В математике , то форма пересечения ориентированного компактного 4-многообразия является специальной симметричной билинейной формой на 2 - е (со) группой гомологии 4-многообразия. Он отражает большую часть топологии 4-многообразий, включая информацию о существовании гладкой структуры .
Определение с использованием пересечения
Пусть M - замкнутое 4-многообразие (PL или гладкое). Возьмем триангуляцию Т из М . Обозначим черездвойная ячейка подразделение . Представляют классы2-циклами A и B по модулю 2, рассматриваемыми как объединение 2-симплексов T и, соответственно. Определите форму пересечения по модулю 2
по формуле
Это хорошо определено, потому что пересечение цикла и границы состоит из четного числа точек (по определению цикла и границы).
Если M ориентирован, аналогично (т.е. считая пересечения со знаками) определяется форма пересечения на 2-й группе гомологий
Используя понятие трансверсальности, можно сформулировать следующие результаты (которые составляют эквивалентное определение формы пересечения).
- Если классы представлены замкнутыми поверхностями (или 2-циклами по модулю 2) A и B, пересекающимися поперек, то
- Если M ориентировано и классыпредставлены замкнутыми ориентированными поверхностями (или 2-циклами) A и B , пересекающимися поперек, то каждая точка пересечения в имеет знак +1 или -1 в зависимости от ориентации, а сумма этих знаков.
Определение с использованием чашки продукта
Использование понятия чашечного продукта , можно дать двойственное (а значит, и эквивалентное) определение следующим образом. Пусть M - замкнутое ориентированное 4-многообразие (PL или гладкое). Определите форму пересечения на 2-й группе когомологий
по формуле
Определение чашеобразного произведения двойственно (и поэтому аналогично) приведенному выше определению формы пересечения на гомологиях многообразия, но является более абстрактным. Однако определение чашеобразного произведения обобщается на комплексы и топологические многообразия. Это преимущество для математиков, интересующихся комплексами и топологическими многообразиями (не только PL и гладкими многообразиями).
Когда 4-многообразие гладкое, то в когомологиях де Рама , если a и b представлены 2-формами а также , то форму пересечения можно выразить интегралом
где является клиновидным продуктом .
Определение с использованием чашечного произведения имеет более простой аналог по модулю 2 (который работает для неориентируемых многообразий). Конечно, в когомологиях де Рама этого нет.
Свойства и приложения
Двойственность Пуанкаре утверждает, что форма пересечения унимодулярна (с точностью до кручения).
По формуле Ву спиновое 4-многообразие должно иметь четную форму пересечения, т. Е.равно для каждого x . Для односвязного 4-многообразия (или, в более общем смысле, такого, не имеющего 2-кручения, принадлежащего первым гомологиям), верно обратное.
Сигнатура формы пересечения является важным инвариантом. 4-многообразие ограничивает 5-многообразие тогда и только тогда, когда оно имеет нулевую сигнатуру. Из леммы Ван дер Блайя следует, что спиновое 4-многообразие имеет сигнатуру кратную восьми. Фактически, из теоремы Рохлина следует, что гладкое компактное спиновое 4-многообразие имеет сигнатуру, кратную 16.
Майкл Фридман использовал форму пересечения для классификации односвязных топологических 4-многообразий. При любом унимодулярная симметричной билинейной формы над целыми числами, Q , существует односвязное замкнутое 4-многообразие М с формой пересечения Q . Если Q четно, то такое многообразие только одно. Если Q нечетно, их два, причем по крайней мере один (возможно, оба) не имеют гладкой структуры. Таким образом, два односвязных замкнутых гладких 4-многообразия с одинаковой формой пересечения гомеоморфны. В нечетном случае два многообразия различаются своим инвариантом Кирби – Зибенмана .
Теорема Дональдсона утверждает, что гладкое односвязное 4-многообразие с положительно определенной формой пересечения имеет диагональную (скалярную 1) форму пересечения. Итак, классификация Фридмана подразумевает, что существует много несглаживаемых 4-многообразий, например многообразие E8 .
Рекомендации
- Кирби, Робион (1989), Топология 4-многообразий, Лекции по математике. 1374 , Springer-Verlag
- Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий , Американское математическое общество , ISBN 0-8218-3749-4
- Скопенков, Аркадий (2015), Алгебраическая топология с геометрической точки зрения , MCCME, ISBN 978-5-4439-0293-7