WVD Hodge

Дом Ходжа по адресу 1 Church Hill Place, Эдинбург

Сэр Уильям Валланс Дуглас Ходж FRS FRSE ^[2] ( / h ɒ dʒ / ; 17 июня 1903 - 7 июля 1975) был британским математиком, в частности, геометром . ^{[3] [4]}

Его открытие далеко идущих топологических отношений между алгебраической геометрией и дифференциальной геометрией - область, которая теперь называется теорией Ходжа и в более общем смысле относится к кэлеровым многообразиям - оказало большое влияние на последующие работы по геометрии.

Жизнь и карьера [ править ]

Он родился в Эдинбурге в 1903 году, в семье исследователя государственных архивов Арчибальда Джеймса Ходжа и его жены Джейн Валланс. ^[5] Они жили по адресу 1 Church Hill Place в районе Морнингсайд . ^[6]

Он учился в колледже Джорджа Ватсона и учился в Эдинбургском университете , получив степень магистра в 1923 году. С помощью Е. Т. Уиттакера , чей сын Дж. М. Уиттакер был другом по колледжу, он затем прошел Кембриджский математический экзамен . В Кембридже он попал под влияние геометра Х. Ф. Бейкера . Он получил вторую степень магистра в 1925 году.

В 1926 году он занял должность преподавателя в Бристольском университете и начал работу над интерфейсом между итальянской школой алгебраической геометрии , в частности проблемами, поставленными Франческо Севери , и топологическими методами Соломона Лефшеца . Это сделало его репутацию, но привело к некоторому первоначальному скептицизму со стороны Лефшеца. Согласно мемуарам Атьи , Лефшец и Ходж в 1931 году встречались в комнатах Макса Ньюмана в Кембридже, чтобы попытаться решить проблемы. В конце концов Лефшец был убежден. ^[2] В 1928 году он был избран членом Королевского общества Эдинбурга . Его инициаторами были сэр Эдмунд Тейлор Уиттакер., Ральф Аллан Сэмпсон , Чарльз Гловер Баркла и сэр Чарльз Гальтон Дарвин . Он был награжден юбилейной премией Общества Ганнинга Виктории за период с 1964 по 1968 год ^[7].

В 1930 году Ходж получил стипендию для исследования в колледже Св. Иоанна в Кембридже . Он провел 1931-22 в Принстонском университете , где был Лефшец, посещая также Оскара Зариски в Университете Джонса Хопкинса . В это время он также усваивал теорему де Рама и определял звездную операцию Ходжа . Это позволило бы ему определять гармонические формы и таким образом уточнить теорию де Рама.

По возвращении в Кембридж в 1933 году ему предложили должность лектора в университете. Он стал лаундинским профессором астрономии и геометрии в Кембридже , эту должность он занимал с 1936 по 1970 год. Он был первым руководителем DPMMS .

Он был мастер Пемброк - колледже в Кембридже с 1958 по 1970 год , и вице-президент Королевского общества с 1959 по 1965 год он был посвящен в рыцари в 1959 году Среди других наград, он получил премию Адамса в 1937 и медаль Копли из Королевское общество в 1974 году.

Он умер в Кембридже 7 июля 1975 года.

Работа [ править ]

Теорема Ходжа об индексе была результатом теории чисел пересечений для кривых на алгебраической поверхности : она определяет сигнатуру соответствующей квадратичной формы . Этого результата добивалась итальянская школа алгебраической геометрии , но он был доказан топологическими методами Лефшеца .

Теория и приложения гармонических интегралов ^[8] подытожили развитие Ходжа в 1930-е годы его общей теории. Это начинается с существования для любой кэлеровой метрики теории лапласианов - это применимо к алгебраическому многообразию V (предполагаемому комплексному , проективному и неособому ), потому что само проективное пространство несет такую ​​метрику. В терминах когомологий де Рама класс когомологий степени k представляется k -формой α на V ( C). Уникального представителя нет; но вводя идею гармонической формы (Ходж все еще называл их «интегралами»), которые являются решениями уравнения Лапласа , можно получить единственное α . Это имеет важное и непосредственное последствие - разделение

H ^k ( V ( C ), C )

в подпространства

H ^{p , q}

в зависимости от числа р о голоморфных дифференциалов дг ^я клиновидной , чтобы компенсировать альфа (котангенс пространство будучи натянутой на дг ^я и их сложные конъюгатов). Размерности подпространств - числа Ходжа .

Это разложение Ходжа стало фундаментальным инструментом. Мало того, что размеры h ^{p , q} уточняют числа Бетти , разбивая их на части с идентифицируемым геометрическим значением; но само разложение, как изменяющийся «флаг» в комплексном векторном пространстве, имеет смысл в связи с проблемами модулей . В общих чертах теория Ходжа вносит вклад как в дискретную, так и в непрерывную классификацию алгебраических многообразий.

Дальнейшие разработки других авторов привели, в частности, к идее смешанной структуры Ходжа на особых многообразиях и к глубоким аналогиям с этальными когомологиями .

Гипотеза Ходжа [ править ]

Гипотеза Ходжа о «средних» пространствах H ^{p , p} , вообще говоря, не решена. Это одна из семи задач Премии тысячелетия, созданных Математическим институтом Клэя .

Экспозиция [ править ]

Вместе с Даниэлем Педоу Ходж написал трехтомный труд « Методы алгебраической геометрии» по классической алгебраической геометрии с большим количеством конкретного содержания, иллюстрирующий то, что Эли Картан назвал «развратом индексов» в его составной нотации. По словам Атия , это было предназначено для обновления и замены HF Бейкера «s Принципы геометрии .

Семья [ править ]

В 1929 году он женился на Кэтлин Энн Кэмерон. ^[9]

Публикации [ править ]

• Ходж, WVD (1941), Теория и приложения гармонических интегралов , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-35881-1, MR  0003947
• Ходж, WVD; Педо, Д. (1994) [1947], Методы алгебраической геометрии, Том I (Книга II) , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-46900-5^[10]
• Ходж, WVD; Pedoe, Daniel (1994) [1952], Методы алгебраической геометрии: Том 2 Книга III: Общая теория алгебраических многообразий в проективном пространстве. Книга IV: Квадрики и многообразия Грассмана. , Кембриджская математическая библиотека, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-46901-2, Руководство по ремонту  0048065^[11]
• Ходж, WVD; Педо, Дэниел (1994) [1954], Методы алгебраической геометрии: Том 3 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-46775-9^[12]

См. Также [ править ]

• Список вещей, названных в честь WVD Hodge

Ссылки [ править ]