Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено из Topological )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта статья о математике. Для математической структуры см Топологическое пространство . Для использования в других целях, см Топология (значения) .
Не путать с топографией или типологией .

Ленты Мебиуса , имеющие только одну поверхность и одно ребро, представляют собой своего рода объект, изучаемый в топологии.

В математике , топологии (от греческих слов τόπος , «место, место», и λόγος , «исследование») касается свойств геометрических объектов , которые сохраняются при непрерывных деформациях , таких как растяжение , скручивание , сминание, и изгиб ; то есть без закрытия отверстий, открытия отверстий, разрывов, склеивания или прохождения через себя.

Топологическое пространство является множество наделенное структурой, называемой топологией , которая позволяет определяя непрерывную деформацию подпространств, и, в более общем случае , все виды непрерывности . Евклидовы пространства и, в более общем смысле, метрические пространства являются примерами топологического пространства, поскольку любое расстояние или метрика определяет топологию. Деформации, рассматриваемые в топологии, - это гомеоморфизмы и гомотопии . Свойство, инвариантное относительно таких деформаций, является топологическим свойством . Основными примерами топологических свойств являются: размерность , позволяющая различатьлиния и поверхность ; компактность , позволяющая отличить линию от круга; связность , позволяющая отличить круг от двух непересекающихся окружностей.

Идеи, лежащие в основе топологии, восходят к Готфриду Лейбницу , который в 17 веке предвидел геометрические места и места анализа . Леонард Эйлер «s Семь мосты Кенигсберг проблемы и многогранник формулы являются , возможно , первыми теоремами месторождения. Термин топология был введен Иоганном Бенедиктом Листингом в 19 ​​веке, хотя идея топологического пространства получила развитие только в первые десятилетия 20 века.

Трехмерное изображение утолщенного узла-трилистника , простейшего нетривиального узла.

Мотивация [ править ]

Мотивирующее понимание топологии заключается в том, что некоторые геометрические проблемы зависят не от точной формы задействованных объектов, а, скорее, от того, как они собраны вместе. Например, квадрат и круг имеют много общих свойств: оба являются одномерными объектами (с топологической точки зрения) и разделяют плоскость на две части: часть внутри и часть снаружи.

В одной из первых работ по топологии Леонард Эйлер продемонстрировал, что невозможно найти маршрут через город Кенигсберг (ныне Калининград ), который пересекал бы каждый из семи мостов ровно один раз. Этот результат не зависел от длины мостов или от их расстояния друг от друга, а только от свойств связности: какие мосты соединяются с какими островами или берегами рек. Эта проблема семи мостов Кенигсберга привела к разделу математики, известному как теория графов .

Непрерывная деформация (разновидность гомеоморфизма) кружки в бублик (тор) и коровы в шар

Точно так же теорема алгебраической топологии о волосатом шарике гласит, что «невозможно причесать волосы на волосатом комке, не создав вихря ». Этот факт сразу убеждает большинство людей, даже если они могут не признать более формальную формулировку теоремы о том, что на сфере нет ненулевого непрерывного касательного векторного поля . Как и в случае с Кенигсбергскими мостами , результат не зависит от формы шара; он применяется к любым гладким пятнам, если в них нет отверстий.

Чтобы справиться с этими проблемами , которые не зависят от точной формы объектов, необходимо иметь четкое представление о только , что свойствах этих проблем действительно положиться. Отсюда возникает понятие гомеоморфизма. Невозможность пересечь каждый мост только один раз применима к любому расположению мостов, гомеоморфных мостам в Кенигсберге, а теорема о волосатом шарике применима к любому пространству, гомеоморфному сфере.

Интуитивно два пространства гомеоморфны, если одно можно деформировать в другое, не разрезая и не склеивая. Традиционная шутка состоит в том, что тополог не может отличить кофейную кружку от пончика, поскольку достаточно гибкий пончик может быть преобразован в кофейную чашку, создав ямочку и постепенно увеличивая ее, сжимая отверстие в ручку. [1]

Гомеоморфизм можно считать самой основной топологической эквивалентностью . Другой - гомотопическая эквивалентность . Это сложнее описать, не вдаваясь в технические подробности, но основная идея состоит в том, что два объекта гомотопически эквивалентны, если они оба являются результатом «сдавливания» некоторого более крупного объекта.

Классы эквивалентности латинского алфавита в шрифте без засечек
ГомеоморфизмГомотопическая эквивалентность

Вводное упражнение состоит в том, чтобы классифицировать прописные буквы английского алфавита в соответствии с гомеоморфизмом и гомотопической эквивалентностью. Результат зависит от используемого шрифта и от того, имеют ли штрихи, составляющие буквы, некоторую толщину или они представляют собой идеальные кривые без толщины. На рисунках здесь используется шрифт Myriad без засечек, и предполагается, что они состоят из идеальных кривых без толщины. Гомотопическая эквивалентность - более грубое отношение, чем гомеоморфизм; класс гомотопической эквивалентности может содержать несколько классов гомеоморфизмов. Простой случай гомотопической эквивалентности, описанный выше, можно использовать здесь, чтобы показать, что две буквы гомотопически эквивалентны. Например, O помещается внутри P, а хвост P может быть сдавлен до «дырочной» части.

Классы гомеоморфизма:

  • отсутствие отверстий, соответствующих C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W и Z;
  • нет отверстий и трех хвостов, соответствующих буквам E, F, T и Y;
  • нет отверстий и четырех хвостов, соответствующих X;
  • одно отверстие и без хвоста, соответствующие D и O;
  • одно отверстие и один хвост, соответствующие P и Q;
  • одно отверстие и два хвоста, соответствующие A и R;
  • две дырочки и нет хвоста, соответствующие букве B; а также
  • полоса с четырьмя хвостами, соответствующая H и K; «полоса» на K слишком коротка, чтобы ее можно было увидеть.

Гомотопические классы больше, потому что хвосты можно сжать до острия. Они есть:

  • одно отверстие,
  • две дыры и
  • дырок нет.

Чтобы правильно классифицировать буквы, мы должны показать, что две буквы в одном классе эквивалентны, а две буквы в разных классах не эквивалентны. В случае гомеоморфизма это может быть сделано путем выбора точек и демонстрации их удаления по-разному разъединяет буквы. Например, X и Y не гомеоморфны, потому что удаление центральной точки X оставляет четыре части; какая бы точка в Y ни соответствовала этой точке, при ее удалении может остаться не более трех частей. Случай гомотопической эквивалентности сложнее и требует более сложного аргумента, показывающего, что алгебраический инвариант, такой как фундаментальная группа , отличается на предположительно различных классах.

Буквенная топология имеет практическое значение в трафаретной типографии . Например, трафареты шрифтов Braggadocio состоят из одного связанного куска материала.

История [ править ]

Семь мостов Кенигсберга была проблема решена Эйлера.
Смотрите также: История аксиом разделения

Топология, как четко определенная математическая дисциплина, берет свое начало в начале двадцатого века, но некоторые отдельные результаты можно проследить на несколько веков назад. [2] Среди них некоторые вопросы геометрии, исследованные Леонардом Эйлером . Его статья 1736 года о семи мостах Кенигсберга считается одним из первых практических приложений топологии. [2] На 14 ноября 1750 г. , Эйлер написал другу , что он понял важность ребер одного многогранника . Это привело к его формуле многогранника : V - E + F = 2 (где V ,E и F соответственно указывают количество вершин, ребер и граней многогранника). Некоторые авторитеты считают этот анализ первой теоремой, знаменующей рождение топологии. [3]

Дальнейший вклад внесли Огюстен-Луи Коши , Людвиг Шлефли , Иоганн Бенедикт Листинг , Бернхард Риманн и Энрико Бетти . [4] Листинг ввел термин «топология» в « Vorstudien zur Topologie» , написанном на его родном немецком языке в 1847 году, где это слово использовалось в течение десяти лет в переписке, прежде чем оно впервые появилось в печати. [5] Английская форма «топология» использовалась в 1883 году в некрологе Листинга в журнале Nature, чтобы отличить «качественную геометрию от обычной геометрии, в которой в основном рассматриваются количественные отношения». [6]

Их работа была исправлена, консолидирована и значительно расширена Анри Пуанкаре . В 1895 году он опубликовал свою новаторскую статью по Analysis Situs , в которой ввел понятия, известные теперь как гомотопия и гомология , которые теперь считаются частью алгебраической топологии . [4]

Топологические характеристики замкнутых двумерных многообразий [4]
МногообразиеЧисло ЭйлераОриентируемостьБетти числаКоэффициент кручения (1-мерный)
б 0б 1б 2
Сфера2Ориентируемый101никто
Тор0Ориентируемый121никто
Тор с двумя отверстиями−2Ориентируемый141никто
тор с отверстиями g ( род g )2 - 2 гОриентируемый12 г1никто
Проективная плоскость1Неориентируемый1002
Бутылка Клейна0Неориентируемый1102
Сфера с гр перекрестных колпачками ( гр > 0 )2 - сНеориентируемый1с - 102
2-Коллектор с г отверстий
и с поперечными колпачков ( с > 0 )		2 - (2 г + с )Неориентируемый1(2 г + в ) - 102

Объединяя работы над функциональными пространствами Георга Кантора , Вито Вольтерры , Чезаре Арсела , Жака Адамара , Джулио Асколи и других, Морис Фреше ввел метрическое пространство в 1906 году. [7] Метрическое пространство теперь рассматривается как частный случай общего топологического пространства. , с любым заданным топологическим пространством, потенциально порождающим множество различных метрических пространств. В 1914 году Феликс Хаусдорф ввел термин «топологическое пространство» и дал определение тому, что сейчас называется хаусдорфовым пространством . [8]В настоящее время топологическое пространство - это небольшое обобщение хаусдорфовых пространств, данное в 1922 году Казимежем Куратовски . [9]

Современная топология сильно зависит от идей теории множеств, разработанных Георгом Кантором в конце XIX века. Помимо установления основных идей теории множеств, Кантор рассматривал точечные множества в евклидовом пространстве как часть своего исследования рядов Фурье . Для дальнейших разработок см топологию точечных наборов и алгебраическую топологию.

Концепции [ править ]

Топологии на множествах [ править ]

Основная статья: Топологическое пространство

Термин топология также относится к определенной математической идее, имеющей центральное значение в области математики, называемой топологией. Неформально топология сообщает, как элементы набора пространственно соотносятся друг с другом. Один и тот же набор может иметь разные топологии. Например, реальная линия , комплексная плоскость и множество Кантора можно рассматривать как одно и то же множество с разными топологиями.

Формально, пусть X некоторое множество , и пусть τ является семейство подмножеств X . Тогда τ называется топологией на X, если:

  1. И пустое множество, и X являются элементами τ .
  2. Любое объединение элементов τ является элементом τ .
  3. Любое пересечение конечного числа элементов τ является элементом τ .

Если τ - топология на X , то пара ( X , τ ) называется топологическим пространством. Обозначение X τ может использоваться для обозначения множества X, наделенного определенной топологией τ . По определению каждая топология является π -системой .

Члены т называются открытыми множествами в X . Подмножество X называется замкнутым, если его дополнение содержится в τ ( т. Е. Его дополнение открыто). Подмножество X может быть открытым, закрытым, обоими ( закрытым набором ) или ни одним из них. Пустое множество и сам X всегда закрыты и открыты. Открытое подмножество X , который содержит точку й называется окрестностью из х .

Непрерывные функции и гомеоморфизмы [ править ]

Основные статьи: Непрерывная функция и гомеоморфизм

Функция или отображение одного топологического пространства в другое называется непрерывной , если прообраз любого открытого множества открыт. Если функция отображает действительные числа в действительные числа (оба пространства со стандартной топологией), то это определение непрерывности эквивалентно определению непрерывности в исчислении . Если непрерывная функция взаимно однозначна и на, и если обратная функция также непрерывна, то функция называется гомеоморфизмом, а область определения функции называется гомеоморфной диапазону. Другими словами, функция имеет естественное расширение топологии. Если два пространства гомеоморфны, они имеют одинаковые топологические свойства и считаются топологически одинаковыми. Куб и сфера гомеоморфны, как чашка кофе и пончик. Но круг не гомеоморфен бублику.

Коллекторы [ править ]

Основная статья: Коллектор

Хотя топологические пространства могут быть чрезвычайно разнообразными и экзотическими, многие области топологии сосредоточены на более знакомом классе пространств, известных как многообразия. Многообразие является топологическим пространством , которое напоминает евклидово пространство вблизи каждой точки. Точнее, каждая точка n -мерного многообразия имеет окрестность , гомеоморфную евклидову пространству размерности n . Прямые и окружности , но не восьмерки , являются одномерными многообразиями. Двумерные многообразия также называют поверхностями , хотя не все поверхности являются многообразиями. Примеры включают самолет, сфера и тор, которые могут быть реализованы без самопересечения в трех измерениях, а также бутылка Клейна и реальная проективная плоскость , которые не могут (то есть все их реализации являются поверхностями, которые не являются многообразиями).

Темы [ править ]

Общая топология [ править ]

Основная статья: Общая топология

Общая топология - это раздел топологии, имеющий дело с основными теоретико-множественными определениями и конструкциями, используемыми в топологии. [10] [11] Это основа большинства других разделов топологии, включая дифференциальную топологию, геометрическую топологию и алгебраическую топологию. Другое название общей топологии - точечная топология.

Основным объектом изучения являются топологические пространства , которые представляют собой множества, снабженные топологией , то есть семейство подмножеств , называемых открытыми множествами , которое замкнуто относительно конечных пересечений и (конечных или бесконечных) объединений . Основные понятия топологии, такие как непрерывность , компактность и связность, можно определить в терминах открытых множеств. Интуитивно непрерывные функции переводят соседние точки в соседние точки. Компактные множества - это те, которые могут быть покрыты конечным числом множеств сколь угодно малого размера. Связанные наборы - это наборы, которые нельзя разделить на две части, находящиеся далеко друг от друга. Слова рядом , произвольно маленькие и далеко друг от друга можно уточнить, используя открытые наборы. В одном пространстве можно определить несколько топологий. Изменение топологии заключается в изменении набора открытых множеств. Это меняет, какие функции являются непрерывными, а какие - компактными или связными.

Метрические пространства - важный класс топологических пространств, где расстояние между любыми двумя точками определяется функцией, называемой метрикой . В метрическом пространстве, открытое множество является объединением открытых дисков, где открытым кругом радиуса г с центром в точке х является множеством всех точек, расстояние до й меньше г . Многие общие пространства - это топологические пространства, топология которых может быть определена с помощью метрики. Это случай вещественной прямой , комплексной плоскости , вещественных и комплексных векторных пространств и евклидовых пространств . Наличие метрики упрощает многие доказательства.

Алгебраическая топология [ править ]

Основная статья: Алгебраическая топология

Алгебраическая топология - это раздел математики, который использует инструменты алгебры для изучения топологических пространств. [12] Основная цель - найти алгебраические инварианты, которые классифицируют топологические пространства с точностью до гомеоморфизма, хотя обычно большинство из них классифицируют с точностью до гомотопической эквивалентности.

Наиболее важными из этих инвариантов являются гомотопические группы , гомологии и когомологии .

Хотя алгебраическая топология в первую очередь использует алгебру для изучения топологических проблем, иногда также возможно использование топологии для решения алгебраических задач. Например, алгебраическая топология позволяет получить удобное доказательство того, что любая подгруппа свободной группы снова является свободной группой.

Дифференциальная топология [ править ]

Основная статья: Дифференциальная топология

Дифференциальная топология - это область, в которой рассматриваются дифференцируемые функции на дифференцируемых многообразиях . [13] Это тесно связано с дифференциальной геометрией, и вместе они составляют геометрическую теорию дифференцируемых многообразий.

Более конкретно, дифференциальная топология рассматривает свойства и структуры, для определения которых требуется только гладкая структура на многообразии. Гладкие многообразия «мягче», чем многообразия с дополнительными геометрическими структурами, которые могут действовать как препятствия для определенных типов эквивалентностей и деформаций , существующих в дифференциальной топологии. Например, объем и риманова кривизна являются инвариантами, которые могут различать различные геометрические структуры на одном и том же гладком многообразии, то есть можно плавно «сплющить» определенные многообразия, но для этого может потребоваться исказить пространство и повлиять на кривизну или объем.

Геометрическая топология [ править ]

Основная статья: Геометрическая топология

Геометрическая топология - это ветвь топологии, которая в первую очередь фокусируется на многообразиях низкой размерности (то есть пространствах размерностей 2, 3 и 4) и их взаимодействии с геометрией, но также включает в себя некоторую топологию более высокой размерности. [14] Некоторые примеры тем в геометрической топологии - это ориентируемость , разложение ручек , локальная плоскостность , скомканье, а также плоская и многомерная теорема Шенфлиса .

В многомерной топологии характеристические классы являются основным инвариантом, а теория хирургии - ключевой теорией.

Низкоразмерная топология является строго геометрической, что отражено в теореме униформизации в двух измерениях - каждая поверхность допускает метрику постоянной кривизны; геометрически он имеет одну из 3 возможных геометрий: положительная кривизна / сферическая, нулевая кривизна / плоская и отрицательная кривизна / гиперболическая - и гипотеза геометризации (теперь теорема) в 3 измерениях - каждое 3-многообразие можно разрезать на части, каждое из имеющий одну из восьми возможных геометрий.

2-мерная топологию можно изучать как сложную геометрию в одной переменных ( Риман поверхностями являются сложными кривыми) - по униформизации теоремы каждое конформное класс из метрик эквивалентно уникальной сложной, и 4-мерная топология может быть изучена с точкой с точки зрения сложной геометрии двух переменных (комплексные поверхности), хотя не каждое 4-многообразие допускает сложную структуру.

Обобщения [ править ]

Иногда нужно использовать инструменты топологии, но «набор точек» недоступен. В бессмысленной топологии вместо этого рассматривается решетка открытых множеств как основное понятие теории [15], в то время как топологии Гротендика - это структуры, определенные на произвольных категориях, которые позволяют определять пучки в этих категориях, а вместе с тем и определение общих теорий когомологий. . [16]

Приложения [ править ]

Биология [ править ]

Топология использовалась для изучения различных биологических систем, включая молекулы и наноструктуры (например, мембранные объекты [17] ). В частности, топология схем и теория узлов широко применялись для классификации и сравнения топологии свернутых белков и нуклеиновых кислот. Топология цепи классифицирует свернутые молекулярные цепи на основе попарного расположения их внутрицепочечных контактов и пересечений цепей. Теория узлов , раздел топологии, используется в биологии для изучения воздействия определенных ферментов на ДНК. Эти ферменты разрезают, скручивают и повторно связывают ДНК, вызывая образование узлов с наблюдаемыми эффектами, такими как более медленный электрофорез . [18]Топология также используется в эволюционной биологии для представления взаимосвязи между фенотипом и генотипом . [19] Фенотипические формы, которые кажутся совершенно разными, могут быть разделены всего несколькими мутациями в зависимости от того, как генетические изменения соответствуют фенотипическим изменениям во время развития. В нейробиологии топологические величины, такие как характеристика Эйлера и число Бетти, используются для измерения сложности паттернов активности в нейронных сетях.

Информатика [ править ]

Топологический анализ данных использует методы алгебраической топологии для определения крупномасштабной структуры набора (например, определение того, является ли облако точек сферическим или тороидальным ). Основным методом анализа топологических данных является:

  1. Замените набор точек данных семейством симплициальных комплексов , индексированных параметром близости.
  2. Проанализируйте эти топологические комплексы с помощью алгебраической топологии, в частности, с помощью теории устойчивых гомологий . [20]
  3. Закодируйте постоянную гомологию набора данных в форме параметризованной версии числа Бетти , которая называется штрих-кодом. [20]

Некоторые разделы семантики языка программирования , такие как теория предметной области , формализованы с помощью топологии. В этом контексте Стив Викерс , опираясь на работы Самсона Абрамски и Майкла Б. Смита , характеризует топологические пространства как булевы или гейтинговые алгебры над открытыми множествами, которые характеризуются как полуразрешимые (то есть конечно наблюдаемые) свойства. [21]

Физика [ править ]

Топология имеет отношение к физике в таких областях, как физика конденсированных сред , [22] квантовой теории поля и физической космологии .

Топологическая зависимость механических свойств в твердых телах представляет интерес для дисциплин машиностроения и материаловедения . Электрические и механические свойства зависят от расположения и сетевых структур молекул и элементарных единиц в материалах. [23] прочность на сжатие из мятых топологий изучаются в попытках понять высокую прочность веса таких структур , которые в основном пустое пространство. [24] Топология имеет дополнительное значение в механике контакта, где зависимость жесткости и трения от размерности поверхностных структур представляет интерес с приложениями в физике многих тел.

Топологические квантовая теория поля (или топологическая теория поля или TQFT) является квантовой теорией поля , которая вычисляет топологические инварианты .

Хотя ТКТП были изобретены физиками, они также представляют математический интерес, поскольку связаны, среди прочего, с теорией узлов , теорией четырехмерных многообразий в алгебраической топологии и с теорией пространств модулей в алгебраической геометрии. Дональдсон , Джонс , Виттен и Концевич получили медали Филдса за работы, связанные с топологической теорией поля.

Топологическая классификация многообразий Калаби-Яу имеет важное значение в теории струн , поскольку разные многообразия могут поддерживать разные типы струн. [25]

В космологии топология может использоваться для описания общей формы Вселенной. [26] Эта область исследований широко известна как топология пространства-времени .

Робототехника [ править ]

Возможные положения робота можно описать многообразием, называемым пространством конфигурации . [27] В области планирования движения можно найти пути между двумя точками в конфигурационном пространстве. Эти пути представляют собой движение суставов и других частей робота в желаемую позу. [28]

Игры и головоломки [ править ]

Головоломки с запутыванием основаны на топологических аспектах форм и компонентов головоломки. [29] [30] [31]

Волоконное искусство [ править ]

Чтобы создать непрерывное соединение частей в модульной конструкции, необходимо создать непрерывный путь в том порядке, который окружает каждую часть и пересекает каждую кромку только один раз. Этот процесс является применением эйлерова пути . [32]

См. Также [ править ]

  • Характеризации категории топологических пространств
  • Эквивариантная топология
  • Список тем по алгебраической топологии
  • Список примеров в общей топологии
  • Список общих тем топологии
  • Список тем геометрической топологии
  • Список тем топологии
  • Публикации по топологии
  • Топоизомер
  • Глоссарий топологии
  • Топологическая геометрия
  • Топологический порядок

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

  1. ^ Хаббард, Джон Х .; Запад, Беверли Х. (1995). Дифференциальные уравнения: подход динамических систем. Часть II: многомерные системы . Тексты по прикладной математике. 18 . Springer. п. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.
  2. ^ a b Крум 1989 , стр. 7
  3. ^ Richeson 2008 , стр. 63; Александров 1969 , с. 204
  4. ^ a b c Ричсон (2008)
  5. ^ Листинг Иоганн Бенедикт "Vorstudien цур Topologie", Vandenhoeck унд Рупрехта, Геттинген, стр. 67, 1848 г.
  6. ^ Тейт, Питер Гатри (1 февраля 1883 г.). "Список Иоганна Бенедикта (некролог)" . Природа . 27 (692): 316–317. Bibcode : 1883Natur..27..316P . DOI : 10.1038 / 027316a0 .
  7. ^ Fréchet, Морис (1906). Sur quelques points du Calcul fonctionnel . Кандидатская диссертация . OCLC 8897542 . 
  8. ^ Хаусдорф, Феликс, "Grundzüge der Mengenlehre", Лейпциг: Veit. В (Hausdorff Werke, II (2002), 91–576).
  9. ^ Крум 1989 , стр. 129
  10. ^ Мункрес, Джеймс Р. Топология. Vol. 2. Верхняя Сэдл Ривер: Прентис Холл, 2000.
  11. ^ Адамс, Колин Конрад и Роберт Дэвид Франзоса. Введение в топологию: чисто и прикладное. Пирсон Прентис Холл, 2008.
  12. ^ Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология. (2002) Cambridge University Press, xii + 544 pp.  ISBN 0-521-79160-X , 0-521-79540-0 . 
  13. ^ Ли, Джон М. (2006). Введение в гладкие многообразия . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
  14. ^ РБ Шер и Р. Дж. Даверман (2002), Справочник по геометрической топологии , Северная Голландия. ISBN 0-444-82432-4 
  15. ^ Джонстон, Питер Т. (1983). «Дело бессмысленной топологии» . Бюллетень Американского математического общества . 8 (1): 41–53. DOI : 10,1090 / s0273-0979-1983-15080-2 .
  16. ^ Артин, Майкл (1962). Топологии Гротендика . Кембридж, Массачусетс: Гарвардский университет, факультет математики. Zbl 0208.48701 . 
  17. ^ Липидная нанотехнология, Int. J. Mol. Sci. 2013, 14 (2), 4242-4282 ;
  18. ^ Адамс, Колин (2004). Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3678-1.
  19. ^ Stadler, Bärbel MR; Стадлер, Питер Ф .; Wagner, Günter P .; Фонтана, Уолтер (2001). «Топология возможного: формальные пространства, лежащие в основе моделей эволюционных изменений». Журнал теоретической биологии . 213 (2): 241–274. CiteSeerX 10.1.1.63.7808 . DOI : 10,1006 / jtbi.2001.2423 . PMID 11894994 .  
  20. ^ a b Гуннар Карлссон (апрель 2009 г.). «Топология и данные» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 46 (2): 255–308. DOI : 10.1090 / S0273-0979-09-01249-X .
  21. ^ Викерс, Стив (1996). Топология через логику . Кембриджские трактаты в теоретической информатике. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521576512.
  22. ^ «Нобелевская премия по физике 2016» . Нобелевский фонд. 4 октября 2016 . Проверено 12 октября +2016 .
  23. ^ Стефенсон, C .; и другие. (2017). «Топологические свойства самосборной электрической сети с помощью расчетов ab initio» . Sci. Rep . 7 : 41621. Bibcode : 2017NatSR ... 741621S . DOI : 10.1038 / srep41621 . PMC 5290745 . PMID 28155863 .  
  24. ^ Камбу, Энн Доминик; Нараянан, Менон (2011). «Объемная структура листа, скомканного в шар» . Труды Национальной академии наук . 108 (36): 14741–14745. arXiv : 1203,5826 . Bibcode : 2011PNAS..10814741C . DOI : 10.1073 / pnas.1019192108 . PMC 3169141 . PMID 21873249 .  
  25. ^ Яу, С. & Надис, С .; Форма внутреннего пространства , Основные книги, 2010.
  26. ^ Форма пространства: как визуализировать поверхности и трехмерные многообразия, 2-е изд (Марсель Деккер, 1985, ISBN 0-8247-7437-X ) 
  27. ^ Джон Дж. Крейг, Введение в робототехнику: механика и управление , 3-е изд. Прентис-Холл, 2004 г.
  28. ^ Фарбер, Майкл (2008). Приглашение в топологическую робототехнику . Европейское математическое общество. ISBN 9783037190548.
  29. Перейти ↑ Horak, Mathew (2006). «Распутывание топологических головоломок с помощью теории узлов». Математический журнал . 79 (5): 368–375. DOI : 10.2307 / 27642974 . JSTOR 27642974 . .
  30. ^ http://sma.epfl.ch/Notes.pdf Топологическая головоломка, Инта Бертуччони, декабрь 2003 г.
  31. ^ https://www.futilitycloset.com/the-figure-8-puzzle The Figure Eight Puzzle, Science and Math, июнь 2012 г.
  32. ^ Экман, Эди (2012). Соединяйте формы мотивы крючком: творческие приемы соединения мотивов всех форм . Storey Publishing. ISBN 9781603429733.

Библиография [ править ]

  • Александров, П.С. (1969) [1956], "Глава XVIII Топология", Александров, А.Д .; Колмогоров, АН; Лаврентьев, М.А. (ред.), Математика / ее содержание, методы и значение (2-е изд.), MIT Press
  • Крум, Фред Х. (1989), Принципы топологии , Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029804-2
  • Ричсон, Д. (2008), Драгоценный камень Эйлера: формула многогранника и рождение топологии , Princeton University Press

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Рышард Энгелькинг , Общая топология , Heldermann Verlag, Сигма-серия в чистой математике, декабрь 1989 г., ISBN 3-88538-006-4 . 
  • Бурбаки ; Элементы математики: общая топология , Эддисон – Уэсли (1966).
  • Брайтенбергер, Э. (2006). "Список Иоганна Бенедикта". В Джеймс, И.М. (ред.). История топологии . Северная Голландия. ISBN 978-0-444-82375-5.
  • Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90125-1.
  • Браун, Рональд (2006). Топология и группоиды . Книжный цех. ISBN 978-1-4196-2722-4.(Предоставляет хорошо мотивированное геометрическое описание общей топологии и показывает использование группоидов при обсуждении теоремы ван Кампена , покрывающих пространств и пространств орбит .)
  • Вацлав Серпинский , Общая топология , Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-41148-6 
  • Пиковер, Клиффорд А. (2006). Полоса Мёбиуса: Чудесная группа доктора Августа Мёбиуса по математике, играм, литературе, искусству, технологиям и космологии . Пресс Рот Грома. ISBN 978-1-56025-826-1. (Предлагает популярное введение в топологию и геометрию)
  • Джеминьяни, Майкл С. (1990) [1967], Элементарная топология (2-е изд.), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1

Внешние ссылки [ править ]

  • "Топология, общая" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
  • Элементарная топология: Первый курс Виро, Иванов, Нецветаев, Харламов.
  • Топология в Curlie
  • Топологический зоопарк в Центре геометрии .
  • Атлас топологии
  • Примечания к лекциям по курсу топологии Эйслинг МакКласки и Брайан Макмастер, Атлас топологии.
  • Глоссарий топологии
  • Москва 1935: Топология движется в сторону Америки , исторический очерк Хасслера Уитни .