Кососимметричная матрица

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , особенно в линейной алгебре , кососимметричная (или антисимметричная, или антиметрическая ^[1] ) матрица - это квадратная матрица , транспонирование которой равно отрицательному значению . То есть удовлетворяет условию ^{[2] : п. 38}

В терминах элементов матрицы, если обозначает запись в -й строке и -м столбце, то кососимметричное условие эквивалентно${\ textstyle a_ {ij}}$${\ textstyle i}$${\ textstyle j}$

Пример [ править ]

Матрица

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 0 & 2 & -45 \\ - 2 & 0 & -4 \\ 45 & 4 & 0 \ end {bmatrix}}}$

кососимметричен, потому что

${\displaystyle -A={\begin{bmatrix}0&-2&45\\2&0&4\\-45&-4&0\end{bmatrix}}=A^{\textsf {T}}.}$

Свойства [ править ]

Всюду мы предполагаем, что все элементы матрицы принадлежат полю , характеристика которого не равна 2. То есть мы предполагаем, что 1 + 1 ≠ 0 , где 1 обозначает мультипликативную единицу, а 0 - аддитивную единицу данного поля. Если характеристика поля равна 2, то кососимметричная матрица - это то же самое, что и симметричная матрица .${\textstyle \mathbb {F} }$

• Сумма двух кососимметричных матриц кососимметрична.
• Скалярное кратное кососимметричной матрицы является кососимметричным.
• Элементы на диагонали кососимметричной матрицы равны нулю, поэтому ее след равен нулю.
• Если - действительная кососимметричная матрица и является действительным собственным значением , то , т.е. ненулевые собственные значения кососимметричной матрицы не являются действительными.${\textstyle A}$${\textstyle \lambda }$${\textstyle \lambda =0}$
• Если реальная кососимметрична матрица, то есть обратимый , где единичная матрица.${\textstyle A}$${\textstyle I+A}$${\textstyle I}$
• Если - кососимметричная матрица, то является симметричной отрицательной полуопределенной матрицей .${\textstyle A}$${\textstyle A^{2}}$

Структура векторного пространства [ править ]

В результате первых двух свойств выше набор всех кососимметричных матриц фиксированного размера образует векторное пространство . Пространство кососимметричных матриц имеет размерность${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1).}$

Обозначим через пространство матриц. Кососимметричная матрица определяется скалярами (количеством элементов над главной диагональю ); симметричная матрица определяется скаляров (количество записей на или выше главной диагонали). Обозначим через пространство кососимметричных матриц и пространство симметричных матриц. Если тогда${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}}$${\textstyle n\times n}$${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1)}$${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$${\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}}$${\textstyle n\times n}$${\textstyle {\mbox{Sym}}_{n}}$${\textstyle n\times n}$${\textstyle A\in {\mbox{Mat}}_{n}}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right).}$

Обратите внимание, что и Это верно для каждой квадратной матрицы с элементами из любого поля , характеристика которого отличается от 2. Тогда, поскольку и${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A-A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}}$${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A+A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}.}$ ${\textstyle A}$${\textstyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}+{\mbox{Sym}}_{n}}$${\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}\cap {\mbox{Sym}}_{n}=0,}$

${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}\oplus {\mbox{Sym}}_{n},}$

где обозначает прямую сумму .${\displaystyle \oplus }$

Обозначим стандартным скалярным произведением на . Вещественная матрица кососимметрична тогда и только тогда, когда${\textstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle n\times n}$${\textstyle A}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =-\langle x,Ay\rangle \quad \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Это также эквивалентно для всех (одно значение очевидно, другое - простое следствие для всех и ). ${\textstyle \langle x,Ax\rangle =0}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle \langle x+y,A(x+y)\rangle =0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Поскольку это определение не зависит от выбора базиса , кососимметрия - это свойство, которое зависит только от линейного оператора и выбора внутреннего произведения .${\displaystyle A}$

${\displaystyle 3\times 3}$кососимметричные матрицы могут использоваться для представления перекрестных произведений в виде умножения матриц.

Определитель [ править ]

Позвольте быть кососимметричной матрицей. Определитель из удовлетворяет${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A).}$

В частности, если нечетно, и поскольку основное поле не имеет характеристики 2, определитель обращается в нуль. Следовательно, все кососимметричные матрицы нечетной размерности сингулярны, поскольку их определители всегда равны нулю. Этот результат получил название теоремы Якоби в честь Карла Густава Якоби (Eves, 1980).${\displaystyle n}$

Чётный случай более интересен. Оказывается, определитель for even может быть записан как квадрат многочлена от элементов , что было впервые доказано Кэли: ^[3]${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det {(A)}=\operatorname {Pf} (A)^{2}.}$

Этот многочлен называется пфаффианом функции и обозначается . Таким образом, определитель реальной кососимметричной матрицы всегда неотрицателен. Однако этот последний факт можно доказать элементарно следующим образом: собственные значения вещественной кососимметричной матрицы являются чисто мнимыми (см. Ниже) и каждому собственному значению соответствует сопряженное собственное значение той же кратности; следовательно, поскольку определитель является произведением собственных значений, каждое из которых повторяется в соответствии с его кратностью, сразу следует, что определитель, если он не равен 0, является положительным действительным числом.${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)}$

Число различных членов в разложении определителя кососимметричной матрицы порядка рассматривалось уже Кэли, Сильвестром и Пфаффом. Из-за отмены это число довольно мало по сравнению с числом членов общей матрицы порядка , которое есть . Последовательность (последовательность A002370 в OEIS )${\displaystyle s(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle s(n)}$

1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0,…

и он закодирован в экспоненциальной производящей функции

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {s(n)}{n!}}x^{n}=\left(1-x^{2}\right)^{-{\frac {1}{4}}}\exp \left({\frac {x^{2}}{4}}\right).}$

Последняя поддается асимптотике (при четном)${\displaystyle n}$

${\displaystyle s(n)=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}2^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)\left({\frac {n}{e}}\right)^{n-{\frac {1}{4}}}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}$

Количество положительных и отрицательных членов составляет примерно половину от общего числа, хотя их разница принимает все большие и большие положительные и отрицательные значения по мере увеличения (последовательность A167029 в OEIS ).${\displaystyle n}$

Перекрестный продукт [ править ]

Кососимметричные матрицы размером три на три могут использоваться для представления перекрестных произведений в виде умножения матриц. Рассмотрим векторы и Затем, определяя матрицу${\textstyle \mathbf {a} =\left(a_{1}\ a_{2}\ a_{3}\right)^{\textsf {T}}}$${\textstyle \mathbf {b} =\left(b_{1}\ b_{2}\ b_{3}\right)^{\textsf {T}}.}$

${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}},}$

перекрестное произведение можно записать как

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} .}$

Это можно сразу проверить, вычислив обе части предыдущего уравнения и сравнив каждый соответствующий элемент результатов.

У одного действительно есть

${\displaystyle [\mathbf {a\times b} ]_{\times }=[\mathbf {a} ]_{\times }[\mathbf {b} ]_{\times }-[\mathbf {b} ]_{\times }[\mathbf {a} ]_{\times };}$

т.е. коммутатор кососимметричных матриц размером три на три можно отождествить с кросс-произведением трех векторов. Поскольку кососимметричные матрицы размером три на три являются алгеброй Ли группы вращений, это объясняет связь между трехмерным пространством , перекрестным произведением и трехмерными вращениями. Подробнее о бесконечно малых поворотах можно найти ниже.${\textstyle SO(3)}$${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$

Спектральная теория [ править ]

Поскольку матрица похожа на собственное транспонирование, они должны иметь одинаковые собственные значения. Отсюда следует, что собственные значения кососимметричной матрицы всегда идут парами ± λ (за исключением нечетномерного случая, когда есть дополнительное непарное собственное значение 0). Из спектральной теоремы для реальной кососимметричной матрицы все ненулевые собственные значения являются чисто мнимыми и, следовательно, имеют форму, в которой каждое из них является действительным.${\displaystyle \lambda _{1}i,-\lambda _{1}i,\lambda _{2}i,-\lambda _{2}i,\ldots }$${\displaystyle \lambda _{k}}$

Вещественные кососимметричные матрицы являются нормальными матрицами (они коммутируют со своими сопряженными ) и, таким образом, подчиняются спектральной теореме , которая гласит, что любую вещественную кососимметричную матрицу можно диагонализовать с помощью унитарной матрицы . Поскольку собственные значения реальной кососимметричной матрицы мнимые, диагонализовать их с помощью действительной матрицы невозможно. Однако любую кососимметричную матрицу можно привести к блочно-диагональной форме с помощью специального ортогонального преобразования . ^{[4] [5] В} частности, каждая действительная кососимметричная матрица может быть записана в виде где ортогонален и${\displaystyle 2n\times 2n}$${\displaystyle A=Q\Sigma Q^{\textsf {T}}}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

для реального положительно определенного . Ненулевые собственные значения этой матрицы равны ± λ _k i . В нечетномерном случае Σ всегда имеет хотя бы одну строку и столбец нулей.${\displaystyle \lambda _{k}}$

В более общем смысле, каждая комплексная кососимметричная матрица может быть записана в форме где - унитарна и имеет блочно-диагональную форму, указанную выше, с все еще действительной положительно определенной. Это пример разложения Юла сложной квадратной матрицы. ^[6]${\displaystyle A=U\Sigma U^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \lambda _{k}}$

Кососимметричные и переменные формы [ править ]

Кососимметрическая форма на векторном пространстве над полем произвольной характеристики определяются быть билинейной формой${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \varphi :V\times V\mapsto K}$

так что для всех в${\displaystyle v,w}$${\displaystyle V,}$

${\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v).}$

Это определяет форму с желательными свойствами для векторных пространств над полями характеристики, не равной 2, но в векторном пространстве над полем характеристики 2 определение эквивалентно определению симметричной формы, поскольку каждый элемент является его собственным аддитивным обратным .

Если векторное пространство находится над полем произвольной характеристики, включая характеристику 2, мы можем определить альтернативную форму как билинейную форму, такую, что для всех векторов в${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \varphi (v,v)=0.}$

Это эквивалентно кососимметричной форме, когда поле не имеет характеристики 2, как видно из

${\displaystyle 0=\varphi (v+w,v+w)=\varphi (v,v)+\varphi (v,w)+\varphi (w,v)+\varphi (w,w)=\varphi (v,w)+\varphi (w,v),}$

откуда

${\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v).}$

Форма билинейной будет представлена матрицей таким образом, что после того , как на основе из выбран, и наоборот в матрице на приводит к форме отправки , чтобы для каждого из симметричных, кососимметричной и чередующейся формы, представляющая собой матрицы симметричны, перекос -симметричный и чередующийся соответственно.${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \varphi (v,w)=v^{\textsf {T}}Aw}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle (v,w)}$${\displaystyle v^{\textsf {T}}Aw.}$

Бесконечно малые вращения [ править ]

Кососимметричные матрицы над полем действительных чисел образуют касательное пространство к действительной ортогональной группе в единичной матрице; формально специальная ортогональная алгебра Ли . В этом смысле кососимметричные матрицы можно рассматривать как бесконечно малые вращения .${\displaystyle O(n)}$

Еще один способ сказать это , что пространство кососимметрических матриц образует алгебру Ли из группы Ли Скоба Ли на этом пространстве задаются с помощью коммутатора :${\displaystyle o(n)}$ ${\displaystyle O(n).}$

${\displaystyle [A,B]=AB-BA.\,}$

Легко проверить, что коммутатор двух кососимметричных матриц снова кососимметричен:

${\displaystyle {\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,.\end{aligned}}}$

Тогда матричная экспонента кососимметричной матрицы является ортогональной матрицей :${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.}$

Образ экспоненциального отображения алгебры Ли всегда лежит в компоненте связности группы Ли, содержащей единичный элемент. В случае группы Ли эта связная компонента является специальной ортогональной группой, состоящей из всех ортогональных матриц с определителем 1. Таким образом, будет иметь определитель +1. Более того, поскольку экспоненциальное отображение связной компактной группы Ли всегда сюръективно, оказывается, что любая ортогональная матрица с единичным определителем может быть записана как экспонента некоторой кососимметричной матрицы. В частном важном случае размерности экспоненциальное представление для ортогональной матрицы сводится к хорошо известной полярной форме${\displaystyle O(n),}$ ${\displaystyle SO(n),}$${\displaystyle R=\exp(A)}$${\displaystyle n=2,}$комплексного числа единичного модуля. Действительно, если специальная ортогональная матрица имеет вид${\displaystyle n=2,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b\\b&\,a\end{bmatrix}},}$

с . Следовательно, положив и можно написать${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$${\displaystyle a=\cos \theta }$${\displaystyle b=\sin \theta ,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&\,0\end{bmatrix}}\right),}$

что в точности соответствует полярной форме комплексного числа единичного модуля.${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}$

Экспоненциальное представление ортогональной матрицы порядка также может быть получено, исходя из того факта, что в размерности любая специальная ортогональная матрица может быть записана как где ортогональна, а S - это блочно-диагональная матрица с блоками порядка 2, плюс одна из порядка 1, если нечетный; поскольку каждый отдельный блок порядка 2 также является ортогональной матрицей, он допускает экспоненциальную форму. Соответственно, матрица  S записывается как экспонента кососимметричной блочной матрицы указанного выше вида, так что экспонента кососимметричной матрицы${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R=QSQ^{\textsf {T}},}$${\displaystyle Q}$${\textstyle \lfloor n/2\rfloor }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle S=\exp(\Sigma ),}$${\displaystyle R=Q\exp(\Sigma )Q^{\textsf {T}}=\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}}),}$${\displaystyle Q\Sigma Q^{\textsf {T}}.}$ И наоборот, сюръективность экспоненциального отображения вместе с вышеупомянутой блочной диагонализацией для кососимметричных матриц подразумевает блочную диагонализацию для ортогональных матриц.

Без координат [ править ]

По сути (т. Е. Без использования координат) кососимметричные линейные преобразования в векторном пространстве со скалярным произведением могут быть определены как бивекторы в пространстве, которые являются суммами простых бивекторов ( 2-лопастей ) . Соответствие задается формулой map где - ковектор, двойственный вектору ; в ортонормированных координатах это и есть элементарные кососимметричные матрицы. Эта характеристика используется при интерпретации завитка векторного поля (естественно, 2-вектора) как бесконечно малое вращение или «завиток», отсюда и название.${\displaystyle V}$${\textstyle v\wedge w.}$${\textstyle v\wedge w\mapsto v^{*}\otimes w-w^{*}\otimes v,}$${\textstyle v^{*}}$${\textstyle v}$

Кососимметризуемая матрица [ править ]

Матрица называется косо-симметризуемое , если существует обратимый диагональную матрицу такую , что кососимметричен. Для реальных матриц иногда добавляется условие наличия положительных элементов. ^[7]${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle DA}$ ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle D}$

См. Также [ править ]

• Преобразование Кэли
• Симметричная матрица
• Косоэрмитова матрица
• Симплектическая матрица
• Симметрия в математике

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Евс, Ховард (1980). Элементарная теория матриц . Dover Publications. ISBN 978-0-486-63946-8.
• Супруненко, Д.А. (2001) [1994], "Кососимметричная матрица" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Эйткен, AC (1944). «О числе различных членов в разложении симметричных и косых определителей» . Edinburgh Math. Примечания . 34 : 1–5. DOI : 10.1017 / S0950184300000070 .

Внешние ссылки [ править ]

• «Антисимметричная матрица» . Wolfram Mathworld .
• Беннер, Питер; Кресснер, Дэниел. "HAPACK - Программное обеспечение для (косо-) гамильтоновых задач на собственные значения" .
• Уорд, RC; Грей, LJ (1978). «Алгоритм 530: алгоритм вычисления собственной системы кососимметричных матриц и класса симметричных матриц [F2]». Транзакции ACM на математическом ПО . 4 (3): 286. DOI : 10,1145 / 355791,355799 . S2CID  8575785 . Фортран Фортран90