В математике , то двойственность Пуанкаре теорема, названная в честь Анри Пуанкаре , является основным результатом по структуре гомологии и когомологий групп из многообразия . Он утверждает , что если М является п - мерное ориентированное замкнутое многообразие ( компактное и без края), то к - й группой когомологий М является изоморфно к () -я группа гомологий M для всех целых k
Двойственность Пуанкаре верна для любого кольца коэффициентов , пока мы ориентируемся относительно этого кольца коэффициентов; в частности, поскольку каждое многообразие имеет единственную ориентацию по модулю 2, двойственность Пуанкаре выполняется по модулю 2 без каких-либо предположений об ориентации.
История
Форма двойственности Пуанкаре была впервые сформулирована без доказательства Анри Пуанкаре в 1893 году. Она была сформулирована в терминах чисел Бетти : k- е и () -ые числа Бетти замкнутого (т. е. компактного и безграничного) ориентируемого n -многообразия равны. В то время концепция когомологии была прояснена примерно через 40 лет. В своей статье 1895 года « Analysis Situs» Пуанкаре попытался доказать теорему, используя изобретенную им топологическую теорию пересечений . Критика его работы со стороны Пола Хегора заставила его понять, что его доказательство было серьезно ошибочным. В первых двух дополнениях к Analysis Situs Пуанкаре дал новое доказательство в терминах двойственных триангуляций.
Двойственность Пуанкаре не приобрела свою современную форму до появления когомологий в 1930-х годах, когда Эдуард Чех и Хасслер Уитни изобрели изделия из чашки и крышки и сформулировали двойственность Пуанкаре в этих новых терминах.
Современная формулировка
Современная формулировка теоремы двойственности Пуанкаре выражается в терминах гомологии и когомологии: если - замкнутое ориентированное n -многообразие, а натуральное число меньше, чем , то существует канонически определенный изоморфизм . Для определения такого изоморфизма выбирается фиксированный фундаментальный класс из , который будет существовать, если ориентирован. Тогда изоморфизм определяется отображением элемента к его крышке продукта . [1]
Группы гомологий и когомологий определяются как нулевые для отрицательных степеней, поэтому двойственность Пуанкаре, в частности, означает, что группы гомологий и когомологий ориентируемых замкнутых n -многообразий равны нулю для степеней больше n .
Здесь гомологии и когомологии целочисленны, но изоморфизм остается верным над любым кольцом коэффициентов. В случае, когда ориентированное многообразие не компактно, необходимо заменить когомологии когомологиями с компактным носителем .
Двойные клеточные структуры
Для триангулированного многообразия существует соответствующее двойственное полиэдральное разложение. Двойственное полиэдральное разложение - это клеточное разложение многообразия, такое что k -клетки двойственного полиэдрального разложения находятся в биективном соответствии с () -клетки триангуляции, обобщающие понятие двойственных многогранников .
Именно, пусть Т быть триангуляция п -многообразии М . Пусть S симплекс Т . Позволять- многомерный симплекс T, содержащий S , поэтому мы можем рассматривать S как подмножество вершин. Определите DS с двумя ячейками, соответствующий S, чтобы выпуклая оболочка в барицентров всех подмножеств вершин которые содержат . Можно проверить , что если S есть я - мерный, то DS является () -мерная ячейка. Более того, двойственные к T клетки образуют CW-разложение M , и единственное () -мерная двойственная клетка, пересекающая i -клетку S, есть DS . Таким образом, спаривание заданный взятием пересечений, индуцирует изоморфизм , где - клеточные гомологии триангуляции T , а а также являются клеточными гомологиями и когомологиями двойственного полиэдрального / CW-разложения многообразия соответственно. Тот факт, что это изоморфизм цепных комплексов, является доказательством двойственности Пуанкаре. Грубо говоря, это сводится к тому, что граничное соотношение для триангуляции T является отношением инцидентности для двойственного полиэдрального разложения при соответствии.
Натуральность
Обратите внимание, что - контравариантный функтор, аявляется ковариантны . Семейство изоморфизмов
это естественно в следующем смысле: если
является непрерывным отображением между двумя ориентированными n -многообразиями, которое согласовано с ориентацией, т. е. которое отображает фундаментальный класс M в фундаментальный класс N , то
где а также - отображения, индуцированные f в гомологиях и когомологиях соответственно.
Обратите внимание на очень сильную и важную гипотезу , что е отображает фундаментальный класс М к основному классу N . Естественность не имеет места для произвольного непрерывного отображения f , поскольку в общем случаене является инъекцией когомологий. Например, если е является накрытием , то он отображает фундаментальный класс М кратному фундаментального класса N . Это кратное является степенью отображения f .
Формулировка билинейных пар
Предполагая, что многообразие M компактно, без границ и ориентируемо , пусть
обозначим подгруппу кручения группы и разреши
- свободная часть - все группы гомологий, взятые с целыми коэффициентами в этом разделе. Тогда есть билинейные отображения, которые являются парами двойственности (объяснено ниже).
а также
- .
Здесь является фактором рациональных чисел по целым числам, взятым в качестве аддитивной группы. Обратите внимание, что в форме торсионного соединения есть в измерении, поэтому парные измерения в сумме дают а не .
Первую форму обычно называют произведением пересечения, а вторую - формой торсионной связи .Предполагая, что многообразие M является гладким, произведение пересечений вычисляется путем возмущения классов гомологий, чтобы они были трансверсальными, и вычисления их ориентированного числа пересечений. Для торсионной формы связывания вычисляется пара x и y , реализуя nx как границу некоторого класса z . Форма представляет собой дробь с числителем, числом поперечного пересечения z с y и знаменателем n .
Утверждение, что спаривания являются парами двойственности, означает, что сопряженные отображения
а также
являются изоморфизмами групп.
Этот результат является приложением двойственности Пуанкаре.
- ,
вместе с теоремой об универсальных коэффициентах , которая дает отождествление
а также
- .
Таким образом, двойственность Пуанкаре говорит, что а также изоморфны, хотя не существует естественного отображения, дающего изоморфизм, и аналогично а также тоже изоморфны, хотя и не естественно.
- Среднее измерение
В то время как для большинства измерений двойственность Пуанкаре индуцирует билинейное спаривание между различными группами гомологий, в среднем измерении она индуцирует билинейную форму на одной группе гомологий. Полученная форма пересечения является очень важным топологическим инвариантом.
Что подразумевается под «средним измерением», зависит от паритета. Для ровного измерениячто чаще встречается, это буквально среднее измерение k, и на свободной части средней гомологии есть форма:
Напротив, для нечетной размерности который реже обсуждается, это наиболее просто нижнее среднее измерение k, и есть форма на торсионной части гомологии в этом измерении:
Однако существует также пара между свободной частью гомологии в нижнем среднем измерении k и в верхнем среднем измерении:
Полученные группы, хотя и не являются отдельной группой с билинейной формой, представляют собой простой цепной комплекс и изучаются в алгебраической L-теории .
- Приложения
Этот подход к двойственности Пуанкаре был использован Юзефом Пшитицким и Акирой Ясухарой, чтобы дать элементарную гомотопию и классификацию диффеоморфизма трехмерных линзовых пространств . [2]
Формулировка изоморфизма Тома
Двойственность Пуанкаре тесно связана с теоремой об изоморфизме Тома , как мы объясним здесь. Для этого изложения пусть- компактное ориентированное n -многообразие без границ . Позволять быть продуктом с собой, пусть - открытая трубчатая окрестность диагонали в . Рассмотрим карты:
- включение.
- карта вырезания, где- нормальное расслоение дисков диагонали в.
- Thom Изоморфизм . Эта карта хорошо определена, поскольку имеет стандартную идентификацию которое является ориентированным расслоением, поэтому применим изоморфизм Тома.
Вместе это дает карту , который является произведением пересечений - строго говоря, это обобщение указанного выше произведения пересечений, но его также называют произведением пересечений. Аналогичное рассуждение с теоремой Кюннета дает форму торсионного зацепления .
Эта формулировка двойственности Пуанкаре стала довольно популярной [3], поскольку она предоставляет средства для определения двойственности Пуанкаре для любой обобщенной теории гомологий при условии, что для этой теории гомологий имеется изоморфизм Тома. Теорема Тома об изоморфизме для теории гомологий теперь принята как обобщенное понятие ориентируемости для теории гомологий. Например, s п я п c {\ displaystyle spin ^ {c}} -структура на многообразии оказывается именно тем, что необходимо для ориентации в смысле комплексной топологической k-теории .
Теорема Пуанкаре-Лефшеца двойственность является обобщением для многообразий с краем. В неориентируемом случае, учитывая пучок локальных ориентаций, можно дать утверждение, не зависящее от ориентируемости: см. Скрученную двойственность Пуанкаре .
Двойственность Бланчфилда - это версия двойственности Пуанкаре, которая обеспечивает изоморфизм между гомологиями абелевого накрывающего пространства многообразия и соответствующими когомологиями с компактными носителями. Он используется для получения основных структурных результатов о модуле Александра и может использоваться для определения сигнатур узла .
С развитием теории гомологии, которая включила K-теорию и другие необычные теории примерно с 1955 года, стало понятно, что гомологиимогут быть заменены другими теориями, как только будут построены произведения на многообразиях; и теперь есть учебники лечения в целом. Более конкретно, существует общая теорема двойственности Пуанкаре для обобщенной теории гомологий, которая требует понятия ориентации относительно теории гомологий и сформулирована в терминах обобщенной теоремы об изоморфизме Тома . Теорема Тома об изоморфизме в этом отношении может рассматриваться как основная идея двойственности Пуанкаре для обобщенных теорий гомологии.
Двойственность Вердье является подходящим обобщением для (возможно, сингулярных ) геометрических объектов, таких как аналитические пространства или схемы , в то время как гомологии пересечений были разработаны Робертом Макферсоном и Марком Горески для стратифицированных пространств , таких как вещественные или комплексные алгебраические многообразия, именно так, чтобы обобщить двойственность Пуанкаре в такие стратифицированные пространства.
Есть много других форм геометрической двойственности в алгебраической топологии , в том числе двойственности Лефшеца , двойственности Александера , Ходжа двойственности , и S-двойственности .
Более алгебраически, можно абстрагироваться от понятия комплекса Пуанкаре , который представляет собой алгебраический объект, который ведет себя как сингулярный цепной комплекс многообразия, в частности удовлетворяющий двойственности Пуанкаре на его группах гомологий относительно выделенного элемента (соответствующего фундаментальному классу ). Они используются в теории хирургии для алгебраизации вопросов о многообразиях. Пуанкаре пространство является одним которого сингулярный цепной комплекс представляет собой комплекс Пуанкаре. Это не все многообразия, но их несостоятельность может быть измерена с помощью теории препятствий .
Смотрите также
- Разложение Брюа
- Фундаментальный класс
- Группа Вейля
Рекомендации
- ^ Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 9780521795401. Руководство по ремонту 1867354 .
- ^ Пржитицкий, Юзеф Х .; Yasuhara, Akira (2003), "Симметрия связей и классификации линзовых пространств", Geometriae Dedicata , 98 (1), DOI : 10,1023 / A: 1024008222682 , МР 1988423
- ^ Рудяк, Юлий (1998). О спектрах Тома, ориентируемости и кобордизме . Монографии Спрингера по математике. С предисловием Хейнса Миллера . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-62043-5. Руководство по ремонту 1627486 .
дальнейшее чтение
- Блэнчфилда, Ричард К. (1957), "Теория пересечений многообразий с операторами с приложениями к теории узлов", Анналы математики , 65 (2): 340-356, DOI : 10,2307 / 1969966 , JSTOR 1969966 , MR 0085512
- Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
Внешние ссылки
- Форма пересечения в Атласе многообразия
- Связывающая форма в Manifold Atlas