Косоэрмитова матрица

В линейной алгебре , квадратная матрица с комплексными записями называются косоэрмиты или антиэрмитов- , если его сопряженное транспонирование является негативом исходной матрицы. ^[1] То есть матрица косоэрмитова, если она удовлетворяет соотношению${\ displaystyle A}$

где обозначает сопряженное транспонирование матрицы . В компонентной форме это означает, что${\ Displaystyle А ^ {\textf {H}}}$${\ displaystyle A}$

для всех индексов и , где - элемент в -й строке и -м столбце , а верхняя черта обозначает комплексное сопряжение .${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A}$

Кососимметричные матрицы можно понимать как комплексные версии реальных кососимметричных матриц или как матричный аналог чисто мнимых чисел. ^[2] Множество всех косоэрмитовых матриц образует алгебру Ли , которая соответствует группе Ли U ( n ) . Эту концепцию можно обобщить, чтобы включить линейные преобразования любого комплексного векторного пространства с полуторалинейной нормой .${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle u(n)}$

Обратите внимание, что сопряженный оператор зависит от скалярного произведения, рассматриваемого на размерном комплексном или реальном пространстве . Если обозначает скалярное произведение на , то сказать кососопряженный означает, что для всех один имеет .${\displaystyle n}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle (\cdot \mid \cdot )}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in K^{n}}$${\displaystyle (A\mathbf {u} \mid \mathbf {v} )=-(\mathbf {u} \mid A\mathbf {v} )}$

Мнимые числа можно рассматривать как кососопряженные (поскольку они подобны матрицам), тогда как действительные числа соответствуют самосопряженным операторам.${\displaystyle 1\times 1}$

Пример [ править ]

Например, следующая матрица косоэрмитова

${\displaystyle A'=-{\begin{bmatrix}-i&+2+i\\-2+i&0\end{bmatrix}}}$

так как

${\displaystyle -A={\begin{bmatrix}i&-2-i\\2-i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {-2+i}}\\{\overline {2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {2+i}}\\{\overline {-2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}=A^{\mathsf {H}}}$

Свойства [ править ]

• Все собственные значения косоэрмитовой матрицы являются чисто мнимыми (и, возможно, нулевыми). Кроме того, косоэрмитовы матрицы нормальны . Следовательно, они диагонализуемы, и их собственные векторы для различных собственных значений должны быть ортогональными. ^[3]
• Все элементы на главной диагонали косоэрмитовой матрицы должны быть чисто мнимыми ; т.е. на мнимой оси (число ноль тоже считается чисто мнимым). ^[4]
• Если и являются косоэрмитовыми, то косоэрмитовыми для всех действительных скаляров и . ^[5]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle aA+bB}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle A}$является косоэрмитовым тогда и только тогда, когда (или эквивалентно ) эрмитово . ^[5]${\displaystyle iA}$${\displaystyle -iA}$
• ${\displaystyle A}$являются косоэрмитами тогда и только тогда , когда действительная часть является кососимметрична и мнимой частью является симметричной .${\displaystyle \Re {(A)}}$${\displaystyle \Im {(A)}}$
• Если косоэрмитово, то является эрмитовым, если является четным целым, и косоэрмитовым, если является нечетным целым числом.${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle A}$является косоэрмитовым тогда и только тогда, когда для всех векторов .${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {y} =-\mathbf {y} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$
• Если это косоэрмиты, то матрица экспоненциальный является унитарным .${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e^{A}}$
• Пространство косоэрмитовых матриц образует алгебру Ли из группы Ли .${\displaystyle u(n)}$ ${\displaystyle U(n)}$

Разложение на эрмитово и косоэрмитово [ править ]

• Сумма квадратной матрицы и сопряженной к ней транспонированной эрмитовой матрицы .${\displaystyle \left(A+A^{\mathsf {H}}\right)}$
• Разность квадратной матрицы и сопряженной к ней транспонированной косоэрмитовой матрицы . Отсюда следует, что коммутатор двух эрмитовых матриц косоэрмитов.${\displaystyle \left(A-A^{\mathsf {H}}\right)}$
• Произвольную квадратную матрицу можно записать как сумму эрмитовой матрицы и косоэрмитовой матрицы :${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

  ${\displaystyle C=A+B\quad {\mbox{with}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\mbox{and}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(C-C^{\mathsf {H}}\right)}$

См. Также [ править ]

• Бивектор (комплекс)
• Эрмитова матрица
• Нормальная матрица
• Кососимметричная матрица
• Унитарная матрица

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6.
• Мейер, Карл Д. (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.