Размер покрытия Лебега

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Апрель 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , то Размерность Лебега или топологическая размерность в виде топологического пространства является одним из нескольких различных способов определения размерности пространства в топологически инвариантным образом.

Неформальное обсуждение [ править ]

Для обычных евклидовых пространств размер покрытия Лебега - это просто обычное евклидово измерение: ноль для точек, один для прямых, два для плоскостей и т. Д. Однако не все топологические пространства имеют такую ​​«очевидную» размерность , поэтому в таких случаях необходимо точное определение. Определение начинается с изучения того, что происходит, когда пространство покрыто открытыми множествами .

В общем, топологическое пространство X может быть покрыто открытыми множествами , в том смысле , что можно найти набор открытых множеств, таких что X лежит внутри их объединения . Размер покрытия - это наименьшее число n такое, что для каждого покрытия существует уточнение, в котором каждая точка в X лежит на пересечении не более чем n  + 1 покрывающих множеств. В этом суть приведенного ниже формального определения. Цель определения - предоставить число ( целое число ), которое описывает пространство и не изменяется, поскольку пространство непрерывно деформируется; то есть число, инвариантное относительногомеоморфизмы .

Общая идея проиллюстрирована на диаграммах ниже, которые показывают покрытие и детали в виде круга и квадрата.

Доработка крышки круга

На левой диаграмме показано уточнение (слева) крышки (справа) круговой линией (черная). Обратите внимание, что в уточнении ни одна точка на линии не содержится более чем в двух наборах. Также обратите внимание, как наборы связываются друг с другом, образуя «цепочку».

Доработка обложки квадрата

Внизу слева - уточнение крышки (вверху) плоской формы (темная), так что все точки в форме содержатся не более чем в трех наборах. Внизу справа - попытка уточнить обложку, чтобы ни одна точка не содержалась более чем в двух наборах. Это не удается при пересечении установленных границ. Таким образом, плоская форма не является «паутиной» или не может быть покрыта «цепями», но в некотором смысле более толстая; т.е. его топологическая размерность должна быть больше единицы.

Формальное определение [ править ]

Первое формальное определение покрывающей размерности было дано Эдуардом Чехом на основе более раннего результата Анри Лебега . ^[1]

Современное определение таково. Открытое покрытие топологического пространства X называется семейство открытых множеств , объединение включает в себя X . Слоя или порядок крышки является наименьшим числом п (если она существует) таким образом, что каждая точка пространства принадлежит, в лучшем случае , п множества в крышке. Уточнения из крышки C является еще одной крышкой, каждый из которых множеств является подмножеством множества в C . Размерность покрытия топологического пространства X определяется как минимальное значение n , такое, что каждое открытое покрытие C пространстваX (независимо от слоя) имеет открытое уточнение со слоем n  + 1 или меньше. Если такого минимального n не существует, пространство называется бесконечной покрывающей размерностью.

Как частный случай, топологическое пространство является нульмерным по отношению к размерности покрытия, если каждое открытое покрытие пространства имеет уточнение, состоящее из непересекающихся открытых множеств, так что любая точка в пространстве содержится ровно в одном открытом множестве этого уточнения. .

Часто удобно говорить, что размерность покрытия пустого множества равна −1.

Примеры [ править ]

Любое данное открытое покрытие единичной окружности будет иметь уточнение, состоящее из набора открытых дуг. По этому определению круг имеет размерность один, потому что любое такое покрытие может быть дополнительно уточнено до стадии, когда данная точка x круга содержится не более чем в двух открытых дугах. То есть, какой бы набор дуг мы ни начали, некоторые из них можно отбросить или уменьшить, так что оставшаяся часть по-прежнему покрывает круг, но с простыми перекрытиями.

Точно так же любая открытая крышка единичного диска в двумерной плоскости может быть уточнена так, чтобы любая точка диска содержалась не более чем в трех открытых наборах, а двух, как правило, недостаточно. Таким образом, размер покрытия диска равен двум.

В более общем смысле, n- мерное евклидово пространство имеет покрывающую размерность n .${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$

Свойства [ править ]

• Гомеоморфные пространства имеют одинаковую покрывающую размерность. То есть размерность покрытия является топологическим инвариантом .
• Размерность покрытия Лебега совпадает с аффинной размерностью конечного симплициального комплекса ; это теорема Лебега о покрытии .
• Размер покрытия нормального пространства меньше или равен большой индуктивной размерности .
• Размерность покрытия нормального пространства X есть тогда и только тогда, когда для любого замкнутого подмножества A в X , если оно непрерывно, то существует расширение до . Здесь есть п мерная сфера .${\ displaystyle \ leq n}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow S^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g:X\rightarrow S^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$
• (Теорема Остранда о цветной размерности.) Нормальное пространство удовлетворяет неравенству тогда и только тогда, когда для каждого локально конечного открытого покрытия пространства существует открытое покрытие пространства, которое может быть представлено как объединение семейств , где , такое, что каждое содержит непересекающиеся множества и для каждого и .${\displaystyle X}$${\displaystyle 0\leq \dim X\leq n}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle {\mathcal {V}}_{1},{\mathcal {V}}_{2},\dots ,{\mathcal {V}}_{n+1}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}_{i}=\{V_{i,\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}_{i}}$${\displaystyle V_{i,\alpha }\subseteq U_{\alpha }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$
• Покрывающая размерность паракомпактного хаусдорфова пространства больше или равна его когомологической размерности (в смысле пучков ) ^[2] , то есть для каждого пучка абелевых групп на и все больше, чем покрывающая размерность .${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{i}(X,A)=0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$

См. Также [ править ]

• Теорема Каратеодори о продолжении
• Задача покрытия геометрического набора
• Теория размерностей
• Метакомпактное пространство
• Точечно-конечный набор

Ссылки [ править ]

• Годеман, Роджер (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux , Париж: Hermann, MR  0345092
• Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис-Холл. ISBN 0-13-181629-2.

Дальнейшее чтение [ править ]

Исторический [ править ]

• Карл Менгер , Общие пространства и декартовы пространства , (1926) Сообщения в Амстердамскую академию наук. Английский перевод перепечатан в Classics on Fractals , Джеральд Эдгар, редактор, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7 
• Карл Менгер , Dimensionstheorie , (1928) BG Teubner Publishers, Лейпциг.
• А. Р. Пирс, Теория размерностей общих пространств , (1975) Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8 

Современный [ править ]

• В. В. Федорчук, Основы теории размерностей , опубликованные в Энциклопедии математических наук, том 17, Общая топология I , (1993) А. В. Архангельский и Л. С. Понтрягин (ред.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178- 4 . 

Внешние ссылки [ править ]

• "Измерение Лебега" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]