В математической теории узлов , в тривиальном , или тривиальном узле , является наименее узловатым все узлами. Интуитивно понятно, что узел - это замкнутая веревочная петля без привязанного к ней узла . Для теоретика узлов узел - это любая топологическая окружность, вложенная в 3-сферу, которая является объемлющей изотопной (то есть деформируемой) геометрически круглой окружности , стандартной развязке .
Не узел | |
---|---|
Распространенное имя | Круг |
Инвариант Arf | 0 |
Тесьма нет. | 1 |
Мост нет. | 0 |
Переход нет. | 0 |
Род | 0 |
Ссылка нет. | 0 |
Палка нет. | 3 |
Туннель № | 0 |
Распутывания нет. | 0 |
Обозначение Конвея | - |
Обозначения A – B | 0 1 |
Обозначение Даукера | - |
Следующий | 3 1 |
Другой | |
тор , расслоенный , первичный , срез , полностью амфихиральный |
Развязка - это единственный узел, который является границей вложенного диска , что дает характеристику, что только неузлы имеют род Зейферта 0. Аналогично, неузел является тождественным элементом по отношению к операции суммирования узлов .
Проблема с развязкой
Решение о том, является ли конкретный узел развязкой, было основной движущей силой инвариантов узлов , поскольку считалось, что этот подход, возможно, даст эффективный алгоритм для распознавания развязки из некоторого представления, такого как диаграмма узлов . Известно, что распознание несвязки присутствует как в NP, так и в co-NP .
Известно , что узел Floer гомология и Хованы гомология обнаружить тривиальную, но это не известно, эффективно вычислимыми для этой цели. Неизвестно, могут ли полиномиальные инварианты Джонса или инварианты конечного типа обнаружить развязку.
Примеры
Может быть трудно найти способ распутать строку, даже если тот факт, что она начиналась распутанной, доказывает, что задача возможна. Thistlethwaite и Ochiai предоставили множество примеров диаграмм с неузлами, которые не имеют очевидного способа их упростить, требуя временного увеличения числа пересечений диаграммы .
Thistlethwaite без узлов
Одна из развязок Очиай
Хотя веревка обычно не имеет формы замкнутой петли, иногда существует канонический способ представить, что концы соединяются вместе. С этой точки зрения многие полезные практические узлы на самом деле являются распущенными, в том числе и теми, которые можно завязать в бухте . [1]
Каждый узел можно представить в виде рычага , который представляет собой набор жестких отрезков прямой, соединенных универсальными шарнирами в своих конечных точках. Номер стержня - это минимальное количество сегментов, необходимых для представления узла в виде рычага, а застрявший узел - это конкретное соединение без узла, которое не может быть преобразовано в плоский выпуклый многоугольник. [2] Как и число пересечений, связь, возможно, потребуется сделать более сложной, разделив ее сегменты, прежде чем ее можно будет упростить.
Инварианты
Александр-Конвея и полином Джонса из тривиальных тривиален:
Ни один другого узел с 10 или меньшим числом пересечений не имеет тривиальный полином Александера, но узел Киношиты-Terasaka и Conway узел (оба из которых имеют 11 переходов) имеют одинаковые многочлены Александера и Conway как тривиальные. Это открытый вопрос, имеет ли какой-либо нетривиальный узел тот же многочлен Джонса, что и узел.
Тривиальный узел является единственным узлом которого группа узла является бесконечной циклической группой , и его узел дополнение является гомеоморфным к полнотории .
Смотрите также
- Узел (математика)
- Отменить связь
Рекомендации
- ^ Фолькер Шац. «Узловатые темы» . Архивировано из оригинала на 2011-07-17 . Проверено 23 апреля 2007 .
- ^ Годфрид Туссен (2001). «Новый класс застрявших узлов в Pol-6» (PDF) . Вклад в алгебру и геометрию . 42 (2): 301–306. Архивировано из оригинального (PDF) 12 мая 2003 года.
Внешние ссылки
- " Unknot ", Атлас узлов . Доступ: 7 мая 2013 г.
- Вайсштейн, Эрик У. «Несучка» . MathWorld .