В математической теории узлов , в конечном типе инварианте или ВАСИЛЬЕВА инварианта (названной так по имени Виктор Анатолиевич Васильевым ), является инвариант узла , который может быть расширен (в точном порядке , который будет описана ниже) к инварианту некоторых особых узлов, равным нулю на особых узлах с m + 1 особенностями и не обращается в нуль на некоторых особых узлах с m особенностями. Тогда говорят, что он имеет тип или порядок m .
Мы даем комбинаторное определение инварианта конечного типа, принадлежащее Гусарову и (независимо) Джоан Бирман и Сяо-Сон Линь . Пусть V - инвариант узла. Определим, что V 1 определен на узле с одной поперечной особенностью.
Рассмотрим узел K как гладкое вложение окружности в. Пусть К ' - гладкое погружение окружности вс одним поперечным двойным острием. потом
- ,
где получается из K путем разрешения двойной точки, подталкивая одну нить над другой, а K_- получается аналогичным образом, толкая противоположную нить над другой. Мы можем сделать это для карт с двумя поперечными двойными точками, тремя поперечными двойными точками и т. Д., Используя указанное выше соотношение. То, что V имеет конечный тип, означает в точности то, что должно существовать натуральное число m такое, что V обращается в нуль на отображениях с поперечные двойные точки.
Кроме того, обратите внимание, что существует понятие эквивалентности узлов с особенностями, являющимися двойными поперечными точками, и V должно соблюдать эту эквивалентность. Существует также понятие инварианта конечного типа для трехмерных многообразий .
Примеры
Простейший нетривиальный инвариант Васильева узлов задается коэффициентом при квадратичном члене многочлена Александера – Конвея . Это инвариант второго порядка. По модулю два он равен инварианту Арфа .
Любой коэффициент инварианта Концевича является инвариантом конечного типа.
В инварианты милноровские конечные инварианты типа из строки ссылок . [1]
Представление инвариантов
Михаил Поляк и Олег Виро дали описание первых нетривиальных инвариантов порядков 2 и 3 с помощью представлений диаграмм Гаусса . Михаил Н. Гусаров доказал, что все инварианты Васильева могут быть представлены таким образом.
Универсальный инвариант Васильева
В 1993 году Максим Концевич доказал следующую важную теорему об инвариантах Васильева: для каждого узла можно вычислить интеграл, теперь называемый интегралом Концевича , который является универсальным инвариантом Васильева , что означает, что каждый инвариант Васильева может быть получен из него соответствующим вычислением . В настоящее время неизвестно, является ли интеграл Концевича или совокупность инвариантов Васильева полным инвариантом узла . Вычисление интеграла Концевича, имеющего значения в алгебре хордовых диаграмм, оказалось довольно трудным и до сих пор производилось только для нескольких классов узлов. Не существует инварианта конечного типа степени меньше 11, различающего мутантные узлы . [2]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Хабеггер, Натан; Masbaum, Грегор (2000), "Интеграл Концевич и инварианты Милнора", Топология , 39 (6): 1253-1289, DOI : 10.1016 / S0040-9383 (99) 00041-5 , препринт .CS1 maint: postscript ( ссылка )
- ^ Мураками, Джун. "Инварианты конечного типа, обнаруживающие мутантные узлы" (PDF) .
дальнейшее чтение
- Виктор А. Васильев , Когомологии узлов пространств. Теория особенностей и ее приложения, 23–69, Adv. Советская математика, 1, Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 1990.
- Джоан Бирман и Сяо-Сун Линь, Многочлены узлов и инварианты Васильева. Inventiones Mathematicae , 111, 225–270 (1993).
- Бар-Натан, Дрор (1995). «Об инвариантах узла Васильева» . Топология . 34 (2): 423–472. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (95) 93237-2 .
Внешние ссылки
- Вайстейн, Эрик В. "Васильевский инвариант" . MathWorld .
- " Инварианты конечного типа (Васильева) ", Атлас узлов .