Майкл Атья

В этой статье слишком много ссылок на первоисточники . Пожалуйста, улучшите это, добавив вторичные или третичные источники . ( Январь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

сэр Майкл Атья OM FRS FRSE FMedSci FAA FREng
Майкл Атья в 2007 году
Родившийся	Майкл Фрэнсис Атья (1929-04-22)22 апреля 1929 г. Хэмпстед , Лондон , Англия
Умер	11 января 2019 (2019-01-11)(89 лет) Эдинбург , Шотландия
Национальность	Британский, ливанский [1]
Образование	Колледж Виктории, Александрия Манчестерская гимназия Тринити-колледж, Кембридж (бакалавр, доктор философии)
Известен	Теорема Атьи – Зингера об индексе Теорема Атьи – Сигала о пополнении K-теория
Награды	Премия Бервика (1961) Медаль Филдса (1966) Королевская медаль (1968) Медаль Де Моргана (1980) Медаль Копли (1988) Абелевская премия (2004 г.)
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Оксфордский университет - Новый колледж, Оксфорд, и колледж Святой Екатерины, Оксфорд Институт перспективных исследований Университет Лестера Эдинбургский университет Пембрук-колледж, Кембридж
Тезис	Некоторые приложения топологических методов в алгебраической геометрии  (1955)
Докторант	WVD Hodge [2] [3]
Докторанты	Саймон Дональдсон К. Дэвид Элворти Найджел Хитчин [4] Лиза Джеффри Фрэнсис Кирван Питер Кронхаймер Рут Лоуренс Джордж Люстиг Ян Р. Портеус Грэм Сигал Дэвид О. Толл [3]
Другие известные студенты	Эдвард Виттен

Сэр Майкл Фрэнсис Атья О.М. FRS FRSE FMedSci FAA FREng ^[5] ( / ə т я ə / ; 22 апреля 1929 - 11 января 2019) был британским ливано- математик , специализирующийся в геометрии . ^[6]

Атия вырос в Судане и Египте, но большую часть своей академической жизни провел в Великобритании в Оксфордском и Кембриджском университетах, а также в США в Институте перспективных исследований . ^[7] Он был президентом Королевского общества (1990–1995), ^[8] директором-основателем Института Исаака Ньютона (1990–1996), магистром Тринити-колледжа в Кембридже (1990–1997), ректором Университета Лестер (1995–2005) и президент Эдинбургского королевского общества(2005–2008). С 1997 года до своей смерти он был почетным профессором Эдинбургского университета . ^[9]

Математическими соавторами Атьи были Рауль Ботт , Фридрих Хирцебрух ^[10] и Исадор Сингер , а среди его учеников были Грэм Сигал , Найджел Хитчин и Саймон Дональдсон . Вместе с Хирцебрухом он заложил основы топологической K-теории , важного инструмента в алгебраической топологии , которая, неформально говоря, описывает способы скручивания пространств. Его самый известный результат, теорема Атьи – Зингера об индексе , была доказана вместе с Сингером в 1963 году и используется при подсчете количества независимых решений дифференциальных уравнений.. Некоторые из его недавних работ были вдохновлены теоретической физикой, в частности инстантонами и монополями , которые вносят некоторые тонкие поправки в квантовую теорию поля . Он был награжден медалью Филдса в 1966 году и премией Абеля в 2004 году.

Ранняя жизнь и образование [ править ]

Атия родился 22 апреля 1929 года в Хэмпстеде , Лондон , Англия, в семье Джин (урожденная Левенс) и Эдварда Атьи . ^[11] Его мать была шотландкой, а отец - ливанским православным христианином . У него было два брата, Патрик (умерший) и Джо, и сестра Сельма (умерла). ^[12] Атия ходил в начальную школу при епархиальной школе в Хартуме , Судан (1934–1941), и в среднюю школу в колледже Виктория в Каире и Александрии (1941–1945); в школе также училась европейская знать, вытесненнаяВторая мировая война и некоторые будущие лидеры арабских стран. ^[13] Он вернулся в Англию и Манчестерскую гимназию для изучения HSC (1945–1947) и прошел национальную службу с Королевскими инженерами-электриками и механиками (1947–1949). Его бакалавриат и аспирантура проходили в Тринити-колледже в Кембридже (1949–1955). ^[14] Он был докторский учеником Уильям Д. Ходж ^[3] и получил докторскую степень в 1955 за диссертацию под названием Некоторых применения методов Топологических в алгебраической геометрии. ^{[2] [3]}

Во время своего пребывания в Кембридже он был президентом Архимедовцев . ^[15]

Карьера и исследования [ править ]

1955–1956 учебный год Атия провел в Институте перспективных исследований в Принстоне , затем вернулся в Кембриджский университет , где он был научным сотрудником и ассистентом лектора (1957–1958), затем университетским лектором и научным сотрудником в Пембрук-колледже в Кембридже. (1958–1961). В 1961 году он переехал в Оксфордский университет , где он был читателем и профессорский стипендиат в колледже Святой Екатерины (1961-1963). ^[14] Он стал Савилианским профессором геометрии и профессором Нового колледжа в Оксфорде.с 1963 по 1969 год. Он занимал трехлетнюю должность профессора в Институте перспективных исследований в Принстоне, после чего вернулся в Оксфорд в качестве профессора-исследователя Королевского общества и научного сотрудника Колледжа Святой Екатерины. Он был президентом Лондонского математического общества с 1974 по 1976 год. ^[14]

Атья был президентом Пагуошских конференций по науке и международным делам с 1997 по 2002 год. ^[17] Он также внес свой вклад в создание Межакадемической группы по международным вопросам , Ассоциации европейских академий (ALLEA) и Европейского математического общества (EMS). ). ^[18]

В Соединенном Королевстве он участвовал в создании Института математических наук Исаака Ньютона в Кембридже и был его первым директором (1990–1996). Он был президентом Королевского общества (1990-1995), мастер Тринити - колледж, Кембридж (1990-1997), ^[17] Канцлер из Университета Лестера (1995-2005), ^[17] и президент Королевского общества Эдинбург (2005–2008). ^[19] С 1997 года до своей смерти в 2019 году он был почетным профессором Эдинбургского университета . Он был попечителем Фонда Джеймса Клерка Максвелла . ^{[цитата необходима ]}

Сотрудничество [ править ]

Атья сотрудничал со многими математиками. Его три основные совместные работы были с Раулем Ботт на Атия-Боттом с фиксированной точкой теоремы и многие другие темы, с Изадор М. Зингера по теореме об индексе Атьи-Зингера , и с Фридрихом Хирцебруком на топологической К-теории ^[20] все с которым он познакомился в Институте перспективных исследований в Принстоне в 1955 году. ^[21] Среди других его сотрудников; Дж. Франк Адамс ( проблема инварианта Хопфа ), Юрген Берндт (проективные плоскости), Роджер Белявски (проблема Берри – Роббинса), Говард Доннелли ( L-функции ),Владимир Г. Дринфельд (инстантоны), Йохан Л. Дюпон (особенности векторных полей ), Ларс Гординг ( гиперболические дифференциальные уравнения ), Найджел Дж. Хитчин (монополи), Уильям В. Д. Ходж (интегралы второго рода), Майкл Хопкинс (К. -теория), Лиза Джеффри (топологические лагранжианы), Джон Д.С. Джонс (теория Янга – Миллса), Хуан Малдасена (M-теория), Юрий И. Манин (инстантоны), Ник С. Мэнтон (Скирмионы), Виджей К. Патоди ( спектральная асимметрия), А.Н. Прессли (выпуклость), Элмера Риса (векторные расслоения),Вилфрид Шмид (представления дискретной серии), Грэм Сигал (эквивариантная K-теория), Александр Шапиро ^[22] (алгебры Клиффорда), Л. Смит (гомотопические группы сфер), Пол Сатклифф (многогранники), Дэвид О. Толл (лямбда-кольца ), Джон А. Тодд ( многообразия Штифеля ), Кумрун Вафа (M-теория), Ричард С. Уорд (инстантоны) и Эдвард Виттен (M-теория, топологические квантовые теории поля). ^[23]

Его более поздние исследования теорий калибровочного поля , особенно теории Янга – Миллса , стимулировали важные взаимодействия между геометрией и физикой , в первую очередь в работе Эдварда Виттена. ^[24]

Среди учеников Атии были Питер Брэм 1987, Саймон Дональдсон 1983, К. Дэвид Элворти 1967, Ховард Феган 1977, Эрик Грюнвальд 1977, Найджел Хитчин 1972, Лиза Джеффри 1991, Фрэнсис Кирван 1984, Питер Кронхеймер 1986, Рут Лоуренс 1989, Джордж Люстиг 1971, Джек Морава, 1968, Майкл Мюррей, 1983, Питер Ньюстед, 1966, Ян Р. Портеус, 1961, Джон Роу, 1985, Брайан Сандерсон, 1963, Рольф Шварценбергер, 1960, Грэм Сигал, 1967, Дэвид Толл, 1966, и Грэм Уайт, 1982. ^[3]

Среди других современных математиков, оказавших влияние на Атью, - Роджер Пенроуз , Ларс Хёрмандер , Ален Конн и Жан-Мишель Бисмут . ^[26] Атия сказал , что математик он больше всего восхищался был Герман Вейль , ^[27] и что его любимые математики из до 20 - го века были Бернхард Риман и Уильям Роуэн Гамильтон . ^[28]

Семь томов собрания статей Атьи включают большую часть его работ, за исключением его учебника коммутативной алгебры; ^[29] первые пять томов разделены по тематике, а шестой и седьмой - по датам.

Алгебраическая геометрия (1952–1958) [ править ]

Ранние работы Атьи по алгебраической геометрии (и некоторые общие статьи) перепечатаны в первом томе его собрания сочинений. ^[30]

Будучи студентом, Атья интересовался классической проективной геометрией и написал свою первую статью: небольшую заметку о скрученных кубиках . ^[31] Он начал исследования под Ходжами и выиграл приз Смита за 1954 для пучка теоретико- подхода к линейчатым поверхностям , ^[32] , который призвал Атию продолжать в математике, а не переход на другой его интересы-архитектуру и археологию. ^[33] Его докторская диссертация с Ходжем была посвящена теоретико-пучковому подходу к Соломону Лефшецу.разработал теорию интегралов второго рода на алгебраических многообразиях и привел к приглашению на год посетить Институт перспективных исследований в Принстоне. ^[34] В Принстоне он классифицировал векторные расслоения на эллиптической кривой (расширяя классификацию Александра Гротендика векторных расслоений на кривой рода 0), показывая, что любое векторное расслоение является суммой (по существу уникальных) неразложимых векторных расслоений, ^{[ 35],} а затем показывает, что пространство неразложимых векторных расслоений заданной степени и положительной размерности можно отождествить с эллиптической кривой. ^[36] Он также изучал двойные точки на поверхностях, ^[37] дав первый примерflop - специальное бирациональное преобразование 3-фолдов, которое позже активно использовалось в работе Шигефуми Мори над минимальными моделями 3-фолдов. ^[38] флоп Атия также может быть использован , чтобы показать , что универсальное семейство отмечено K3 поверхностей является нехаусдорфово . ^[39]

Теория К. (1959–1974) [ править ]

Работы Атьи по K-теории, в том числе его книга по K-теории ^[40] , перепечатаны во 2 томе его собрания сочинений. ^[41]

Простейшим нетривиальным примером векторного расслоения является лента Мёбиуса (изображенная справа): полоса бумаги с завитками на ней, которая представляет собой векторное расслоение ранга 1 над окружностью (рассматриваемая окружность является центральной линией Мёбиуса. группа). K-теория - это инструмент для работы с многомерными аналогами этого примера, или, другими словами, для описания многомерных скручиваний: элементы K-группы пространства представлены векторными расслоениями над ним, поэтому лента Мёбиуса представляет собой элемент K-группы круга. ^[42]

Топологическая K-теория была открыта Атьей и Фридрихом Хирцебрухами ^[43], которые были вдохновлены доказательством Гротендика теоремы Гротендика – Римана – Роха и работой Ботта по теореме периодичности . В этой статье обсуждалась только нулевая K-группа; вскоре они распространили ее на K-группы всех степеней ^[44], дав первый (нетривиальный) пример обобщенной теории когомологий .

Некоторые результаты показали, что недавно представленная K-теория была в некотором смысле более мощной, чем обычная теория когомологий. Атья и Тодд ^[45] использовали K-теорию для улучшения нижних оценок, полученных с помощью обычных когомологий Борелем и Серром для числа Джеймса , описывающих, когда отображение комплексного многообразия Штифеля на сферу имеет поперечное сечение. ( Адамс и Грант-Уокер позже показали, что оценка, найденная Атьей и Тоддом, является наилучшей из возможных.) Атья и Хирцебрух ^[46] использовали K-теорию для объяснения некоторых отношений между операциями Стинрода и классами Тодда, которые Хирцебрух заметил несколько лет назад. Оригинальное решениеОперации с одной проблемой с инвариантом Хопфа Дж. Ф. Адамса были очень длинными и сложными, с использованием вторичных когомологических операций. Атья показал, как с помощью первичных операций в K-теории можно получить короткое решение, занимающее всего несколько строк, и в совместной работе с Адамсом ^[47] также доказал аналоги результата при нечетных простых числах.

Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха относится обычный когомологий пространства к его обобщенной теории когомологий. ^[44] (Атия и Хирцебрух использовали случай K-теории, но их метод работает для всех теорий когомологий).

Атия показали ^[48] , что для конечной группы G , то К-теория его классифицирующего пространства , BG , изоморфно завершений его характер кольца :

${\displaystyle K(BG)\cong R(G)^{\wedge }.}$

В том же год ^[49] они доказали результат для G любой компактной связной группы Ли . Хотя вскоре результат мог быть распространен на все компактные группы Ли путем включения результатов из тезиса Грэма Сигала ^[50], это расширение было сложным. Однако более простой и более общее доказательство было получено путем введения эквивариантную K-теории , т.е. эквивалентности классов G -векторных расслоений над компактным G - пространства X . ^[51] Было показано, что при подходящих условиях завершение эквивариантной K-теории Xэто изоморфно к обычным К-теории пространства, , который расслоенная над BG со слоем X :${\displaystyle X_{G}}$

${\displaystyle K_{G}(X)^{\wedge }\cong K(X_{G}).}$

Исходный результат затем следовал, взяв X за точку: левая часть сведена к завершению R (G), а правая - к K (BG) . См. Теорему Атьи – Сигала о пополнении для более подробной информации.

Он определил новые обобщенные теории гомологии и когомологий, названные бордизмом и кобордизмом , и указал, что многие глубокие результаты о кобордизме многообразий, найденные Рене Томом , К. Т. Уоллом и другими, могут быть естественно переинтерпретированы как утверждения об этих теориях когомологий. ^[52] Некоторые из этих теорий когомологий, в частности комплексные кобордизмы, оказались одними из самых мощных известных теорий когомологий.

Он ввел ^[54] J-группа J ( Х ) конечного комплекса X , определяется как группа стабильных волокон гомотопических классов эквивалентности сферы пучков ; Позже это было подробно изучено Дж. Ф. Адамсом в серии статей, что привело к гипотезе Адамса .

Вместе с Хирцебрухом он распространил теорему Гротендика – Римана – Роха на комплексные аналитические вложения ^[54], а в связанной работе ^[55] они показали, что гипотеза Ходжа для целочисленных когомологий неверна. Гипотеза Ходжа для рациональных когомологий по состоянию на 2008 г. является серьезной нерешенной проблемой. ^[56]

Теорема Ботта о периодичности была центральной темой в работе Атьи по K-теории, и он неоднократно возвращался к ней, несколько раз переделывая доказательство, чтобы лучше понять его. Вместе с Боттом он разработал элементарное доказательство ^[57] и дал другую версию его в своей книге. ^[58] Вместе с Боттом и Шапиро он проанализировал связь периодичности Ботта с периодичностью алгебр Клиффорда ; ^[59], хотя в этой статье не было доказательства теоремы о периодичности, вскоре после этого Р. Вуд нашел аналогичное доказательство. Он нашел доказательство нескольких обобщений с помощью эллиптических операторов ; ^[60]в этом новом доказательстве использовалась идея, которую он использовал, чтобы дать особенно короткое и простое доказательство исходной теоремы Ботта о периодичности. ^[61]

Теория индекса (1963–1984) [ править ]

Работа Атьи по теории индексов переиздана в 3-м и 4-м томах его собрания сочинений. ^{[62] [63]}

Индекс дифференциального оператора тесно связан с числом независимых решений (точнее, это разности числа независимых решений дифференциального оператора и сопряженного к нему). В математике есть много сложных и фундаментальных проблем, которые можно легко свести к задаче нахождения числа независимых решений некоторого дифференциального оператора, поэтому, если у кого-то есть какие-то средства нахождения индекса дифференциального оператора, эти проблемы часто могут быть решены. Это то, что делает теорема Атьи – Зингера об индексе: она дает формулу для индекса некоторых дифференциальных операторов в терминах топологических инвариантов, которые выглядят довольно сложными, но на практике обычно легко вычисляются. ^{[ необходима цитата ]}

Некоторые глубокие теоремы, такие как теорема Хирцебруха – Римана – Роха , являются частными случаями теоремы Атьи – Зингера об индексе. Фактически теорема об индексе дала более сильный результат, поскольку ее доказательство применялось ко всем компактным комплексным многообразиям, в то время как доказательство Хирцебруха работало только для проективных многообразий. Появилось также много новых приложений: типичным является вычисление размерностей пространств модулей инстантонов. Теорема об индексе также может выполняться «в обратном порядке»: индекс, очевидно, является целым числом, поэтому формула для него также должна давать целое число, которое иногда дает тонкие условия целостности для инвариантов многообразий. Типичным примером этого является теорема Рохлина , которая следует из теоремы об индексе. ^{[ необходима цитата ]}

Проблема индекса для эллиптических дифференциальных операторов была поставлена ​​в 1959 г. Гельфандом . ^[65] Он заметил гомотопическую инвариантность индекса и попросил формулу для него с помощью топологических инвариантов . Некоторые из мотивирующих примеров включали теорему Римана-Роха и ее обобщение на теорему Хирцебрух-Римана-Роха , и теорема Хирцебруха подписи . Хирцебрух и Борель доказали целостность рода Â спинового многообразия, и Атья предположил, что эту целостность можно было бы объяснить, если бы это был индекс оператора Дирака (который был заново открыт Атьей и Сингером в 1961 году).

Первым заявлением о теореме Атьи – Зингера была их статья 1963 года. ^[66] Доказательство, изложенное в этом объявлении, было вдохновлено доказательством Хирцебруха теоремы Хирцебруха – Римана – Роха и никогда ими не публиковалось, хотя оно описано в книге Пале. ^[67] Их первое опубликованное доказательство ^[68] было больше похоже на доказательство Гротендика теоремы Гротендика – Римана – Роха , в котором теория кобордизмов первого доказательства была заменена K-теорией , и они использовали этот подход, чтобы дать доказательства различных обобщений в серия статей с 1968 по 1971 год.

Вместо всего одного эллиптического оператора, можно рассматривать семейство эллиптических операторов параметризованных некоторого пространства Y . В этом случае индекс является элементом K-теории Y , а не целым числом. ^[69] Если операторы в семье реальны, то индекс лежит в реальной K-теории Y . Это дает немного дополнительной информации, поскольку отображение реальной K-теории Y в комплексную K-теорию не всегда инъективно. ^[70]

Вместе с Боттом Атья нашел аналог формулы неподвижной точки Лефшеца для эллиптических операторов, дав число Лефшеца эндоморфизма эллиптического комплекса в терминах суммы по неподвижным точкам эндоморфизма. ^[71] В качестве частных случаев их формула включала формулу характера Вейля и несколько новых результатов об эллиптических кривых с комплексным умножением, некоторым из которых первоначально не поверили эксперты. ^[72] Атья и Сигал объединили эту теорему о неподвижной точке с теоремой об индексе следующим образом. Если существует компактное групповое действие группы G на компактном многообразии X, коммутируя с эллиптическим оператором, то обычную K-теорию в теореме об индексе можно заменить эквивариантной K-теорией . Для тривиальных групп G это дает теорему об индексе, а для конечной группы G, действующей с изолированными неподвижными точками, это дает теорему Атьи – Ботта о неподвижной точке. В целом это дает индекс в виде суммы по фиксированной точке подмногообразие группы G . ^[73]

Атья ^[74] решил проблему, поставленную независимо Хёрмандером и Гельфандом, о том, определяют ли распределения комплексные степени аналитических функций . Атия используется Хиронака разрешение «S особенностей , чтобы ответить на этот вопрос утвердительно. Гениальное и элементарное решение было найдено примерно в то же время Дж. Бернстайном и обсуждено Атьей. ^[75]

В качестве приложения эквивариантной теоремы об индексе Атья и Хирцебрух показали, что многообразия с эффективным действием окружности имеют исчезающий Â-род . ^[76] (Лихнерович показал, что если у многообразия есть метрика положительной скалярной кривизны, то Â-род обращается в нуль.)

Вместе с Элмером Рисом Атья изучал проблему связи топологических и голоморфных векторных расслоений на проективном пространстве. Они решили простейший неизвестный случай, показав, что все векторные расслоения ранга 2 над проективным 3-пространством имеют голоморфную структуру. ^[77] Хоррокс ранее нашел несколько нетривиальных примеров таких векторных расслоений, которые позже были использованы Атьей в его исследовании инстантонов на 4-сфере.

Атья, Ботт и Виджай К. Патоди ^[78] дали новое доказательство теоремы об индексе, используя уравнение теплопроводности .

Если у многообразия может быть граница, то необходимо наложить некоторые ограничения на область определения эллиптического оператора, чтобы гарантировать конечный индекс. Эти условия могут быть локальными (например, требовать, чтобы разделы в области обращались в нуль на границе) или более сложными глобальными условиями (например, требовать, чтобы разделы в области решали какое-то дифференциальное уравнение). Локальный случай был разработан Атьей и Боттом, но они показали, что многие интересные операторы (например, оператор подписи) не допускают локальных граничных условий. Чтобы справиться с этими операторами, Атья, Патоди и Зингер ввели глобальные граничные условия, эквивалентные присоединению цилиндра к многообразию вдоль границы, а затем ограничили область теми секциями, которые квадратично интегрируемы вдоль цилиндра, а также ввели уравнение Атьи – Патоди – Зингера. эта инвариант . Это привело к появлению серии работ по спектральной асимметрии ^[79], которые впоследствии неожиданно были использованы в теоретической физике, в частности, в работах Виттена по аномалиям.

Фундаментальные решения линейных гиперболических уравнений в частных производных часто имеют лакуны Петровского : области, в которых они исчезают тождественно. Их изучил в 1945 г. И. Г. Петровский , который нашел топологические условия, описывающие, какие области являются лакунами. В сотрудничестве с Боттом и Ларсом Гордингом Атья написал три статьи, обновляющих и обобщающих работу Петровского. ^[80]

Атья ^[81] показал, как распространить теорему об индексе на некоторые некомпактные многообразия, на которых действует дискретная группа с компактным фактором. Ядро эллиптического оператора в этом случае, вообще говоря, бесконечномерно, но можно получить конечный индекс, используя размерность модуля над алгеброй фон Неймана ; этот индекс, как правило, является действительным, а не целочисленным. Эта версия называется L ² теоремы об индексе, и была использована Атьей и Schmid ^[82] , чтобы дать геометрическую конструкцию, используя квадратные интегрируемые гармонические спиноры, из Хариш-Чандры дискретных серии представлений о полупростых группах Ли. В ходе этой работы было найдено более элементарное доказательство основной теоремы Хариш-Чандры о локальной интегрируемости характеров групп Ли. ^[83]

Вместе с Х. Доннелли и И. Зингером он распространил формулу Хирцебруха (связывающую дефект сигнатуры в каспах модулярных поверхностей Гильберта со значениями L-функций) с вещественных квадратичных полей на все вполне вещественные поля. ^[84]

Калибровочная теория (1977–1985) [ править ]

Многие из его работ по калибровочной теории и смежным темам перепечатаны в пятом томе его собрания работ. ^[85] Общей темой этих работ является изучение пространств модулей решений некоторых нелинейных уравнений в частных производных , в частности уравнений для инстантонов и монополей. Это часто связано с нахождением тонкого соответствия между решениями двух, казалось бы, совершенно разных уравнений. Ранним примером этого, который Атья неоднократно использовал, является преобразование Пенроуза , которое иногда может преобразовывать решения нелинейного уравнения над некоторым вещественным многообразием в решения некоторых линейных голоморфных уравнений над другим комплексным многообразием.

В серии статей с несколькими авторами Атья классифицировал все инстантоны в 4-мерном евклидовом пространстве. Более удобно классифицировать инстантоны на сфере, поскольку она компактна, и это по существу эквивалентно классификации инстантонов на евклидовом пространстве, поскольку это конформно эквивалентно сфере, а уравнения для инстантонов конформно инвариантны. Вместе с Хитчином и Зингером ^[86] он вычислил размерность пространства модулей неприводимых самодвойственных связностей (инстантонов) для любого главного расслоения над компактным 4-мерным римановым многообразием ( теорема Атьи – Хитчина – Сингера ). Например, размерность пространства инстантонов SU ₂ ранга k > 0 равна 8 k−3. Для этого они использовали теорему Атьи – Зингера об индексе, чтобы вычислить размерность касательного пространства пространства модулей в точке; касательное пространство - это, по сути, пространство решений эллиптического дифференциального оператора, заданного линеаризацией нелинейных уравнений Янга – Миллса. Эти пространства модулей позже были использованы Дональдсоном для построения своих инвариантов 4-многообразий . Атья и Уорд использовали соответствие Пенроуза, чтобы свести классификацию всех инстантонов на 4-сфере к задаче алгебраической геометрии. ^[87] Вместе с Хитчином он использовал идеи Хоррокса для решения этой проблемы, давая конструкцию ADHMвсех инстантонов на сфере; Манин и Дринфельд обнаружили одну и ту же конструкцию в одно и то же время, что привело к совместной работе всех четырех авторов. ^[88] Атья переформулировал эту конструкцию, используя кватернионы, и в виде книги написал неторопливое изложение этой классификации инстантонов в евклидовом пространстве. ^[89]

Работа Атьи по инстантонным пространствам модулей была использована в работе Дональдсона по теории Дональдсона . Дональдсон показал, что пространство модулей инстантонов (степени 1) над компактным односвязным 4-многообразием с положительно определенной формой пересечения может быть компактифицировано, чтобы дать кобордизм между многообразием и суммой копий комплексного проективного пространства. Он вывел из этого, что форма пересечения должна быть суммой одномерных, что привело к нескольким впечатляющим приложениям к гладким 4-многообразиям, таким как существование неэквивалентных гладких структур в 4-мерном евклидовом пространстве. Дональдсон продолжал использовать другие пространства модулей, изученные Атьей, для определения инвариантов Дональдсона., который произвел революцию в изучении гладких 4-многообразий и показал, что они более тонкие, чем гладкие многообразия в любой другой размерности, а также сильно отличаются от топологических 4-многообразий. Атья описал некоторые из этих результатов в своем обзоре. ^[91]

Функции Грина для линейных дифференциальных уравнений в частных производных часто можно найти, используя преобразование Фурье, чтобы преобразовать это в алгебраическую задачу. Атья использовал нелинейную версию этой идеи. ^[92] Он использовал преобразование Пенроуза, чтобы преобразовать функцию Грина для конформно инвариантного лапласиана в комплексный аналитический объект, который оказался, по сути, диагональным вложением твисторного пространства Пенроуза в его квадрат. Это позволило ему найти явную формулу для конформно инвариантной функции Грина на 4-многообразии.

В своей работе с Джонсом ^[93] он изучил топологию пространства модулей инстантонов SU (2) над 4-сферой. Они показали, что естественное отображение этого пространства модулей в пространство всех связностей индуцирует эпиморфизмы групп гомологий в определенном диапазоне размерностей, и предположили, что оно может индуцировать изоморфизмы групп гомологий в том же диапазоне размерностей. Это стало известно как гипотеза Атьи – Джонса и позже была доказана несколькими математиками. ^[94]

Труднее и МС Нарасимхан описано когомологии пространств модулей в стабильных векторных расслоений над римановой поверхности путем подсчета числа точек пространств модулей над конечными полями, а затем с помощью гипотезы Вейля для восстановления когомологию над комплексными числами. ^[95] Атья и Р. Ботт использовали теорию Морса и уравнения Янга – Миллса над римановой поверхностью, чтобы воспроизвести и расширить результаты Хардера и Нарасимхана. ^[96]

Старый результат Шура и Хорна утверждает, что набор возможных диагональных векторов эрмитовой матрицы с заданными собственными значениями является выпуклой оболочкой всех перестановок собственных значений. Атья доказал обобщение этого, применимое ко всем компактным симплектическим многообразиям, на которых действует тор, показав, что образ многообразия при отображении момента является выпуклым многогранником ^[97], и вместе с Прессли дал соответствующее обобщение на бесконечномерную петлю. группы. ^[98]

Дейстермаатом и Heckman нашел поразительную формулу, говоря , что толчок вперед по мере Лиувилля в виде отображения момента для действия тора дается в точности стационарной фазы приближения (что в общем только асимптотическое разложение , а не точная). Атья и Ботт ^[99] показали, что это можно вывести из более общей формулы эквивариантных когомологий , которая является следствием хорошо известных теорем локализации . Атья показал ^[100], что отображение моментов тесно связано с геометрической теорией инвариантов , и эта идея позже была значительно развита его учеником Ф. Кирваном . Виттен вскоре после примененияФормула Дуистермаата – Хекмана для пространств петель и показала, что это формально дает теорему Атьи – Зингера об индексе для оператора Дирака; об этой идее отчитал Атья. ^[101]

Вместе с Хитчином он работал над магнитными монополями и изучал их рассеяние, используя идею Ника Мэнтона . ^[102] Его книга ^[103] с Хитчином дает подробное описание их работы над магнитными монополями. Основная тема книги - исследование пространства модулей магнитных монополей; это имеет естественную риманову метрику, и ключевым моментом является то, что эта метрика полная и гиперкэлерова. Затем метрика используется для изучения рассеяния двух монополей, используя предположение Н. Мантона о том, что геодезический поток в пространстве модулей является низкоэнергетическим приближением рассеяния. Например, они показывают, что лобовое столкновение между двумя монополями приводит к рассеянию под углом 90 градусов, причем направление рассеяния зависит от относительных фаз двух монополей. Он также изучал монополи на гиперболическом пространстве. ^[104]

Атья показал ^[105], что инстантоны в четырех измерениях можно отождествить с инстантонами в двух измерениях, с которыми гораздо проще работать. Конечно, здесь есть загвоздка: при переходе от четырехмерного к двумерному структурная группа калибровочной теории меняется от конечномерной группы к бесконечномерной петлевой группе. Это дает еще один пример, когда пространства модулей решений двух явно не связанных между собой нелинейных уравнений в частных производных оказываются по существу одинаковыми.

Атья и Зингер обнаружили, что аномалии в квантовой теории поля можно интерпретировать в терминах теории индекса оператора Дирака; ^[106] эта идея позже стала широко использоваться физиками.

Более поздняя работа (1986–2019) [ править ]

Многие статьи в 6-м томе ^[107] его собрания сочинений представляют собой обзоры, некрологи и общие беседы. Впоследствии Атья продолжил публиковать, в том числе несколько обзоров, популярную книгу ^[108] и еще одну статью с Сигалом по искривленной K-теории.

В одной статье ^[109] подробно изучается эта функция Дедекинда с точки зрения топологии и теоремы об индексе.

В нескольких его работах примерно того времени изучается связь между квантовой теорией поля, узлами и теорией Дональдсона. Он представил концепцию топологической квантовой теории поля , вдохновленную работами Виттена и определением конформной теории поля Сигалом. ^[110] Его книга ^[111] описывает новые инварианты узлов, найденные Воаном Джонсом и Эдвардом Виттеном, в терминах топологических квантовых теорий поля , а его работа с Л. Джеффри ^[112] объясняет лагранжиан Виттена, дающий инварианты Дональдсона .

Он изучал скирмионы с Ником Мэнтоном ^[113], обнаружив связь с магнитными монополями и инстантонами , и выдвинул гипотезу о структуре пространства модулей двух скирмионов как некоего подфотоцента комплексного проективного 3-пространства.

Несколько статей ^[114] были вдохновлены вопросом Джонатана Роббинса (называемого проблемой Берри – Роббинса ), который спросил, существует ли отображение из конфигурационного пространства n точек в 3-пространстве на многообразие флагов унитарной группы. Атья дал утвердительный ответ на этот вопрос, но счел его решение слишком вычислительным и изучил гипотезу, которая дала бы более естественное решение. Он также связал вопрос с уравнением Нама и ввел гипотезу Атьи о конфигурациях .

С Хуаном Малдасеной и Камран Вафа , ^[116] и Э. Виттена ^[117] он описал динамику М-теории на многообразиях с G 2 голономией . Похоже, что в этих статьях Атья впервые работал с исключительными группами Ли.

В своих статьях с М. Хопкинсом ^[118] и Дж. Сигалом ^[119] он вернулся к своему прежнему интересу к K-теории, описав некоторые изогнутые формы K-теории с приложениями в теоретической физике.

В октябре 2016 года он потребовал ^[120] краткое доказательство отсутствия сложных структур на 6-сфере. Его доказательство, как и многие его предшественники, считается математическим сообществом ошибочным даже после того, как доказательство было переписано в измененной форме. ^{[121] [122]}

В сентябре 2018 года на Гейдельбергском форуме лауреатов он заявил о простом доказательстве гипотезы Римана , одной из семи математических задач Премии тысячелетия . Проблема остается нерешенной по состоянию на 2020 год. ^{[123] [124]}

Библиография [ править ]

Книги [ править ]

В этом подразделе перечислены все книги, написанные Атьей; в нем опущены несколько книг, которые он редактировал.

Избранные статьи [ править ]

Награды и награды [ править ]

В 1966 году , когда ему было тридцать семь лет, он был награжден медалью Филдса , ^[125] для его работы в разработке K-теории, обобщенную Lefschetz с фиксированной точкой теоремы и теоремы Атьи-Зингера, для которого он также выиграл Абель премии совместно с Изадор Сингера в 2004 году ^[126] Среди других призов он получил являются Royal Medal из Королевского общества в 1968 году ^[127] Де Моргана медаль из Лондонского математического общества в 1980 году Антонио Фельтринелли приз от Accademia Nazionale деи Linceiв 1981 году, король Фейсал Международная премия по науке в 1987 году ^[128] медаль Копли Королевского общества в 1988 году ^[129] Бенджамин Франклин медаль за выдающиеся достижения в области наук о Американского философского общества в 1993 году ^[130] Джавахарлала Неру столетие со дня рождения Медаль индийской Национальной академии наук в 1993 г. ^[131] в Medal президента из Института физики в 2008 г. ^[132] Grande Medaille из французской академии наук в 2010 году^[133] и Великий офицер Французского Почетного легиона в 2011 году. ^[134]

Он был избран иностранным членом Национальной академии наук , в Американской академии искусств и наук (1969), ^[135] в Академии наук , тем Akademie Леопольдины , то Королевской шведской академии , то Королевской ирландской академии , в Королевском обществе Эдинбург , Американское философское общество , Индийская национальная академия наук , Китайская академия наук , Австралийская академия наук , Российская академия наук , Украинская академия наук ,Грузинская академия наук , то Венесуэла Академия наук , то Норвежская академия наук и литератур , то Испанская королевская академия наук , в Академии Линчеи и Московское математическое общество . ^{[14] [17]} В 2012 году он стал членом Американского математического общества . ^[136] Он был также назначен почетным сотрудником ^[5] в Королевской инженерной академии ^[5] в 1993 году.

Атия был удостоен почетных степеней университетов Бирмингема, Бонна, Чикаго, Кембриджа, Дублина, Дарема, Эдинбурга, Эссекса, Гента, Хельсинки, Ливана, Лестера, Лондона, Мексики, Монреаля, Оксфорда, Рединга, Саламанки, Сент-Эндрюса, Сассекса. , Уэльс, Уорик, Американский университет Бейрута, Брауновский университет, Карлов университет в Праге, Гарвардский университет, Университет Хериота-Ватта, Гонконг (Китайский университет), Кильский университет, Королевский университет (Канада), Открытый университет, Университет Ватерлоо , Университет Уилфрида Лорье, Технический университет Каталонии и UMIST. ^{[14] [17] [137] [138]}

Атия получил звание рыцаря-холостяка в 1983 году ^[14] и стал членом Ордена за заслуги в 1992 году ^[17].

В его честь были названы здание Майкла Атьи ^[140] в университете Лестера и кафедра математических наук Майкла Атьи ^[141] в Американском университете Бейрута .

Личная жизнь [ править ]

Атия женился на Лили Браун 30 июля 1955 года, от которой у него было трое сыновей, Джон, Дэвид и Робин. Старший сын Атьи Джон умер 24 июня 2002 года во время прогулки по Пиренеям со своей женой Май-Лис. Лили Атия умерла 13 марта 2018 года в возрасте 90 лет. ^{[6] [12] [14]}

Сэр Майкл Атия умер 11 января 2019 года в возрасте 89 лет. ^{[142] [143]}

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Майкл Атия рассказывает историю своей жизни в Web of Stories
• Празднование 80-летия Майкла Атьи в Эдинбурге, 20-24 апреля 2009 г.
• Математические потомки Майкла Атьи
• «Сэр Майкл Атия о математике, физике и веселье» , superstringtheory.com , официальный веб-сайт теории суперструн] , получено 14 августа 2008 г.
• Атья, Майкл, Beauty in Mathematics (видео, 3 мин. 14 сек.) , Получено 14 августа 2008 г.
• Атья, Майкл, Природа космоса (онлайн-лекция) , получено 14 августа 2008 г.
• Батра, Амба (8 ноября 2003 г.), гуру математики со сном Эйнштейна предпочитает мел мышке. (Интервью с Атьей.) , Лента новостей Дели, заархивировано из оригинала 8 февраля 2009 г. , получено 14 августа 2008 г.
• Майкл Атия в проекте « Математическая генеалогия»
• Халим, Хала (1998), «Майкл Атия: Евклид и Виктория» , Al-Ahram Weekly On-line (391), заархивировано из оригинала 16 августа 2004 г. , извлечено 26 августа 2008 г.
• Мик, Джеймс (21 апреля 2004 г.), «Интервью с Майклом Атьей» , The Guardian , Лондон , получено 14 августа 2008 г.
• Сэр Майкл Атия, FRS , Институт Исаака Ньютона , получено 14 августа 2008 г.
• «Атья и Сингер получают премию Абеля 2004 г.» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 51 (6): 650–651, 2006 г. , получено 14 августа 2008 г.
• Рауссен, Мартин; Скау, Кристиан (24 мая 2004 г.), интервью с Майклом Атьей и Исадором Сингером , получено 14 августа 2008 г.
• Фотографии Майкла Фрэнсиса Атьи , коллекция фотографий Обервольфаха , данные получены 14 августа 2008 г.
• Уэйд, Майк (21 апреля 2009 г.), Математика и бомба: сэр Майкл Атья, 80 лет , Лондон: Timesonline , получено 12 мая 2010 г.
• Список работ Майкла Атьи из Celebratio Mathematica
• Конн, Ален; Кунейхер, Джозеф (2019). «Сэр Майкл Атья, рыцарь-математик: дань уважения Майклу Атье, вдохновителю и другу». Уведомления Американского математического общества . 66 (10): 1660–1685. arXiv : 1910.07851 . Bibcode : 2019arXiv191007851C . DOI : 10,1090 / noti1981 . S2CID  204743755 .