Поверхность Зейферта

Поверхность Зейферта, ограниченная набором колец Борромео .

В математике , поверхность Зайферт (названная в честь немецкого математика Герберт Seifert ^{[1] [2]} ) является поверхностью которого граница является данным узлом или ссылки .

Такие поверхности можно использовать для изучения свойств связанного узла или звена. Например, многие инварианты узлов легче всего вычислить с помощью поверхности Зейферта. Поверхности Зейферта также интересны сами по себе и являются предметом значительных исследований.

В частности, пусть L будет ручным ориентированным узлом или звеном в евклидовом трехмерном пространстве (или в трехмерной сфере ). Зейферта поверхность представляет собой компактное , соединены , ориентированной на поверхности S , встроенные в 3-пространстве, граница которой L таким образом, что ориентация на L является только наведенной ориентации от S , и каждая компонента связности S имеет непустое границу.

Обратите внимание, что любая компактная связная ориентированная поверхность с непустой границей в трехмерном евклидовом пространстве является поверхностью Зейферта, связанной с ее граничным звеном. Один узел или звено может иметь много различных неэквивалентных поверхностей Зейферта. Поверхность Зейферта должна быть ориентирована . Также можно связать поверхности с узлами, которые не ориентируются или не ориентируются.

Примеры [ править ]

Поверхность Зейферта для связи Хопфа . Это кольцо, а не лента Мёбиуса. Он имеет два полуворота, поэтому его можно ориентировать.

Стандартная лента Мёбиуса имеет узел для границы, но не является поверхностью Зейферта для узла, поскольку не ориентируется.

«Шахматная» раскраска обычной минимальной пересекающейся проекции узла-трилистника дает полосу Мебиуса с тремя половинными закрутками. Как и в предыдущем примере, это не поверхность Зейферта, поскольку она не ориентируема. Применение алгоритма Зейферта к этой диаграмме, как и ожидалось, действительно дает поверхность Зейферта; в данном случае это проколотый тор рода g = 1, а матрица Зейферта имеет вид

${\displaystyle V={\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Существование и матрица Зейферта [ править ]

Это теорема, что любое зацепление всегда имеет ассоциированную поверхность Зейферта. Эта теорема была впервые опубликована Франклом и Понтрягиным в 1930 году. ^[3] Другое доказательство было опубликовано в 1934 году Гербертом Зайфертом и основано на том, что сейчас называется алгоритмом Зайферта. Алгоритм производит поверхность Seifert , учитывая проекцию узла или звено в вопросе.${\displaystyle S}$

Предположим, что зацепление имеет m компонентов ( m = 1 для узла), диаграмма имеет d точек пересечения, и разрешение пересечений (с сохранением ориентации узла) дает f окружностей. Затем поверхность строится из f непересекающихся дисков путем присоединения d лент. Группа гомологий является свободной абелевой на 2 g образующих, где${\displaystyle S}$${\displaystyle H_{1}(S)}$

${\displaystyle g=(2+d-f-m)/2}$

является родом из . Форма пересечения Q на это кососимметрично , и есть основа 2 г циклов${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H_{1}(S)}$

${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2g}}$

с участием

${\displaystyle Q=(Q(a_{i},a_{j}))}$

прямая сумма g копий

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$.

Целочисленная матрица Зейферта размером 2 g × 2 g

${\displaystyle V=(v(i,j))}$

имеет в связывающем число в евклидове 3-пространстве (или в 3-мерной сфере ) в виде _I и «pushoff» в виде _J в положительном направлении . Точнее, напоминая, что поверхности Зейферта двоякошерстные, что означает, что мы можем расширить вложение до вложения , учитывая некоторую репрезентативную петлю, которая является генератором гомологии внутри , положительный выталкивающий элемент равен, а отрицательный - . ^[4]${\displaystyle v(i,j)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S\times [-1,1]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x\times \{1\}}$${\displaystyle x\times \{-1\}}$

При этом у нас есть

${\displaystyle V-V^{*}=Q,}$

где V ^* = ( v ( j , i )) транспонированная матрица. Каждая целочисленная матрица 2 g × 2 g с возникает как матрица Зейферта узла с поверхностью Зейферта рода g .${\displaystyle V}$${\displaystyle V-V^{*}=Q}$

Многочлен Александера вычисляются из матрицы Зейферты по которой является многочлен степени не выше 2 г в неопределенном полиноме Александера не зависит от выбора поверхности Зейферты и является инвариантом узла или зацепления.${\displaystyle A(t)=\det(V-tV^{*}),}$${\displaystyle t.}$${\displaystyle S,}$

Подписью узла является подписью симметричной матрицы зейфертова Это снова инвариант узла или зацепления.${\displaystyle V+V^{\mathrm {T} }.}$

Род узла [ править ]

Поверхности Зейферта вовсе не уникальны: поверхность Зейферта S рода g и матрица Зейферта V могут быть изменены с помощью топологической операции , в результате чего получится поверхность Зейферта S 'рода g + 1 и матрица Зейферта

${\displaystyle V'=V\oplus {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Родом из узла K является инвариант узла определяется минимальным родом г поверхности Зейферты для K .

Например:

• Тривиальный узел -Какие, по определению, граница диска -обладает рода нуль. Более того, узел - единственный узел нулевого рода.
• Узел- трилистник имеет род 1, как и узел-восьмерка .
• Род ( p , q ) - торического узла равен ( p - 1) ( q - 1) / 2
• Степень полинома Александера узла является нижней оценкой удвоенного его рода.

Фундаментальным свойством рода является то, что он аддитивен по отношению к сумме узлов :

${\displaystyle g(K_{1}\#K_{2})=g(K_{1})+g(K_{2})}$

В общем, род узла трудно вычислить, и алгоритм Зейферта обычно не дает поверхности Зейферта наименьшего рода. По этой причине иногда полезны другие связанные инварианты. В каноническом роде сучок наименее рода все Seifert поверхности , которые могут быть построены с помощью алгоритма зейфертова, а свободного рода является наименее родом всех поверхностей Зейферты, дополнение в это крендель . (Дополнением к поверхности Зейферта, порожденным алгоритмом Зейферта, всегда является ручка.) Для любого узла неравенство, очевидно, выполняется, поэтому, в частности, эти инварианты накладывают верхние границы на род. ^[5]${\displaystyle g_{c}}$ ${\displaystyle g_{f}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle g\leq g_{f}\leq g_{c}}$

См. Также [ править ]

• Номер кросс-колпачка
• Арф-инвариант узла

Ссылки [ править ]

External links[edit]

• The SeifertView programme of Jack van Wijk visualizes the Seifert surfaces of knots constructed using Seifert's algorithm.