоянная Планка . Уравнения также можно записать как

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} & \ mathbf {p} = \ hbar \ mathbf {k} \\ & E = \ hbar \ omega \\\ end {align}}}$

или ^[22]

${\begin{aligned}&\mathbf {p} =\hbar \mathbf {\beta } \\&E=\hbar \omega \\\end{aligned}}$

где $ħ = h / 2 π$ - приведенная постоянная Планка, $k$ - волновой вектор , $β$ - фазовая постоянная , а $ω$ - угловая частота .

В каждой паре второе уравнение также называется соотношением Планка – Эйнштейна , поскольку оно также было предложено Планком и Эйнштейном .

Специальная теория относительности [ править ]

Используя две формулы из специальной теории относительности , одну для релятивистской энергии массы и одну для релятивистского импульса

E=mc^{2}=\gamma m_{0}c^{2}

{\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}

позволяет записать уравнения в виде

{\begin{aligned}&\lambda =\,\,{\frac {h}{\gamma m_{0}v}}\,=\,{\frac {h}{m_{0}v}}\,\,\,\,{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\\&f={\frac {\gamma \,m_{0}c^{2}}{h}}={\frac {m_{0}c^{2}}{h}}{\bigg /}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}

где обозначает частицы массы покоя , его скорость , фактор Лоренца и скорость света в вакууме. ^[23]^[24]^[25] Подробности вывода соотношений де Бройля см. Ниже. Групповую скорость (равную скорости частицы) не следует путать с фазовой скоростью (равной произведению частоты частицы и ее длины волны). В случае недиспергирующей среды они равны, но в остальном - нет. $m_{0}$ $v$ $\gamma$ $c$

Групповая скорость [ править ]

Альберт Эйнштейн впервые объяснил дуальность света волна-частица в 1905 году. Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что любая частица также должна обладать такой двойственностью. Он пришел к выводу, что скорость частицы всегда должна равняться групповой скорости соответствующей волны. Величина групповой скорости равна скорости частицы.

И в релятивистской, и в нерелятивистской квантовой физике мы можем отождествить групповую скорость волновой функции частицы со скоростью частицы. Квантовая механика очень точно продемонстрировала эту гипотезу, и эта связь была явно показана для частиц размером с молекулы . ^[14]

Де Бройль пришел к выводу, что если бы уравнения дуальности, уже известные для света, были одинаковыми для любой частицы, то его гипотеза была бы верна. Это означает, что

v g = ∂ ω ∂ k = ∂ ( E / ℏ ) ∂ ( p / ℏ ) = ∂ E ∂ p {\displaystyle v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (p/\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial p}}}

где $Е$ является полная энергия частицы, $р$ является его импульс , $ħ$ приведенная постоянная Планка. Для свободной нерелятивистской частицы следует, что

v g = ∂ E ∂ p = ∂ ∂ p ( 1 2 p 2 m ) = p m = v {\displaystyle {\begin{aligned}v_{g}&={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\frac {1}{2}}{\frac {p^{2}}{m}}\right)\\&={\frac {p}{m}}\\&=v\end{aligned}}}

где $m$ - масса частицы, а $v -$ ее скорость.

Также в специальной теории относительности мы находим, что

v g = ∂ E ∂ p = ∂ ∂ p ( p 2 c 2 + m 0 2 c 4 ) = p c 2 p 2 c 2 + m 0 2 c 4 = p c 2 E {\displaystyle {\begin{aligned}v_{g}&={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}\right)\\&={\frac {pc^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}}\\&={\frac {pc^{2}}{E}}\end{aligned}}}

где $m 0$ - масса покоя частицы, а $c$ - скорость света в вакууме. Но (см. Ниже), учитывая, что фазовая скорость равна $v p = E / p = c 2 / v$ , поэтому

v g = p c 2 E = c 2 v p = v {\displaystyle {\begin{aligned}v_{g}&={\frac {pc^{2}}{E}}\\&={\frac {c^{2}}{v_{p}}}\\&=v\end{aligned}}}

где $v$ - скорость частицы независимо от поведения волны.

Фазовая скорость [ править ]

В квантовой механике частицы также ведут себя как волны со сложной фазой. Фазовая скорость равна произведению частоты , умноженной на длину волны.

По гипотезе де Бройля мы видим, что

v p = ω k = E / ℏ p / ℏ = E p . {\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}={\frac {E/\hbar }{p/\hbar }}={\frac {E}{p}}.}

Используя релятивистские соотношения для энергии и импульса, мы имеем

v p = E p = m c 2 m v = γ m 0 c 2 γ m 0 v = c 2 v = c β {\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {E}{p}}={\frac {mc^{2}}{mv}}={\frac {\gamma m_{0}c^{2}}{\gamma m_{0}v}}={\frac {c^{2}}{v}}={\frac {c}{\beta }}}

где Е представляет собой полную энергию частицы (т.е. энергии покоя плюс кинетической энергии в кинематической смысле), р импульс , фактор Лоренца , с к скорости света , и р скорость в долях с . В качестве переменной v можно принять либо скорость частицы, либо групповую скорость соответствующей волны материи. Поскольку скорость частицы для любой частицы, имеющей массу (согласно специальной теории относительности ), фазовая скорость материальных волн всегда превышает c , т. Е. $\gamma$ $v<c$

v p > c , {\displaystyle v_{\mathrm {p} }>c,\,}

и, как мы видим, он приближается к c, когда скорость частицы находится в релятивистском диапазоне. Сверхсветовая фазовая скорость не нарушает специальную теорию относительности, поскольку распространение фазы не несет никакой энергии. Подробности см. В статье « Дисперсия (оптика)» .

Четыре вектора [ править ]

Используя четыре вектора, отношения Де Бройля образуют одно уравнение:

$\mathbf {P} =\hbar \mathbf {K}$

которое не зависит от кадра .

Точно так же связь между скоростью группы / частицы и фазовой скоростью задается в независимой от системы отсчета форме:

$\mathbf {K} =\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\mathbf {U}$

куда

Четыре импульса

\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)

Четырехволновой вектор

\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}\mathbf {\hat {n}} \right)

Четырехскоростной

\mathbf {U} =\gamma (c,{\vec {\mathbf {u} }})=\gamma (c,v_{g}{\hat {\mathbf {n} }})

Интерпретации [ править ]

Фактическая точность этого раздела оспаривается . Соответствующее обсуждение можно найти на Talk: Matter wave . Пожалуйста, помогите обеспечить надежный источник спорных утверждений . ( Февраль 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Физическая реальность, лежащая в основе волн де Бройля, является предметом постоянных дискуссий. Некоторые теории рассматривают либо частицу, либо волновой аспект как ее фундаментальную природу, пытаясь объяснить другой как эмерджентное свойство . Некоторые, например теория скрытых переменных , рассматривают волну и частицу как отдельные объекты. Третьи предлагают некую промежуточную сущность, которая не является ни вполне волновой, ни вполне частичной, а появляется как таковая только тогда, когда мы измеряем одно или другое свойство. В Копенгагене интерпретация утверждает , что характер подстилающей реальности непостижим и за пределы научного исследования.

Квантово-механические волны Шредингера концептуально отличаются от обычных физических волн, таких как вода или звук. Обычные физические волны характеризуются волнообразными «смещениями» размерных физических переменных в реальном количестве в каждой точке обычного физического пространства в каждый момент времени. «Волны» Шредингера характеризуются волнообразным значением безразмерного комплексного числа в каждой точке абстрактного многомерного пространства, например, конфигурационного пространства.

На Пятой Сольвеевской конференции в 1927 году Макс Борн и Вернер Гейзенберг сообщили следующее:

Если есть желание вычислить вероятности возбуждения и ионизации атомов [М. Родился, Zur Quantenmechanik der Stossvorgange, Z. f. Phys. , 37 (1926), 863; [Quantenmechanik der Stossvorgange], ibid. , 38 (1926), 803], то необходимо ввести координаты атомных электронов как переменные наравне с координатами сталкивающегося электрона. Затем волны распространяются уже не в трехмерном пространстве, а в многомерном конфигурационном пространстве. Отсюда видно, что квантово-механические волны действительно сильно отличаются от световых волн классической теории. ^[26]

На той же конференции Эрвин Шредингер сообщил то же самое.

Под [названием «волновая механика»] в настоящее время развиваются две теории, которые действительно тесно связаны, но не идентичны. Первый, который непосредственно следует из известной докторской диссертации Л. де Бройля, касается волн в трехмерном пространстве. Из-за строго релятивистской трактовки, принятой в этой версии с самого начала, мы будем называть ее четырехмерной волновой механикой. Другая теория более далека от первоначальных идей де Бройля, поскольку она основана на волновом процессе в пространстве координат положения ( q -пространство) произвольной механической системы [Длинная сноска о рукописи здесь не копируется. ] Поэтому мы будем называть его многомернымволновая механика. Конечно, такое использование q -пространства следует рассматривать только как математический инструмент, поскольку оно часто применяется также в старой механике; В конечном счете, и в этой версии описываемый процесс едино во времени и пространстве. На самом деле, однако, полного объединения этих двух концепций пока достичь не удалось. Все, что выходит за рамки движения одиночного электрона, пока можно рассматривать только в многомерной версии; кроме того, он обеспечивает математическое решение проблем, поставленных матричной механикой Гейзенберга-Борна. ^[27]

В 1955 году Гейзенберг повторил это:

Важный шаг вперед сделали работы Борна [ Z. Phys. , 37 : 863, 1926 и 38 : 803, 1926] летом 1926 года. В этой работе волна в конфигурационном пространстве интерпретировалась как волна вероятности, чтобы объяснить процессы столкновения по теории Шредингера. Эта гипотеза содержала две важные новые особенности по сравнению с гипотезой Бора , Крамерса и Слейтера.. Первым из них было утверждение, что, рассматривая «волны вероятности», мы имеем дело с процессами не в обычном трехмерном пространстве, а в абстрактном конфигурационном пространстве (факт, который, к сожалению, иногда упускается из виду даже сегодня); второй - признание того, что волна вероятности связана с отдельным процессом. ^[28]

Выше упоминалось, что «смещенная величина» волны Шредингера имеет значения, которые являются безразмерными комплексными числами. Можно спросить, каков физический смысл этих чисел. Согласно Гейзенбергу, «смещенная величина» пакета волны Шредингера представляет собой скорее амплитуду вероятности, чем некоторую обычную физическую величину, такую как, например, напряженность электрического поля Максвелла или плотность массы. Он писал, что вместо термина «волновой пакет» предпочтительнее говорить о вероятностном пакете. ^[29]Амплитуда вероятности поддерживает вычисление вероятности местоположения или количества движения дискретных частиц. Гейзенберг цитирует отчет Дуэйна о дифракции частиц за счет вероятностной квантовой передачи поступательного импульса, что позволяет, например, в эксперименте Юнга с двумя щелями, каждая дифрагировавшая частица вероятностно проходит через определенную щель. ^[30] Таким образом, не обязательно думать о волне материи, как о «состоящей из размазанной материи».

Эти идеи могут быть выражены обычным языком следующим образом. В учете обычных физических волн «точка» относится к положению в обычном физическом пространстве в момент времени, в котором задано «смещение» некоторой физической величины. Но с точки зрения квантовой механики «точка» относится к конфигурации системы в момент времени, при этом каждая частица системы в определенном смысле присутствует в каждой «точке» конфигурационного пространства, каждая частица в такой точке. точка ', возможно, находится в другом месте в обычном физическом пространстве. Нет никаких явных определенных указаний на то, что в данный момент эта частица находится «здесь», а эта частица находится «там» в каком-то отдельном «месте» в конфигурационном пространстве. Это концептуальное различие влечет за собой следующее:В отличие от доквантовомеханического описания волн де Бройля, квантово-механическое описание вероятностного пакета не выражает прямо и явно ни аристотелевскую идею, на которую ссылается Ньютон, ни эйнштейновскую идею о том, что такое распространение не быстрее света. Напротив, эти идеи так выражены в классическом волновом описании черезсквозьсквозьФункция Грина , хотя и неадекватна наблюдаемым квантовым явлениям. Физическая причина этого была впервые признана Эйнштейном. ^[31]^[32]

Фазовая волна де Бройля и периодическое явление [ править ]

Тезис Де Бройля начался с гипотезы, «что с каждой порцией энергии с надлежащей массой $m 0$ можно связать периодическое явление с частотой $ν 0$ , так что можно найти: $hν 0 = m 0 c 2$ . Частота $ν 0$ должна, конечно, измеряться в системе отсчета покоя энергетического пакета. Эта гипотеза является основой нашей теории ». ^[33]^[34]^[35]^[36]^[37]^[38] (Эта частота также известна как частота Комптона .)

Де Бройль следовал своей первоначальной гипотезе о периодическом явлении с частотой $ν 0$ , связанном с энергетическим пакетом. Он использовал специальную теорию относительности, чтобы обнаружить, что в системе наблюдения за электронным энергетическим пакетом, движущимся со скоростью , его частота, по-видимому, уменьшилась до $v$

\nu _{1}=\nu _{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\,.

Де Бройль рассуждал, что стационарному наблюдателю это гипотетическое периодическое явление внутренней частицы кажется синфазным с волной с длиной волны и частотой, которая распространяется с фазовой скоростью . Де Бройль назвал эту волну «фазовой волной» («onde de phase» по-французски). Это была его основная концепция волны материи. Он отметил, как и выше, что и фазовая волна не передает энергию. ^[35]^[39] $\lambda$ $f$ $v_{\mathrm {p} }$ $v_{\mathrm {p} }>c$

Хотя концепция связи волн с материей верна, де Бройль не сразу совершил скачок к окончательному пониманию квантовой механики без ошибок. Существуют концептуальные проблемы с подходом, который использовал де Бройль в своей диссертации, которые он не смог разрешить, несмотря на попытку ряда различных фундаментальных гипотез в различных статьях, опубликованных во время работы над его диссертацией и вскоре после публикации. ^[36]^[40] Эти трудности были разрешены Эрвином Шредингером , который разработал подход волновой механики, исходя из несколько иной базовой гипотезы.

См. Также [ править ]

Модель Бора
Волна Фарадея
Эффект Капицы – Дирака
Часы волны материи
Уравнение Шредингера
Теоретическое и экспериментальное обоснование уравнения Шредингера
Тепловая длина волны де Бройля
Теория де Бройля – Бома

Ссылки [ править ]

Перейти ↑ Feynman, R. , QED: The Strange Theory of Light and Matter , Penguin, 1990 Edition, p. 84.
^ a b c Томсон, Г. П. (1927). «Дифракция катодных лучей на тонкой пленке». Природа . 119 (3007): 890. Bibcode : 1927Natur.119Q.890T . DOI : 10.1038 / 119890a0 .
^ Эйнштейн, А. (1917). Zur Quantentheorie der Strahlung, Physicalische Zeitschrift 18 : 121–128. Переведено в Ter Haar, D. (1967). Старая квантовая теория . Pergamon Press . С. 167–183 . LCCN 66029628 .
^ Макэвой, JP; Зарате, Оскар (2004). Введение в квантовую теорию . Тотемные книги. С. 110–114. ISBN 978-1-84046-577-8.
^ де Бройль, Луи (1970). «Переосмысление волновой механики». Основы физики . 1 (1): 5–15. Bibcode : 1970FoPh .... 1 .... 5D . DOI : 10.1007 / BF00708650 .
↑ Мауро Дардо, лауреаты Нобелевской премии и физика двадцатого века , Cambridge University Press 2004, стр. 156–157
^ RBDoak; REGrisenti; С. Ребейн; Г. Шмаль; JPToennies; Гл. Wöll (1999). «На пути к созданию атомного микроскопа де Бройля: фокусировка атома гелия с использованием пластин зоны Френеля». Письма с физическим обзором . 83 (21): 4229–4232. Bibcode : 1999PhRvL..83.4229D . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.83.4229 .
↑ Ф. Симидзу (2000). «Зеркальное отражение очень медленных метастабильных атомов неона от твердой поверхности» . Письма с физическим обзором . 86 (6): 987–990. Bibcode : 2001PhRvL..86..987S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.86.987 . PMID 11177991 .
^ a b Д. Кузнецов; Х. Оберст (2005). «Отражение волн от выступающей поверхности и эффект Зенона». Оптический обзор . 12 (5): 1605–1623. Bibcode : 2005OptRv..12..363K . DOI : 10.1007 / s10043-005-0363-9 .
^ Х. Фридрих; Дж. Джейкоби; CGMeister (2002). «Квантовое отражение от потенциальных хвостов Казимира – Ван-дер-Ваальса». Physical Review . 65 (3): 032902. Bibcode : 2002PhRvA..65c2902F . DOI : 10.1103 / PhysRevA.65.032902 .
^ Пьер Клэде; Чанхён Рю; Ананд Раманатан; Кристиан Хелмерсон; Уильям Д. Филлипс (2008). «Наблюдение двухмерного бозе-газа: от теплового к квазиконденсатному и сверхтекучему». Письма с физическим обзором . 102 (17): 170401. arXiv : 0805.3519 . Bibcode : 2009PhRvL.102q0401C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.102.170401 . PMID 19518764 .
^ Симидзу; Дж. Фуджита (2002). «Голограмма отражательного типа для атомов». Письма с физическим обзором . 88 (12): 123201. Bibcode : 2002PhRvL..88l3201S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.88.123201 . PMID 11909457 .
^ Д. Кузнецов; Х. Оберст; К. Симидзу; А. Нойман; Ю. Кузнецова; Ж.-Ф. Биссон; К. Уэда; SRJ Brueck (2006). «Ребристые атомные зеркала и атомный наноскоп». Журнал Physics B . 39 (7): 1605–1623. Bibcode : 2006JPhB ... 39.1605K . CiteSeerX 10.1.1.172.7872 . DOI : 10.1088 / 0953-4075 / 39/7/005 .
^ а б Арндт, М .; О. Наирз; J. Voss-Andreae ; К. Келлер; Г. ван дер Зоу; А. Цайлингер (14 октября 1999 г.). «Волново-частичная двойственность C60». Природа . 401 (6754): 680–682. Bibcode : 1999Natur.401..680A . DOI : 10.1038 / 44348 . PMID 18494170 .
^ Эйбенбергер, Сандра; Герлих, Стефан; Арндт, Маркус; Мэр Марсель; Тюксен, Йенс (14 августа 2013 г.). «Материя – волна интерференции частиц, выбранных из молекулярной библиотеки с массами, превышающими 10 000 а.е.м.». Физическая химия Химическая физика . 15 (35): 14696–700. arXiv : 1310,8343 . Bibcode : 2013PCCP ... 1514696E . DOI : 10.1039 / c3cp51500a . ISSN 1463-9084 . PMID 23900710 .
^ "2000 атомов в двух местах одновременно: новый рекорд в квантовой суперпозиции" . Phys.org . Проверено 25 сентября 2019 года .
^ См. Раздел VI (e) диссертации Эверетта: Теория универсальной волновой функции , в Брайсе Селигмане ДеВитте , Р. Нилле Грэме , редакторах, Многомирная интерпретация квантовой механики , Princeton Series in Physics, Princeton University Press (1973). ), ISBN 0-691-08131-X , стр. 3–140.
^ Городецкий, Р. (1981). «Волна де Бройля и ее двойная волна». Phys. Lett. . 87 (3): 95–97. Bibcode : 1981PhLA ... 87 ... 95H . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (81) 90571-5 .
^ Horodecki, R. (1983). «Сверхсветовая сингулярная двойная волна». Lettere al Nuovo Cimento . 38 (15): 509–511. DOI : 10.1007 / BF02817964 .
^ Джабс, Артур: гипотеза о детерминизме, редукции и измерении в квантовой механике . В: Quantum Studies: Mathematics and Foundations, 3 (4), 279-292 (2016), также arXiv: 1204.0614 (2017).
^ Resnick, R .; Айсберг, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-87373-0.
^ ZYWang (2016). «Обобщенное уравнение импульса квантовой механики». Оптическая и квантовая электроника . 48 (2). DOI : 10.1007 / s11082-015-0261-8 .
^ Холден, Алан (1971). Стационарные состояния . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-501497-6.
^ Williams, WSC (2002). Введение в специальную теорию относительности , Taylor & Francis, London, ISBN 0-415-27761-2 , p. 192.
^ Де Бройль, Луи (1970). «Переосмысление волновой механики». Основы физики . 1 (1): 5–15. Bibcode : 1970FoPh .... 1 .... 5D . DOI : 10.1007 / BF00708650 .
Перейти ↑ Born, M. , Heisenberg, W. (1928). Квантовая механика, стр. 143–181 журнала « Электроны и фотоны: сообщения и обсуждения в Cinquième Conseil de Physique», Tenu à Bruxelles du 24 au 29 Octobre 1927, sous les Auspices de l'Institut International de Physique Solvay , Gauthier-Villars, Paris, п. 166; этот перевод на стр. 425 Бакчиагалуппи, Г., Валентини, А. (2009), Квантовая теория на распутье: пересмотр Сольвеевской конференции 1927 г. , Cambridge University Press, Cambridge UK, ISBN 978-0-521-81421-8 .
^ Шредингер, Э. (1928). Волновая механика, стр. 185–206 журнала « Электроны и фотоны: отчеты и обсуждения в Cinquième Conseil de Physique», Tenu à Bruxelles du 24 au 29 Octobre 1927, sous les Auspices de l'Institut International de Physique Solvay , Gauthier-Villars, Paris, С. 185–186; этот перевод на стр. 447 Бакчиагалуппи, Г., Валентини, А. (2009), Квантовая теория на распутье: пересмотр Сольвеевской конференции 1927 г. , Cambridge University Press, Cambridge UK, ISBN 978-0-521-81421-8 .
^ Гейзенберг, W. (1955). Развитие интерпретации квантовой теории, стр. 12–29, в книге Нильса Бора и развития физики: очерки, посвященные Нильсу Бору по случаю его семидесятилетия , под редакцией В. Паули при содействии Л. Розенфельд и В. Вайскопф , Pergamon Press, Лондон, с. 13.
^ Гейзенберг, W. (1927). Über den anschlaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Z. Phys. 43 : 172–198, перевод под ред. Уилер, Дж. А. , Зурек, WH (1983), стр. 62–84 квантовой теории и измерений , Princeton University Press, Princeton NJ, p. 73. Кромепереводится как «фактическое содержание квантовой теоретической кинематики и механики» здесь
^ Гейзенберг, W. (1930). Физические принципы квантовой теории , перевод К. Эккарта, Ф. К. Хойта, University of Chicago Press, Chicago IL, pp. 77–78.
Перейти ↑ Fine, A. (1986). Шаткая игра: реализм Эйнштейна и квантовая теория , Чикагский университет, Чикаго, ISBN 0-226-24946-8
^ Ховард, Д. (1990). «Nicht sein kann was nicht sein darf», или предыстория ЕНР, 1909–1935; Ранние заботы Эйнштейна о квантовой механике составных систем, стр. 61–112 в « Шестьдесят два года неопределенности: исторические философские и физические исследования основ квантовой механики» , под редакцией А.И. Миллера, Plenum Press, Нью-Йорк, ISBN 978- 1-4684-8773-2 .
^ де Бройль, Л. (1923). «Волны и кванты». Природа . 112 (2815): 540. Bibcode : 1923Natur.112..540D . DOI : 10.1038 / 112540a0 .
^ де Бройль, Л. (1924). Диссертация, стр. 8 перевода Краклауэра.
^ a b Medicus, HA (1974). «Пятьдесят лет волн материи». Физика сегодня . 27 (2): 38–45. Bibcode : 1974PhT .... 27b..38M . DOI : 10.1063 / 1.3128444 .
^ a b Маккиннон, Э. (1976). Тезис Де Бройля: критическая ретроспектива, Am. J. Phys. 44 : 1047–1055 .
Перейти ↑ Espinosa, JM (1982). «Физические свойства фазовых волн де Бройля». Являюсь. J. Phys . 50 (4): 357–362. Bibcode : 1982AmJPh..50..357E . DOI : 10.1119 / 1.12844 .
^ Браун, HR; Мартинс (1984). «Релятивистские фазовые волны Де Бройля и группы волн» . Являюсь. J. Phys . 52 (12): 1130–1140. Bibcode : 1984AmJPh..52.1130B . DOI : 10.1119 / 1.13743 .
^ Bacciagaluppi Г., Валентини, A. (2009). Квантовая теория на перепутье: пересмотр Сольвеевской конференции 1927 г. , Cambridge University Press, Cambridge UK, ISBN 978-0-521-81421-8 , стр. 30–88.
^ Мартинс, Роберто де Андраде (2010). «Борьба Луи де Бройля с дуализмом волна-частица, 1923–1925» . Проект квантовой истории, Институт Фрица Габера Общества Макса Планка и Институт истории науки Макса Планка . Дата обращения 3 января 2015 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Л. де Бройль, Исследования по теории квантов (Исследования по квантовой теории), Диссертация (Париж), 1924; Л. де Бройль, Ann. Phys. (Париж) 3 , 22 (1925). Английский перевод А.Ф. Краклауэра.
Бройль, Луи де, Волновая природа электрона Нобелевская лекция, 12, 1929 г.
Типлер, Пол А. и Ральф А. Ллевеллин (2003). Современная физика . 4-е изд. Нью-Йорк; WH Freeman and Co. ISBN 0-7167-4345-0 . С. 203–4, 222–3, 236.
Зумдал, Стивен С. (2005). Химические принципы (5-е изд.). Бостон: Хоутон Миффлин. ISBN 978-0-618-37206-5.
В июле 2009 г. появилась обширная обзорная статья «Оптика и интерферометрия с атомами и молекулами»: https://web.archive.org/web/20110719220930/http://www.atomwave.org/rmparticle/RMPLAO.pdf .
"Научные статьи, представленные Максу Борну после его ухода с кафедры естественной философии Тэйта в Эдинбургском университете" , 1953 г. (Оливер и Бойд)

Внешние ссылки [ править ]

Боули, Роджер. «Волны де Бройля» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .

[1] Перейти ↑ Feynman, R. , QED: The Strange Theory of Light and Matter , Penguin, 1990 Edition, p. 84.

[GPTdiff-2] Томсон, Г. П. (1927). «Дифракция катодных лучей на тонкой пленке». Природа . 119 (3007): 890. Bibcode : 1927Natur.119Q.890T . DOI : 10.1038 / 119890a0 .

[3] Эйнштейн, А. (1917). Zur Quantentheorie der Strahlung, Physicalische Zeitschrift 18 : 121–128. Переведено в Ter Haar, D. (1967). Старая квантовая теория . Pergamon Press . С. 167–183 . LCCN 66029628 .

[4] Макэвой, JP; Зарате, Оскар (2004). Введение в квантовую теорию . Тотемные книги. С. 110–114. ISBN 978-1-84046-577-8.

[5] де Бройль, Луи (1970). «Переосмысление волновой механики». Основы физики . 1 (1): 5–15. Bibcode : 1970FoPh .... 1 .... 5D . DOI : 10.1007 / BF00708650 .

[6] Мауро Дардо, лауреаты Нобелевской премии и физика двадцатого века , Cambridge University Press 2004, стр. 156–157

[doak-7] RBDoak; REGrisenti; С. Ребейн; Г. Шмаль; JPToennies; Гл. Wöll (1999). «На пути к созданию атомного микроскопа де Бройля: фокусировка атома гелия с использованием пластин зоны Френеля». Письма с физическим обзором . 83 (21): 4229–4232. Bibcode : 1999PhRvL..83.4229D . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.83.4229 .

[sh-8] Ф. Симидзу (2000). «Зеркальное отражение очень медленных метастабильных атомов неона от твердой поверхности» . Письма с физическим обзором . 86 (6): 987–990. Bibcode : 2001PhRvL..86..987S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.86.987 . PMID 11177991 .

[zeno-9] Д. Кузнецов; Х. Оберст (2005). «Отражение волн от выступающей поверхности и эффект Зенона». Оптический обзор . 12 (5): 1605–1623. Bibcode : 2005OptRv..12..363K . DOI : 10.1007 / s10043-005-0363-9 .

[Fri-10] Х. Фридрих; Дж. Джейкоби; CGMeister (2002). «Квантовое отражение от потенциальных хвостов Казимира – Ван-дер-Ваальса». Physical Review . 65 (3): 032902. Bibcode : 2002PhRvA..65c2902F . DOI : 10.1103 / PhysRevA.65.032902 .

[Cla-11] Пьер Клэде; Чанхён Рю; Ананд Раманатан; Кристиан Хелмерсон; Уильям Д. Филлипс (2008). «Наблюдение двухмерного бозе-газа: от теплового к квазиконденсатному и сверхтекучему». Письма с физическим обзором . 102 (17): 170401. arXiv : 0805.3519 . Bibcode : 2009PhRvL.102q0401C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.102.170401 . PMID 19518764 .

[holo-12] Симидзу; Дж. Фуджита (2002). «Голограмма отражательного типа для атомов». Письма с физическим обзором . 88 (12): 123201. Bibcode : 2002PhRvL..88l3201S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.88.123201 . PMID 11909457 .

[nanoscope-13] Д. Кузнецов; Х. Оберст; К. Симидзу; А. Нойман; Ю. Кузнецова; Ж.-Ф. Биссон; К. Уэда; SRJ Brueck (2006). «Ребристые атомные зеркала и атомный наноскоп». Журнал Physics B . 39 (7): 1605–1623. Bibcode : 2006JPhB ... 39.1605K . CiteSeerX 10.1.1.172.7872 . DOI : 10.1088 / 0953-4075 / 39/7/005 .

[Arndt_680–682-14] а б Арндт, М .; О. Наирз; J. Voss-Andreae ; К. Келлер; Г. ван дер Зоу; А. Цайлингер (14 октября 1999 г.). «Волново-частичная двойственность C60». Природа . 401 (6754): 680–682. Bibcode : 1999Natur.401..680A . DOI : 10.1038 / 44348 . PMID 18494170 .

[15] Эйбенбергер, Сандра; Герлих, Стефан; Арндт, Маркус; Мэр Марсель; Тюксен, Йенс (14 августа 2013 г.). «Материя – волна интерференции частиц, выбранных из молекулярной библиотеки с массами, превышающими 10 000 а.е.м.». Физическая химия Химическая физика . 15 (35): 14696–700. arXiv : 1310,8343 . Bibcode : 2013PCCP ... 1514696E . DOI : 10.1039 / c3cp51500a . ISSN 1463-9084 . PMID 23900710 .

[16] "2000 атомов в двух местах одновременно: новый рекорд в квантовой суперпозиции" . Phys.org . Проверено 25 сентября 2019 года .

[17] См. Раздел VI (e) диссертации Эверетта: Теория универсальной волновой функции , в Брайсе Селигмане ДеВитте , Р. Нилле Грэме , редакторах, Многомирная интерпретация квантовой механики , Princeton Series in Physics, Princeton University Press (1973). ), ISBN 0-691-08131-X , стр. 3–140.

[18] Городецкий, Р. (1981). «Волна де Бройля и ее двойная волна». Phys. Lett. . 87 (3): 95–97. Bibcode : 1981PhLA ... 87 ... 95H . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (81) 90571-5 .

[19] Horodecki, R. (1983). «Сверхсветовая сингулярная двойная волна». Lettere al Nuovo Cimento . 38 (15): 509–511. DOI : 10.1007 / BF02817964 .

[20] Джабс, Артур: гипотеза о детерминизме, редукции и измерении в квантовой механике . В: Quantum Studies: Mathematics and Foundations, 3 (4), 279-292 (2016), также arXiv: 1204.0614 (2017).

[Resnick_1985-21] Resnick, R .; Айсберг, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-87373-0.

[22] ZYWang (2016). «Обобщенное уравнение импульса квантовой механики». Оптическая и квантовая электроника . 48 (2). DOI : 10.1007 / s11082-015-0261-8 .

[23] Холден, Алан (1971). Стационарные состояния . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-501497-6.

[24] Williams, WSC (2002). Введение в специальную теорию относительности , Taylor & Francis, London, ISBN 0-415-27761-2 , p. 192.

[25] Де Бройль, Луи (1970). «Переосмысление волновой механики». Основы физики . 1 (1): 5–15. Bibcode : 1970FoPh .... 1 .... 5D . DOI : 10.1007 / BF00708650 .

[26] Перейти ↑ Born, M. , Heisenberg, W. (1928). Квантовая механика, стр. 143–181 журнала « Электроны и фотоны: сообщения и обсуждения в Cinquième Conseil de Physique», Tenu à Bruxelles du 24 au 29 Octobre 1927, sous les Auspices de l'Institut International de Physique Solvay , Gauthier-Villars, Paris, п. 166; этот перевод на стр. 425 Бакчиагалуппи, Г., Валентини, А. (2009), Квантовая теория на распутье: пересмотр Сольвеевской конференции 1927 г. , Cambridge University Press, Cambridge UK, ISBN 978-0-521-81421-8 .

[27] Шредингер, Э. (1928). Волновая механика, стр. 185–206 журнала « Электроны и фотоны: отчеты и обсуждения в Cinquième Conseil de Physique», Tenu à Bruxelles du 24 au 29 Octobre 1927, sous les Auspices de l'Institut International de Physique Solvay , Gauthier-Villars, Paris, С. 185–186; этот перевод на стр. 447 Бакчиагалуппи, Г., Валентини, А. (2009), Квантовая теория на распутье: пересмотр Сольвеевской конференции 1927 г. , Cambridge University Press, Cambridge UK, ISBN 978-0-521-81421-8 .

[28] Гейзенберг, W. (1955). Развитие интерпретации квантовой теории, стр. 12–29, в книге Нильса Бора и развития физики: очерки, посвященные Нильсу Бору по случаю его семидесятилетия , под редакцией В. Паули при содействии Л. Розенфельд и В. Вайскопф , Pergamon Press, Лондон, с. 13.

[29] Гейзенберг, W. (1927). Über den anschlaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Z. Phys. 43 : 172–198, перевод под ред. Уилер, Дж. А. , Зурек, WH (1983), стр. 62–84 квантовой теории и измерений , Princeton University Press, Princeton NJ, p. 73. Кромепереводится как «фактическое содержание квантовой теоретической кинематики и механики» здесь

[30] Гейзенберг, W. (1930). Физические принципы квантовой теории , перевод К. Эккарта, Ф. К. Хойта, University of Chicago Press, Chicago IL, pp. 77–78.

[31] Перейти ↑ Fine, A. (1986). Шаткая игра: реализм Эйнштейна и квантовая теория , Чикагский университет, Чикаго, ISBN 0-226-24946-8

[32] Ховард, Д. (1990). «Nicht sein kann was nicht sein darf», или предыстория ЕНР, 1909–1935; Ранние заботы Эйнштейна о квантовой механике составных систем, стр. 61–112 в « Шестьдесят два года неопределенности: исторические философские и физические исследования основ квантовой механики» , под редакцией А.И. Миллера, Plenum Press, Нью-Йорк, ISBN 978- 1-4684-8773-2 .

[33] де Бройль, Л. (1923). «Волны и кванты». Природа . 112 (2815): 540. Bibcode : 1923Natur.112..540D . DOI : 10.1038 / 112540a0 .

[34] де Бройль, Л. (1924). Диссертация, стр. 8 перевода Краклауэра.

[Medicus-35] Medicus, HA (1974). «Пятьдесят лет волн материи». Физика сегодня . 27 (2): 38–45. Bibcode : 1974PhT .... 27b..38M . DOI : 10.1063 / 1.3128444 .

[MacKinnon-36] Маккиннон, Э. (1976). Тезис Де Бройля: критическая ретроспектива, Am. J. Phys. 44 : 1047–1055 .

[37] Перейти ↑ Espinosa, JM (1982). «Физические свойства фазовых волн де Бройля». Являюсь. J. Phys . 50 (4): 357–362. Bibcode : 1982AmJPh..50..357E . DOI : 10.1119 / 1.12844 .

[38] Браун, HR; Мартинс (1984). «Релятивистские фазовые волны Де Бройля и группы волн» . Являюсь. J. Phys . 52 (12): 1130–1140. Bibcode : 1984AmJPh..52.1130B . DOI : 10.1119 / 1.13743 .

[39] Bacciagaluppi Г., Валентини, A. (2009). Квантовая теория на перепутье: пересмотр Сольвеевской конференции 1927 г. , Cambridge University Press, Cambridge UK, ISBN 978-0-521-81421-8 , стр. 30–88.

[Martins-40] Мартинс, Роберто де Андраде (2010). «Борьба Луи де Бройля с дуализмом волна-частица, 1923–1925» . Проект квантовой истории, Институт Фрица Габера Общества Макса Планка и Институт истории науки Макса Планка . Дата обращения 3 января 2015 .